FICHIER COMP 6197MTS n 37 .pdf



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8

Trigonométrie

Ouverture
On sait comment se propagent les ondes, avec
des mouvements faisant appel à des formules
trigonométriques. Mais beaucoup de recherches
fondamentales en physique restent d’actualité
pour améliorer les connaissances sur les sources
des ondes.
Le LAPP, laboratoire de recherche de physique des
particules, à Annecy, a participé au projet VIRGO
qui a un double objectif : détecter et observer
directement les ondes gravitationnelles, mais
aussi observer certains phénomènes extrêmement intenses de l’univers tels que l’explosion
d’étoiles ou la collision de trous noirs.
VIRGO, nom latin de la constellation de la Vierge,
est le nom de l’interféromètre conçu à Annecy qui
permettra, à l’aide de systèmes optiques complexes
et de faisceaux laser très puissants, de mieux mesurer la déformation imperceptible de la matière,
avec des variations extrêmement petites mais aussi
des perturbations de l’espace qui émettent des
ondes gravitationnelles qui traversent l’univers.

Vérifier ses acquis

4 a. Dans R :

1 1. M a pour coordonnées (cos t ; sin t).

30

45

60

90

p
6
3
2
1
2

p
4
2
2
2
2

p
3
1
2
3
2

p
2

120

135

150

180

2p
3
1
2
3
2

3p
4
2
2
2
2

5p
6
3
2
1
2

x (en radians)

0

cos x

1

sin x

0

x (en degrés)
x (en radians)
cos x
sin x

206

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

p
–1
0

0
1

© éditions Belin, 2012.

2
0

1
2p
€ cos x cos
2
3
2p
2p
€x 2kp ou x
2kp.
3
3
2p
Dans ]−p ; p], on ne retient que les solutions 3
2p
et .
3
b. Dans R :
p
2 cos x 0 € cos x 0 € cos x cos
2
p
p
€ x - 2kp ou x 2kp.
2
2
p
Dans ]−p ; p], on ne retient que les solutions 2
p
et .
2
c. Dans R :
1
p
2 sin x - 1 0 € sin x € sin x sin
2
6
p
€ x - 2kp
6
p
5p
ou x p - 2kp
2kp.
6
6
2 cos x -1 € cos x -

2. a. −1 ≤ cos t ≤ 1. b. −1 ≤ sin t ≤ 1.
c. cos(t k ¥ 2p) cos t.
d. sin(t k ¥ 2p) sin t. e. cos2t sin2t 1.
x (en degrés)

p
2p
5p
p
p
 ; c.  ; d.  ; e. p ; f. - .
4
3
6
2
6
2. a. L’algorithme affiche
« 5, 75pi -0, 25pi 3 ¥ 2pi », soit
23p
p
- 3 ¥ 2p.
4
4
Ainsi, on obtient la mesure principale de la
mesure ap.
b. On suppose que a > 1.
c. L’algorithme est inutile avec −1 ≤ a ≤ 1 car
la mesure ap aurait pour mesure principale ellemême.
d. Nouvel algorithme :

3 1. a.  ; b. -

5 a. A(x) cos(-x) cos(x p) - 2 cos(p - x)

cos x - cos x 2 cos x 2cos x.
b. B(x) sin(-x) sin(x p) - 2 sin(p - x)
- sin x - sin x - 2 sin x -4 sin x.

Ê
ˆ
c. C(x) 3 sin x - cos -x p - 2 sin x
ÁË
2˜¯
3 sin x - sin x - 2 sin x 0.
Ê
ˆ
d. D(x) 3 cos x - sin -x p 2 cos x
ÁË
2˜¯
3 cos x - cos x 2 cos x 4 cos x.
Ê

p
p
6 1. a. cos Á x ˜ cos x cos - sin x sin

6
6
Ë
1
3

cos x - sin x.
2
2
Ê
ˆ
b. sin x 5p sin x cos 5p cos x sin 5p
ÁË
6 ˜¯
6
6
1
3
sin x sin x.
2
2
Ê
ˆ
c. cos x - 2p cos x cos 2p - sin x sin 2p
ÁË
3 ˜¯
3
3
3
1
sin x.
- cos x 2
2
Ê
ˆ
d. sin x - 3p sin x cos 3p - cos x sin 3p
ÁË
4 ˜¯
4
4
2
2
cos x.
sin x 2
2
2. a. x ≈ p – 0,3398 ≈ 2,802 rad, soit environ 160,5°.

2

Ê 1ˆ
8
b. cos2 x sin2 x 1 donc cos2 x 1 - Á ˜ .
9
Ë 3¯
Èp ˘
Or x Œ Í ; p˙ donc cos x 0. Par conséquent,
Î2 ˚
cos x -

8
2 2
.
9
3

2

Ê 1ˆ
7
c. cos(2x) 1 - 2 sin2 x 1 - 2 ¥ Á ˜ .
3
9
Ë ¯
4 2
1 Ê 2 2ˆ
d. sin(2x) 2 sin x cos x 2 ¥ ¥ Á.
3 Ë 3 ˜¯
9

Activités d’introduction
Activité 1

1 @ Le fichier GeoGebra corrigé est disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee.
L’ensemble des points M est le cercle trigonométrique d’équation cos2x + sin2x = 1.
2 a. C a pour coordonnées (t ; cos (t)) donc
l’ensemble des points C a pour équation y = cos x.
La courbe obtenue est donc la courbe représentative de la fonction cosinus.
b. La courbe de la fonction cosinus coupe l’axe
des abscisses lorsque cos t = 0, donc, sur [–3 ; 7],
p
p
3p
pour t - ou t ou t
.
2
2
2
c. f admet son maximum lorsque cos t = 1, donc,
sur [–3 ; 7], pour t = 0 ou t = 2p.
d. f admet son minimum lorsque cos t = –1,
donc, sur [–3 ; 7], pour t p.
1
p
e. Sur [–3 ; 7], f(t) lorsque cos t cos , c’est2
3
p
p
5p
à-dire t - ou t ou t
.
3
3
3
f. Sur le cercle trigonométrique, on observe :
t

–3

0

p

1
cos t

cos (–3)

2p

7

1
–1

cos 7

3 a. S a pour coordonnées (t ; sin (t)) donc
l’ensemble des points C a pour équation y = sin x.
La courbe obtenue est donc la courbe représentative de la fonction sinus.
Chapitre 8 n Trigonométrie n  207

© éditions Belin, 2012.

Dans ]−p ; p], on ne retient que les solutions
p
p
-  et .
6
6
d. Dans R :
sin x(sin x - 3) 0 € sin x 0 ou sin x 3
€ sin x sin 0 € x kp.
Dans ]−p ; p], on ne retient que les solutions 0
et p.
e. Dans R :
1
2
2
cos2 x € cos x ou cos x
2
2
2
3p
3p
€x 2kp ou x
2kp ou
4
4
p
p
x - 2kp ou x 2kp .
4
4
Dans ]−p ; p], on ne retient que les solutions
3p
3p
p p
-  ; -  ;  et .
4
4 4
4
f. Dans R comme dans ]−p ; p], l’équation
1
sin2 x - n’admet aucune solution car un
2
carré est toujours positif.

t

–3

-

p
2

sin (–3)
sin t

p
2

3p
2

1

7
sin 7

–1

–1

Activité 2
Dans la question 2. a. de cette activité on cherche
sin x
à montrer que cos x <
< 1.
x

1 a. OC = PMcos x = cos x et
MC = OMsin x = sin x.
Et d’après le théorème de Thalès,

MC OC

donc
IL
OI

sin x cos x
sin x

et IT
tan x.
IT
1
cos x
OI ¥ MC sinx

b. Aire du triangle MOI : 1 = 
.
2
2
OI ¥ IT tan x

Aire du triangle TOI : 2 = 
.
2
2
px x
Aire du secteur angulaire IOM : 3 = 
.
2p 2

c. Par considération géométrique, 1 < 3 < 2
sin x
x
tan x
donc
et sin x < x < tan x.

2
2
2
1
1 cos x
sin x
d. sin x x
donc

et
cos x
sin x
x
sin x
sin x
par suite 1
cos x .
x
sin x
e. ∀x > 0, cos x
1 avec lim cos x 1
x
x Æ0
donc, d’après le théorème des gendarmes,
sin x
lim
1.
x
x Æ0
x 0

208

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

2 a. Si x Œ ˘˙ - p ; 0 ÈÍ , alors -x Œ ˘˙ 0 ; p ÈÍ et,
˚ 2

˚ 2Î
sin(-x)
d’après 1.d., cos(-x)
1 donc on a
-x
sin x
encore cos x
1.
x
b. Par la même méthode que 1.e., on a de
sin x
1.
même : lim
x
x Æ0
Î

x 0

3 a. D’après 1.e. et 2.b. : lim sin x 1.

x Æ0 x
sin x - sin0
sin x
b. lim
lim
1 donc la fonction
x-0
x Æ0
x Æ0 x
sin est dérivable en 0 et sin′(0) = 1 =  cos (0).

4 a. "x Œ ˘˙ - p ; 0 ÈÍ » ˙˘ 0 ; p ÈÍ ,

˚ 2 Î ˚ 2Î
cos x - 1 (cos x - 1)(cos x 1)
cos2 x - 1


x
x(cos x 1)
x(cos x 1)
sin x
sin x
- sin2 x
¥
.

x(cos x 1)
x
cos x 1
sin x
sin x
b. lim
1 et lim
0 donc
x Æ0 x
x Æ 0 cos x 1
cos x - 1
cos x - cos 0
0, soit lim
lim
0.
x
x-0
x Æ0
x Æ0
Donc la fonction cos est dérivable en 0 et
cos′(0) =  0 =  sin (0)  =  –sin (0).

5 a.
sin(x0 h) - sin(x0) sin x0 cos h cos x0 sin h - sin x0

h
h
sin h
cos h - 1
sin x0 ¥
cos x0 ¥
.
h
h
sin h
cos h - 1
0
b. lim
1 et lim
h
hÆ 0 h
hÆ 0
sin(x0 h) - sin x0
donc lim
cos x0.
h
hÆ 0
Donc la fonction sin est dérivable en x0 et
sin¢ (x0) cos x0. Ainsi, la dérivée de la fonction sin
est la fonction cos.
c.
x

0
+

cos x

p
2
0
1

p


sin x
0

0

© éditions Belin, 2012.

b. La courbe de la fonction sinus coupe l’axe des
abscisses lorsque sin t = 0, donc, sur [–3 ; 7], pour
t = 0 ou t = p ou t = 2p.
c. g admet son maximum lorsque sin t = 1, donc,
p
sur [–3 ; 7], pour t .
2
d. g admet son minimum lorsque sin 
t = –1,
p
3p
donc, sur [–3 ; 7], pour t - ou t
.
2
2
1
p
e. Sur [–3 ; 7], g(t) lorsque sin t sin , c’est2
6
p
5p
13p
.
à-dire t ou t
ou t
6
6
6
f. Sur le cercle trigonométrique, on observe :

Donc la dérivée de la fonction cos est l’opposé de
la fonction sin.
b.
x

0

–sin x

0
1

p


0

cos x
–1

Activité 3
On lit : uC(0) = 0 donc Asin j = 0. Or A ≠ 0 car
la tension n’est pas constamment nulle, donc
sin j = 0. On peut alors prendre j = 0. Ainsi,
uC(t) =  Asin (ωt).
On lit aussi : uC(3) = 0 donc Asin 
(3w) = 0. Or
A ≠ 0 donc sin (3w) = 0. Et comme la tension n’est
pas constante mais dépend du temps t, w ≠ 0 et
p
on peut prendre 3w = p donc w =  . Ainsi,
3
p
uC(t) =  Asin ( t).
3
Ê p 3ˆ
Enfin, on lit : uC(1,5) = 4 donc A sin Á ¥ ˜ 4 ,
Ë 3 2¯
p
soit Asin   = 4 et donc A = 4. .
2
p
Conclusion : uC(t) =  4sin ( t).
3

Travaux pratiques
1TP Algorithmique 1

1 a. Il semble que la plus petite période (positive) de f soit 10. En effet, pour tout réel t, on a :
Ê p
ˆ
Ê p
ˆ
f(t 10) 5 sin Á (t 10) ˜ 5 sin Á t p ˜
Ë 10
¯
Ë 10
¯
Ê p ˆ
Ê p ˆ
5 - sin Á t ˜ 5 sin Á t ˜ f(t).
Ë 10 ¯
Ë 10 ¯
Donc f est bien périodique de période 10.

b. La moyenne des 11 valeurs est égale environ à
2,87.
c. L’aire du polygone est égale environ à 31,57
et la moyenne recherchée en est le dixième, soit
environ 3,157. Ce résultat est certainement plus
proche de la vraie valeur que le précédent car
l’aire du polygone semble proche de l’aire sous
la courbe. De plus dans la question 1.b. on ne
considère que 11 valeurs.

2 a. Algorithme :
Saisir (n) ;
s prend la valeur 0 ;
Pour k allant de 0 à n faire
s prend la valeur s + f(10k/n) ;
FinPour
m prend la valeur s/(n+1) ;
Afficher (m) ;

b. On retrouve une moyenne d’environ 2,87.
Corrigé de l’algorithme sur Algobox :

c. Plus la valeur de n est grande, plus la précision
est fine.
Pour n = 100, on trouve une moyenne d’environ
3,15.
Pour n = 5000, on trouve une moyenne d’environ
3,18.

3 a. L’aire recherchée est
10



Êp ˆ

Ú 5 sin ÁË10 t˜¯ dt
0

10

Ê p ˆ˘
100
50 È
.
Í- cos Á t˜ ˙
p
p Î
Ë10 ¯ ˚0

10

b. m

Êp ˆ
1
10
5 sin Á t˜ dt
.
10
p
Ë10 ¯

Ú

0

Chapitre 8 n Trigonométrie n  209

© éditions Belin, 2012.

6 a.
cos(x0 h) - cos x0 cos x0 cos h - sin x0 sin h - cos x0

h
h
cos h - 1
sin h
.
cos x0 ¥
- sin x0 ¥
h
h
cos(x0 h) - cos x0
Donc lim
- sin x0 . Ainsi, la
h
hÆ 0
fonction cos est dérivable en x0 et cos¢(x0) - sin x0.

2TP TICE 1

Ainsi in ¥ en 1

1 a. i0 1 ¥ 3 ¥ 2 ¥ sin p 3 3

2
3
2
1
p
et e0 ¥ 3 ¥ 2 ¥ tan 3 3 .
2
3
1
1
p
b. i1 ¥ 6 ¥ 1 3 et e1 ¥ 6 ¥ 2 ¥ tan 2 3.
2
2
6
Ê p ˆ
1
c. in ¥ (3 ¥ 2n) ¥ 2 ¥ sin Á
2
Ë 3 ¥ 2n˜¯
Ê p ˆ
3 ¥ 2n ¥ sin Á
Ë 3 ¥ 2n˜¯
Ê p ˆ
1
et e n ¥ (3 ¥ 2n) ¥ 2 ¥ tan Á
2
Ë 3 ¥ 2n˜¯
Ê p ˆ
(3 ¥ 2n) ¥ tan Á
.
Ë 3 ¥ 2n˜¯

2 Les suites (in) et (en) semblent converger vers
p, ce qui semble logique car plus n est grand, plus
les longueurs in et en se rapprochent du demipérimètre du cercle de rayon 1.
3 a. Voir activité 2, question 1.c.
b. "n Œ •, 0 2 3 3 ¥ 2n donc 0

1
1

3 ¥ 2n 2

p
p
.
3 ¥ 2n 2
Ainsi, d’après le 3.a. :
p
p
p
"n Œ •, 0 sin

tan
.
3 ¥ 2n 3 ¥ 2n
3 ¥ 2n
On a donc : "n Œ •,
p
p
0 3 ¥ 2n ¥ sin
p 3 ¥ 2n ¥ tan
,
3 ¥ 2n
3 ¥ 2n
soit 0 in p en.
c. Le plus petit entier n recherché sur tableur est
14.
et 0



p
p sin(a n)
sin(2a n) ¥
2a n
a n cos(a n)
a n)cos(a n)
2p2 sin2(a
2cos(a



p2sin2(a n)

2a n
an 2
n)
Or a n 0 et sin(a n) 0 donc
psin(a n)
p
in ¥ en 1

sin(2a n 1) in 1.
an
2a n 1

.

c. "n Œ •, in 1 - in inen - in.

Or, d’après 3.b., in en donc in2 inen, d’où
in inen. Ainsi, ∀n ∈ N, in+1 – in ≥ 0, ce qui
prouve que la suite (in) est croissante. De plus
2i e
e (i - en)
"n Œ •, en 1 - en n n - en n n
. Donc
in en
en in
∀n ∈ N, en+1 – en ≤ 0, ce qui prouve que la suite
(en) est décroissante.
d. La suite (in) est croissante et majorée par e0
donc elle converge vers un réel que l’on nommera l.
La suite (en) est décroissante et minorée par i0
donc elle converge vers un réel que l’on nommera l¢ .
in ¥ en 1 in 1 2 donc, par passage à la limite,
l ¥ l¢ l2, d’où l(l - l¢) 0.
Or (in) est croissante et majorée par e0 3 3
donc l 3 3 et l 0. Par conséquent l - l¢ 0,
soit l l¢.
e. D’après les inégalités de la question 3.b., on
a : l ≤ p et l ≥ p, donc l = p.

5 a. Corrigé de l’algorithme sur Algobox :

4 a. in p sin(2a n) et en p tan(2a n).
2a n

2a n
p
p sin(2a n)
sin(2a n) ¥

2inen
2a n
2a n cos(2a n)
b.

in en
p
p sin(2a n)
sin(2a n)
2a n
2a n cos(2a n)

psin(2a n)
2p sin(a n)cos(a n)

a n(1 cos(2a n)) a n(1 2cos2(a n) - 1)



psin(an)
p
tan(a n)

a ncos(a n) a n



p
tan(2a n 1) en 1.
2a n 1

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

b. En prenant p = 10–8, on trouve bien n = 14.
c. On remplace la dernière ligne de l’algorithme
précédent par : AFFICHER e[n].
© éditions Belin, 2012.

210



Maîtriser le cours
1 a. Vrai ;  b. Faux ;  c. Faux ;  d. Faux ;
e. Vrai ;  f. Faux ;  g. Faux ;  h. Vrai ;  i. Vrai.

12 a. F(x) 5 sin x 4 cos x x k avec k Œ °.

3 1. b.  2. c. et d.   3. c. et d.
4. b. et c. (pas d. si l’on considère qu’une période
est toujours strictement positive).

p
1
b. F(t) - cos t - t cos k avec k Œ °.
3
5
1
c. F(x) (sin x)2 k avec k Œ °.
8
d. F(x) ln sin x 2 k avec k Œ °.
e. F(t) -4(cos t)3 k avec k Œ °.
2
f. F(q) k avec k Œ °.
sin q 3

4 a. Vrai ;  b. Faux ;  c. Faux ;  d. Vrai.

13 On dérive la fonction F définie par

2 Les fonctions a, b, v sont paires.
Les fonctions c, d, u, w sont impaires.
Les fonctions f et g ne sont ni paires ni impaires.

5 a. Faux ;  b. Vrai ;  c. Vrai ;  d. Vrai.
6 a. Faux ;  b. Faux ;  c. Faux ;  d. Vrai ;
e. Vrai ;  f. Faux ;  g. Faux ;  h. Faux ;  i. Vrai.
7 1. a. b. c. et d.  2. b. et d.  3. c. et d.
4. d.
5. c.
6. b.
7. d.

Appliquer les capacités attendues
9 a. f ¢(x) -4 sin x - 8 cos x - 1.
b. f ¢(x) 5 cos x 5x ¥ (- sin x) 5(cos x - x sin x).
c. f ¢(t) cos t ¥ cos t sin t ¥ (- sin t)
cos2 t - sin2 t cos(2t).
d. f ¢(q) -2 sin q cos q - sin(2q).
cos t
.
sin2 t
b. f ¢(r) -3 sin r(sin r 2) - (3 cos r - 5) ¥ cos r
(sin r 2)2
-3 - 6 sin r 5 cos r
.

(sin r 2)2
c. f ¢(x) 3(-2 sin x)(2 cos x - 5)2

10 a. f ¢(t) -3 ¥

-6 sin x(2 cos x - 5)2.
d. f ¢(p) 3 sin p 3p cos p.

11 a. On pose f(x) = cos x. La fonction f est dérivable en 0 et f′(0) =  –sin 0  = 0.
f(x) - f(0)
cos x - 1
0.
Donc lim
0, soit lim
x
x Æ0
x Æ0 x - 0
b. On pose g(x) = sin x. La fonction g est dérivable en p et g′(p) = cos p = −1.
g(x) - g(p)
sin x
Donc lim
-1, soit lim
-1.
x-p
xÆp
xÆp x - p

(sin x)3
 :
3
1
F ¢(x) cos x - ¥ 3 cos x sin2 x
3
cos x - cos x(1 - cos2 x) (cos x)3.
Donc F est bien une primitive de la fonction f
définie par f(x) (cos x)3.
F(x) sin x -

14 a. g¢(x) 2x sin x x2 cos x et
h¢ (x) -2 cos x - 2x ¥ (- sin x) -2 cos x 2x sin x.
b. u¢(x) g¢(x) - h¢ (x) x2 cos x 2 cos x.
c. f(x) u¢(x) - 2 cos x.
Donc une primitive de f est donnée par
F(x) u(x) - 2 sin x x2 sin x 2x cos x - 2 cos x.
16 a. f est impaire et périodique de période p.
b. f est impaire mais pas périodique.
p
c. f est paire et périodique de période .
3
17 a. f est paire car, pour tout réel x,
1
1
f(-x)

f(x). f est
3 - cos(-x) 3 - cosx
périodique de période 2p car, pour tout réel x,
1
1
f(x 2p)

f(x).
3 - cos(x 2p) 3 - cos x
b. f n’est ni paire ni impaire car
Ê pˆ
Ê pˆ
Ê pˆ
Ê pˆ
f Á- ˜ f Á ˜ et f Á- ˜ -f Á ˜ .
Ë 6¯
Ë 6¯
Ë 6¯
Ë 6¯
f n’est pas périodique de période p car
Êp
ˆ
Ê pˆ
f Á p˜ f Á ˜ .
Ë6
¯
Ë 6¯
c. f est impaire car, pour tout réel x,
f(-x) 3 sin(-x) - 5(-x) -3 sin x 5x -f(x).
f n’est pas périodique de période 2p car
f(2p) f(0).
Chapitre 8 n Trigonométrie n  211

© éditions Belin, 2012.

Exercices

c. On pose h(t) = sin t. h est dérivable en 0 et
h′(t) =  cos 0  = 1.
h(t) - h(0)
sin t
1, soit lim
Donc lim
1.
t-0
t Æ0
t Æ0 t
sin t 1
.
Par conséquent, lim
2
t Æ 0 2t

sin2 x cos2 x f(x).
f est périodique de période
2

p
car, pour tout réel
2
2

Ê
pˆ È Ê
pˆ ˘ È Ê
pˆ ˘
x, f Á x ˜ Ísin Á x ˜ ˙ Ícos Á x ˜ ˙
2¯ Î Ë
2¯ ˚ Î Ë
2¯ ˚
Ë
(cos x)2(- sin x)2 cos2 x sin2 x f(x).

19 a. La fonction sin est croissante sur I donc la
fonction x a −2sin x est décroissante sur I et, par
conséquent, f est aussi décroissante sur I.
b. La fonction cos est décroissante sur I donc la
fonction x a 3cos x est décroissante sur I et, par
conséquent, f est aussi décroissante sur I.
20 1. a. La fonction cos est décroissante sur
È p 5p ˘
p
5p
alors
Í ; ˙ donc, si a
3
6
Î3 6 ˚
p
5p
cos cos a cos
et, par conséquent,
3
6
1
3
cos a .
2
2
È 3p ˘
; 0˙
b. La fonction cos est croissante sur ÍÎ 4
˚
3p
a 0 alors
donc, si 4
Ê 3pˆ
cos Á- ˜ cos a cos 0 et, par conséquent,
Ë 4¯
2
cos a 1.
2
c. La fonction cos est décroissante sur [0 ; 2]
donc, si 0 a 2 alors cos 0 cos a cos 2 et
donc cos 2 cos a 1.
È p p˘
2. a. La fonction sin est croissante sur Í- ; ˙
Î 2 3˚
Ê
ˆ
p
p
p
p
donc, si - t
alors sin Á- ˜ sin t sin
2
3
3
Ë 2¯
3
et donc -1 sin t
.
2
È p 5p ˘
b. La fonction sin est décroissante sur Í ; ˙
Î2 6 ˚
p
5p
p
5p
donc, si t
alors sin sin t sin ,
2
6
2
6
1
soit sint 1.
2
È3p 5p ˘
c. La fonction sin est décroissante sur Í ; ˙
Î4 4˚
3p
5p
3p
5p
donc, si
t
alors sin
sin t sin
,
4
4
4
4
2
2
.
soit sin t
2
2

-

212

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

21 a. Pour tout réel x, f′(x) = −3sin x + 5. Or on a
toujours −3 ≤ −3sin x ≤ 3 donc f′(x) ≥ 2.
x

Variations
de f

+∞

–∞

Signe
de f′(x)

+
+∞
–∞

b. Pour tout réel x, f′(x) = −3 + 3cos x. Or on a
toujours −3 ≤ 3cos x ≤ 3 donc –6 ≤ f′(x) ≤ 0.
De plus f′(x) = 0 lorsque cos x = 1 donc, sur I,
pour x = 0.
x

0

Signe
de f′(x)

0

Variations
de f

p


1
1 – 3p

c. Pour tout réel x,
f ¢(x) cos x cos x sin x ¥ (- sin x)
cos2 x - sin2 x cos(2x).
p
p
Or, si 0 x alors 0 2x et 0 cos(2x) 1
4
2
donc f ¢(x) 0.
De plus f ′(x) = 0 lorsque cos (2x) = 0 donc, sur I,
p
pour x =  .
4
x
Signe
de f′(x)
Variations
de f

p
4

0
+

0
1
2

0

22 1. Pour tout réel x, -3 -3 cos x 3 donc
x - 2 f(x) x 4 .
2. a. f(x) x - 2 € cos x 1 € x 2kp avec
k Œ ¢.
b. f(x) x 4 € cos x -1 € x p 2kp avec
k Œ ¢.
3. D’après 1., la courbe  de f est située entre
la droite D1 d’équation y = x – 2 et la droite D2
d’équation y = x + 4.
D’après 2.a.,  coupe D1 aux points d’abscisses
x 2kp avec k Œ ¢.
D’après 2.b.,  coupe D2 aux points d’abscisses
x p 2kp avec k Œ ¢.

© éditions Belin, 2012.

d. f est paire car, pour tout réel x,
f(-x) [sin- x]2[cos- x]2 (- sin x)2(cos x)2

x Æ

lim f(x) .

x Æ

De plus, pour tout réel x, f(x) x 4. Or
lim (x 4) - donc, par comparaison,
x Æ-

lim f(x) - .

x Æ-

5. D’après les limites précédentes, f n’est pas
bornée.
6. Pour tout réel x, f′(x) = 1 + 3 sin x. Comme le
signe de cette dérivée change de signe une infinité de fois sur R, nous nous contenterons ici
d’étudier les variations de f sur [0 ; 2p].
Sur [0 ; 2p], la dérivée s’annule deux fois pour
deux valeurs a ª 3, 481 et b ª 5, 943.
x
Signe
de f′(x)
Variations
de f

a

0
+

0

b


2p
+

0

2p – 2

f(a)
f(b)

–2

24 a. cos x 1 € x 2kp avec k Œ ¢.
p
b. sin x 1 € x 2kp avec k Œ ¢.
2
p
c. cos x 0 € x kp avec k Œ ¢.
2
d. sin x 0 € x kp avec k Œ ¢.
p
e. cos x sin x € x kp avec k Œ ¢.
4
f. sin x x € x 0.

25 a. T a pour équation
y =  cos (0)(x – 0) + sin (0), soit y = x.
b. Pour tout réel x, f′(x) = cos x – 1 donc f′(x) ≤ 0.
Par conséquent, f est décroissante sur R.
c. f est décroissante sur R et f(0) = 0 donc f est
positive sur ]–∞ ; 0] et négative sur [0 ; +∞[.
Ainsi,  est au-dessus de T sur ]–∞ ; 0] et
au-dessous de T sur [0 ; +∞[.
Ê



27 a. Pour tout réel x, -1 cos Á2x ˜ 1 donc

Ë

-5 f(x) 5.

Ê

p
De plus f(x) 0 € cos Á2x ˜ cos

2
Ë
p p
€ 2x 2kp
3 2
p
p
p
ou 2x - 2kp € x
kp ou
3
2
12
5p
x kp avec k Œ ¢.
12

b. Pour tout réel x, -1 cos(3 - x) 1 donc
-4 f(x) 4.
p
p
Et f(x) 0 € cos(3 - x) cos € 3 - x 2kp
2
2
p
p
ou 3 - x - 2kp € x 3 - 2kp ou
2
2
p
x 3 2kp avec k Œ ¢.
2
Ê

c. Pour tout réel x, -1 sin Á4x - ˜ 1 donc

Ë
-2 f(x) 2.

Ê

p
p
f(x) 0 € sin Á4x - ˜ sin 0 € x
k

24
2
Ë
7p
p
ou x
k avec k Œ ¢.
24
2
d. Pour tout réel x, 0 sin2(3x) 1 donc
1
1
1
1
- - sin2(3x) 0 et - f(x) .
2
2
4
4
p
1
f(x) 0 € sin2(3x) € sin(3x) sin ou
2
4
Ê pˆ
p 2kp
p 2kp

sin(3x) sin Á- ˜ € x
ou x
4
12
3
3
Ë 4¯
p 2kp
5p 2kp
ou x
ou x

avec k Œ ¢.
12
3
12
3
Et

28 a. Pour tout réel t, -1 cos(3t) 1
donc 1 f(t) 3 et f(t) 0.
Ê

b. Pour tout réel x, -1 sin Á2x - ˜ 1

Ë
Ê

donc -3 -3 sin Á2x - ˜ 3 et 2 f(x) 8.

Ë
D’où f(x) > 0.
Ê

c. Pour tout réel x, 0 sin2 Á x - ˜ 1

Ë
donc -1 f(x) 0 et f(x) 0.
d. Pour tout réel c, cos2(3c) ≥ 0 donc f(c) ≤ 0.
p
7p
3p
7p
x
alors
3x
donc
4
12
4
4
Ê
p
p 3p

d’où cos Á3x - ˜ 0 et f(x) 0.
3x -

2
4
2
Ë
1
2
b. Si t alors p 5pt 2p donc
5
5
sin(5pt) 0 et f(t) 0.

29 a. Si

Ê pˆ

Ê pˆ

30 a. f Á- ˜ f Á ˜ donc f n’est pas paire.
Ë 6¯
Ë 6¯
Ê pˆ
Ê pˆ
f Á- ˜ -f Á ˜ donc f n’est pas impaire.
Ë 4¯
Ë 4¯
b. Pour tout réel x,
Ê
Ê
È Ê
2pˆ 2
2pˆ p ˘ 2

f Á x ˜ cos Í3 Á x ˜ ˙ cos Á3x ˜
3
5
3
6
5
6
Ë
¯
¯
Ë
¯
Î Ë
˚
f(x).

Chapitre 8 n Trigonométrie n  213

© éditions Belin, 2012.

4. Pour tout réel x, x - 2 f(x). Or
lim (x - 2) donc, par comparaison,

2p
.
3
Ê
6
2pˆ
c. Pour tout réel t, f ¢(t) - sin Á x ˜ .
5

Ë
Ê
2pˆ
2p
kp
Ainsi, f ¢(t) 0 € sinÁ x ˜ sin0 € x

3
Ë
2p
€ x - kp avvec k Œ¢.
3
È 2p ˘
p
d. Sur Í0 ; ˙ , f′ s’annule en x d’après c.
3
3
Î
˚
p
2p
2p
Si 0 x alors
x
p
3
3
3
Ê
2pˆ
donc sin Á x ˜ 0 et f ¢(x) 0.

Ë
p
2p
2p 4p

Si x
alors p x
3
3
3
3
Ê
2pˆ
donc sin Á x ˜ 0 et f ¢(x) 0.

Ë
Donc f est périodique de période

0

Signe
de f′(x)


3
5

Variations
de f

0

2p
3
+
3
5

3
5

OA ¥ MH
, où H est le projeté
2
orthogonal de M sur [OA].
r ¥ r sin x 1 2
Donc f(x)
r sin x.
2
2
1 2
b. f ¢(x) r cos x donc f ¢(x) s’annule en
2
È p˘
Èp ˘
p
x ; f ¢(x) 0 sur Í0 ; ˙ et f ¢(x) 0 sur Í ; p˙ .
2
Î 2˚
Î2 ˚
p
2

0
+

Variations
de f

0

p


1 2
r
2

n

x

p

0

Signe
de g′(x)


0

Variations
de g

–p

Ainsi, sur ]0 ; p], g(x) < 0.
d. D’après 2.b., f′(x) est du signe de g(x).
p

0

0

Chapitre 8 n Trigonométrie

Variations
de f


1
0

On retrouve bien les variations observées en 1.b.

33 1. @ Le fichier GeoGebra corrigé est disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee.
a. L’aire s semble maximale et égale environ à 1,3
pour a égal environ à 2,1 rad.
b. On retrouve le fait que s semble maximale et
environ égale à 1,3 pour t environ égal à 0,53
rad. On ignore, pour le moment, la nature de la
courbe obtenue pour la trace du point M.
AD BC
(2AH BC) BC
¥ BH
¥ BH
2
2
(AH BC) ¥ BH (sin t 1)ccos t.
b. La trace du point M semble bien suivre la
courbe de f.
c. f ¢(t) - sin t(1 sin t) cos t ¥ cos t

2. a. s
0

c. D’après le tableau précédent, l’aire du triangle
p
AOM est maximale pour x . On pouvait le pré2
voir car, à base OA constante, l’aire est maximale
lorsque la hauteur MH est maximale et égale à r.

214

x Æ0

Signe
de f′(x)

31 a. f(x)

Signe
de f′(x)

x Æ0

Pour tout réel x Œ]0 ; p],
g¢(x) cos x - x sin x - cos x -x sin x donc g¢(x)
est du signe contraire de sin x .

x

S’entraîner

x

x Æ0

lim g(x) 0.

- sin t (cos2 t - sin2 t)
- sin t (1 - 2 sin2 t).

© éditions Belin, 2012.

x

p
3

sin x
.
x
b. Graphiquement on observe que lorsque x augmente, le coefficient directeur m(x) diminue.
sin x
sin x - sin0
2. a. lim
lim
sin¢ (0) cos 0 1.
x-0
x Æ0 x
x Æ0
Ainsi le coefficient directeur de la tangente à 
au point d’abscisse 0 est égal à 1.
x cos x - sin x
b. f ¢(x)
.
x2
c. lim x cos x 0 et lim sin x 0 donc

32 1. a. m(x)

f ¢(t) -2 sin2 t - sin t 1 -2X 2 - X 1
avec X sin t.
Ê
Ê


f ¢(t) -2 Á X - ˜ (X 1) -2 Ásin t - ˜ (sin t 1) .


Ë
Ë
t

p
6

0

Signe

1
2



Signe
de sint 1

+

Signe
de f′(t)

+

de sint -

Variations
de s = f

0

35 1. a. Il semble que lim f(x) lim f(x) 1.
x Æ-

p
2
+
+

0

b. Pour tout réel x non nul : f(x)

sin



Donc

3 3
4
1

x Æ

0

lim f(x) lim f(x)

x Æ-

1
x

1
x.

x Æ

sin u
lim
sin¢ (0) cos 0 1.
uÆ 0 u
2. a. Écran 1 :

L’aire du trapèze ABCD est donc maximale et
3 3
p
p p 2p
égale à
pour t donc pour a
.
4
6
6 2
3

34 1. Il semble que :
a. lim (2 sin x 5x - 9) .
x Æ

3 sin x
0.
x 1
x cos x
c. lim
0.
x Æ 9 - x2
2. a. Pour tout réel x, 2 sin x -2
donc 2 sin x 5x - 9 5x - 11.
Or lim (5x - 11) donc, par comparaison,

b. lim

x Æ

Écran 2 :

x Æ

lim (2 sin x 5x - 9) .

x Æ

Écran 3 :

Il semble que lim f(x) 0.
x Æ0

1
1 donc -x f(x) x.
x
Or lim (-x) lim x 0 donc lim f(x) 0.

b. Si x 0 alors -1 sin
x Æ0
x 0

x Æ0
x 0

De plus, si x 0 alors -1 sin
donc -x f(x) x.

x Æ0
x 0

1
1
x

Chapitre 8 n Trigonométrie n  215

© éditions Belin, 2012.

b. Pour tout réel x > –1, -3 3 sin x 3 donc
-3
3 sin x
3
.


x 1
x 1
x 1
-3
3
Or lim
0 et lim
0 donc, d’après
x Æ x 1
x Æ x 1
3 sin x
le théorème des gendarmes, lim
0.
x Æ x 1
c. Pour tout réel x > 3, -1 cos x 1 d’où
-x x cos x x et donc
-x
x cos x
x
.


9 - x2
9 - x2
9 - x2
x
1
Or, lim
lim - 0 et
x Æ 9 - x2
x Æ x
-x
1
lim
lim
0 donc, d’après le
x Æ 9 - x2
x Æ x
x cos x
théorème des gendarmes, lim
0.
x Æ 9 - x2

Or lim (-x) lim x 0 donc lim f(x) 0.
x Æ0
x 0

A

x Æ0
x 0

MA + MB + MH = 14,6603
I

Ainsi, lim f(x) 0 et lim f(x) 0
x Æ0
x 0

x Æ0
x 0

g

f

θ = 30,0112°

d’où lim f(x) 0.
x Æ0

M

36 1. Pour tout réel x Œ[0 ; p], f ¢(x) -2 sin x cos x.
x

p
2

0


Signe
de cos x

+

0





0

+

0

Variations
de f



0

0

1

1
0

Ê pˆ Ê
Ê pˆ

2. a. T a pour équation y f ¢ Á ˜ Á x - ˜ f Á ˜
4
4
Ë
¯
Ë
¯
Ë 4¯
p 1
soit y -x .
4 2
b. Pour tout réel x Œ[0 ; p],
g¢(x) -2 sin x cos x 1 - sin(2x) 1
donc g¢(x) 0.
Et sur [0 ; p], g¢(x) 0 lorsque sin(2x) 1
p
donc pour x .
4
x

p
4

0

Signe
de g′(x)

+

Variations
de g(x)
Signe
de g(x)

0

p
+
1 3p

2 4

0

1 p
2 4


0

+

c. D’après le signe de g obtenu précédemment,
on en déduit que :
È p˘
 est au-dessous de T sur Í0 ; ˙ , au-dessus de T
Î 4˚
Èp ˘
p
sur Í ; p˙, et coupe T en x .
4
4
Î
˚

37 1. La longueur totale des tuyaux semble
minimale et environ égale à 14,66 pour
p
q 30 rad.
6

216

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

K

h

p

Signe
0
de −2sin x

Signe
de f′(x)

B

D

H

C

2. a. f(q) MA MB MH 2MB (6 - BK)
5

6 - 5 tan q
cos q
10
sin q

6-5
.
cos q
cos q
10 sin q
5
5(2 sin q - 1)
b. f ¢(q)
.

cos2 q cos2 q
cos2 q
c. f ¢(q) a le même signe que 2 sinq - 1 ou que
1
sinq - .
2
1
p
1
Or sinq - 0 pour x , sinq - 0 sur
2
6
2
1
˘ pÈ
˘p pÈ
˙ 6 ; 2 Í et sinq - 2 0 sur ˙ 0 ; 6 Í .
˚
Î
˚
Î
q
Signe
de f′(q)
Variations
de f

p
6

1


0

p
2
+

5 3 6

Ainsi, la longueur totale des tuyaux est minimale
p
et égale à 5 3 6 pour q rad.
6
p
5
On a alors BK 5 tan
. M est donc placé
6
3
5
au-dessus de H avec MH 6 .
3
38 a. f ¢(x) sin(2x) - sin x.
On recherche x Œ [0 ; p] tel que f ¢(x) 0.
Or sin(2x) sin x € 2x x 2kp ou
p 2kp
2x p - x 2kp € x 2kp ou x
.
3
3
p
Donc, sur [0 ; p], f′(x) = 0 pour x = 0 ou x .
3
Ainsi, on a deux points de la courbe  en lesquels
la tangente à  est horizontale : les points A(0 ; 2)
Ê p 9ˆ
et B Á ; ˜ .
Ë 3 4¯

© éditions Belin, 2012.

x Æ0
x 0

b. f ¢(x) sin(2x) - sin x 2 sin x cos x - sin x
sin x(2 cos x - 1).
Donc, sur [0 ; p], f′(x) a le même signe que
1
2cos x – 1 ou que cos x - .
2
1
p
1
Or cos x - 0 pour x , cos x - 0
2
3
2
1
˘p ˘
È pÈ
sur Í 0 ; Í et cos x - 0 sur ˙ ; p ˙ .
3
2
Î
Î
˚3 ˚
0

Signe
de f′(x)

0

Variations
de f

p
3
+

0

p


9
4
2

0

Ê 2pt
dy
dy
2px ˆ
8p cos Á
donc
0
dt
dt
Ë 0, 01 0, 02˜¯
Ê 2pt
p
2px ˆ
cos donc lorsque
lorsque cos Á
2
Ë 0, 01 0, 02˜¯
2pt
2px
p
2pt
2px
p
- 2kp,
2kp ou
0, 01 0, 02
2
0, 01 0, 02 2
1
c’est-à-dire pour t x 0, 0025 0, 01k ou
2
1
t x - 0, 0025 0, 01k t étant positif.
2
Ê 2pt ˆ
b. Pour x 0, y 0, 04 sin Á
et
Ë 0, 01˜¯
Ê 2pt
dy
2px ˆ
8p cos Á
.
dt
Ë 0, 01 0, 02˜¯
dy
s’annule sur [0 ; 0,005] en t = 0,0025 (pour k = 0).
dt
2pt
p
Si 0 t 0, 0025 alors 0

0, 01 2
dy
donc
0.
dt
p
2pt
Si 0, 0025 t 0, 005 alors
p
2 0, 01
dy
donc
0.
dt

39 1. a.

t

0

Signe
dy
de
dt
Variations
de y

0,0025
+

0

0,005


0,04
0

0

x

0

Signe de 
dy
dx
Variations
de y

0,005


0

0,01
+

0

0
–0,04

40 1. a. On sait que x(0) = –0,05
donc Acos 0  = –0,05 et A = –0,05.
13, 2
1
25 –1

b. T0
0, 88 s donc F0
s .
0, 88 22
15
Ê 25p ˆ
2. x(t) -0, 05 cos Á
t .
Ë 11 ˜¯
On recherche le plus petit réel t positif tel que
Ê 25p ˆ
t cos p , soit
x(t) = 0,05, c’est-à-dire cos Á
Ë 11 ˜¯
25p
11 22k
t p 2kp et donc t
.
11
25
11
L’instant recherché est donc t1
0, 44 s.
25
3. a. La vitesse à l’instant t est
Ê 25p ˆ
5
v(t) x¢(t)
sin Á
t .
44
Ë 11 ˜¯

Chapitre 8 n Trigonométrie n  217

© éditions Belin, 2012.

x

Ê 2pt
dy
dy
2px ˆ
-4p cos Á
0
donc
dx
dx
Ë 0, 01 0, 02˜¯
Ê 2pt
p
2px ˆ
cos donc lorsque
lorsque cos Á
2
Ë 0, 01 0, 02˜¯
2pt
2px
2pt
2px
p
p
2kp ou
- 2kp,
0, 01 0, 02 2
0, 01 0, 02
2
c’est-à-dire pour x 2t - 0, 005 - 0, 02k ou
x 2t 0, 005 - 0, 02k.
b. Pour t = 0,01,
Ê
Ê 2px ˆ
2px ˆ
y 0, 04 sin Á2p et
-0, 04 sin Á
˜
0, 02¯
Ë
Ë 0, 02˜¯
Ê 2px ˆ
dy
-4p cos Á
.
dx
Ë 0, 02˜¯
dy
s’annule sur [0 ; 0,01] pour x = 0,005 (avec
dx
k = 1).
2px
p
Si 0 x 0, 005 alors 0

0, 02 2
Ê 2px ˆ
dy
donc cos Á
0 et
0.
dx
Ë 0, 02¯˜
p
2px
Si 0, 005 x 0, 01 alors
p
2 0, 02
Ê 2px ˆ
dy
donc cos Á
0.
0 et
dx
Ë 0, 02˜¯

2. a.

5
,
44

Ê 25p ˆ
25p
p
p
t sin , soit
c’est-à-dire sin Á
t 2kp
2
11
2
Ë 11 ˜¯
11 22
et donc t

k.
50 25
11
L’instant recherché est donc t2
0, 22s.
50
Ê 25p ˆ
125
cos Á
t
b. L’accélération est a(t) v ¢(t)
484
Ë 11 ˜¯
625
donc a(t) x(t), ce qui prouve que l’accélé121
ration est proportionnelle à la position.
125
c. a(t1) a(0, 44) ª -0, 258 m.s–2 et
484
a(t2) a(0, 22) 0 m.s–2.

41 Précision : dans cet exercice m = 0,5 g.
a. x(0) = 0 donc A = –0,048.
x′(t) =  –10Asin (10t) + 10Bcos (10t) et x′(0) = 0
donc B = 0.
D’où x(t) =  –0,048cos (10t) + 0,098.
b. x(t) est maximal lorsque x(t) = 0,146 (avec
cos (10t) = −1).
Or cos (10t) = cos p lorsque 10t = p + 2kp, soit
p 2kp
t
.
10
p
Entre 0 et 2 s, on trouve les instants t
ou
10
3p
p
t
ou t .
10
2
c. x′(t) =  0,48sin (10t) et x″(t) =  4,8cos (10t).
k
50
Donc x¢¢(t) x(t) 4, 8 cos(10t)
¥
m
0, 5
(-0, 048 cos(10t) 0, 098) 9, 8 g.
k
Donc, avec m = 0,5, x¢¢(t) x(t) est constant.
m
42 a. Pour tout entier naturel n,

p
p
cos(2pn) n - . Ainsi, (un) est une
5
5
suite arithmétique de raison positive 1 donc
croissante.
b. La fonction f n’est pas croissante sur [0 ; +∞[
car f(0,5) > f(1).

un n -

n(n 1)
n 1
1 2 º n
2
43 a. vn


2n
n2
n2
1
n
donc lim vn lim
.
2

nÆ 2n
b. f′(x) = 1 – cos x donc f′(x) ≥ 0. Ainsi, f est
croissante sur [0 ; +∞[ et f(0) = 0 donc f est positive sur [0 ; +∞[.

218

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

g′(x) = x – sin x = f(x) donc g¢(x) 0 sur [0 ; +∞[.
Ainsi, g est croissante sur [0 ; +∞[ et g(0) = 0
donc g est positive sur [0 ; +∞[.
1
h¢ (x) -1 x2 cos x g(x) donc h¢ (x) 0.
2
Ainsi, h est croissante sur [0 ; +∞[ et h(0) = 0
donc h est positive sur [0 ; +∞[.
c. Démontrons par récurrence la propriété P :
« 13 23 º n3 n4  ».
• Initialisation : P est vraie pour n = 1 car 13 14 .
• Hérédité : on suppose que P est vraie pour un
certain entier n non nul fixé.
On a alors 13 23 º n3 (n 1)3 n4 (n 1)3.
Or (n 1)4 - n4 - (n 1)3 n(n 1)3 - n4
n[(n 1)3 - n3] n(3n2 3n 1).
Et comme, pour tout entier n non nul,
n(3n2 3n 1) 0, n4 (n 1)3 (n 1)4.
Donc 13 23 º n3 (n 1)3 (n 1)4, ce qui
signifie que P est encore vraie au rang n +1.
• Conclusion : P est vraie pour tout entier n non
nul.
d. D’après b., pour tout réel x positif,
1
x - x3 sin x x .
6
On écrit l’encadrement précédent en remplaçant
1 2
n
successivement x par ,
,K,
et on obtient,
n2 n2
n2
en additionnant membre à membre :
3
3
3
È
Ê 2ˆ
Ê1
Ê n ˆ ˘˙
2
n ˆ 1 ÍÊ 1 ˆ
ÁË n2 n2 º n2˜¯ - 6 ÍÁË n2˜¯ ÁË n2˜¯ º ÁË n2˜¯ ˙
˚
Î
1
2
n
1
2
n

sin sin º sin
º .
n2
n2
n2 n2 n2
n2
1 13 23 º n3
¥
un vn.
6
n6
Or, d’après c., 13 23 º n3 n4 donc
13 23 º n3
1

et
n6
n2
3
3
3
1 1 2 º n
1 1
- ¥
- ¥ .
6
6 n2
n6
1 1
Ainsi, vn - ¥
un vn .
6 n2
1 1
e. Pour tout entier n non nul, vn - ¥
un vn.
6 n2
1
Or, d’après a., lim vn
2

1 1
1
et lim vn - ¥
donc, d’après le
6 n2 2

1
théorème des gendarmes, lim un .
2

D’où : vn -

© éditions Belin, 2012.

On recherche le plus petit réel t tel que v(t)

t
2

44 a. Pour tout réel t, cos t 2 cos2 - 1 donc
t
t
- 2 et 2 2 cos t 4 cos2 .
2
2
Ê aˆ
b. Soit la propriété P : « xn 2 cos Á ˜  ».
Ë 2n¯

2 cos t 4 cos2

• Initialisation : P est vraie pour n = 0 car
Ê aˆ
x0 2 cos a 2 cos Á ˜ .
Ë 20¯
• Hérédité : on suppose que P est vraie pour un
certain entier n fixé.
On a alors :
Ê aˆ
Á n˜
Ê aˆ
xn 1 2 xn 2 2 cos Á ˜ 4 cos2 Á 2 ˜
Ë 2n¯
Á 2˜
Ë ¯
d’après a.
Ê a ˆ
Ê a ˆ
2 cos Á
D’où : xn 1 4 cos2 Á
, ce qui
˜
n

1
Ë2 ¯
Ë 2n 1˜¯
prouve que P est vraie au rang n +1.
• Conclusion : P est vraie pour tout entier naturel n.
a
c. Plus n augmente, plus 2n augmente et plus
2n
Ê aˆ
diminue, et donc cos Á ˜ et xn augmentent.
Ë 2n¯
Ainsi, la suite (xn) est croissante, ce qui signifie
que plus n augmente plus les points Mn se rapprochent du point I.
a
d. lim
0 donc lim xn 2. Ainsi, on peut
nÆ 2n

placer le point Mn aussi près que l’on veut du
point I, pour n suffisamment grand.
e. Corrigé de l’algorithme sous Algobox :

46 a. Vrai, car pour tout réel x,
f ¢(x) g¢ (x) -2cosx 3 cos3 x .
b. Vrai, car pour tout réel x,
f(x) - g(x) sin x cos2 x - sin x - 5 sin x(1 - cos2 x)
-5.
La fonction f – g est constante égale à –5 donc ses
primitives sont données par F(x) – G(x) = –5x + b,
où b est un réel, et toutes sont représentées par
des droites de coefficient directeur –5.
c. Vrai, car f et g sont continues sur R.
d. Faux, car f et g sont différentes, par exemple,
Ê pˆ
Ê pˆ
f Á ˜ gÁ ˜ .
Ë 2¯
Ë 2¯
e. Faux, car les primitives F de f ont pour dérivée
la fonction f qui est positive sur [0 ; p] donc toutes
les primitives F de f sont croissantes sur [0 ; p].
1
f. Vrai, par exemple F(x) - cos3 x - 5.
3
2
p
47 a. Si 0 x alors 1 cos x
4
2
1
2
1
donc 1

, soit 1
2.
cos x
cos x
2
b. D’après l’encadrement précédent, on a :
p
4

p
4

0

0
p
4

Údx Ú
p

ÈÎx˘˚ 4
0
p

4

p
4

1
dx
cos x

Ú

2dx , d’où

0

1

Ú cos x dx ÈÎx
0

1

Ú cos x dx
0

p
4

p

2˘˚ 4 soit
0

p 2
.
4

48 1. a. Pour tout réel x, f(–x) = (–x)3cos (–x) =

–x3cos x = –f(x) donc f est impaire.
b. La courbe de f est symétrique par rapport à
O(0 ; 0) donc I = 0.
2. a. Pour tout réel x,
g(-x) sin2(-x)cos3(-x) (- sin x)2(cos x)3
sin2 x cos3 x g(x)
donc g est paire.
b. La courbe de g est symétrique par rapport à
p
2

45 f est continue et positive sur [0 ; p] donc l’aire
recherchée est :
p

p

Ê 1

 f(x)dx Á- cos(2x) cos x ˜ dx
2

Ë

Ú

0

Ú

0

p

È 1
3 ˘
3p
Í- sin
u.a.
n(2x) sin x x˙
4
2 ˚0
2
Î

Ú

l’axe des ordonnées donc J 2 ¥ g(x)dx
0

3. a. Pour tout réel x,
2

4
.
15

2

Ê
pˆ È Ê
pˆ ˘ È Ê
pˆ ˘
h Á x ˜ Ísin Á x ˜ ˙ Ícos Á x ˜ ˙
2¯ Î Ë
2¯ ˚ Î Ë
2¯ ˚
Ë
(cos x)2(- sin x)2 cos2 x sin2 x h(x)
p
donc h est périodique de période .
2

Chapitre 8 n Trigonométrie n  219

© éditions Belin, 2012.

Avec a = 1, on obtient n = 10.

p
2

p
b. D’après la périodicité de h, K 4 ¥ h(x)dx .
4

Ú

p
8

0

p
8

È 1

p
˘8

1

49 1. a. I0 Ú sin(4x)dx Í- cos(4x)˙ .
Î 4
˚0 4
0

sin(4x) - 4xcos(4x)
. On a alors
b. Soit F(x)
16
1
È4 cos(4x) - 4 cos(4x) - 4x ¥ (-4 sin(4x)˘˚
F ¢(x)
16 Î
x sin(4x).
Donc une primitive de f(x) = xsin (4x) est donnée
sin(4x) - 4x cos(4x)
par F(x)
.
16
Ainsi,
p
8

È 1
0 In Í
În 1

Ú

0

1
.
˙
˚0 16

p
p
alors 0 4x et sin(4x) 0,
8
2
avec x n 0, donc x n sin(4x) 0.

2. a. Si 0 x
p
8

˙
˚0

0

1 Ê pˆ
soit 0 In
n 1ÁË 8˜¯

Ê pˆ
1
0 et lim Á ˜
nÆ Ë 8¯
nÆ n 1
n 1

1 Ê pˆ
0.
Á ˜
nÆ n 1Ë 8¯
Ainsi, d’après le théorème des gendarmes,
lim In 0.


p

p

p

0
p

0

0

50 I - J Ú cos2 xdx - Ú sin2 xdx Ú(cos2 x - sin2 x)dx

Ú

Donc I = J.

51 1. a. Pour tout réel t de [0 ; 1], t n cos t 0
1

Ú

donc t n cos tdt 0, soit xn 0.

Ú

0

Or, sur [0 ; 1], t n(t - 1)cos t 0 donc
1

Út n(t - 1)cos tdt 0, soit xn 1 - xn 0 .

p
8

Ú x n(x - 1)sin(4x)dx 0, soit In 1 - In 0.
0

Il en résulte que la suite (In) est décroissante.
c. D’après 2.a. et 2.b., la suite (In) est décroissante et minorée par 0 donc est convergente.
d. On a toujours sin(4x) 1 donc, pour tout
entier n, x n sin(4x) x n.
p
8

Ú

p
8

Ú

D’où : x n sin(4x)dx x ndx , soit In x ndx.
0

Chapitre 8 n Trigonométrie

0

0

Ainsi, la suite (xn) est décroissante.
c. D’après 1.a. et 1.b., la suite (xn) est décroissante et minorée par 0 donc est convergente.
d. On a toujours cos t 1 donc, sur [0 ; 1],
t n cos t t n.
1

Ú

1

Ú

D’où t n cos tdt t ndt , soit
1

0

0

1

È 1 n 1˘
1
t n cos tdt Í
t ˙ et donc xn
.
1
n

n
1
Î
˚0
0

Ú

1
1
. Or lim
0
n 1
nÆ n 1
donc, d’après le théorème des gendarmes,
lim xn 0.

e. Pour tout n, 0 xn



2. a. f ¢(t) (n 1)t n sin t t n 1cos t.

© éditions Belin, 2012.

È p˘
Or, sur Í0 ; ˙ , x n 0, (x - 1) 0 et sin(4x) 0
Î 8˚
donc x n(x - 1)sin(4x) 0 ; d’où

n

0

t n(t - 1)cos tdt.

0

0

0

Ú

0
1

Ú

Ú

Ú

1

Ú

x n(x - 1)sin(4x)dx.

p
8

p

È 1
˘
sin(2x)dx Í- cos(2x)˙ 0.
2
Î
˚0
0

In 1 - In x n 1sin(4x)dx - x n sin(4x)dx
0
p
8

p
1
8

xn 1 - xn t n 1cos tdt - t n cos tdt

p
8

Ú

0 car 0

donc lim

1

p
8

n 1

.

b. Pour tout n,

0

b. Pour tout entier n,

n 1

0

Ú

D’où x n sin(4x)dx 0 , soit In 0.

220

p
8
˘
x n 1 ,

Or lim

p
4x cos(4x)˘ 8

Èsin(4x) I1 x sin(4x)dx Í
16
Î

Ú

e. D’après 2.a. et 2.d., on a : 0 In x ndx, d’où

1

1

1

0

0

0

Úf ¢(t)dt Ú(n 1)t n sin tdt Út n 1cos tdt .
D’où f(1) - f(0) (n 1)yn xn 1, soit
(n 1)yn xn 1 sin(1).
c. On sait que (n 1)yn xn 1 sin(1) avec
lim xn 1 0 (d’après 1.e.).


sin(1)
0.
n 1
d. On pouvait effectivement déterminer la limite
de (yn) avec le théorème des gendarmes, car on
1
peut démontrer que, pour tout n, 0 yn
.
n 1
3. On sait que, pour tout n,
yn 1 nxn xn - cos(1) avec lim yn 1 0 et
Donc lim yn lim






lim xn 0. Donc lim nxn cos(1).





On sait aussi que, pour tout n,
nyn yn xn 1 sin(1) avec lim yn 0 et


lim xn 1 0 donc lim nyn sin(1).





Préparer le BAC
Exercices guidés BAC
58 1. Pour tout réel x, -1 sin x 1 donc
-e-x e-x sin x e-x.
Or lim e-x lim - e-x 0 donc
x Æ

x Æ

lim e-x sin x 0.

x Æ

Donc la droite D d’équation y = 0 est une asymptote horizontale à f en +∞.
2.
x
e-x sin x
e-x sin x 0, 001?

1

2

3

0,309

0,123

0,007

oui

oui

oui

4

5

6

0,014

0,006

0,00069

oui

oui

non

3. On étudie le signe de f(x) qui ne dépend que de
celui de sin x, positif sur [0 ; p], négatif sur [p ; 2p].
Ainsi, f est au-dessus de l’axe des abscisses
sur [0 ; p], au-dessous de l’axe des abscisses sur
[p ; 2p], et coupe l’axe des abscisses aux points
d’abscisse 0, p, 2p.
4. a. f ¢(x) -e-x sin x e-x cos x
Ê 2
ˆ
2
sin x˜
2e-x Á cos x 2
Ë 2
¯
Ê
p

2e-x Ácos x cos - sin x sin ˜
4

Ë
Ê
ˆ
p
2e-x cos Á x ˜ .

Ë
b. Le signe de f′(x) dépend uniquement de
Ê

cos Á x ˜ .
4
Ë
¯
Ê
Ê


p
cos Á x ˜ 0 € cos Á x ˜ cos


2
Ë
Ë
p p
p
p
€ x 2kp ou x - 2kp
4 2
4
2
p
3p
€ x 2kp ou x 2kp.
4
4
p
5p
.
Ainsi, sur [0 ; 2p], f′(x) = 0 pour x ou x
4
4
p
p
p
p
Si 0 x alors x et
4
4
4 2
Ê

cos Á x ˜ 0 donc f ¢(x) 0.

Ë
p
5p
p
p 3p
Si x
alors x
et
4
2
4
2
4
Ê

cos Á x ˜ 0 donc f ¢(x) 0.

Ë
5p
3p
p 9p
Si
x 2p alors
x
et
4
2
4
4
Ê
ˆ
p
cos Á x ˜ 0 donc f ¢(x) 0.

Ë
x

+

f′(x)

e-x sin x
e-x sin x 0, 001?

Avec k = 0,001 alors x = 6.
L’algorithme permet de trouver le plus petit entier x
tel que l’écart entre f et D soit inférieur ou égal à k.

5p
4


0

2p
+

0

0

p

2 e 4
2

f(x)
x

p
4

0

0

5p

-

2 e 4
2

5. a. f(x) g(x) € e-x(sin x 1) 0 € sin x -1
3p
(sur [0 ; 2p]).
€x
2
Donc f et g ne se coupent qu’au seul point A
3p
d’abscisse
(sur [0 ; 2p]).
2

Chapitre 8 n Trigonométrie n  221

© éditions Belin, 2012.

b. En intégrant l’égalité précédente :

La tangente T à f au point A a pour équation

c. Pour tout n :

ˆ
ÁË 2 - 1˜¯ .
La tangente T′ à g au point A a aussi pour équa-

Èe-x(- sin x - cos x)˘
f(x) Í
˙
2
ÍÎ
˙˚2np
2np
1 -(2n 1)p 1 -2np e-2np(e-p 1)
e
e

.
2
2
2
e-p 1 -2p n
d. Pour tout n, In
(e ) donc la suite
2
e-p 1
er
(In) est géométrique de 1 terme
et de
2
raison e-2p .
e. Comme –1 < e-2p  < 1, la suite (In) converge
vers 0.



3p
- Ê 3p
e 2 -

3p
2x

3p
Ê 3p
2 -

ˆ
ÁË 2 - 1˜¯ .
Donc les tangentes T et T′ sont confondues.
tion y e

-

e

-

b. f(x) h(x) € e-x(sin x - 1) 0 € sin x 1
p
€ x (sur [0 ; 2p]).
2
Donc f et h ne se coupent qu’au point B d’absp
cisse (sur [0 ; 2p]).
2
La tangente D à f au point B a pour équation
p
p
- Êp
ˆ
y -e 2 x e 2 Á 1˜ .
Ë2 ¯
La tangente D′ à h au point B a aussi pour équap
p
- Êp
ˆ
tion y -e 2 x e 2 Á 1˜ .
Ë2 ¯
Donc les tangentes D et D′ sont confondues.
6.
1
0,8

h

0,6

59 Dans cet exercice, on a x(0) = 2 et non pas
x(0) = 0.
a. Vrai. En effet, x(0) = 2 donc A = 2 ; de plus,
x′(t) =  –0,5Asin (0,5t) +  0,5Bcos (0,5t) et x′(0) = 0
donc B = 0. Donc x(t) =  2 cos (0,5t) et la valeur
maximale de x(t) est bien 2.
b. Faux, car x′(t) =  –sin (0,5t) donc la valeur maximale de x′(t) est 1.
c. Faux, car si t augmente de 0 à 4, alors 0,5t augmente de 0 à 2 et 2cos (0,5t) diminue de 2 à 2cos 2.
d. Vrai. En effet, la valeur moyenne recherchée

0,2
0
–0,2

1

2

3

4

5

–0,4
–0,6
f

–0,8
–1

g

7. a. La fonction f est continue et positive sur
[0 ; p] donc I0 représente l’aire du domaine constitué des points situés entre la courbe f, l’axe des
abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = p.
De même f est continue et positive sur
[2np ; (2n 1)p] donc In représente l’aire du
domaine constitué des points situés entre la
courbe f, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x = 2np et x = (2n + 1)p.
e-x(- sin x - cos x)
b. On pose F(x)
et on dérive F :
2
1
1
F ¢(x) - e-x(- sin x - cos x) e-x(- cos x sin x)
2
2
e-x sin x f(x).
Donc F est bien une primitive de f.

222

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

Ú

QCM – Vrai ou faux BAC

est

0,4

(2n 1)p

(2n 1)p

In

1
4p - 0

4p

1

4p

Ú - sin(0,5t)dt 4p ÈÎ2 cos(0,5t)˘˚0

0.

0

60 a. Faux, car f(1) > f(1,5).

cos x
et le coefficient direcsin2 x
2p
teur de la tangente à  au point d’abscisse
est
3
Ê 2pˆ 2
f¢ Á ˜ .
Ë 3¯ 3
1 Ê sin x
- sin x ˆ
c. Vrai, car F ¢(x) Á
2 Ë1- cos x 1 cos x˜¯
1 sin x(1 cos x) sin x(1- cos x)
¥
2
1- cos2 x
1 2sin x
1
¥

f(x).
2 sin2 x sin x
d. Vrai, car l’aire recherchée est égale à

b. Faux, car f ¢(x) -



3p
4

Ê 3pˆ

Ê pˆ

1È Ê

Ú f(x)dx F ÁË 4 ˜¯ - F ÁË 2˜¯ 2 ÍÍÎlnÁË1
p
2

Ê

1 Á1 2 ˜ 1 Ê 2 2 2 2ˆ
lnÁ
¥
˜ lnÁ
˜
2 Á
2 ˜ 2 Ë 2 - 2 2 2¯
1
Ë
¯
2
1
ln(3 2 2).
2

Ê
2ˆ ˘

- lnÁ1- ˜˙
2 ¯˙˚
2 ˜¯
Ë

© éditions Belin, 2012.

y

3p
e 2x

3. a. La tangente T à  au point A d’abscisse a a
pour équation y sin a ¥ e- cos a(x - a) e- cos a.
T passe par le point O(0 ; 0) si et seulement si
0 sin a ¥ e- cos a(-a) e- cos a, soit
1
e- cos a(-a sin a 1) 0, autrement dit a
.
sin a
2
1
b. g¢(x) cos x
et g¢¢(x) - sin x .
x2
x3
Sur ]0 ; p], sin x ≥ 0 donc −sin x ≤ 0 et g″(x) ≤ 0.

Exercice BAC
61 1. a. Pour tout réel x,
f(-x) e- cos(-x) e- cos x f(x) donc f est paire.
Pour tout réel x,
f(x 2p) e- cos(x 2p) e- cos x f(x) donc f est
périodique de période 2p.
b. f ¢(x) sin x ¥ e- cos x est du signe de sin x.
0

Signe
de f′(x)

0

Variations
de f

c.

+

p

x

0

Signe
de g′(x)


+∞

e
Variations
de g

e−1

-1

1
p2

Ainsi, g′ est continue et strictement décroissante
1
È
È
sur ]0 ; p]. Or 0 Œ Í -1
;+ Ídonc, d’après le
p2
Î
Î
théorème des valeurs intermédiaires appliqué
aux fonctions strictement monotones, l’équation
g′(x) = 0 admet une unique solution x0.
Sur la calculatrice, on obtient x0 ª 1, 863.

3

2

c. D’après la question précédente, on a :

1

x

b = 4,9005
a = 3,0545
0

p

0

1

2



2. a. On subdivise l’intervalle [0 ; p] en 4 comme
ci-dessus, et on observe que S est comprise entre
l’aire totale des quatre rectangles « inférieurs »
sous la courbe de f, et l’aire totale des rectangles
« supérieurs » au-dessus de la courbe de f, d’où
l’encadrement demandé.
b. Par calcul ou par recherche sur un logiciel, on
peut affirmer que S ≈ 4 (à 1 unité près).
c. Corrigé de l’algorithme :
S1 = 0 ;
S2 = 10 ;
TantQue S2 – S1 > 0,02 faire
n = n + 1 ;
S1 = 0 ;
S2 = 0 ;
Pour k allant de 0 à n – 1 faire
S1 = S1 + (p/n)*exp(–cos(k*p/n)) ;
S2 + S2 + (p/n)*exp(-cos((k+1)*p/n)) ;
FinPour
FinTantque
Afficher(S1) ;
Afficher(S2) ;

Variations
de g

p

x0

0

Signe
de g′(x)

+

0



g(x0) ª 0, 42
0

-

1
p

Ainsi, g est continue et strictement croissante sur
]0 ; x0] et 0 ∈ ]–∞ ; g(x0)] donc l’équation g(x) = 0
admet une seule solution x1 dans ]0 ; x0].
De plus, g est continue et strictement décroissante sur [x0 ; p] et 0 
∈ [g(p) ; g(x0)] donc
l’équation g(x) = 0 admet une seule solution x2
dans [x0 ; +∞[.
En conclusion, l’équation g(x) = 0 admet, sur
]0 ; p], deux solutions x1 et x2.
Sur la calculatrice, on trouve : x1 ≈ 1,114 et
x2 ≈ 2,773.
d. D’après 3.a. et 3.c., il existe exactement deux
points de  en lesquelles la tangente passe par
O(0 ; 0) : ce sont les points d’abscisses respectives x1 et x2.

Chapitre 8 n Trigonométrie n  223

© éditions Belin, 2012.

x

p
62 1. Si x - alors nx -1 car n 0 donc
2
l’équation cos x = nx n’admet pas de solution sur

˘
˙ - ; - 2 ˙.
˚
˚
p
Si x alors nx 1 car n 0 donc l’équation
2
˘p
˘
cos x = nx n’admet pas de solution sur ˙ ;+ ˙ .
˚2
˚
p
Si – x 0 alors cos x 0 et nx 0 car n 0
2
donc l’équation cos x = nx n’admet pas de solu˘ p È
tion sur ˙ – ; 0 Í .
˚ 2 Î
2. a. fn¢(x) - sin x - n. Or - sin x 1 et -n -1
donc fn¢(x) 0.
Ainsi, fn, qui n’est pas constante, est continue et
È p˘
strictement décroissante sur Í0 ; ˙ . Et
Î 2˚
Ê pˆ
È Ê pˆ
˘
np
0 Œ Íf Á ˜ ; f(0)˙ car f Á ˜ et f(0) 1. Donc
2
Ë 2¯
Î Ë 2¯
˚
l’équation fn(x) = 0 admet une solution unique
È p˘
un dans Í0 ; ˙ .
Î 2˚
b. Il semble que (un) soit décroissante et que (un)
converge vers 0.
c. On sait que un 1 est solution de l’équation
cos x - (n 1)x 0 donc cos(un 1) (n 1)un 1.
Ainsi, fn(un 1) cos(un 1) - nun 1
(n 1)un 1 - nun 1 un 1.
Or on sait que, pour tout n, un 1 0 donc
fn(un 1) fn(un) et donc un 1 un car fn est
È p˘
décroissante sur Í0 ; ˙ . Par conséquent, (un) est
Î 2˚
décroissante.

d. La suite (un) est décroissante et minorée par 0
donc est convergente.
È p˘
e. Pour tout n, 0 un 1 car un Œ Í0 ; ˙ donc
Î 2˚
cos(un) 1
nun
1
0
, d’où 0
, soit
n
n
n
n
1
1
0 un . Or lim
0 donc, d’après le
n
nÆ n
théorème des gendarmes, lim un 0.


63 1. c.

2. a. La fonction cos est dérivable sur ]0 ; p[ ;
pour tout x de ]0 ; p[, –1 < cos x < 1 ; et la fonction g est dérivable sur ]–1 ; 1[ ; donc la fonction
composée f est dérivable sur ]0 ; p[ et, pour tout
réel x de ]0 ; p[,

224

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

f ¢(x) u¢(x) ¥ g¢[u(x)] - sin x ¥


sin x

sin2 x
car sin x 0.



-1
1 - cos2 x

sin x
sin x

1
sin x
sin x

b. Pour tout réel x de ]0 ; p[, f ¢(x) 1 donc
f(x) x k , où k Œ°.
Ê pˆ
Ê

p
Or f Á ˜ g Ácos ˜ g(0)  ; et d’après 2.a.,

2
Ë 2¯
Ë
Ê pˆ p
f Á ˜ k donc k = 0.
Ë 2¯ 2
Ainsi, pour tout réel x de ]0 ; p[, f(x) = x.
Pour aller plus loin : la fonction g est la fonction
réciproque de la fonction cosinus, c’est-à-dire la
fonction arccosinus.

64 1. a. tan x n’est défini que si et seulement si

p
kp , où k Œ ¢.
2
Donc l’ensemble de définition de la fonction tan
¸
p
est D ° \ Ì kp, où k Œ ¢˝.
2
Ó
˛
b. Pour tout réel x de D,
sin(-x) - sin x
f(-x) tan(-x)

- tan x donc
cos(-x)
cos x
la fonction tan est impaire. Ainsi, sa courbe est
symétrique par rapport au point O(0 ; 0).
p
c. Pour tout x de D, si x kp , où k Œ ¢,
2
p
alors x p (k 1)p donc x p Œ D et :
2
sin(x p)
- sin x
sin x
tan(x p)


tan x.
cos(x p) - cos x cos x

cos x 0, c’est-à-dire x

Donc la fonction est périodique de période p.

2. a. lim sin x 1 et lim cos x 0 donc
p
2
p
x
2



p
2
p
x
2



lim tan x . Donc la droite d’équation

p
2
p
x
2



p
est une asymptote verticale à la courbe de
2
la fonction tan.
Remarque : d’après la question 1.c., toutes les
p
droites d’équation kp , où k Œ ¢ sont asymp2
totes à la courbe de la fonction tan.
x

© éditions Belin, 2012.

Pour aller plus loin

b. Pour tout réel x de D,
cos x ¥ cos x - sin x ¥ (- sin x)
tan¢ (x)
cos2 x
2
2
cos x sin x
1


.
cos2 x
cos2 x
cos2 x sin2 x
On a aussi : tan¢ (x)
cos2 x
2
cos x sin2 x


1 tan2 x.
cos2 x cos2 x
1
c. Pour tout réel x de D,
0 donc tan¢ x 0.
cos2 x
p
2

1

Signe
de tan′x

+
+∞

Variations
de f

0

d.
8
6
4
2
–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

–2

t

–4

Signe
de S′(t)

3. a. T a pour équation y = x.
b. g¢(x) 1 tan2 x - 1 tan2 x donc g¢(x) 0.
˘ p pÈ
Et, sur ˙ – ; Í , g¢(x) 0 pour x 0.
˚ 2 2Î
x

p

2

Signe
de g′(x)

+

0

+

0

3p
4


0

3
0

p
+
0

–3

La valeur maximale du signal est M = 3.
9
c. [S(t)]2 9 sin2(2t) (1 - cos(4t)).
2
p
p
˘
1
9
9 È
1
9
d. Ve2
(1 - cos(4t))dt
Ít - sin(4t)˙
2p Î 4
p 2
˚0 2

Ú

+

0

0



p
2

p
2

0


0

9
3
.

2
2
M
e. On remarque que Ve
.
2
2. a. Pour tout t,
1
S(t p) 1 - [sin(t p)]2
4
1
1
1 - (- sin t)2 1 - sin2 t S(t).
4
4
Donc S est périodique de période p.
donc Ve

c. D’après la question 3.b., on connaît le signe
de g(x).

Signe
de g(x)

p
4

0

Variations
de S

p
2

0

Variations
de g

x

65 1. a. Pour tout t,
S(t p) 3 sin[2(t p)] 3 sin(2t 2p)
3 sin(2t) S(t).
Donc S est périodique de période p.
b. S¢(t) 6 cos(2t).
p
p
Or S¢(t) 0 € cos(2t) cos € 2t 2kp
2
2
p
p
p
ou 2t - 2kp € t kp ou t - kp .
2
4
4
p
3p
Ainsi, sur [0 ; p], S′(t) = 0 pour t =  ou t =  .
4
4
p
p
De plus, si 0 t alors 0 2t
4
2
donc cos(2t) 0 et S¢(t) 0.
p
3p
p
3p
Si t
alors 2t
donc cos(2t) 0
4
2
4
2
et S¢(t) 0.
3p
3p
t p alors
2t 2p donc
Et, si
4
2
cos(2t) 0 et S¢(t) 0.

+

Chapitre 8 n Trigonométrie n  225

© éditions Belin, 2012.

x

˘ p È
Ainsi, sur ˙ – ; 0 Í , tan x x et  est strictement
˚ 2 Î
au-dessous de T.
˘ pÈ
Sur ˙ 0 ; Í, tan x x et  est strictement au-dessus
˚ 2Î
de T.
˘ p pÈ
Et, sur ˙ – ; Í ,  coupe T au point O(0 ; 0).
˚ 2 2Î

p
2

1
b. S¢(t) - cos t sin t donc S(t) est du signe de
2
- cos t sur [0 ; p].
0

Signe
de S′(t)

0

p
2


+

0

3
4

La valeur maximale de S est donc M = 1.
2

È 1
˘
1
1
[S(t)]2 Í1- sin2 t˙ 1- sin2 t sin4 t
2
16
Î 4
˚
1
1
1- (1- cos(2t)) (1- 2cos(2t) cos2(2t))
4
64
1 1
1
1
1
1- cos(2t)
- cos(2t)
(cos(4t) 1)
4 4
64 32
128
99
7
1

cos(2t)
cos(4t).
128 32
128
p

d. Ve2

ˆ
1 Ê 99
7
1

cos(2t)
cos(4t)˜ dt
128
p ÁË128 32
¯

Ú

0

p

˘
1 È 99
7
1
99
sin(2t)
sin(4t)˙
Í
t
64
512
128
p Î128
˚0
donc Ve

99
3 11

.
128
8 2

p
2

p
2

0
p
2

0

M
M
car Ve
.
2
2

66 a. I J Úe2x cos2 dx Úe2x sin2 dx
p
2

Ú

Ú

e2x(cos2 sin
n2 x)dx e2xdx
0

0

Í
Î2

˙
˚0

ep - 1
.
2

1 2x
1
e (sin(2x) cos(2x)) e2x(2 cos(2x)
2
4
-2 sin(2x)) e2x cos(2x).

b. f ¢(x)

Ú

n

Ú

0
p
˘2

0

È1
-e p - 1
Í e2x(sin(2x) cos(2x))˙
.
4
4
Î
˚0

ep - 1
Ô I J
ep - 3
Ô
2
d. On sait que Ì
, d’où I
et
p
8
Ô I - J -e - 1
ÔÓ
4
J

3e p - 1
.
8

p
6

p

È 1
˘6 1
67 a. I0 sin(3x)dx Í- cos(3x)˙ .
3
Î
˚0 3
b.
0
1
1
1
f ¢(x) - cos(3x) - x ¥ (-3 sin(3x)) ¥ 3 cos(3x)
3
3
9
x sin(3x).

Ú

p
6

Ê pˆ
1
c. I1 x sin(3x)dx f Á ˜ - f(0) .
9
Ë 6¯

Ú

0

È p˘
p
d. Sur Í0 ; ˙ , x n 0 et sin(3x) 0 car 0 3x
2
Î 6˚

Ú

donc x n sin(3x) 0 , d’où x n sin(3x)dx 0. Ainsi,
0

la suite (In) est minorée par 0.

Chapitre 8 n Trigonométrie

p
6

Ú

e. Pour tout entier n, In 1 - In x n(x - 1)sin(3x)dx.
0

È p˘
Or, sur Í0 ; ˙ , x n(x - 1)sin(3x) 0 donc
Î 6˚
In 1 - In 0. Par conséquent, la suite (In) est
décroissante.
f. D’après d. et e., la suite (In) est décroissante et
minorée par 0, donc elle est convergente.
g. Pour tout n, sin(3x) 1 donc x n sin(3x) x n,
p
6

Ú

p
6

Ú

d’où x n sin(3x)dx x ndx.
0

226

p
2

p
6

e. On remarque ici que Ve

p
È1 2x˘ 2
e

0

e2x(cos2 x - siin2 x)dx e2x cos(2x)dx

0
1

c.

Ú

0
p
2

p

1

Variations
de S

Ú

c. I - J e2x cos2 dx - e2x sin2 dx

0

© éditions Belin, 2012.

t

p
2

È 1
0 In Í
În 1

p
˘6
n

1
x
,

Ú

x ndx ,

e. Sn

donc

0

1 Ê pˆ
˙ soit 0 In
n
1ËÁ 6¯˜
˚0

1 Ê pˆ
Á ˜
nÆ n 1Ë 6¯

n 1

0 car -1

Or lim

n 1

.

p
1. Donc,
6

d’après le théorème des gendarmes, lim In 0.


68 a. Sn est la somme des aires des rectangles

Ê kˆ
È k k 1˘
de base Í ;
˙ et de hauteur f Á ˜ .
n
n
Ë n¯
Î
˚
b. Il semble que lim Sn 0, 63.

c. 1

ip
en

1



ip
en

ip
en

1-

2
ip
en





º e

(n-1)ip
n

2

Ê ip ˆ
Ê ip ˆ
Áe n ˜ º Áe n ˜
ÁË ˜¯
ÁË ˜¯

Ê ip ˆ
1 - Áe n ˜
ÁË ˜¯

d.

1-



2ip
en

n-1

n

1



1 - e ip
1-

ip
en



2
1-

ip
en

.

2

Ê
Ê pˆ

ÁË1 - cos n˜¯ ÁËsin n˜¯

2

ÈÊ


p
2 ÍÁ1 - cos ˜ i sin ˙
sin
n

Ë
¯
n .
1 i ¥
Î
p
p
1 - cos
2(1 - cos )
n
n
Ainsi, en identifiant la partie imaginaire de
ip

2ip
n

p
1 cos 2n
¥
p
n
sin
2n
d’après d.
p
cos
n .
2
Ainsi, Sn
p
p sin 2n
¥
p
2
2n
p
sin x
Or lim cos
1 ; de plus, lim
1 donc
2n

x Æ0 x
p
p
sin
p sin 2n p
n
2
lim
1 et lim
¥
. D’où
p
p
2

nÆ 2
2n
2n
2
lim Sn .
p


f. On a aussi :

ÈÊ


2 ÍÁ1 - cos ˜ i sin ˙


ÎË

1 e n e


p
2p
(n - 1)p ˘
º sin
Ísin 0 sin sin
˙

n
n
n ˚

(n-1)ip

º e n qui est égale à celle
p
sin
n , on obtient :
de 1 i ¥
p
1 - cos
n
p
sin
Ê pˆ
Ê 2pˆ
Ê (n - 1)pˆ
n
sin Á ˜ sin Á ˜ º sin Á

p
Ë n¯
Ë n¯
Ë n ˜¯
1 - cos
n
p
p
p
2 sin cos
cos
2
2
2
n
n
n.


p
p
2
n
1 - (1 - 2 sin 2n) sin
2n

1

È 1
˘
2
lim Sn sin(px)dx Í- cos(px)˙ .
p
p

Î
˚
0
0

Ú

69 On sait que t ∈ [0 ; 2p] donc −1 ≤ sin t ≤ 1,
soit x ∈ [−1 ; 1].
Et y = −cos (2t) = –(1 −2sin2t) = 2x2 – 1.
L’ensemble des points recherchés est donc la
parabole d’équation y = 2x2 – 1 restreinte à l’intervalle [–1 ; 1].
Ê

70 Dans cet exercice on exprime cosÁq ˜ et
6
Ë
¯
Ê

non pas cos Áq - ˜ en fonction de cos(q) et sin(q).

Ë
L’affixe de M est zM

3 2sinq
1 2cos q

.
2
2
2

Ê 3 2 sin qˆ
Ê1 2 cos qˆ
AM zM - zA Á
Á
˜
˜
2
2
Ë
¯
Ë
¯

2

4 - 3 cos q 3 sin q
Ê 3
ˆ
1
4 - 2 3 Á cos q - sin q˜
2
Ë 2
¯
Ê

4 - 2 3 cos Áq ˜ .

Ë

Chapitre 8 n Trigonométrie n  227

© éditions Belin, 2012.

h. Pour tout n, 0 In

p
6

On pose f(q) = AM et on a
Ê

2 3 sin Áq ˜

Ë
donc f ¢(q) est du
f ¢(q)
Ê

2 4 - 2 3 cos Áq ˜

Ë
Ê

signe de sin Áq ˜ .

Ë
Ê

p
p
Or sin Áq ˜ 0 € q kp € q - kp .

6
6
Ë
p
Ainsi, sur [−p ; p], f′(q) s’annule pour q - ou
6
5p
q
.
6
5p
p
p
Si -p q - alors q 0
6
6
6
Ê

donc sin Áq ˜ 0 et f ¢(q) 0.

Ë
5p
p
p
q
alors 0 q p
6
6
6
Ê

donc sin Áq ˜ 0 et f ¢(q) 0.

Ë
5p
p 7p
q p alors p q
Si
6
6
6
Ê

donc sin Áq ˜ 0 et f ¢(q) 0.

Ë
Si –

q

-

–p

Signe
de f′(q)



Variations
de f

0

+

Ê nˆ

 ÁË p ˜¯ an- pbp.

p 0

4. « Linéariser » un polynôme trigonométrique
signifie lui donner une autre écriture en transformant tous les produits ou puissances en sommes
de termes de la forme acos (kx) ou bsin (wx). On
s’aide souvent des formules d’Euler et de la formule du binôme de Newton pour linéariser.
5. a.
Ê eix - e-ix ˆ
f(x) sin3 x Á
˜
Ë 2i ¯

3

1
[(eix)3 - 3(eix)2(e-ix) 3(eix)(e-ix)2 - (e-ix)3].
(2i)3
1
È(e3ix - e-3ix) - 3(eix - e-ix)˘
Donc f(x)
˚
-8i Î


1
È2i sin(3x) - 3 ¥ 2i sin x˘˚
-8i Î
1
3
- sin(3x) sin(x).
4
4
On peut vérifier sur Xcas :

0

7

p n

naturel n non nul, on a (a b)n



5p
6

p
6

3. Formule du binôme de Newton : pour tous
nombres complexes a et b, et pour tout entier

p


4 2 3
4-2 3

7

Ainsi, la distance AM minimale est égale à
p
4 - 2 3 pour q - .
6
L’affixe de P est alors zP 2e

-

ip
6

3 - i.

Communiquer à l’écrit ou à l’oral :
1. Les intégrales de Wallis sont les familles d’intép
2

Ú

p
2

Ú

grales de la forme cosn xdx ou sinn xdx.
0

b. Grâce à la linéarisation précédente, on peut
déterminer une primitive de f.
p
2

p
2

0

0

È 1

˘

3

Ú sin3 xdx Ú ÍÎ- 4 sin(3x) 4 sin(x)˙˚ dx
p

È1
˘2
3
Í cos(3x) - cos x˙
4
Î12
˚0
1
3
2
- cos 0 cos 0 .
12
4
3
On peut le vérifier sur Maxima :

0

228

n

Chapitre 8 n Trigonométrie

© éditions Belin, 2012.

2. Les deux formules d’Euler sont :
eix - e-ix
eix e-ix
et sin x
.
cos x
2i
2

 AP 1

1. a. Faux, car un nombre ne peut avoir
qu’une seule image par une fonction.
b. Faux car l’ensemble de définition de la fonction sinus est R (et non [–1 ; 1] qui est l’ensemble
d’arrivée).
3
p
c. Faux. Par exemple, cos
et
6
2
Ê
pˆ 1
3
cos Á2 ¥ ˜ 2 ¥
.
6¯ 2
2
Ë
2. a. Vrai, d’après le cercle trigonométrique. On
peut aussi utiliser le sens de variation de la foncÈ p˘
Èp ˘
tion sinus sur Í0 ; ˙ puis sur Í ; p˙ .
Î 2˚
Î2 ˚
b. Faux. Par exemple, si l’on prend x = 0, alors
2cos (2x) = 2.
sin x
- sin x
c. Faux, car f ¢(x) et sin x 0

cos2 x cos2 x
Èp ˘
sur Í ; p˙ .
Î2 ˚
d. Vrai, car g¢(x) -2 sin x 5, donc g¢(x) 3 car
-2 sin x -2.
3. a. Faux, l’équation admet une infinité de solup
4p
tions de la forme x 2kp ou x
2kp où
5
5
k Œ ¢.
b. Faux, l’équation admet une infinité de solup
p
tions de la forme x 2kp ou x - 2kp ou
3
3
x 2kp où k Œ ¢.
c. Vrai, car l’équation équivaut à
2X 2 - 2 X - 2 0 avec X cos x.
1
1
Donc X - ou X 2. Ainsi, cos x - ou
2
2
cos x 2.
Or un cosinus ne peut pas être égal à 2. Donc on
1
a forcément cos x - qui n’admet que la solu2
2p
tion
sur [0 ; p].
3
4. a. Vrai, car h¢ (x) -2 sin(2x) -4 sin x cos x et
k¢(x) -2 ¥ 2 cos x sin x -4 sin x cos x.
b. Vrai, car
p¢(x) -3sin(3x)cos3 x cos(3x) ¥ 3 ¥ (- sin x) ¥ cos2 x
-3cos2 x[sin(3x)cos x cos(3x)sin x]
-3cos2 x ¥ sin(3x x) -3cos2 x sin(4x).
3

Ê pˆ
Ê
1

Et p Á ˜ cos p ¥ Ácos ˜ - .
8

Ë 3¯
Ë

5. a. Faux, car on peut obtenir la limite par comparaison 
: en effet, 2 cos x - 3x 2 - 3x avec
lim (2 - 3x) - donc lim (2 cos x - 3x) - .
x Æ

x Æ

b. Vrai, car lim sin x 0 donc lim

1
 ;
sin x

de même, lim sin x 0 donc lim

1
.
sin x

x Æ0
x 0

xÆp
x p

x Æ0
x 0

xÆp
x p

c. Vrai, car pour tout réel x non nul,
1 sin x
1
1
1
-
0 et lim - 0
avec lim
x
x
x
x Æ x
x Æ x
sin x
sin x
donc lim
0. Et lim
cos¢(0) 1.
x Æ x
x Æ0 x

 AP 2

1. L’hydraulicien doit avoir un profil scientifique avec de solides compétences en génie
civil, géotechnique, en hydrologie et en topographie (c’est un spécialiste de la mécanique des
fluides). Mais il doit aussi être disponible, avoir
des qualités d’organisation et de management,
et avoir un bon sens pratique pour superviser les
travaux sur le terrain.
2. Le métier s’exerce principalement après un
diplôme d’ingénieur. Il existe des écoles d’ingénieurs comprenant des cursus spécialisés
(hydraulique, sciences et techniques de l’eau,
mécanique des fluides…).
3. Les études menant au métier d’hydrologue
peuvent être les mêmes études d’ingénieurs,
même s’il existe des écoles spécialisées en hydrologie. Tout comme l’hydraulicien, l’hydrologue
peut être amené à surveiller des réseaux hydrologiques, calculer des débits, effectuer des mesures
en hydrométrie (ruissellement, infiltration, évaporation). Mais, alors que l’hydraulicien peut aussi
concevoir des réseaux d’eaux fluviales, potables ou
d’eaux usées, l’hydrologue est plutôt le spécialiste
de l’étude du cycle de l’eau, en particulier des précipitations et de l’écoulement dans les cours d’eau.

 AP 3

L’expression du rayon a été modifiée dans
cette question : il s’agit de
1
R(z)
(z - 150)2 8.
5 000
1. a. On étudie les variations de la fonction R
1
définie par R(z)
(z - 150)2 8.
5 000
1
R¢(z)
(z - 150).
2 500

Chapitre 8 n Trigonométrie n  229

© éditions Belin, 2012.

Accompagnement
personnalisé

0

Signe
de R′(z)

150


Variations
de R

0

12,5

180
+
8,18

8

Le rayon minimal est donc 8 et le rayon maximal
est 12,5.
b. L’aire d’une section est
2
˘
È 1
S(z) pR2(z) p Í
(z - 150)2 8˙  =
Î5 000
˚
È 1
˘
2

(z - 150)4
(z - 150)2 64˙ .
2
625
5
000
Î
˚
c. Le volume de la maquette est
180

V

Ú S(z)dz

0
180



È

1

3
1
et f(p) donc les points B et
2
2
C sont bien situés sur la courbe de f.
Le coefficient directeur d’une tangente à la courbe
1
de f en un point d’abscisse x est f ¢(x) - sin x .
2
Or f′(0) = 0 donc la tangente à la courbe de f au
point B est bien horizontale.
De même, f′(p) = 0 donc la tangente à la courbe
de f au point C est bien horizontale.
Par conséquent la fonction f répond bien aux
conditions posées.
b. Pour tout réel x,

4. a. On a f(0)

2

2

˘

0

180

È
˘
1
2
(z - 150)5
(z - 150)3 64z˙

2
1875
5
¥
5
000
Î
˚0
15 756, 4944p ª 49 500.

2. Voir chapitre 10. Il est recommandé d’étudier
l’AP 4 page 327 du chapitre 10 avant de traiter la
question 3.
3. Dans cette question on vérifie que l’aire de la
nR2 sin( $
A)
base de la pyramide est S(z)
et on en
2
déduit l’aire de la section.
On divise le polygone de base en n triangles isocèles. Notons A, H et 2x respectivement l’aire, la
hauteur issue de O et la longueur du troisième
côté d’un de ces triangles isocèles.
Ê$
Ê$
H ¥ 2x 1

Aˆ 1
A
¥ R cos Á ˜ ¥ 2R sinÁ ˜ R2 sin($
A).
2
2
Ë 2¯
Ë 2¯ 2
n
Donc l’aire de la base est A′ = nA R2 sin( $
A).
2
Le coefficient de réduction de l’échelle, de la base
h- z
vers une section, étant de
, l’aire A′ est mulh
tipliée par le carré de ce coefficient.
Donc l’aire d’une section est
2
Ê h - zˆ
n
nR2 sin( $
A)
S(z) R2 sin( $
A) ¥ Á

(h - z)2.
˜
2
Ë h ¯
2h2
Ainsi, le volume de la pyramide est :
h
h
˘
nR2 sin( $
A)
nR2 sin( $
A) È 1
(h - z)2dz
V
- (h - z)3˙
Í
2h2
2h2
Î 3
˚0
0
$
$
nR2 sin( A) 1 3 nR2hsin( A)

¥ h
.
3
6
2h2

Ú

n

A¢ ¥ h
.
3

Ê1
ˆ
1
2
ÁË 2 cos x 1˜¯ 4 cos x cos x 1

Ú p ÍÎ5 0002 (z - 150)4 625 (z - 150)2 64˙˚ dz

230

On vérifiera que l’on a bien V

Chapitre 8 n Trigonométrie

1 1
¥ (1 cos(2x)) cos x 1
4 2
1
9
cos(2x) cos x .
8
8
c. Dans cette question c’est le segment [CD] et
non pas le segment [AB] qui délimite l’ensemble E.
On décompose le solide en trois parties : la
1
­demi-sphère de rayon OA, le cylindre de rayon
2
et de longueur CD, et le solide
r S obtenu par rotation autour de l’axe (O ; i ) de l’ensemble r des
points délimité par la courbe de f, l’axe (O ; i ) et
les droites d’équation x = 0 et x = p.
Le volume de la demi-sphère de rayon OA est


3

V1

1 4 Ê 3ˆ
9p
¥ p

u.v.
2 3 ÁË 2˜¯
4

Le volume du cylindre de rayon
2

1
et de longueur
2

Ê 1ˆ
p(4 - p)
CD est V2 p ¥ Á ˜ ¥ CD
u.v.
4
Ë 2¯
Le volume de S est
p

2

Ê1
ˆ
V3 p Á cos x 1˜ dx
Ë2
¯

Ú

0
p

Ê1

p Á cos 2x cos x ˜ dx

Ë8

Ú



0

p

È1
9 ˘
9p2
p Í sin 2x sin x x˙
u.v.
16
8
8
Î
˚0
Donc le volume recherché est
9p p(4 - p) 9p2 26p 7p2
V V1 V2 V3



4
4
8
8
ª 18, 846 u.v.



© éditions Belin, 2012.

z


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