EF MATH 1 ST JANVIER 2016 .pdf


Nom original: EF MATH 1 ST JANVIER 2016.pdfTitre: Microsoft Word - ST E JANVIER 2016Auteur: User

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Université de Tlemcen

Faculté des Sciences

Tronc Commun ST

Janvier 2016

Corrigé de l’Épreuve Finale

Math1

L’usage de tout appareil électronique est strictement interdit
Exercice 1: Soit la suite numérique définie sur ℕ par :

n)
ce
ni
v.

Calculer les termes
.
Démontrer que, ∀ ∈ ℕ: 0 < ≤ 1.
Montrer que la suite est monotone, et en déduire qu’elle converge.
Calculer la limite de la suite .
sin 2.
.
.

(U

1.
2.
3.
4.


+ .
4
2

Tl
em

= 1
, =

es

: "#$ %’'((%$)' $# *: ℝ∗ ⟶ ℝ, . ⟼ * . = 1 −

cu
l



de
s

Sc

ie
nc

1. Calculer * 4 et * −4 .
La fonction f est–elle injective ? Justifier.
2. Calculer lim7→ * . .
3. En déduire que la fonction f est prolongeable par continuité en . = 0.
Soit g le prolongement par continuité de f , écrire l’expression de 9 . .
4. Montrer que l’équation : 9 . = 0,
admet au moins une solution réelle dans l’intervalle :0, 4;.
5. Étudier la dérivabilité de g en . = 0.

Fa

Questions de Cours: A. Soient les fonctions réelles * et 9 définies par :

1
1
.
9 . =
. − 2. + 2
− 2. − 3

~

.

1)

* . =

LM
D

ST

(S

1. Déterminer les domaines de définition de * et 9.
2. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle * . .
3. Calculer les intégrales indéfinies suivantes :

'. = * . >. ?. = 9 . >.
7

em


re

B. En utilisant le changement de variable, = tan B C calculer :

Pr

=

Barème:

Exercice 1 : 6 pts

>.
.
sin .

Exercice 2 : 7 pts

Questions de Cours: 7pts

UÉÇ vÉâÜtzx

Université de Tlemcen

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Tronc Commun ST

Janvier 2016

Corrigé de l’Épreuve Finale

Math1

ce
n)

Exercice 1(6 pts): La suite est définie sur ℕ par :

+ .
= 1
,
=
4
2
1.
33
3 9
3
= . G. H IJ ×
+ = +
+ = , =
=
8 64 64
4
2
4
4
2





Fa

cu

lté

de

s

Sc

ie

nc

es

(U
ni
v.

Tl
em

2. Démontrons par récurrence que, ∀ ∈ ℕ: 0 < ≤ 1.
a. On a 0 < ≤ 1 car = 1.
( 0.25 pt)
b. On suppose que, pour l’entier naturel fixé , 0 < ≤ 1,
(0.25 pt)
et on montre que , 0 < ≤ 1.
(0.25 pt)
De 0 < ≤ 1 , on a :
1
1
≤ , G. H IJ ×

0 <
0<
4
4
2
2
par addition on obtient :
3
≤ . G. H IJ
+
0<
4
4
2
Ce qui implique que : 0 < ≤ 1.
( G. H IJ
Conclusion: De a. et b. on conclut que : ∀ ∈ ℕ, 0 < ≤ 1.
3. Montrons que la suite est monotone. Soit ∈ ℕ, On a


− G. H IJ
+ − =
− =
2
4
4
2

B − 1C G. H IJ
− =
2 2

L
L
Comme M > 0
M − 1 ≤ − car 0 < ≤ 1, on en déduit que,


ST

LM

< 1 et la suite est strictement décroissante.

La suite est strictement décroissante et minorée (par 0),

re

-

LMQR

LM
D

D’où,

(S
1)
~

− < 0 G. H IJ . La suite est donc strictement décroissante. G. H IJ
Remarque: La suite est strictement positive, on peut alors comparer ⁄ à 1 :
1 1 1
< + , )'P 0 < ≤ 1.
= +
2 4
2 4




elle est donc convergente.

(0.5 pt )

Pr

em

4. Soit % = limS⟶ T d’où % = limS⟶ T et par suite
% %
% %
% = + ># ) U − 1V = 0, G. H IJ ×
2 2
2 4
ceci donne % = 0 # % = 2 et comme 0 ≤ % ≤ 1 alors % = 0. (G. H IJ

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Corrigé de l’Épreuve Finale

Exercice 2(7 pts): *: ℝ∗ ⟶ ℝ, . ⟼ * . = 1 −

* 4 = 1 −

1.

Janvier 2016

WXS Y
Y

= 1 et * −4 = 1 −

WXS Z Y
ZY

(Remarquer que l’application * est paire.)

Math1

WXS 7
7

.

= 1. G. H IJ ×

car lim
\→

WXS \
\

7→

WXS 7
7

= 1.

= lim 1 − 2
7→

WXS 7
7

= −1 , (1 pt)

Tl
em

lim7→ * . = lim 1 −

2.

ce
n)

L’application * n’est pas injective car: 4 ≠ −4
* 4 = * −4 . (1 pt)

par continuité en ce point.

(U
ni
v.

3. La limite de * . en . = 0 existe et est finie donc, la fonction f est prolongeable
(0.5 pt)

es

Son prolongement 9 est défini par :

nc

9 . = * . ]$ . ≠ 0,
9 0 = −1. G. H IJ

Sc
ie

4. Montrons que l’équation : 9 . = 0, a au moins une solution dans :0, 4;.
La fonction g est continue sur :0, 4;,

G. H IJ

de

s

et, 9 0 . 9 4 = 9 0 . * 4 = −1 < 0. G. H IJ
D’après le théorème des valeurs intermédiaires :

cu

5. Dérivabilité de g en . = 0.

lté

∃) ∈ ;0, 4:; 9 ) = 0. G. H IJ

)~

Fa

sin 2.

2−
2. − sin 2.
9 . − 9 0
.
G. H IJ ×
= lim
= lim
lim
7→
7→
7→
.
.
.−0

(S
1

Le calcul direct mène à la forme indéterminée 0/0,

On peut appliquer la règle de L’Hospital car les fonctions . ⟼ 2. − sin 2.

D

LM

On a :

ST

et . ⟼ . sont dérivables en 0.

7→

2. − sin 2. ′
2 − 2 cos 2.
G. H IJ
= lim

7→
. ′
2.

re

2 − 2 cos 2.
>#

%%
' ]]$ %' *#Pc
$ >é
Pc$ é
0/0.
7→
2.


Pr
em

lim

lim

Réappliquons la règle de L’Hospital :

Ainsi

4 sin 2.
= 0. G. H IJ
7→
2
lim

9 . − 9 0
= 0 G. H IJ
7→
.−0
La fonction g est donc dérivable en 0 et 9f 0 = 0. G. H IJ
lim

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Janvier 2016

Corrigé de l’Épreuve Finale

Math1

ie
nc
es

(U

ni
v.

Tl
em

ce

n)

Questions de Cours (7 pts) : A. Les fonctions * et 9 ]# définies par :
1
1
.
9 . =
* . =
. − 2. + 2
. − 2. − 3
1. Domaines de définition de * et 9.
a. *
] >é*$ $
⟺ . − 2. − 3 ≠ 0 ⇔ . ≠ −1
. ≠ 3 . G. H IJ
ij = ℝ\l −1, 3m. G. H IJ

b. 9
] >é*$ $
⟺ . − 2. + 2 ≠ 0.
Calculons le discriminant : ∆ = −4.
Ainsi,
∀. ∈ ℝ: . − 2. + 2 ≠ 0,
et io = ℝ. G. H IJ ×
2. Décomposition en éléments simples de * . .
On a :
1
1

=
* . =
. − 2. − 3 . + 1 . − 3
?
'
1
G. H IJ
+
=
. + 1 . − 3 . + 1 . − 3
Calcul de a : En multipliant cette égalité par . + 1 et en faisant tendre . vers −1,


Sc

on trouve ' = − p. (0.25 pt)

de
s

Calcul de b : En multipliant cette égalité par . − 3 et en faisant tendre . vers 3,


Fa
cu
lté

on trouve ? = p. (0.25 pt) Ainsi :

∀. ∈ ij : * . =

1
1
1
V

U
.+1
4 .−3

1
1
1
1
V >. = ln|. − 3| − ln|. + 1| + r
. sIJ

=U
4
.+1
.−3
4
1
1
>. G. H IJ
>. = =
?. = 9 . >. = =
. − 1 + 1
. − 2. + 2
En posant = . − 1, alors > = >., G. H IJ et on obtient l’intégrale :
1
> = arctan + r
. G. H IJ
=
+1

ST

(S
1

)~

3. = * . >. =

LM
D

if #ù, = 9 . >. = arctan . − 1 + r
. G. H IJ

re

B. Calculons l’intégrale :
7



Posons = tan B C , d’où :

Pr

em



Et par suite,
=

sin . =

=

>.
.
sin .

2 >
2
G. H IJ ×

>.
=
1 +
1 +

>
1 + 2>
>.
= = = ln| | + r
. G. H IJ
w
= =v


2 1 +
sin .
.
>.
= ln xtan B Cx + r
. G. H IJ
if #ù =
2
sin .


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