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A l’attention de Zorro le manieur
Un exercice classique sur les sommes doubles

Eventuellement(1)

(1)

Membre de Ffr

Version du 31 d´ecembre 2015

2

Table des mati`
eres
0.1

Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.2

Salut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3

`
TABLE DES MATIERES

4

0.1

Calcul

Ton calcul ne n´ecessite pas de d´eveloppement particulier, donc j’irai droit
au but puisqu’il s’agit seulement de formaliser le calcul.
On souhaite calculer :
X

min(i, j) =

i,j

XX

min(i, j)

(1)

i≤n j≤n

Remarquons tout d’abord que la matrice (min(i, j))(i,j)∈[[1,n]]2 est sym´etrique,
et que ses termes diagonaux sont ´egaux `a mini=j (i, j) = i = j. La somme de
tous les termes extra diagonaux est donc ´egale au double de la somme des
termes au-dessus de la diagonale ou en-dessous.
De ce fait,
X

min(i, j) =

i,j

X

min(i, j) + 2

i=j

X

min(i, j)

(2)

i<j

Le premier terme est trivialement ´egal `a la somme arithm´etique des i, pour
i d´ecrivant l’intervalle [[1, n]]. Donc :
X

min(i, j) =

X
n(n + 1)
+2
min(i, j)
2

(3)

i<j

i,j

P
Maintenant, nous constatons que i<j min(i, j) se calcule pour i < j, donc
i varie entre 1 et j − 1. Puisque j varie pour autant entre 1 et n, on a :
X

min(i, j) =

i<j

X X

i

(4)

j≤n i≤j−1

1
La premi`ere somme est triviale, et vaut j(j−1)
2 . Le facteur 2 sort de la
somme et viendra simplifier le facteur 2 qui apparaˆıt dans le calcul de la
somme partielle initiale.

Nous avons donc

X
i<j



1 X 2 X
1X 2
min(i, j) =
j −j = 
j −
j
2
2

On a finalement :

j≤n

j≤n

j≤n

(5)

0.1. CALCUL

X
i,j

5



n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)
=
min(i, j) =
+

2
6
2
6
(6)
FIN

`
TABLE DES MATIERES

6

0.2

Salut

Et voil`
a, bon courage pour la suite. Tu es en quel niveau ?


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