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22/12/2015__(mise à jour 10/01/2016)
Fichier d’orientation :

Mathématiques
Hier j’ai révisé des petit truc de math sur les développement limité et c’est possible qu’il manque un
thm qui pourrait servir a la résolution des équations algébrique pour des degrés supérieur ou égal a
5.
____________________________________________
l’énoncé du livre :
Une fonction f(x) défini au voisinage de x=x₀ admet un développement limité d’ordre n s’il existe
un polynôme de degrés n tel que f (x )= P( x)n +ϵ .( x−x 0 )n
Les thm a chercher sont du type : Pour tout polynôme
n

P( x)n =f ( x)−ϵ .( x−x 0 )

P( x)n il existe une fonction f(x) tel que

ensuite il faut chercher comment calculer le 2ieme membre et voir

comment résoudre f (x )=ϵ. (x− x 0 )n .
___________________________________________
Pour quoi faire ? La résolution des équations algébrique sont relier quelques part à la structure
physique de l’espace temp .

Recherche de méthode pour résoudre l' équation différentiel ay ' ' +by ' + cy= f ( x )
a, b et c sont des constantes .
On *sait résoudre cette équation quand f(x) est une combinaison de fonction polynôme ,
exponentiel , sin et cos , mais hier j'ai fait un petit calcul simple et peut être une autre méthode au
bout .
1/ j'intègre l'équation se qui revient a éliminer un ordre de la dérivé

∫ ay ' ' + by ' dx+ ∫ cy dx=ay '+ by+ ∫ cy dx=∫ f ( x)dx

→ ay ' + by=∫ f (x )dx−∫ cy dx qui

fait une équation différentiel du premier ordre qu'on résout en regroupant les expression de façon a
former un systeme de 2 équation après avoir posé y =uv .

(av ' + bv )=0 & u ' =

∫ f (x ) dx−∫ cy dx
av

de la première équation on arrive à v=ke
l’expression de u .

u=∫ [

y=uv=a e

−b
a

∫ ϕdx

qu'on reporte dans la 2ieme équation pour avoir

∫ f (x) dx −c ∫ y dx ] dx= ϕdx

−bx
(
)
ae

sa donne

b
(− x)
a

a

avec l’inconnue

Maintenant si on dérive cette solution on a

∫ y dx

dans la fonction ϕ .

y ' =(uv )' =a (e

−b
( )
a

(

)' ∫ ϕdx+ a e

−b
)
a

ϕ c.a.d

y ' =v ϕ+ v ' ∫ ϕdx , je dérive encore une fois pour avoir y''.
y ' ' =v ϕ'+ v ' ϕ+ v ' ' ∫ ϕdx+ v ' ϕ .

je met remet tout ça dans l'équation a résoudre ay ' '+ by ' + cy= f ( x )
sa donne (a v ' '+ bv '+ cv)∫ ϕdx+ ( 2av ' + bv)ϕ+ av ϕ'= f ( x ) maintenant j’intègre les 2
membres pour éliminer l'intégral dans le premier terme .
(av ' ' + bv ' + cv )ϕ+ (2av '+ bv )ϕ' + av ϕ' '= f ' (x ) .
…......................................................
Pour l'instant on laisse comme ça parce que je vient de voir plus simple .
Je pose y=uv dans l'équation, je développe et je regroupe , sa donne
le système d'équation (1) av ' '+ bv '+ cv=0 , (2) au ' '+ bu ' =0 , (3) 2av ' u '= f ( x ) .
la première équation on résout facilement en posant v=etx → e tx (at 2 + bt+ c)=0 reste a
résoudre l'équation algébrique .
Dans 2ieme équation je vais intégrer les 2 membre pour éliminer un ordre de la dérivé .
Sa donne au ' + bu=k que l’on résout en posant u=αβ → α(β b+aβ ')+a α ' β−k =0
qui mène au système d’équation différentiel facile à résoudre β b+aβ '=0 & a α ' β=k
−ax

(
)
β ' −a
k
β=Ce b & α=∫ [
dx ]
=

β

b
______________________________________
k −bu
=u ' (k ) ou k est une constante arbitraire qu’on peut mettre dans
On continue , on a u ' =
a

la 3ieme équation pour identifié le paramètre k → u ' (k )v ' =

f ( x)
, et on a peut être y=uv si la
2a

logique est bonne .
2ieme façon de faire le même calcul en factorisant f(x) :
av ' '+ bv ' + cv=0
au ' '+ bu ' =0

2av ' u '= f ( x )

v '=

−(cv +av ' ' )
b

u'=

−au' '
b

2a[

(cv +av ' ' ) au ' '
][
]=f ( x )
b
b

1 b 2
u' '(av ' '+cv )= ( ) f ( x)
2 a
1 b 2
Maintenant on peut posé u' '= ( ) et av ' '+cv=f (x )
2 a
On sait calculer u et il reste a résoudre f (x )=av ' ' +cv=2au' v ' → av ' '−2 au' v ' +cv=0
qui est une équation sans second membre qui se résout en posant Cv=e tx (t est solution de
l’équation caractéristique et C une constante d’intégration )

* la méthode habituel de résolution de cette équation c'est d’abord de résoudre l'équation sans
second membre en posons y =e^kx et le problème revient a calculer les 2 racines d'une équation
algébrique du second degrés et en prenons en compte les 3 cas de figure au niveau du discriminant
___ une fois que l'équation sans second membre est résolu on doit rajouter une solution
particulière de l'équation avec second membre donc le problème c'est de savoir calculer au moins
une solution particulière de l'équation complète.
On résout ensuite av ' ' +cv=f ( x ) avec la constante d’intégration C :
C=

f ( x)
f ( x)
b 2 2
v
=
u=1/
4(
) x + p1 x + p2 avec p₁ et p₂

et
on
résout
aussi
u

a
(at 2 +c )
e tx [ at 2 +c ]

des constante d’intégration qui vont s’ajuster sur f(x) ____ d’abort on va résoudre

av ' ' +cv=f ( x ) avec v =

f ( x)
, sa donne :
(at 2 +c )

af ( x )' ' cf ( x)
+ 2 =f ( x) → f (x )' '=(t 2 ) f ( x) se qui veut dire que la méthode fonctionne
2
at +c at +c
seulement pour les second membre f(x) qui vérifie cette équation différentiel .
Pour identifié les constantes p₁ et p₂ on peut méttre

f (x)
b 2
y =1/ 4[( ) x 2 + p1 x + p2 ][ 2 ] dans
a
at + c

l’équation ay ' '+ by ' + cy= f ( x)
…………………………………………..
Surement des erreurs de calcul algébrique ici ou la donc faut que je vérifie etc... (Suite plus tard )
Vérifions si ma technique fonctionne : résoudre
fonction exponentiel est solution ) .
…………………………………...
(suite plus tard )

y ' '+ y '− y =e x (on peut voir rapidement que la

(j’ai fait se fichier pour pouvoir mettre des trucs de math quand je veut)
Le conseiller du Führer
FB


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