Table des matières
1 Les opérateurs linéaires bornés

2

1.1 Opérateur linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

2

Image et noyau d’un opérateur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Opérateur borné et continu : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Opérateur borné : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Opérateur continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.3

relation entre la continuité et la bornitude . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 L’espace des opérateurs linéaires bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1

Somme et produit des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Norme dans L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4 Opérateur inverse, inversibilité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Théorie spectrale

11

2.1 Spectre d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Rayon spectral : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3 Opérateurs m-dissipatifs
3.1

16

Dé…nitions et notions préliminaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.2 Opérateurs m-dissipatifs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.3 Opérateurs m-dissipatifs dans un espace de Hilbert : . . . . . . . . . . . .

23

1

Chapitre 1
Les opérateurs linéaires bornés
1.1

Opérateur linéaire :

Dé…nition 1.1 Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur le meme corps |
(R ou C) :Un opérateur A est une application dé…nie par
A: E
x

! F
7!

A (x)

(1)
(1.1)

Dé…nition 1.2 On appelle domaine de dé…nition de l’opérateur A le sous espace D (A)
de E telle que :
8x 2 D (A)

9 y 2 F : A (x) = y

(1.1)

Dé…nition 1.3 Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur le meme corps |
(R ou C) ; A : E ! F de domaine D (A) est appelé lineaire si:
1: D (A) est une variété linéaire
2

2:8x1 ; x2 2 D (A) ,8 ;

1.1.1

2 |:

A ( x1 + x2 ) = A (x1 ) + A (x2 )

Image et noyau d’un opérateur :

Dé…nition 1.4 L’image de l’opérateur A est un sous espace de F dé…nie par :
Im (A) = fy 2 F; 9 x 2 E; A (x) = yg
Dé…nition 1.5 Le noyau d’opérateur A est un sous espace de E dé…nie par :
ker (A) = fx 2 E; Ax = 0F g
Remarque 1.1 ker (A) est toujours un sous espace fermé ,mais Im (A) n’est pas forcément fermé dans F

1.2
1.2.1

Opérateur borné et continu :
Opérateur borné :

Dé…nition 1.6 Soient E et F deux espaces de Banach et A un opérateur linéaire telle
que A : E ! F; on dit que A est borné s’il transforme tout borné de E a un borné de
F
Proposition 1.1 Soit A un opérateur linéaire. il y équivalence entre :
1: A est un opérateur borné.
2: 9 R > 0 telque A (B (0; 1))

B (0; R)

3: 9 c > 0 telque 8x 2 D (A) : kAxk

1.2.2

c kxk.

Opérateur continu

Dé…nition 1.7 Soient E et F deux espaces normés et A un opérateur linéaire A : E !
F ,dé…nie par tout dans E (i.e : D (A) = E) : on dit que l’opérateur A est continu au
3

point x0 2 E si
Ax 7! Ax0 quand x ! x0
Théorème 1.1 Soient (E; k:kE ) et (F; k:kF ) deux | espace normés ,ouk:kE ,k:kF soient
les normes associées aux E et F réspectivement et A un opérateur linéaire de E dans
F les sept propriétés suivantes sont équivalentes :
1: A est continue sur E.
2: A est continu en un point au moins .
3: A est continue au point 0:
4: Il existe un réel C

0 tel que kA (x)kF

C kxkE , pour tout x 2 E:

5: A est bornée sur la boule unitée fermée B 0 (0; 1) :
6: A est bornée sur la sphére unité S (0; 1) :
7: A uniformement continue.
Remarque 1.2 On peut dire àpriori si l’opérateur linéaire est continue ou non en un
point quelconque x0 2 E il su¢ t de voir s’il est continue ou non au point nule de
l’espace E

1.2.3

relation entre la continuité et la bornitude

Proposition 1.2 Tout opérateur linéaire borné est continu .sur tout boule B 0 (x0 ; R)
pour tout x0 2 E et tout R > 0

1.3

L’espace des opérateurs linéaires bornés

Soient E et F deux espaces vectoriels normés.
L(E; F ) est l’ensemble des opérateurs linéaires bornés dé…ni de E dans F :

4

1.3.1

Somme et produit des opérateurs

Dé…nition 1.8 Soient A et B deux opérateurs de l’espace véctoriel E dans F ,on appele
somme A + B de ces opérateurs , l0 opérateur C qui à un élément x 2 E fait corréspondre
l’élément
y = Ax + Bx 2 F
Il est dé…ni pour tout les éléments s’appartenant à l’intersection D (A) \ D (B) des
domaines de dé…nition des opérateurs A et B:
Proposition 1.3 Si E et F sont des espaces normés et les opérateurs A et B sont
linéaires continus alors , C = A + B est aussi linéaire continu et
kA + Bk

kAk + kBk

Dé…nition 1.9 Soient A et B deux opérateurs tel que A dé…ni de E dans F et B de F
dans E1 :on appelle produit BA de ces opérateurs l0 opérateur C qui à un élément x 2 E
fait corréspondre l’élément :
z = B(Ax) 2 E1
Proposition 1.4 Si A et B sont deux opérateurs linéaires bornés alors ,l’opérateur BA
est aussi linéaire borné et on a
kBAk

kBk kAk

Remarque 1.3 La somme et le produit de trois et d’un nombre plus grand d’opérateurs
peuvent ètre dé…nis successivement. Ces opérateurs sont associatives
Dé…nition 1.10 On appelle produit KA d’un opérateur A par un nombre K l0 opérateur
qui à un élément x fait corréspondre l’élément KAx .
Proposition 1.5 L’ensemble L(E; F ) de tout les opérateurs linéaires continues ,dé…nies
sur l’éspace E tout entier qui appliquent E dans F
5

(ou E et F sont deux espaces

véctoriels topologiques donnés). constitue un espace vectoriel par rapport au opération
d’addition et de multiplication par un nombre.

1.3.2

Norme dans L(E,F)

Proposition 1.6 Soient (E; k:kE ) et (F; k:kF ) deux espaces vectoriél normés et A 2
L(E; F ) ,les quatre nombres suivants sont égaux :
kAxkF
a) sup
:
x6=0 kxkE
b) sup kAxkF .
kxk=1

c) sup kAxkF .
kxk 1

d) inf fK > 0; 8x 2 E : kAxkF

K kxkE g

Théorème 1.2 Soient (E; k:kE ) et (F; k:kF ) deux espaces vectoriél normés . l’application
k:kL(E;F )
A

:
7!

L(E; F ) ! R+
kAkL(E;F ) = sup
x6=0

kAxkF
kxkE

est une norme sur L(E; F )
Remarque 1.4 Soit A 2 L(E; F ) s’il existe C > 0 tel que :
8x 2 E : kAxkF

C kxkE

alors
kAkL(E;F )
par conséquent si A 2 L(E; F ) on a :kAxk

C

kAkL(E;F ) kxk

Proposition 1.7 Soient E et F deux espaces vectoriél normés et ; L(E; F ) est un espace
normé .de plus , si F est complet alors L(E; F )est complet.
6

Exemple 1.1 Soit E := C([0; 1]),alors peut dé…nir un opérateur A sur E en posant
8f 2 E; 8x 2 [0; 1] ;

Af (x) :=

Z

x

f (t)dt

0

De plus ,A véri…e pour tout f 2 E
kAf k1 = sup jAf (x)j
x2[0;1]

donc A 2 L(E) et kAk

sup
x2[0;1]

Z

0

x

jf (t)j dt

kf k1

1 .De plus ,on a meme kAk = 1 puisque ,en prenant f := 1;on

obtient kf k1 = 1 et kAf k1 = 1:

1.4

Opérateur inverse, inversibilité :

Soient E et F deux espaces vectoriél normés.
Soit A un opérateur de E dans F , D (A) son domaine de dé…nition et R (A) le domaine
de ses valeurs c’est a dire R (A) = Im A.
Dé…nition 1.11 L’opérateur A est dit inversible , si pour tout y 2 R (A) l’équation
Ax = y
a une solution et une seule.
Dé…nition 1.12 Si A est inversible, à chaque y 2 R (A) on peut faire correspondre un
élément et un seul x 2 D (A) à savoir la solution de l’équation Ax = y:L’opérateur qui
réalise cette correspondance s’appelle inverse de A et se note A 1 :

7

Proposition 1.8 L’opérateur A est inversible s’il existe un opérateur noté A

1

dé…nie

de F dans E tel que
A:A 1 y = y ,8y 2 F et A:A 1 x = x ,8x 2 E .

Proposition 1.9 Soient (F; k:kF ) un espace vectoriel normé sur | et T 2 L(E; F ) bijectif . Alors ,les propriétés suivantes sont équivalentes

1: T

1

2 L(F; E):

2: Il existe C > 0 telle que ,pour tout x 2 E kT xkF

C kxkE .

3: (F; k:kF ) est un espace de Banach sur |:
Corollaire 1.1 Soient (F; k:kF ) un espace de Banach sur | et T 2 L(E; F ) . Alors es
propriétés suivantes sont équivalentes :

1: Il existe C > 0 telle que ,pour tout x 2 E kT xkF

C kxkE .

2: T est injectif et Im(T ) est fermé dans F :
Corollaire 1.2 Soient (Y; k:kY ) un espace de Banach sur | et T 2 L(E; Y ) .Alors es
propriétés suivantes sont équivalentes :

1: Im(T ) = Y et Il existe C > 0 telle que ,pour tout x 2 E

on a kT xkF

2: T est inversible.
L’opérateur A

1

,inverse d’un opérateur linéaire A ,est aussi linéaire.

Soit A un opérateur de E dans F , R (A) le domaine des valeures.
8

C kxkE .

Isom(E; F ) est l’ensemble des opérateurs dans un espace de Banach qui appliquent E
sur F tout entier et dont chacun admet un inverse borné.
Théorème 1.3 Soient E un espace de Banach , I l’opérateur identique dans E et A
un opérateur linéaire borné ,appliquant E dans lui -même et tel que kAk < 1 ,Alors ,
l’opérateur I

A) 1 borné qui peut ètre représenté sous la forme

A admet un inverse (I

(I

1

A)

=

1
X

Ak

K=0

et on a de plus l’estimation
(I

1
1 kAk

1

A)

Proposition 1.10 Soit E un espace de Banach ,et A un opérateur linéaire borné, appliquant E dans lui -même et tel que kAk < 1 , Alors , l’opérateur I + A admet un inverse
(I + A) 1 borné qui peut ètre représenté sous la forme

(I + A)

1

=

1
X

( 1)k Ak

K=0

Proposition 1.11 Soit A un opérateur linéaire borné ,qui applique un espace de Banach
E dans lui -même si A est inversible alors ; A + B est inversible pour tout B tel que
kBk < kA 1 k

1

et on a
(A + B)

1

=

1
X

A 1B

k

A

1

k=0

Lemme 1.1 Soit E un espace de Banach la boule ouverte de centre I et de rayon 1 dans
L(E) ne contient que des éléments inversible.
Proposition 1.12 L’ensemble Isom (E)

L(E) des opérateurs linéaires continus in-

versibles est ouvert dans L’espace L(E);l’application
' : L(E) ! L(E)
9

est continue et di¤érentiable de Isom (E) dans L(E) ,sa di¤érentille en A 2 Isom (E)
est (d')T : B 7!

A 1 BA 1 :

10

Chapitre 2
Théorie spectrale
Dans ce chapitre ,on dé…nit les notions de spectre et des valeurs propres d’applications
linéaire sur des espaces vectoriels et on en donne les propriétés élémentaire .le cadre est
celui des espaces de Bannach (bien que certains des résultas restent vrai sans supposer
l’espace complet ).
Ainsi,dans tout les chapitres , on désigne par (E; k:k)un espace de Banach sur | = R ou
C .Deplus , on note L(E) l’espace de Banach sur | des applications linéaires de E dans
E et L(E) l’espace de Banach sur | des applications linéaires continues de E dans E:
On rappelle qu’une application linéaire A dé…nie d’un sous espace D(A) E dans E:est
appelée opérateur (sous-entendu lorsque E est de dimension in…nie).De plus ,on dit que
A est un opérateur borné lorsque A est continu ,i.e A 2 L(E):

2.1

Spectre d’un opérateur

Dé…nition 2.1 Soit A 2 L(E):
1:On appelle ensemble résolvante de A l’ensemble
(A) = f 2 |

I
11

A est inversibleg :

Un élément de (A) est appelé valeur résolvant de A:

2:Si

2 (A) , on dé…nit la résolvante R (A) de A au point
R (T ) := ( I

A)

par

1

La résolvante R (A) est simplement notée R s’il n’y pas d’ambiguité sur A
3:Le spectre

(A) de A est l’ensemble
(A) := |n (A):

Un élément de
4:On dit que

(A) est une valeur spectrale de A
2 | est une valeur propre de A si

I

A n’est pas injectif .Autrement

dit ,l’ensemble des valeurs propres Vp (A) de A est donné par
Vp (A) := f 2 | n ker( I

A ) 6= 0g :

Remarque 2.1 1: Les dé…nitions ci-dessus restent valables meme si E n’est pas un
Banach .

2:On a toujours Vp (A)

(A) :

3: Si E est de dimension …nie , I A est inversble si et seulement si ker( I A ) = f0g:
En particulier , on en déduit Vp (A) =

(A) .La solution est plus délicate en dimen-

sion in…nie comme le montre l’exemple ci-dessous.
Exemple 2.1 Soient E := C ([0; 1]) et A l’opérateur dé…nie dans l’exemple précédent.
Alors ,on a ker(A ) = f0g et Im (A) = fg 2 E n g(0) = 0g: En particulier ,
A est injectif donc 0 2
= Vp (A) mais non, surjectif donc 0 2
12

(A) :

Proposition 2.1 Soit A 2 L(E):
1: Si j j

kAk alors

2 (A):En particulier , on a

(A)

D (0; kAk):

2: (A) est un ouvert non vide de |:
3:

(A) est un compact de |:

4: Vp (A)

(A) :

Théorème 2.1 ( Stone) Si l’espace E est complexe, alors le spectre

(A) n’est jamais

vide.
Proposition 2.2 ( Identité de la résolvante ) Soit A 2 L(E):Si ;
R
De plus ,l’application

R =(

)R R = (

2 (A) alors on a

)R R

7! R est dérivable sur (A) et sa dérivée est donnée par
dR
=
d

R2 :

Proposition 2.3 Soit A 2 L(E):l’application

7! R := R (A) est analytique sur

(A):
Plus précisément si
pourtout

2V

0

2 (A) ;en posant V

0

R =

X

0

= D( 0 ; jR 0 j 1 ); ona V

(
( 1)n Rn+1
0

n 0

13

n
0)

0

(A) et

2.2

Rayon spectral :

Dé…nition 2.2 Soit A 2 L(E):on dé…nit le Rayon spectral r(A) de A par
r(T ) := sup fj j ;

Si

2

(A)g :

(A) = ;;par convention ,on pose r(A) := 0

Remarque 2.2 Soit A 2 L(E):
1:On a r(A) 2 [0; kAk] car

(A)

D(0; kAk) La dé…nition est plus précise :D(0; r(A))

est le plus petit fermé ,centre en 0 ,contenant

(A) :

2: En particulier , (A) contient la couronne ouverte |nD(0; r(A)) et l’application

7!

R = R (A) est dé…nie et dérivable sur cette couronne .

1

Proposition 2.4 Soit A 2 L(E):;la suite (kAn k n )n2N converge dans R+ et on a
1

1

lim kAn k n = inf kAn k n

n!1

kAk

n 1

Onpose
1

r~(A) := lim kAn k n :
n!1

Remarque 2.3 D’aprés le critère de Cauchy ,le rayon de convergence de série entière
X
1
An z n est
r~(A)
n 0
14

Proposition 2.5 Soient A 2 L(E) et

2 | .Si j j > r~(A):,alors

R (A) =

X

An

1

2 (A) et on a

n

n 1

De plus ,la série converge absolument .
Corollaire 2.1 Soit T 2 L(E);alors on a r(T )

r~(T ):

Rappels considérons la couronne
C := C( 0 ; r; R) = f 2 C : r < j

ou

0

2 C et 0

r < R

0j

< Rg

1: soient X un espace de Bannach sur C et f une

fonction de C dans X ,holomorphe sur C: alors ,il existe une et une seule famille (an )n2Z
d’éléments de X tq :
8 2 C;

f( ) =

1
X

an (

n
0)

(1.3.2)

n= 1

La formule (1.3.2) est appellée le développement en série de Laurant de la fonction
f dans la couronne C:
Corollaire 2.2 si | = C ,pour tout A 2 L(E); on a r(A) = r~(A):

15

Chapitre 3
Opérateurs m-dissipatifs
3.1

Dé…nitions et notions préliminaires :

Dé…nition 3.1 Un opérateur linéaire non borné dans X est un couple (A; D(A)) ou
D(A) un sous-espace vectoriel de X et A est une application linéaire de D(A) dans X.
Le sous-espace D(A) est le domaine de A.
De maniére analogue, un opérateur linéaire non borné de X dans Y est un couple
(A; D(A)) ou D(A) un sous-espace vectoriel de X et A est une application linéaire de
D(A) de X dans Y .
Dé…nition 3.2 Un opérateur (A; D(A)), linéaire non borné dans X, est fermé si son
graphe G(A) = f(x; Ax)jx 2 D(A)g est fermé dans X

X.

Dé…nition 3.3 Soit (A; D(A)) un opérateur linéaire non borné dans X. Lorsque D(A)
est dense dans X, on dit que (A; D(A)) est de domaine dense dans X.
Dé…nition 3.4 Soit (A; D(A)) un opérateur linéaire non borné dans X, de domaine
dense dans X. On appelle adjoint de A l’opérateur (A ; D(A )) dé…ni par
D(A) = fy 2 X 0 j9c

0 telque hAx; yiX;X 0
16

c kxk pour tout x 2 D(A)g;

et
hx; A yiX;X 0 = hAx; yiX;X 0 pour tout x 2 D(A) et pour tout y 2 D(A )g;
Théorème 3.1 Soit (A; D(A))un opérateur linéaire non borné de domaine dense dans
X. Si X est un espace ré‡exif et A est fermé alors D(A )est dense dans X 0 :

3.2

Opérateurs m-dissipatifs :

Dé…nition 3.5 Un opérateur (A; D(A)), linéaire non borné dans X, est dissipatif si
8x 2 D(A) ,

k x

>0

Axk

kxk :

(1)

Dé…nition 3.6 Un opérateur (A; D(A)), linéaire non borné dans X, est m-dissipatif si
i) A est dissipatif ,
ii) 8f 2 X ,8

> 0 , 9x 2 D(A) telle que

x

Ax = f .

Théorème 3.2 Si A est m-dissipatif alors, pour tout
un inverse, ( I

> 0, l’opérateur ( I

A) 1 f appartient à D(A) pour tout f 2 X, et ( I

A)

A) admet
1

est un

opérateur linéaire borné sur X véri…ant
( I

A)

1

1

:

Preuve. supposons A est m-dissipatif alors
1:8x 2 D(A) ,
2:8f 2 X ,8
Soit

k x

>0

Axk

> 0 , 9x 2 D(A) telle que

kxk :
x

Ax = f .

>0

Montrons que ( I

A)

On va montre que ( I
1) Montrons que ( I

1

existe :
A) est bijectif .

A) est injectif , comme A est linéaire alors ( I
17

A) est linéaire

,pour cela on va montrer que ker( I

A) = f0g

On a : ( I

A)(0) = 0 donc 0 2 ker( I

donc k( I

A)xk = 0 mais x 2 D(A) et d’aprés (1) on a :
k x

mais

> 0 alors kxk

0 2 ker( I

Axk = k( I

A)(x) = 0

kxk

A)xk = 0

0 donc kxk = 0 donc x = 0 . c-à-d ker( I

A) = f0g . donc ( I

2)Montrons que ( I

A)

f0g et comme

x

A) est injectif .

A) est surjectif , c-à-d on va montrer 8y 2 X , 9x 2 D(A)

Ax = y . Soit y 2 X alors il existe un x 2 D(A) tq :
Ax = y donc ( I

x

donc ( I

k x

A) : donc ( I

A)

d’ou ker( I

telle que

kxk et

Axk

A) , soit x 2 ker( I

A) est surjectif . alors l’opérateur ( I

A)x = y

A) est bijectif , donc ( I

.
Montrons que 8f 2 X ( I

A)
I

( I

1

2 D(A) :et on a :

A :
A)

1

D(A) ! X donc
: X ! D(A)

alors
8f 2 X( I
Montrons que ( I

A)

1

A) 1 f 2 D(A):

est liéaire borné véri…ant :
( I

A)

18

1

1

:

A)

1

existe

comme I

A est linéaire et bijectif alors ( I

1

A)

existe et linéaire

Soit f 2 X alors 9x 2 D(A) tq :
A) 1 f = x

( I
et

f =( I

A)x

on a
( I

A) 1 f = kxk

k x

Axk

et on a
kxk

donc
1

kxk

k( I

A)xk

donc
1

A) 1 f

( I

kf k

donc
( I

alors ( I

A)

1

est borné et k( I

A)

A) 1 k

1

1

1

.........................CQFD

Théorème 3.3 Soit (A; D(A)) un opérateur linéaire non borné dissipatif dans X. L’opé-

19

rateur A est m-dissipatif si et seulement si
9

0

> 0 tq 8f 2 X , 9x 2 D(A) véri…ant

0x

Ax = f:

(1.2)

Preuve. Il est évident que si l’opérateur A est m-dissipatif alors (1:2) est satisfaite .
Montrons la réciproque :
supposons que que (1:2) est satisfaite et montrons que A est m-dissipatif :
on a : A est dissipatif ,alors il su¢ t de montrer que
8f 2 X; 8 > 0; 9x 2 D(A) telleque x

soit f 2 X et soit

> 0 , on va chercher un x 2 D(A) tq :
x

On a

x

Ax = f .

Ax = f

Ax = f alors
x

0x

+

0x

Ax = f

donc
0x

Ax = f + (

)x

0

c-à-d on va chercher un x 2 D(A) tq :
x = ( 0I

A)

1

[f + (

)x]

0

c-à-d x est un point …xe de la fonction F dé…nit par
t 7! F (t) = ( 0 I

A)

20

1

[f + (

0

)t]

Donc on va utiliser le théorème de point …xe et on va montrer que F est contractante
Soit t1 ; t2 2 D(A) on cherche 0 < k < 1 tq :
kF (t1 )

c kt1

F (t2 )k

t2 k

On :
kF (t1 )

1

F (t2 )k =

( 0I

A)

=

( 0I

A) 1 (

( 0I

A)

1

[f + (

)(t1

0

j

A)

1

j

0

A)

1

[f + (

)t2 ]

0

t2 k

A)

j kt1

( 0I

t2 )

j kt1

0

mais A est dissipatif alors on trouve que ( 0 I
( 0I

)t1 ]

0

1

j

t2 k

j

0
0

kt1

1

A) 1 k

existe et k( 0 I

0

: donc

t2 k

alors
kF (t1 )

F (t2 )k

j

<

0

donc :pour

<

0

donc

2

0

<

kt1

0

pour que F soit contractante il su¢ t que 0 <
0

j

0

j

0

< 0 donc 0 <

0

j

t2 k
< 1 c-à-d j

<2

0

donc

0

j <

0

alors

2 ]0; 2 0 [

2 ]0; 2 0 [ on a F est contractante et donc x existe.

Théorème 3.4 Soit (A; D(A)) un opérateur non borné dans X. S’il existe
lequel l’opérateur

0I

A est une bijection de D(A) sur X, et si ( 0 I

0

A)

> 0 pour
1

est un

opérateur borné sur X, alors Aest fermé
En particulier, si A est m-dissipatif alors A est fermé.
Remarque 3.1 On remarque que si (A; D(A)) un opérateur non borné dans X ; l’application
x 7! kxk + kAxk
21

est une norme sur D(A): On la notera k:kD(A) :
Corollaire 3.1 Soit A un opérateur m-dissipatif. L’espace (D(A); k:kD(A) ) est un espace
de Banach et AjD(A) 2 L(D(A); X):
Dé…nition 3.7 Soit A un opérateur m-dissipatif dans X. La famille d’opérateurs R( ; A),
> 0, dé…nie par R( ; A) = (I

A)

1

est appelée résolvante de A. L’opérateur A =

AR( ; A) est appelé ’”approximation de Yosida”de A.
Remarque 3.2 Nous avons
A = AR( ; A) = (A

I)R( ; A) +

2

R( ; A) =

2

R( ; A)

I

L’opérateur A est donc un opérateur borné dans X. De plus nous avons
8x 2 D(A)

A x = R( ; A)Ax

(1.3)

En e¤et, pour tout x 2 D(A), nous avons
R( ; A)Ax = R( ; A)(A

I)x +

2

R( ; A) =

x+

2

R( ; A)x = A x

d’aprés l’identité ci-dessus
Théorème 3.5 Soit A un opérateur m-dissipatif de domaine dense dans X. Alors
lim k R( ; A)x
!1

xk = 0

8x 2 X

De plus
lim kA x
!1

Axk = 0
22

8x 2 D(A):

Remarque 3.3 Remarquons que le premier résultat du théorème signi…e que R( ; A)
est une approximation de l’identité. Le second signi…e que (A )

0

est une suite d’opéra-

teurs bornés approchant A.
Théorème 3.6 Soit (A; D(A)) un opérateur dissipatif et de domaine dense dans X. Si
A est fermé et A est dissipatif alors A est m-dissipatif.

3.3

Opérateurs m-dissipatifs dans un espace de Hilbert :

Dans cette section nous supposons que X est un espace de Hilbert.
Théorème 3.7 Un opérateur (A; D(A)), linéaire non borné dans X, est dissipatif si et
seulement si
8x 2 D(A)

hAx; xi

0

Dans le cas d’un espace de Hilbert complexe, la condition précédente est remplacée par
8x 2 D(A)

Re hAx; xi

0

Théorème 3.8 Si A est m-dissipatif alors D(A) est dense dans X:
Théorème 3.9 Soit A un opérateur dissipatif et de domaine dense dans X. Alors Aest
m-dissipatif si et seulement si A est fermé et A est dissipatif.
Dé…nition 3.8 Un opérateur linéaire non borné (A; D(A)), de domaine dense dans X
est dit auto-adjoint si A = A . Il est dit anti-adjoint si A =

23

A .