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La fonction logarithme népérien

Cours

CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME
NEPERIEN

1. Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée ln , est définie sur ] 0, + ∞ [ , prend la valeur 0 en x = 1 , est
continue sur ] 0, + ∞ [ et admet pour dérivée la fonction x

1
x

2. Propriétés algébriques

2.1. Relation fonctionnelle
Théorème
∀a ∈ ] 0, + ∞ [ , ∀b ∈ ] 0, + ∞ [

ln ab = ln a + ln b

Démonstration
Soit a un réel strictement positif.
Soit la fonction ϕa définie sur ] 0 , + ∞ [ par ϕa ( x) = ln(ax) .

La fonction ϕa est dérivable sur ] 0 , + ∞ [ comme composée de deux fonctions .
Donc, ∀x ∈ ] 0 , + ∞ [ : ϕa '( x) = a .

1 1
=
ax x

© Gérard Hirsch – Maths54

1

La fonction logarithme népérien

ϕa est donc une primitive de

Cours

1
; elle diffère donc de ln d’une constante. Il existe donc un réel C
x

tel que, ∀x ∈ ] 0 , + ∞ [ : ϕa ( x) = ln x + C . Or, ln1 = 0 , donc C = ϕa (1) = ln a .
En revenant à la définition de ϕa :
∀a ∈ ] 0 , + ∞ [ et ∀x ∈ ] 0 , + ∞ [ , ln(ax ) = ln x + ln a

D’où le résultat en remplaçant x par b.

2.2. Logarithme d’un quotient
Propriété
∀a ∈ ] 0, + ∞ [

ln

1
= − ln a
a

Démonstration
Elle se déduit de la relation précédente : calculons
∀a ∈ ] 0, + ∞ [

ln

1
1
+ ln a = ln( . a) = ln1 = 0
a
a

Propriété
∀a ∈ ] 0, + ∞ [ , ∀b ∈ ] 0, + ∞ [

ln

a
= ln a − ln b
b

Démonstration
Elle se déduit des deux relations précédentes : calculons
∀a ∈ ] 0, + ∞ [ , ∀b ∈ ] 0, + ∞ [

ln

a
1
1
= ln(a . ) = ln a + ln = ln a − ln b
b
b
b

© Gérard Hirsch – Maths54

2

La fonction logarithme népérien

Cours

2.3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement
positifs
Propriété
∀a ∈ ] 0, + ∞ [ , ∀n ∈

ln a n = n ln a

2.4. Logarithme d’une racine carrée
Propriété
1
ln a = ln a
2

∀a ∈ ] 0, + ∞ [

3. Résolution d’équations et d’inéquations
Théorème
∀a ∈ ] 0, + ∞ [ , ∀b ∈ ] 0, + ∞ [

ln a = ln b ⇔ a = b

∀a ∈ ] 0, + ∞ [ , ∀b ∈ ] 0, + ∞ [

ln a < ln b ⇔ a < b

Exemple
Résoudre dans R l’équation : ln(3x + 1) = ln( x − 4)
Les valeurs cherchées doivent vérifier
 3x + 1 > 0

 x−4> 0

Les solutions doivent appartenir à D = ] 4 , + ∞ [
Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux.

© Gérard Hirsch – Maths54

3

La fonction logarithme népérien

Ainsi : si x ∈ ] 4 , + ∞ [ , ln(3x + 1) = ln( x − 4) ⇔ 3 x + 1 = x − 4 ⇔ x = −

Cours

5
2

5
L’équation n’admet pas de solution dans R puisque − ∉ ] 4 , + ∞ [
2

Exemple
Résoudre dans R
a. l’équation ln( x 2 − 5) = ln x + 2 ln 2
b. l’inéquation : ln( x 2 − 5) ≤ ln x + 2 ln 2
a. Les valeurs cherchées doivent vérifier
 x2 − 5 > 0

 x>0
Les solutions doivent appartenir à D = 

5 , + ∞ 

Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux.
Si x ∈ 

5 , + ∞  , ln( x 2 − 5) = ln x + 2 ln 2 ⇔ ln( x 2 − 5) = ln(4 x) ⇔ x 2 − 4 x − 5 = 0

L’équation du second degré admet −1 et 5 pour racines. Seule la racine 5 est solution
puisque −1 ∉ 

5 , + ∞ 

L’ensemble des solutions de l’équation ln( x 2 − 5) = ln x + 2 ln 2 est S = { 5

b. On résout l’inéquation dans D = 

}

5 , + ∞ 

L’inéquation ln( x 2 − 5) ≤ ln x + 2 ln 2 est équivalente à x 2 − 5 < 4 x ou x 2 − 4 x − 5 < 0
L’ensemble des solutions est donc formé des réels ∈ ] − 1 , 5 [ qui sont dans D.
L’ensemble des solutions de l’inéquation ln( x 2 − 5) < ln x + 2 ln 2 est S = 

© Gérard Hirsch – Maths54

5 , 5 

4

La fonction logarithme népérien

Cours

4. Etude de la fonction logarithme

4.1. Sens de variation de la fonction logarithme népérien
sur ] 0, + ∞ [
La fonction x ln x est définie sur ] 0, + ∞ [
La fonction x ln x est continue sur ] 0, + ∞ [
La fonction x ln x est dérivable sur ] 0, + ∞ [

Pour tout x ∈ ] 0, + ∞ [ , (ln x ) ' =

1
x

Théorème
La fonction x ln x est strictement croissante sur ] 0, + ∞ [

4.2. Limite de la fonction logarithme népérien en 0 et en + ∞
lim ln x = + ∞

x →+∞

∀n ∈ R, ln(2n ) = n ln 2 , et puisque ln 2 > 0 , alors lim (n ln 2) = +∞ .
n →+∞

La fonction ln n’est donc pas majorée. Etant croissante, elle admet +∞ pour limite en +∞ .

Conséquence
lim ln x = − ∞
x →0
x >0

© Gérard Hirsch – Maths54

5

La fonction logarithme népérien

Cours

Démonstration
En utilisant le théorème sur la limite d’une fonction composée, on a :
lim
x →0
x>0

1
1
= +∞ et lim ln x = +∞ ⇒ lim ln = +∞
x
→+∞
x

0
x
x
x >0

Puisque ln

1
= − ln x
x

alors

lim ln x = − ∞
x →0
x >0

L’axe des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln.

4.3. Tableau de variation :

x

0

1

+

+
+
0
-

Conséquence
Il existe un nombre et un seul noté e tel que ln e = 1
Une valeur approchée de e est e ~ 2.71828

© Gérard Hirsch – Maths54

6

La fonction logarithme népérien

Cours

4.4. Représentation graphique
2

y=x-1
y= xe

1

0

1

2

e

3

4

-1

-2

Remarque

Soit (C) la courbe représentative de la fonction ln dans un repère ( O , i , j )
La tangente à la courbe au point d’abscisse x = 1 est la droite d’équation y = x − 1
La tangente à la courbe au point d’abscisse x = e est la droite d’équation y =

x
(cette droite
e

passe par le point O)

5. Autres limites

lim
x →0

ln(1 + x)
= 1 que l’on peut aussi écrire lim
x →1
x

ln x
=1
x −1

Démonstration
Le nombre dérivé de ln en 1 est 1. Mais ce nombre dérivé est aussi : lim
x→0

ln(1 + x) − ln1
=1
x

D’où la limite cherchée.

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7

La fonction logarithme népérien

lim

x →+∞

Cours

ln x
=0
x

Démonstration
Par exemple en étudiant la fonction auxiliaire ϕ : x ln x − x
on montre que ∀x ∈ [ 1 , + ∞ [ , ln x < x
et donc ∀x ∈ [ 1 , + ∞ [ ,

ln x
x
1
<
=
x
x
x

ln x
1
< lim
x →+∞ x
x →+∞
x

soit ∀x ∈ [ 1 , + ∞ [ , 0 < lim

Puisque lim

x →+∞

1
ln x
= 0 alors lim
=0
x →+∞
x
x

lim x ln x = 0
x →0
x>0

Démonstration
∀x ∈ ] 0, + ∞ [ ,

1
x ln x = − x
1
x
ln

On applique le théorème sur la limite d’une fonction composée :
1
lim x ln x = − lim x = 0−
x →0
x →0 1
x>0
x >0
x
ln

car lim
x→0
x>0

1
= +∞
x

et

lim

x →+∞

ln x
=0
x

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