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Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

2

Chapitre 1

Notions d’analyse combinatoire
1.1

Introduction

L’analyse combinatoire est un ensemble de méthodes pour calculer le nombre des résultats possibles
d’une expérience quelconque.
Dans ce chapitre, étudions l’exemple suivant :
Une urne contient ”n” boules numérotées, et nous tirons des boules de cette urne.

1.2

Permutations

1. Permutations sans remise :
Nous tirons ”n” boules, sans les remettre dans l’urne une fois tirées.
De combien de façons peut-on tirer les ”n” boules de l’urne, en tenant compte de l’ordre du
tirage des boules ?
Nous avons n possibilités de tirer la première boule.
Si



1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n-1
Si



2
n-1

..
.



Si

n
n-1

• Nous avons "(n − 1) × n" possibilités de tirer les 2 premières boules.
3

CHAPITRE 1. NOTIONS D’ANALYSE COMBINATOIRE

1.3. ARRANGEMENTS

• Nous avons "(n − 2) × (n − 1) × n" possibilités de tirer les 3 premières boules.
..
.

• Nous avons au final : ”1 × 2 × 3 × 4 × · · · × (n − 1) × n = n!” possibilités de tirer les n
boules.

De façon générale, il y a "1 × 2 × 3 × 4 × · · · × (n − 1) × n"
possibilités de placer ”n” objets dans ”n” places sans remise et
en tenant compte de l’ordre.
Nous notons Pn = n! (permutation de n objets).

2. Permutations avec remise :
Nous tirons ”n” boules, en les remettant dans l’urne après chaque tirage.
De combien de façons peut-on tirer ”n” boules de l’urne, en tenant compte de l’ordre du tirage
des boules ?

.
n

n

.

.

.

.

.

.

n

n

n

De façon générale, il y a n × n × n × · · · × n × n = nn
possibilités de placer ”n” objets dans ”n” places avec remise
et en tenant compte de l’ordre.

1.3

Arrangements

1. Arrangements sans remise :
Nous tirons ”k” boules (où 0 < k < n ), sans les remettre dans l’urne une fois tirées.
De combien de façons peut-on tirer ”k” boules de l’urne, en tenant compte de l’ordre du tirage
des boules ?

.

.

.

n
Nous avons :
• "n" possibilités de tirer la première boule.

4

.

.

.

.

CHAPITRE 1. NOTIONS D’ANALYSE COMBINATOIRE

1.4. COMBINAISONS

• "(n − 1)" possibilités de tirer la deuxièmes boule.
• "(n − 2)" possibilités de tirer la troisième boule.
..
.
• "(n − (k − 1))" possibilités de tirer la k ème boule.
• Ainsi, nous avons :
”(n − k + 1) × (n − k + 2) × (n − k + 3) × · · · × (n − 1) × n”
possibilités de tirer k boules.

De façon générale, il y a :
”(n − k + 1) × (n − k + 2) × (n − k + 3) × · · · × (n − 1) × n =

n!
(n − k)!

possibilités de placer ”k” objets (où 0 < k < n ) dans ”n” places
sans remise et en tenant compte de l’ordre.
n!
Nous notons Akn =
(arrangement de k objets parmi n).
(n − k)!
2. Arrangements avec remise :
Nous tirons ”k” boules (où 0 < k < n ), en les remettant dans l’urne après chaque tirage.
De combien de façons peut-on tirer ”k” boules de l’urne, en tenant compte de l’ordre du tirage
des boules ?

.
n

n

.

.

n

.
n

.

n

.
n

De façon générale, il y a :
n × n × n × · · · × n × n = nk
possibilités de placer "k" objets dans "n" places avec remise
et en tenant compte de l’ordre.

1.4

Combinaisons

1. Combinaisons sans remise :
Nous tirons ”k” boules (où 0 < k < n ), sans les remettre dans l’urne une fois tirées.

5

CHAPITRE 1. NOTIONS D’ANALYSE COMBINATOIRE

1.4. COMBINAISONS

De combien de façons peut-on tirer ”k” boules de l’urne, sans tenir compte compte de l’ordre
du tirage des boules ?
Nous ne pouvons pas utiliser la même méthode que précédemment, car quand on ne tient pas
compte de l’ordre, les cas :

1

2

3

.

.

.

.

.

.

k

.

.

.

.

1

et
k

k-1

k-2

.

.

sont un seul et même cas. C’est donc un cas qui se répéte.
Les cas qui se répétent sont les cas oú nous tirons les même numéros de boules, dans un ordre
différent. Puisqu’on a ”k” boules, on a ”k!” permutations possibles pour chaque cas.
Ak
Puisque chaque cas est compté ”k!” fois, le nombre de possibilités est alors : n .
k!

Akn
n!
=
possibilités de plak!
(k!)(n − k)!
cer ”k” objets (où 0 < k < n ) dans ”n” places sans remise et
De façon générale, il y a :

sans tenir compte de l’ordre.
n!
(combinaison de k objets parmi n).
Nous notons Cnk =
(k!)(n − k)!

Propriétés :
1. 0! = 1.
2. ∀n ∈ N :

Cn0 = 1

3. ∀k ≤ n :

Cnn−k = Cnk .

4. ∀k ≤ n :

k−1
k
.
Cnk = Cn−1
+ Cn−1

,

Cn1 = n

,

Cnn = 1.

Triangle de Pascal :
En utilisant les propriétés précédantes nous obtenons un triangle qui donne les combinaisons Cnk ,
∀k ≤ n :

6

CHAPITRE 1. NOTIONS D’ANALYSE COMBINATOIRE

1

1.4. COMBINAISONS

n/k

0

2

3

4

5

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

6

1

6

15

20

15

6

6

1

Binôme de Newton :
∀n ∈ N ,

∀a , b ∈ R :
(a + b)n =

n
X

Cnn−k ak bn−k

k=0

Exemple :
(a + b)5 =C50 a5 b0 + C51 a4 b1 + C52 a3 b2 + C53 a2 b3 + C54 a1 b4 + C55 a0 b5
=a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5

7


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