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ENS
2eme année
Dr. Aicha. Lazraq Khlass

2015-2016

Probabilités
Série 1
Exercice 1.
D’un jeu de 52 cartes, 5 cartes sont distribués à un joueur.
i) Quelle est la probabilité que ce joueur ait en main exactement 3 cartes de
carreaux?
ii) Quelle est la probabilité que ce joueur ait en main une paire, c’est à dire
deux cartes de même valeur?
.
Exercice 2.
On lance six fois un dés non truqué . Quelle est la probabilité d’obtenir les
six chi¤res dans un ordre quelconque?
.
Exercice 3.
On considère une urne contenant 5 boules blanches, 4 boules noires et 3
boules bleues.
1- On tire simultanément trois boules dans l’urne.
i) Quelle est la probabilité d’obtenir trois boules de la même couleur?
ii) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur?
2- On tire successivement trois boules dans l’urne, en remettant la boule
dans l’urne après chaque tirage.
i) Quelle est la probabilité d’obtenir trois boules de la même couleur?
ii) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur?
2- On tire successivement trois boules dans l’urne, sans remettre la boule
tirée dans l’urne après chaque tirage.
i) Quelle est la probabilité d’obtenir trois boules de la même couleur?
ii) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur?
iii) Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée le soit au
troisième tirage?
iv) Quelle est la probabilité que la deuxième boule blanche tirée le soit au
troisième tirage?
.
Exercice 4.
Une urne contient n boules numérotés de 1 à n. On les extrait successivement
sans remise et après chaque tirage, on observe le numéro de la boule tirée. On
dit qu’il y a rencontre au i ème tirage si la boule tirée porte le numéro i.
Déterminer la probabilité de l’événement E "il n y a aucune rencontre".
.
Exercice 5.

1

On considère une famille de 2 enfants . On suppose que chaque enfant a une
chance sur 2 d’être une …lle.
i) Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des …lles sachant que
l’aîné est une …lle?
ii) Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des …lles sachant qu’il
a au moins une …lle?
.
Exercice 6.
une puce se déplace sur les trois sommets d’un triangle ABC du plan. Au
départ, elle est en A. A chaque instant n, elle fait un saut : si elle est en A,
elle va en B ; si elle est en B, elle va en A avec la probabilité 12 et en C avec la
probabilité 12 ; si elle est en C, elle y reste.
i) Montrer que la puce ne peut arriver au point C qu’à des instants pairs.
ii) Calculer la probabilité que la puce arrive en C pour la première fois à
l’instant 2n (n 2 N ):
iii) Montrer que la puce arrive en C presque sûrement.
.
Exercice 7.
Le fonctionnement d’un appareil au cours du temps obéit aux règles suivantes
:
* Si l’appareil fonctionne à la date n 1 (n 2 N ), il a la probabilité a de
fonctionner à la date n.
* Si l’appareil est en panne à la date n 1 (n 2 N ), il a la probabilité b
d’être en panne à la date n. Où (a; b) est un couple de réels de ]0; 1[ :
Pour n 2 N, on note Mn l’événement " l’appareil est en état de marche à
la date n " et pn la peobabilité de Mn . Quelle est la valeur de pn en supposant
que l’appareil est en état de marche à la date 0?
.
Exercice 8.
Soit n un entier naturel non nul. Une urne U contient des jetons numérotés :
1 jeton numéroté 1, 2 jetons numérotés 2...n jetons numérotés n. On dispose de
n urnes numérotés de 1 à n ; l’urne i contient i boules blanches et n i noires.
On tire un jeton dans U ; si le jeton tiré porte le numéro i, on prèlève une boule
dans l’urne numéro i.
i) Quelle est la probabilitré que la boule prélevée soit blanche?
ii) Quelle est la probabilitré que la boule soit tirée de l’urne 1 sachant qu’elle
est blanche?
.
Exercice 9.
Une pièce de monnaie est lancée deux fois. On considère les deux événements
A" les deux lancers ne donnent pas le même résultat " et B " le deuxième lancer
donne face ".
i) Montrer que, si la pièce est parfaitement équilibrée, les événements A et
B sont indépendants?
ii) Montrer que, si cette pièce est pipée et qu’elle tombe sur pile avec une
probabilité de 43 , les événements A et B ne sont pas indépendants?
2

.
Exercice 10.
Un tiroir contient 12 paires de chaussetts di¤érentes. On prend 4 chaussettes.
Quelle est la probabilité d’obtenir :
i) 2 paires complètes.
ii) au moins une paire.
iii) une paire et une seule.
.
Exercice 11.
Une personne se trouve devant une porte fermée à clé. Elle dispose d’un
trousseau de clés parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle essaie au hasard
l’une après l’autre, en écartant les clés déjà essayées.
Quelle est la probabilité qu’elle ouvre la porte au k ième essai?
.
Exercice 12.
Quatre urnes contiennent des boules :
* L’urne 1 contient 3 boules rouges, 2 boules blanches, 3 boules noires.
* L’urne 2 contient 4 boules rouges, 3 boules blanches, 1 boules noires.
* L’urne 1 contient 2 boules rouges, 1 boules blanches, 1 boules noires.
* L’urne 1 contient 1 boules rouges, 6 boules blanches, 2 boules noires.
On choisit au hasard une urne et de celle-ci l’on tire une boule au hasard.
i) Calculer la probabilité que cette boule ne soit pas blanche.
ii) Si la boule est rouge, qulle est la probabilité qu’elle ait été tiréee de l’urne
3.
.
Exercice 13.
Une urne contient 8 boules numérotés de 1 à 8.
O, tire 3 fois de suite une boule avec remise.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3 nombres :
i) dans un ordre strictement croissant?
ii) dans un ordre croissant?
.
Exercice 14.
Un laboratoire fabrique un alcootest et les essais montrent que :
* 2% des personnes contrôlées sont en état débriété.
* 95 fois sur 100 l’alcool test a donné un résultat positif alors que la personne
était en état d’ébriété.
* 95 fois sur 100 l’alcool-test a donné un résultat négatif alors que la personne
n’étai pas en état d’ébriété.
i) On essaie l’appareil sur une personne et on constate que le résultat est
positif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en état d’ébriété?
ii) On essaie l’appareil sur une personne et on constate que le résultat est
négatif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en fait en état d’ébriété?
iii) Donner la probabilité que le résultat donné par l’appariel soit faux.
.
Exercice 15.
3

Un fumeur a dans ses poches deux boites de N allumettes. Chaque fois qu’il
a besoin d’une allumette , il en prend une au hasard dans l’une des boites.
i) Quelle est la probabilité que, lorsqu’il prend la dernière allumette d’une
boite, l’autre boite contienne encore x allumettes.
ii) Distrait, il se rend compte qu’une boite est vide, non lorsqu’il prend la
dernière allumette, mais lorsque, cherchant une allumette, il prend la boite est
constate qu’elle est vide. Quelle est la probabilité que l’autre boite contienne
encore x allumettes?
.
Exercice 16.
On lance m dés non truqués. A l’issue du premier jeu , on laisse de côté les
dés qui n’ont pas amenés 6 et on relance les autres. On laisse de nouveau de
côté ceux qui ont amené 6, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention de m6.
i) On …xe un dé et on considère l’événement An : le dé est lancé au plus n
fois. Calculer p(An ):
ii) Calculer la probabilité de l’événement Bn : on obtient les m6 en au plus
n lancers.
iii) Calculer la probabilité de l’événement Cn : on obtient les m6 en exactement n lancers.
.
Exercice 17.
On lance deux dés jusqu’à ce qu’une somme de 5 ou de 7 apparaisse.
i) Soit En l’événement " une somme de 5 apparaît au n ième double jet et
sur les n 1 premiers jets ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît ".
Calculer P (En ):
ii) Trouver la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 5.
iii) Trouver la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 7.
iv) Quelle est la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais.
.
Exercice 18.
On dispose de 2 pièces : la pièce A donne face avec la probabilité 21 ; la pièce
B donne face avec la probabilité 32 :
On choisit une des pièces au hasard. On la lance. Si l’on obtient face, on
conserve la pièce que l’on vient de lancer, sinon on change de pièce. On e¤ectue
ainsi une suite de lancers.
i) On note pn la probabilité de jouer avec la pièce A au n ième lancer.
Monter que la suite (pn ) est une suite arithmético-géométrique. Calculer pn
pour tout n 2 N :
ii) En déduire la probabilité d’obtenir face au n ième lancer.
.
Exercice 19.
On considère une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n (n 2). On
prèlève ces jetons au hasard, un par un et sans remise. On note (u1 ; u2 ; :::; un )
la liste des numéros tirés.

4

Pour 2
i
n, on dit qu’il y a record à l’instant i si ui est plus grand
que tous les numéros précédemment tirés, c’est à dire si ui > max (u1 ; :::; ui 1 ) :
D’autre part, on convient qu’il y a systématiquement record à l’instant 1:
i) Calculer, pour 1 i n, la probabilité ri qu’il y ait record à l’instant i:
ii) Calculer les probabilitésque durabnt la totalité des tirages on assiste
exactement à
1- un seul record ; 2- n records ; 3- deux records.

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