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Mécanique des milieux continus
Solution des
travaux dirigés

TD1 :
APPROCHE PHENOMENOLOGIQUE
DE LA DEFORMATION DES SOLIDES
HOMOGENES ISOTROPES

I.
II.
III.

BUT DU TRAVAIL DIRIGE
RAPPELS
EXERCICES

III.1. Ecriture des conditions aux limites
en contraintes et déformation
III.2. Etude d'une barre composite élastique

I.
I.1.

I.2.

I.3.

I.4.

But du travail dirigé 1
Apprendre à écrire les conditions aux limites
sur le vecteur contrainte
sur le vecteur déplacement
sur le tenseur contrainte
Appliquer les notions de
contrainte
déformation
déplacement
Réfléchir sur l'ordre de grandeur
du module de Young
des contraintes
des déformations
Réfléchir sur les approximations nécessaires pour résoudre
un problème réel
concernant les conditions aux limites
concernant les contraintes importantes et les contraintes
négligeables


F  
=f  x 
S


t=0
Partie de la surface à vecteur
contrainte imposé S 

 
t=f

Volume d'étude Ω
Partie de la surface à
déplacements imposés S u

Fondation

  imposé
u =u

III.

EXERCICES

III.1.

Ecriture des conditions aux limites en contraintes
et déformation

L'analyse mécanique des structures comporte plusieurs étapes :
1)
Définition du chargement appliquée
2)
Choix du matériau et détermination des contraintes
et déformations
a)
Choix du matériau adéquat
b)
Détermination des contraintes et déformations
c)
Retour en a) si les contraintes ou déformations
sont trop élevées
3)
Détermination des déplacements

Problème 1 :
Conditions aux limites

p( N / m

z

2)

p( N / m 2 )

z

z
q( N / m 2 )

a

b

c

y

a

b

c

y

b

x

x

x

a

Simplement appuyé

encastrement

encastrement

Question 1
Ecrire les conditions aux limites sur le déplacement
pour les cas de charge a, b et c et les surfaces S1 à S6
concernées.

e x, e y, e z sont les vecteurs unités correspondant à {x,y,z}.
Indication :
Sur certaines surfaces, il n'y a pas de condition
limite en déplacement.

c

y

Question 2
Ecrire les conditions aux limites sur les composantes du vecteur
contrainte pour les cas de charge a, b et c et les surfaces S1 à S6
concernées.
Question 3
Ecrire les conditions aux limites sur les composantes
du tenseur contrainte :
 T
 T
 T  T
   xx e x e T
x   yy e y e y  zz e z e z   xy  e x e y  e y e x 
 T
 T  T
  xz  e x e T
z  e z e x    yz  e z e y  e y e z 

z

z
S 1 :  x  0

c

b

a
x

=
y
:{
S 4 y

y

b}

xx

z

z
S 2 :  x  a

x

x

=
y
:{
S 3

S 5 : z  0

y

y

z
S 6 : z  c

z
0}
y

y
x

x

Cas de charge a
Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6

Pas de condition

Cas de charge b

Pas de condition

Cas de charge c

Pas de condition

Cas de charge a
Surface S1

Cas de charge b

Cas de charge c

Surface S3

Pas de condition
Pas de condition
Pas de condition

Pas de condition
Pas de condition
Pas de condition

Pas de condition
Pas de condition
Pas de condition

Surface S4

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition

Surface S2

Surface S5
Surface S6

Cas de charge a

Cas de charge b

Cas de charge c

Surface S1

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition

Surface S2

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition

Surface S3

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition

Surface S4

Pas de condition

Pas de condition

Surface S5


u0

Pas de condition

Surface S6

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition


u0

Cas de charge a

Cas de charge b

Cas de charge c

Surface S1

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition

Surface S2

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition

Surface S3

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition

Surface S4

Pas de condition

Pas de condition

Surface S5


u0

Pas de condition

Surface S6

Pas de condition

Pas de condition

Pas de condition


u0

uz  0

p( N / m

z

2)

p( N / m 2 )

z

z
q( N / m 2 )

a

b

c

y

a

b

a

b

c

x

x

x

c

y

Simplement appuyé

encastrement

encastrement

Question 2
Ecrire les conditions aux limites sur les composantes du vecteur
contrainte pour les cas de charge a, b et c et les surfaces S1 à S6
concernées.

y

Cas de charge a
Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6


t 0

Cas de charge b


t 0

Cas de charge c


t 0

Cas de charge a
Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6


t 0

t 0

t 0

t 0

Cas de charge b


t 0

t 0

t 0

t 0

Cas de charge c


t 0

t 0

t 0

t 0

Cas de charge a
Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6


t 0

t 0

t 0

t 0
Pas de condition

Cas de charge b


t 0

t 0

t 0

t 0
Pas de condition

Cas de charge c


t 0

t 0

t 0

t 0

Cas de charge a
Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6


t 0

t 0

t 0

t 0
Pas de condition

Cas de charge b


t 0

t 0

t 0

t 0
Pas de condition

Cas de charge c


t 0

t 0

t 0

t 0
sans frottem.
tx  ty  0

Cas de charge a
Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6


t 0

t 0

t 0

t 0
Pas de condition



t   pe z

Cas de charge b


t 0

t 0

t 0

t 0
Pas de condition



t  qe y

Cas de charge c


t 0

t 0

t 0

t 0
sans frottem.
tx  ty  0


t  pe z

p( N / m

z

2)

p( N / m 2 )

z

z
q( N / m 2 )

a

b

c

y

a

b

c

y

b

x

x

x

a

Simplement appuyé

encastrement

encastrement

Question 3
Ecrire les conditions aux limites sur les composantes
du tenseur contrainte :
 T
 T
  T   T

   xx e x e T


x  yy e y e y  zz e z e z  xy  e x e y  e y e x 
  T
  T   T

  xz  e x e T


z e z e x   yz  e z e y  e y e z 

c

y





z

z
S 1 :  x  0

c

b

a
x

=
y
:{
S 4 y

y

b}

xx

z

z
S 2 :  x  a

x

x

=
y
:{
S 3

S 5 : z  0

y

y

z
S 6 : z  c

z
0}
y

y
x

x

Cas de
charge a

Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6

Cas de
charge b

Cas de charge c



t  e x  0  xx  xy  xz  0

Cas de
charge a

Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6

Cas de
charge b

Cas de charge c


t  e x  0  xx  xy  xz  0

t  e x  0  xx  xy  xz  0

Cas de
charge a

Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5
Surface S6

Cas de
charge b

Cas de charge c


t  e x  0  xx  xy  xz  0

t  e x  0  xx  xy  xz  0

t  e y  0  xy   yy   yz  0

t  e y  0  xy   yy   yz  0

p( N / m 2 )

z

z
q( N / m 2 )

a

y

c

b

a

x

b

x
encastrement

a

encastrement

p( N / m 2 )

z

b

x
Simplement appuyé

c

y

c

y

sur S6 (surface supérieure)
 xz 

 



n=e z  t  e z    yz 
 
 zz 
cas a cas b cas c
 imposé  0 
 
t

 0
 
 0   q 
 p   0 
   

 xz 
 0 

     yz 
 0   
 p   zz 
 

Cas de
charge a

Cas de charge Cas de charge c
b

Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4
Surface S5

Surface S6

 xz0 


  yz0 
  zzp 



 xz  0 


  yzq 
 

 zz0 

 xz0 


  yz0 
  zzp 



Cas de charge
a

Cas de
charge b

Cas de charge c

?

?

?

Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4

Surface
S5
Surface S6

Cas de charge Cas de charge
a
b
Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4

Surface S5

Surface S6



u  imposé u  imposé

Cas de charge c

Cas de charge
a

Cas de
charge b

Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4

Surface S5

Surface S6

pas de
pas de
condition
condition


sur t ou  sur t ou 

Cas de charge c

Cas de charge
a

Cas de
charge b

Cas de charge c

Surface S1
Surface S2
Surface S3
Surface S4

Surface S5

Surface S6

pas de
condition

sur t ou 

sans frottement

pas de
condition
 xz0 


sur t ou   
yz0


 pas de cond. 



TD1. :
Problème II

II.

Problème

II.1. Enoncé
Un pylône est soumis à une force F et à son propre poids.
Déterminer l’équation de la section permettant d’obtenir une
contrainte constante. (Figure 1).

F
x
h

S(x)

I. BUT DU PROBLÈME II
I.1.




I.2.




I.3.




I.4.



Apprendre
à écrire la loi de Hooke
la notion d’équilibre local
le rôle de l’inertie en mécanique du solide
déformable

Appliquer les notions de CHAMP de
contrainte
déformation
déplacement

Réfléchir sur l’ordre de grandeur
du module de Young
des contraintes
des déformations

Réfléchir sur
le choix du matériau adéquat
la caractéristique du matériau à prendre en
compte pour le problème considéré

II.

Problème

II.1. Enoncé
Un pylône est soumis à une force F et à son propre poids.
Déterminer l’équation de la section permettant d’obtenir une
contrainte constante. (Figure 1).

F
x
h

S(x)

II.2.

Solution

effort total appliqué au pylône
N = - ( F + ρgV )
contrainte admissible en compression
σ limit =

( F + ρgV )
S
S(x)=?

(σ limit  0)

effort total appliqué au pylône
N = - ( F + ρgV )
contrainte admissible en compression
( F + ρgV )
σ limit =
S
σ limit S(x) =  F + ρgV(x )

effort total appliqué au pylône
N = - ( F + ρgV )
contrainte admissible en compression
( F + ρgV )
σ limit =
S
σ limit S(x) =  F + ρgV(x )
on prend la dérivée
dS(x)
dV(x)
=ρg
σ limit
dx
dx

dV(x) = S(x) dx
σ limit dS(x)=ρgSdx
dS(x)
=ρgdx
σ limit
S
l'intégration donne
 S(x)  ρgx
ln
=
 S0  σ limit
 ρgx 
S(x) =S0 exp 

 σ limit 

II.3.

Interprétation
Quelle contrainte choisir pour limit ?

σ
essai de compression

σu
σy

essai de traction
E

σy
1

E 500

r  f
= 0.2 à 0.3

 σy
?
σ limit  σ u

<σ u



TD2. :
MATERIAUX ELASTIQUES

I. BUT DU TRAVAIL DIRIGE
II. RAPPELS
III.EXERCICE
III.1.
III.2.
III.3.

Solution pour toutes les épaisseurs
SOLUTION APPROCHÉE POUR DES
ÉPAISSEURS FINES
ANALYSE DES RÉSULTATS

I. BUT DU TRAVAIL DIRIGÉ 2
I.1.



Apprendre

à structurer un problème en étapes
à traduire l’énoncé d’un problème en conditions
limites type MMC

la signification des contraintes en coordonnées
curvilignes
I.2. Appliquer les notions

d’équilibre local : démontrer les équations
d’équilibre

de déformation : chercher l’expression des
déformations en fonction des déplacements
I.3. Réfléchir sur

l’ordre de grandeur des contraintes,
déformations et déplacement

le rôle des solutions exactes et des solutions
approchées

des déformations
I.4. Réfléchir sur

le choix du matériau adéquat

la caractéristique du matériau à prendre en
compte pour le problème considéré

II. Problème
II.1. Enoncé

Un tube en acier est soumis à une pression
interne de 20 MPa. Le tube est considéré de
longueur infinie et on ne considérera que les
contraintes dans un plan perpendiculaire à
l'axe du tube. Le module de Young vaut E =
210 GPa, le coefficient de Poisson vaut ν =
0,3 et la limite d'élasticité Re de l'acier utilisé
vaut 450 M Pa.
1) Ecrire l'équation de Navier en coordonnées
cylindriques. On suppose que le champ de
déplacement est purement radial

p

2) Calculer les déformations εrr et εθθ à partir de la connaissance





du champ u  ur er
3) Calculer les contraintes σrr et σθθ à partir de la loi de Hooke
4) Déterminer les constantes d'intégration A et C par les conditions
aux limites sur σrr
5)Comparer l'expression de la contrainte σθθ à son expression
obtenue à partir de l'approximation des tubes minces (e<<<R1)

II.2.

Solution pour toutes les épaisseurs

1) équation de Navier en coordonnées
cylindriques pour un champ purement
radial


 1 
f 
Δu+
grad div  u  + =0
1-2ν
G 


f=0

 1 

Δu+
grad div  u   0
1-2ν


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