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Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
1ière Année Mathématiques et Informatique
Matière : AlgébreI
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Correction du Devoir Maison
Exercice 1 Solution 2
Si a ou b est pair, le produit ab est pair et la
proposition est donc vraie.
Si a et b sont impairs : il existe donc k et l entiers tels que a = 2k + 1 et
b = 2l + 1. Dans ce cas
a2

b2 = (2k + 1)2

(2l + 1)2 = 4(k 2

l2

k

l) = 4(k

l)(k + l + 1):

– Si k et l ont la même parité, k l est multiple de 2 et donc a2
multiple de 8. La proposition est vraie dans ce sous-cas.

b2

– Si k et l ont des parités di¤ érentes, k + l + 1 est donc pair. La
proposition est aussi vraie dans ce sous-cas.
La proposition est donc vraie dans tous les cas.
Exercice 3 Cette formule est vraie. En e¤ et posons x = 0:
Alors
8y 2 R y 4 0:
Et à plus forte raison
8y 2 R x

y 2 ou y 4

x3 :

N on P :
8x 2 R 9y 2 R : x < y 2 et y 4 < x3 :
Exercice 4
La proposition P est fausse. En e¤ et, x = 0 et x 6= 0 est une
contradiction.
Les propositions (9x 2 R x = 0) et (9x 2 R x 6= 0) sont toutes les deux
vraies, donc leur conjonction Q est vraie.
– P est fausse et Q est vraie, donc P et Q ne sont pas équivalentes.
– P implique Q
– Q n’implique pas P:
1

Exercice 5

1. La contraposée de P est

(m n0 est pas divisible par 6 et n n0 est pas divisible par 6) ) mn n0 est pas divisible par 6:
2. (a) La négation de Q s’écrit

9m 2 N; 9n 2 N; mn est divisible par 6 et (m n0 est pas divisible par 6 et n n0 est pas divisible par 6
(b) La proposition Q est fausse.
En e¤ et, prenons m = 2 et n = 3. Alors mn = 6 est divisible par 6
et m n’est pas divisible par 6 et n n’est pas divisible par 6.
On a montré que non Q est vraie.
Exercice 6 Soient E un ensemble, A; B
E deux parties de E. On rappelle
que A B désigne l’ensemble (AnB) [ (BnA). Montrer que A B = A \ B si et
seulement
Si A = ; et B = ;, on a
A B = (AnB) [ (BnA) = (;n;) [ (;n;) = ; [ ; = ;
A \ B = ; \ ; = ;;
donc
A B = A \ B:
Si A B = A \ B; donc
– si x 2 B, on a
x 2 A \ B = A B = (AnB) [ (BnA);
donc
x 2 AnB ou x 2 BnA;
or
x2
= AnB car x 2 B;
et
x2
= BnA car x 2 A;
donc c’est impossible.
– si x 2
= B;alors x 2 AnB donc
x 2 A B = A \ B;
donc x 2 B et ceci est une contradiction; ainsi A = ;:
Si x 2 B; alors

2

– si x 2 A, alors

x 2 A \ B = A B;

donc
x 2 AnB ou x 2 BnA;
ce qui est impossible car x 2 B; et x 2 A;

– si x 2
= A, alors

x2B

A B =A\B

donc x 2 A; ce qui est impossible, donc B = ;:
Conclusion : A = ; et B = ;:
En…n :
A \ B = A B ssi A = ; et B = ;:
Exercice 7
1. L’image directe d’un sous-ensemble A de E est l’ensemble
noté f (A) et dé…ni par
f (A) = ff (x)=x 2 Ag = fy 2 F=9x 2 A; y = f (x)g:
L’image réciproque d’un sous-ensemble B de F est l’ensemble noté f
et dé…ni par
f 1 (B) = fx 2 E=f (x) 2 Bg:
2. Montrer que si f est injective alors 8A
f (A) \ f (B):
3. Soit y 2 f (A \ f

1

E; 8B

(B)).

Alors il existe x 2 A \ f

1

(B) tel que y = f (x).

On a donc

x 2 A et f (x) 2 B
par dé…nition d’une image réciproque.
On en déduit que
y = f (x) 2 f (A) \ B:
On a ainsi montré l’inclusion
f (A \ f

1

(B))

f (A) \ B:

Soit y 2 f (A) \ B.

Alors y 2 f (A) donc il existe x 2 A tel que y = f (x).
1

Comme f (x) 2 B, on a également x 2 f

Donc x 2 A \ f

1

(B).

(B) et on en déduit que
y 2 f (A \ f

3

1

(B)):

E

1

(B)

: f (A \ B) =


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