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Cours d electricité SMPC SMIA FPK By Ray .pdf



Nom original: Cours d_electricité SMPC-SMIA FPK By Ray.pdf
Titre: Microsoft Word - Elhami_cours_electricite1_SMIA_SMPC

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Royaume du Maroc
Université Hassan 1er
Faculté Polydisciplinaire de Khouribga

Cours d’

ÉLECTRICITÉ

Par

Prof. Khalil ELHAMI
Intitulé des filières dont fait partie ce cours:
- Sciences de la Matière Physique
- Sciences de la Matière Chimie
- Sciences Mathématiques et Applications
- Sciences Mathématiques et Informatique

(SMP)
(SMC)
(SMA)
(SMI)
Version 2007-2009

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Cours d’Électricité pour SMPC-SMIA

ã Prof Khalil ELHAMI

Univ.Hassan 1er - Faculté Polydisciplinaire de Khouribga

SOMMAIRE
Formalisme mathématique pour la physique
(Opérateurs et Fonctions intégrales)
Electrostatique :
1. Distribution de charges,
2. Loi de Coulomb,
3. Champ électrostatique, Circulation du champ électrostatique, Potentiel électrostatique,
4. Théorème de Gauss et ses conséquences,
5. Théorème de Coulomb,
6. Conducteurs en équilibre électrostatiques,
7. Phénomènes d’influence électrostatique,
8. Capacité et condensateur,
9. Energie électrostatique.

Electrocinétique :
1. Nature du courant électrique,
2. Champ électromoteur,
3. Applications aux conducteurs et semi-conducteurs,
4. Loi d’Ohm simple, Loi d’Ohm micro et macroscopique, Loi d’Ohm généralisée,
5. Effet Joule,
6. Générateurs et récepteurs,
7. Lois d’associations de résistances, Réseaux de conducteurs,
8. Lois de Kirchoff, Lois de Pouillet,
9. Théorème de Thévenin -Théorème de Norton,
10. Méthodes de résolutions des problèmes dans un réseau.

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Cours d’Électricité pour SMPC-SMIA

ã Prof Khalil ELHAMI

Univ.Hassan 1er - Faculté Polydisciplinaire de Khouribga

FORMALISME MATHÉMATIQUE POUR LA PHYSIQUE
Opérateurs et Fonctions intégrales

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Cours d’Électricité pour SMPC-SMIA

ã Prof Khalil ELHAMI

Univ.Hassan 1er - Faculté Polydisciplinaire de Khouribga

I : Généralités.
Un champ est une fonction géométrique des points de l'espace et éventuellement du temps,
pouvant être un scalaire (température, pression, …), ou un vecteur (champ électrique, magnétique,
champ des vitesses d'un solide ou dans un fluide, champ de gravitation, …).

Définitions diverses :
* Champ uniforme :
A un instant t donné, la valeur du champ est la même en tous les points de la région de l'espace où
le champ est uniforme (mais il peut varier dans le temps).
* Champ stationnaire (ou permanent) :
La valeur du champ est indépendante du temps (mais elle peut varier d'un point à un autre).
* Surface de niveau d'un champ scalaire (ou surfaces équipotentielles) :
Surface en tout point de laquelle le champ scalaire prend la même valeur. L'intersection d'une
surface de niveau avec un plan constitue une ligne de niveau ou courbe équipotentielle.
* Ligne de champ d'un champ vectoriel :
Courbe dont la tangente en chaque point M est colinéaire au vecteur champ Ž
a (M) en M.
uuuur r
r
L'équation d'une ligne de champ s'obtient en écrivanrt : a ´ d OM = 0 .
* Tube de champ d'un champ vectoriel :
C'est la surface constituée par l'ensemble des lignes de champ s'appuyant sur une courbe fermée.

II. Les fonctions intégrales :
* Les circulations :
Soit un point M se déplaçant sur une courbe G :
Circulation vectorielle agissant sur un champ scalaire p:c'est le vecteur Š
c vérifiant:
uuuu
r
r
c = ò p( M ).dOM .
G

Circulation scalaire agissant sur un champ vectoriel Š
a : c'est le scalaire C vérifiant :
uuuur
r
C = ò a ( M ) × d OM .
G

Un champ vectoriel est dit à circulation conservative si et seulement si :
uuuur
r
" G fermé , Ñ
a
(
M
)
×
dOM
=0.
ò
M ÎG

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* Une propriété fondamentale d'un champ à circulation conservative :
La circulation (scalaire) entre deux points P et Q d'un champ vectoriel à circulation conservative
est indépendante du chemin suivi pour aller de P à Q.
Circulation vectorielle agissant sur un champ vectoriel Š
a : c'est le vecteur Š
X vérifiant :

uuuur r
r
C = ò dOM Ù a ( M ) (opération faite sur Š
a d'où l'ordre).
G

Les flux : Soit une surface S s'appuyant sur un contour fermé G orienté. On note Š
n le vecteur
unitaire normal en tout point M Î S est, orienté par G suivant la règle de la main droite.
* Flux scalaire d'un champ vectoriel Š
a :c'est le scalaire F défini par :
r
F S (a ) =

r
r
a ( M ).n ( M ) d 2 S M .

òò

M ÎS

* Flux vectoriel d'un champ vectoriel Š
a : c'est le vecteur Š
Y défini par :

r r
Y S (a ) =

r

r

òò n( M ) Ù a ( M ) d

2

S M (opération faite sur Š
a d'où l'ordre).

M ÎS

Un champ vectoriel est dit à flux conservatif si et seulement si :
" S fermé ,

r

r

Òòò a( M ) × n( M )d

2

SM = 0 .

M ÎS

* Une propriété fondamentale d'un champ à flux conservatif :
Le flux à travers une surface ouverte S d'un champ vectoriel à flux conservatif ne dépend que du
contour fermé  sur lequel s'appuie S.

III : Les opérateurs du premier ordre.
* L'opérateur gradient (symbole grad ).
r
C'est un opérateur vectoriel, agissant sur un champ scalaire f, vérifiant: df = grad f .dr .

En un point M donné, le gradient est porté par la normale à la surface de niveau (surface f = cste),
dirigé dans le sens croissant de f.

* L'opérateur divergence (symbole div).
r
F
C'est un opérateur scalaire, agissant sur un champ vectoriel Š
A vérifiant: div A = lim
, où F
t ®0

t

est le flux de Š
A sortant de la surface fermée S limitant le volume t. En termes imagés, la
divergence représente le flux sortant localement par unité de volume.
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Š ).
* L'opérateur rotationnel (symbole rot
C'est un opérateur vectoriel, agissant sur un champ vectoriel Š
A vérifant:
r
dC = rot( A).dS ,
où dC est la circulation élémentaire du vecteur Š
A sur un contour dG limitant une surface dS. Ainsi
Š (A
Š ) est parallèle au vecteur Š
le vecteur rot
n normal au plan P pour lequel dC est maximal.

Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes:
grad f =

¶f r ¶f r ¶f r
e x + e y + ez
¶x
¶y
¶z

¶2f
¶2f
¶2f
Df =
+
+
¶x 2
¶y 2
¶z 2

r ¶A
¶A y ¶A z
d iv( A) = x +
+
¶x
¶y
¶z
r
r
r
r
DA = (DA x )e x + (DA y )e y + (DA z )e z

ì ¶A z
ï
¶y
r ïï ¶ A x
rot (A) = í
ï ¶z
ï ¶A y
ï ¶x
î

-

¶A y

¶z
¶A z
¶x
¶A x
¶y

l'opérateur "nabla".

r
On appelle opérateur nabla, noté Ñ ,l'opérateur différentiel défini en coordonnées cartésiennes par
:
r r ¶ r ¶ r ¶
Ñ º ex g + e y g + ez g .
¶x
¶y
¶z
Cette notation de l'opérateur nabla permet de réécrire les autres opérateurs :
Š p= rp
grad
Ñ

r
ŠŠ
rot
a = Ñ ÙŠ
a

r
div Š
a =Ñ·Š
a

r r
Dp = Ñ · Ñ p

r r
Š

a =Ñ ·Ñ Š
a

Remarque : L'opérateur nabla n'est à utiliser qu'en coordonnées cartésiennes !

L'opérateur "Š
A scalaire gradient" : Š
A . grad :
Cet opérateur se rencontre en électromagnétisme pour le calcul de la résultante des forces
s'exerçant sur un dipôle (électrique ou magnétique), placé dans un champ extérieur permanent
inhomogène (non uniforme) :
Gx
r uuuuur r æ


¶ ö
( A. grad )G = ç Ax
+ Ay
+ Az ÷ G y
¶y
¶z ø
è ¶x
Gz

Opérations sur des combinaisons de champs
Les opérateurs gradient, divergence, rotationnel et Laplacien (scalaire ou vectoriel) sont linéaires.
Donc, quel que soit l'opérateur noté Op, et deux constantes réelles ou complexes l et l2 on aura :
Op(l1.champ1 + l2.champ2) = l1.Op(champ1) + l2.Op(champ2).
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Opérations

effectuées sur :

Š
A .Š
B

p.q

grad

p. grad q + q. grad p

D
(laplacien)

p Dq + q Dp

Š
Š (Š
Š (A
Š)
A ´ rot
B )+Š
B ´ rot
Š . grad )B
Š + (Š
+ (A
B . grad ) Š
A
Š
Š .DA
Š
A .DŠ
B +B
Š (A
Š ).rot
Š (Š
+ 2 div Š
A div Š
B + 2 rot
B)

+ 2 ( grad p).( grad q)

Š
A ´Š
B

Š
p.A
Š . grad p
p div Š
A +A

Š
Š (A
Š)-Š
Š (B
Š)
B ´ rot
A ´ rot

Š (A
Š)-Š
p rot
A ´ grad p

Š - (div Š
(div Š
B )A
A )Š
B
Š . grad )Š
- (A
B + (Š
B . grad ) Š
A

div
Š
rot

IV : Les opérateurs du second ordre.
A partir des opérateurs du premier ordre précédents, on ne peut construire que cinq opérateurs
différentiels du second ordre, dont deux sont identiquement nuls:

( ( ))

r
div rot A = 0

(

)

Un champ de rotationnel est à divergence partout nulle.

rot grad ( p) = 0

(

)
(

Dp = div grad ( p)
r
r
r
DA = grad div( A) - rot rot ( A)

(

)

Un champ de gradient est à rotationnel partout nul.

)

Définition intrinsèque du laplacien scalaire.
Définition intrinsèque du laplacien vectoriel.

V : Les relations intégrales entre opérateurs.
Formule de "dérivation sous le signe somme" :
d
dt

é b (t )
ù b (t ) ¶f ( x, t )
db
da
.dx +
f [b(t ), t ] f [ a(t ), t ]
ê ò f ( x, t ).dx ú = ò
dt
dt
êë a (t )
úû a (t ) ¶t

Circulation et rotationnel : Formule de Stokes:
uuur
r
a
(
P
).
dOP
=
Ñò

PÎG

òò

uuur r r
rot M (a ).n (M )d 2 SM .

M ÎS

La formule de Stokes relie une intégrale curviligne le long d'un contour G fermé orienté à une
intégrale de surface sur n'importe quelle surface S s'appuyant sur le contour G. S est orientée par
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G suivant la règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell).
La figure ci-contre donne une interprétation géométrique
de la formule de Stokes : la somme des intégrales curvilignes
le long des petits carrés dessinés sur la surface S qui s'appuie
sur le contour C est égale à l'intégrale curviligne le long de C

Flux et divergence : Formule de Green - Ostrogradski:
Cette formule relie le flux d'un champ vectoriel Š
a sur une surface fermée S à une intégrale de
volume étendue au volume V limité par S.
r

r

Òòò a ( P).n

ext

( P) d 2 S P =

PÎS

òòò div

M

r
(a )d 3t M .

M ÎV

Par convention, le vecteur normal en d²SM sur S est orienté vers l’extérieur.
Remarque :

Il convient de remarquer que le membre de gauche ne fait intervenir que les valeurs de Š
a sur la
surface fermée S tandis que le membre de droite fait intervenir les valeurs de Š
a dans tout le
volume V limité par S.

Autres formules intégrales utiles.
Formule dite de Kelvin.

Formule dite du rotationnel.

Formule dite du gradient.

r
p
.
d
ò l = -òò grad ( p) ´ dS

r
r
r
a
´
d
S
ext = - òòò rot ( a ) dt
òò

r
pd
S
òò ext = òòò grad ( p))dt

G

S

S

V

S

V

Formules de Green :
Pour 2 champs scalaires p et q :
3
òòò [ pDq - qDp ].d t P = Òòò
PÎV

M ÎS

Pour 2 champs vectoriels Š
a et Š
b :
r r r r r r
3
òòò éëa gD(b ) - b gD(a ) ùû .d t P =
PÎV

uuuuuuur
uuuuuuur
r
é p grad (q) - q grad ( p ) ù gn (M ) d 2 S M .
ë
û

Òòò

M ÎS

r uuur r r uuur r r
é a Ù rot (b ) - b Ù rot (a ) ù gn ( M ) d 2 S M .
ë
û

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VI- Expressions des opérateurs dans les différents systèmes de coordonnées :
Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes:
grad f =

r ¶A
¶Ay ¶Az
div( A) = x +
+
¶x
¶y
¶z

¶f r ¶ f r ¶f r
e + e + e
¶x x ¶y y ¶z z

ì ¶A z
ï
¶y
r ïï ¶A x
rot (A) = í
ï ¶z
ï ¶A y
ï ¶x
î

r
r
r
r
DA = (DA x )e x + (DA y )e y + (DA z )ez

¶2f
¶2f
¶2f
Df =
+
+
¶x 2
¶y 2
¶z 2

Les coordonnées cylindriques.
Repérage d'un point.

q

¶z
¶A z
¶x
¶A x
¶y

dz

M

q

O

z

Éléments différentiels de longueur:
dr suivant Š
e , rdq suivant Š
e , dz suivant Š
e .
r

¶A y

z

M est repéré par ses coordonnées r (distance à l'axe Oz), q et z
Š,Š
dans la base orthonormée directe (e
e ,Š
e ).
r

-

x

z

Éléments différentiels de surface:
Š,Š
Š Š
dr.rdq dans (e
r eq ), dr.dz dans ( er , ez ),
Volume élémentaire entourant M: dt = (dr ).(rdq ).(dz ) .

q

Š
ez
r M'

OM' = r

dr

rdq
y
Š
e
q

Š
er

rdq.dz dans eq,ez).

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Expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques.
grad f =

r 1 ¶
1 ¶Aq ¶Az
div( A) =
(rA r ) +
+
r ¶r
r ¶q
¶z

¶f r 1 ¶f r ¶f r
er +
eq + ez
¶r
r ¶q
¶z

Df =

¶2f
1 ¶ æ ¶f ö 1 ¶ 2 f
+
çr ÷ + 2
r ¶r è ¶r ø r ¶q 2
¶z 2

ìé
¶ A q öù r
1 æ
÷ e
ïêDA r - 2 ç Ar + 2
¶q øúû r
r è
ïë
r ïïé
¶A r ö ù r
1 æ
DA = íêDA q ç Aq - 2
÷ e
2
¶q ø úû q
r è
ïë
ï
r
ï[DA z ]e z
ïî

ì 1 ¶A z ¶Aq
ï r ¶q - ¶z
r ïï ¶A ¶A
rot (A) = í r - z
¶r
ï ¶z
ï 1 æç ¶ (rA ) - ¶A r ö÷
q
ïî r è ¶r
¶q ø

Les coordonnées sphériques.
Repérage d'un point.
En Physique, on repère M par ses coordonnées r (r = OM), q (colatitude) et j(longitude) dans la
base orthonormée directe(Š
e ,Š
e ,Š
e ).
r

q

j

Éléments différentiels de longueur:
Š
Š
Š
dr suivant er , rdq suivant eq , r.sin(q).dj suivant ej .

z
q M

Éléments différentiels de surface:
Š,Š
dr.rdq dans (e
e ),
r

r
O

q

dr.r.sin(q).dj dans (Š
er ,eŠj ),
rq.sin(q).dj dans (eŠ , Š
e ).
q

x

j

Le volume élémentaire s'écrit:

j

Š
er

Š
ej

Š
eq

y
Š
ej
Š
u

dt = r2.sin(q).dr.dq.dj .

Expressions des opérateurs en coordonnées sphériques.
grad f =

Df =

r
¶Aj ü
1 ¶ 2
1 ì¶
div( A) = 2
r Ar +
í ( Aq sin(q )) +
ý.
r.sin(q ) î¶q
¶j þ
r ¶r

(

¶f r
1 ¶f r
1
¶f r
er +
eq +
ej .
¶r
r ¶q
r sin(q ) ¶j

¶2f
1 ¶ æ 2 ¶f ö
1
¶ æ
¶f ö
1
.
r
+
sin
q
+
ç
÷
ç
÷
¶q ø r 2 . sin 2 q ¶j 2
r 2 ¶r è ¶r ø r 2 sin q ¶q è

)

ì 1 æ ¶ ( Aj . sin q ) ¶Aq
çç
ï
¶q
¶j
ï r sin q è
r ï 1 æ 1 ¶A r ¶ (r . Aj ) ö
÷
rot (A) = í çç
¶r ÷ø
ï r è sin q ¶j
¶A r ö
ï1 æ ¶
ï r çè ¶r (rAq ) - ¶q ÷ø
î

ö
÷÷
ø

.

r é
¶A ö ù r
æ
2

DA = ê DA r - 2
( Aq sin(q ) ) + j ÷ ú er
ç Ar sin(q ) +
¶q
¶j ø úû
r sin(q ) è
ëê
é
¶Aj
æ Aq
¶ Ar
2
+ ê DAq - 2
- sin 2 (q )
+ cos(q )
ç
2
¶q
¶j
r sin (q ) è 2
êë

öù r é
æ Aj
¶ Ar
¶A
2
- sin(q )
- cos(q ) q
÷ ú eq + ê DAj - 2
ç
2
¶j
¶j
r sin (q ) è 2
êë
ø úû

öù r
÷ ú ej
ø úû

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ÉLECTROSTATIQUE

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LES DISTRUBUTIONS DE CHARGES

Historique
Il y a 2600 ANS, les savants grecs, après avoir découvert que l’ambre s’électrisait très facilement
lorsqu’il était soumis à un frottement, lui avaient donné le nom « d’élektron », d’où nous vient le
mot électricité.
L’électricité qui agit dans un ensemble d’éléments électriques obéit à certaines lois de la physique.
Celles-ci ont été progressivement établies à partir de multiples expériences au cours des derniers
siècles. Aujourd’hui, la connaissance de ces lois est indispensable à tout électriciens et
électroniciens
L’électrostatique qui traite des effets électriques (force et champ électrostatique)
produits par une distribution de charges électriques immobiles. L’objectif est d’établir les lois qui
relient les causes (charges, courant) aux effets (forces, champs électrique…)

1. Charge électrostatique Q
La charge électrostatique est une propriété de la matière qui lui fait produire et subir des effets
électriques et magnétiques. C’est une quantité d'électricité statique liée à celle de l'électron, nous
pouvons quantifier cette charge électrostatique Q.
Q = n. en représente le nombre d'électrons dans une charge
e- représente la charge électrique élémentaire e- = 1.602 10-19 [C]
La charge q a un signe qui est soit positif ( cation , noyau , proton .. ) soit négatif ( électron ... )

2. Distributions de charges électriques :
Au début du vingtième siècle, la découverte de l’électron a permit de montrer que la charge était
quantifiée. La charge élémentaire que porte un proton vaut e = 1, 6021: 10-19 C (mesurée par
Millikan) et représente l’opposée de la charge d’un électron. Le tranfert de charge ne se fait que
par multiple entier de e. Bien sûr, à l’échelle macroscopique, le nombre de particules échangées est
si grand que l’aspect discontinue ne se voit pas ce qui explique pourquoi on considère souvent des
répartitions continues de charges (pour des raisons mathématiques surtout) :

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2.1. Distribution volumique :
La distribution volumique est une répartition de charge en volume. En chaque point du système on
définit une densité volumique de charge :

re (M) = dq/dv
re représente la charge par unité de volume (Cm-3) en un point.
Si le milieu est homogène re = Q/V = constant.

2.2. Distribution surfacique :
La distribution surfacique est une répartition de charges en surface. On définit une densité
surfacique de charge :

se (M) = dq/dS
se représente la charge par unité de surface (Cm-2) en un point.
Si le milieu est homogène se = Q/S = constant et qui ne dépend pas de la position de M.
2.1. Distribution linéique ou filiforme:
La distribution filiforme est une répartition de charges sur une courbe. On caractérise la
distribution de charge à l’aide de la densité linéique de charge :

le (M) = dq/dl
le

représente la charge par unité de longueur (Cm-1) en un point.

Si le milieu est homogène l e = Q/L = constant

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LE CHAMP É LECTRIQUE
Un champ électrique règne dans une région de l'espace, si une charge y est soumise à une force
électrique. Pour contrôler s'il règne un champ électrique dans une région, on y place une petite
charge témoin, et on examine si elle est soumise à une force électrique ou non. La charge témoin
ne sert qu'à contrôler s'il règne ou non un champ électrique. Le pendule électrostatique chargé peut
servir de charge témoin. À proximité d'un corps chargé règne un champ électrique. Tout corps
chargé est donc source d'un champ électrique.
Exemples :
- Dans les atomes, chaque électron se déplace dans le champ électrique créé par le noyau
électrique et par les autres électrons.
- Dans un fil conducteur connecté aux pôles d'un générateur de tension règne un champ
électrique, responsable des forces électriques qui propulsent les électrons et créent ainsi le courant
électrique dans le fil.

1. Loi de Coulomb
Charles Coulomb (1736 – 1806) établit en 1785 qu’un champ électrique est créé par une charge
électrique statique élémentaire q. Cette loi exprime la force entre 2 charges ponctuelles ou que
l'on peut considérer comme telles. Il a fait la démonstration expérimentale que cette force est
inversement proportionnelle au carré de la distance entre elles.
La force qui s’exerce entre deux charges électriques q et q’ est donnée par :

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1. Champ électrique crée par une seule charge :

F/q est constant au point M.

2. Champ électrique créé par deux charges ponctuelles de même valeur
absolue et de signe contraire

Au point M considéré, on représente le champ E1 créé par q1, et le champ E2 créé par q2. Le
champ résultant E est donné par la somme vectorielle des champs qui se superposent:

3. Le principe de superposition
Ce principe sert à calculer le champ électrique résultant ( la force résultante) généré par plusieurs
charges ponctuelles ou plusieurs configurations de charges électriques.
Soit q une charge témoin q due à un ensemble de charges sources Q1 Q2,….. Qi,… Qn.

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La force sur q due à Qi est donnée par :

Or, le principe de superposition s'applique aux forces, en particulier pour le calcul de la force
résultante, d'où :

Le champ électrique résultant en un point P placé dans le voisinage de celles-ci est obtenu en
calculant d'abord l'expression vectorielle du champ de chacune des charges ponctuelles dans un
système d'axes approprié :

où ri désigne la distance entre la charge Qi et le point P.
On applique alors le principe de superposition pour obtenir le champ résultant :

Cette formule générale donne l'expression du champ résultant. Cependant, en terme calculatoire, le
calcul du champ s’effectue dans un système d’axes approprié. Chacun des champs se superposant,
et, par suite, le champ résultant doivent être exprimés dans ce système d’axes.
Si l'expression du champ résultant est obtenue en coordonnées rectangulaires, sa grandeur
se calcule comme suit :

E(P)= [Ex2(P)+ Ey 2(P)+ Ez 2(P)]1/2

Calcul du champ électrique pour une charge distribuée
La formule qui suit permet d'obtenir le champ d'une charge Q distribuée qui ne peut être
considérée comme charge ponctuelle. Cette formule utilise le résultat obtenu pour une charge
ponctuelle conjointement avec le principe de superposition.
Par référence à la figure, la contribution de l'élément
de charge dQ au champ total en P est donnée par :
Le champ résultant en P est alors donné par :
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où W désigne la configuration ou la géométrie de la distribution de charge.
Les résultats pour les configurations courantes, dont le champ se calcule avec cette méthode,
sont présentés ci-dessous. Dans chaque cas, dans les figures, on suppose une charge positive sur le
corps chargé pour y tracer la direction du champ; dans ces conditions, la direction du champ pour
une charge est tout simplement la direction inverse de celle représentée.

4. Calcul du champ électrique des différents distributions de charges :
En pratique, il est plus habile d’utiliser des distributions continues de charges. L’utilisation de
l’une ou l’autre de ces trois expressions dépend de la géométrie de la distribution de charges
considérée.
Soit M un point quelconque d’un conducteur et dQ(M) la charge élémentaire contenue en ce point.
Le champ électrostatique total créé en un point M par cette distribution de charges est :
- Pour une distribution volumique r=dQ/dV (voir chapitre précédent)

- Pour une distribution surfacique s =dQ/dS

- Pour une distribution lineique l =dQ/dl

Exercice d’application
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La figure illustre une tige de longueur finie située dans le plan de la page portant une densité
linéaire de charge connue de l (C/m) et un anneau situé dans un plan horizontal portant une charge
inconnue Q. Les dimensions sont indiquées dans la figure.
a) Déterminez séparément les expressions vectorielles et la grandeur des champs de la tige et de
l’anneau au point P.
b) Sachant que le champ résultant E(P) en P fait un angle de 45° avec l’horizontale, déterminez
l’expression de la charge sur l’anneau en fonction des paramètres l et d.

Solution :
a) Le champ électrique résultant au point P de la figure est la somme vectorielle de celui de la tige
(Et (P) )et de l’anneau ( Ea(P) ):
La détermination du champ résultant exige donc la détermination du champ de chacune des deux
configurations en présence. C’est l’objectif de cette question. Dans le cas de la tige, il faut se
référer au cas 3.3 de la section qui précède et l’adapter dans le contexte de l’exemple :

Une démarche similaire dans le cas de l’anneau donne :
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b) Pour répondre à cette question, il faut prendre en considération que le champ résultant
est donné par :

et que celui- ci fait un angle de 45o. Les composantes X et Y du champ résultant sont donc égales.
Considérant les résultats obtenus en (a), on obtient l’égalité qui permet de déterminer l’expression
de la charge sur l’anneau.

Autres Exemples :
1. Cas d’un fil portant une charge Q :
1.1. Champ au voisinage d'un fil de longueur finie L portant une charge Q uniformément
répartie sur sa longueur (ce qui équivaut à une densité linéaire de charge l =Q/L (C/mg).

La convention sur les angles ái qui s'applique au résultat de la figure est présentée dans la figure
qui suit :
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Remarque :
Voici des cas particuliers de fils chargés dont le champ électrique se déduit de l'expression qui
précède.

1.2. Champ du long fil :
Dans ce cas a1 = - p/2 et a2 = + p/2

d’ou

1.3. Champ d'un "demi fil infini" ( les 2 cas de la figure)

o

Dans chacun des 2 cas de la figure, le champ fait un angle de 45 avec l'horizontale.

1.4. Champ sur la médiatrice d'un fil de longueur finie :

1.5. Champ à une distance x de l'extrémité et dans l'axe d'un fil de longueur L
portant une charge Q :
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2. Cas d’un anneau ou d’un disque portant une charge Q :
2.1. Champ électrique dans l'axe d'un anneau mince portant une charge Q.

2.2. Champ électrique dans l'axe d'un disque avec densité surfacique s uniforme.

Remarque :
La charge totale sur le disque est donnée par Q=s(p a2). Si on donne la charge totale du disque, Q
et son rayon a, la densité surfacique est donnée par s = Q /(p a2).
Il faut de plus considérer les cas limites "loin du disque" et "près du disque".
- Si x ® +¥, on retrouve, après l'évaluation de la limite :

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Ce résultat coïncide avec celui obtenu pour la charge ponctuelle.
- Si x ® 0 , on trouve, après l'évaluation de la limite, l'expression du champ dans le voisinage
d'un plan avec une densité surfacique s(C/m2) uniforme :

Remarque :
Les résultats des 2 cas limites qui précèdent doivent être interprétés par rapport à la figure ci-haut.
Dans le cas de l’approximation “près du disque”, on remarque que le champ devient
uniforme et ne dépend pas de la position. L'expression obtenue pourra être utilisée pour le calcul
du champ électrique dans le voisinage d'un plan chargé de grande dimension, pourvu que ce ne
soit pas près des bords. Dans le cas de plusieurs plans chargés, le champ résultant se calcule avec
cette expression et le principe de superposition.

2.3. Champ au centre d'un secteur d'anneau d'angle q et de rayon R portant une
charge Q uniformément répartie :

2.6 Champ électrique à l'intérieur et à la surface d'un conducteur
Les résultats qui suivent sont confirmés par l'expérience.
a) Dans les conditions statiques, le champ électrique (macroscopique) est nul à l'intérieur d'un
conducteur.
Lorsqu'un conducteur est placé dans un champ électrique extérieur, il se produit une
reconfiguration des électrons libres dont l'effet, combiné avec celui des atomes auxquels ils
manquent un (ou des) électron(s), est de générer un champ "intérieur" qui se superpose au champ
extérieur pour l'annuler. De plus :
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b) Dans les conditions d'équilibre statique, le champ électrique est perpendiculaire en tout point de
la surface d'un conducteur.
c) Dans les conditions d'équilibre statique et dans le cas d'un conducteur homogène, la charge nette
que porte celui-ci se répartit sur sa surface.

4. Lignes de Champ électrique
Les lignes de champ sont simplement les courbes qui sont en tout point tangentes au champ
électrique et donne donc une représentation visuelle de la répartition de ce champ dans l'espace.
4.1. Cas d’une seule charge électrique :
Pour le champ d'une charge ponctuelle q représenté ci-dessous à gauche, les lignes de champ se
réduisent de manière évidente à un faisceau de droites passant par la charge. Elles sont représentée
ci-dessous à droite.

Un sens est donné aux lignes de champ, il s'agit bien entendu du sens du champ. Ce sens est
indiqué par des flèches sur les lignes elles-mêmes.
- Si la charge est positive les flèches des lignes de champ s'éloignent de la charge.
- Si la charge est négative, les lignes de champ sont orientées vers la charge.

4.1. Cas de deux charges électriques :
Dans l'exemple ci-dessous, nous voyons les lignes de champ de deux charges ponctuelles
identiques positives. En pointillé on voit les lignes de champ des charges prises isolément. Les
lignes de champ du système de deux charges doivent être déterminées à partir de l'expression du
champ en tout point de l'espace.
Pour montrer comment on peut faire en pratique pour calculer un champ, je propose ici de faire le
calcul de ce champ total. D'après le principe de superposition, le champ total correspondant à la
présence simultanée des deux charges est donné par la somme des champs des charges
individuelles.

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Notez que les lignes de champ sont partout

Ce graphe montre les lignes de champ
correspondant à deux charges opposées
mais égales en valeur absolue. La
procédure de calcul du champ total est
la même que celle du cas précédent.

tangentes au champ total E1+E2 et ne se
croisent jamais, car si c’était le cas cela
signifierait que le champ pourrait prendre
plusieurs valeurs à la fois en un même point
de l'espace, ce qui est bien sûr impossible
puisque le champ est donné de manière
univoque par la loi de Coulomb et le principe
de superposition.

Equation des lignes de champ :

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Allure de quelques lignes de champs :
Un champ de vecteurs tel que E étant donné, une ligne de champ est par définition une courbe
tangente en chaque point au vecteur champ défini en ce point. On y ajoute de petites flèches pour
rappeler le sens du champ.
Les lignes de champ du champ électrique ne se coupent pas. Elles partent des charges positives (ou
de l'infini) et aboutissent aux charges négatives (ou à l'infini).

1. Cas de trois charges électriques :

2. Cas d’une pointe :
Au voisinage d'une pointe, le champ est particulièrement intense.

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Circulation d’un champ électrique :

Potentiel Electrique
De façon générale, à partir d'un champ scalaire, il est possible de construire un champ vectoriel
défini ainsi est appelé ( au signe près) un gradient: E = - grad V -à rot E = 0
dont les composantes en coordonnées cartésiennes sont données par les relations:

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Méthodes de calcul du champ électrostatique
Ces méthodes sont les suivantes :
1) Calcul du champ d'une charge ponctuelle
2) Calcul du champ d'une charge distribuée (par intégration)
4) Calcul du champ avec le théorème de Gauss (objet du chapitre suivant)
5) Calcul du champ électrostatique à partir de l'expression du potentiel
6) Le principe de superposition
7) Le champ électrique à l'intérieur et à la surface d'un conducteur (résultats expérimentaux)
Ces méthodes seront utilisées pour calculer le champ électrique des configurations courantes
(méthodes 2 et 3 surtout), c'est-à-dire celles qu'on retrouve souvent dans l'environnement et dans
les applications techniques. Le principe de superposition vient compléter le tableau, notamment
lorsque le champ électrique dans une portion de l'espace est généré par plus d'une configuration de
charges. Dans ces conditions, il faut "superposer" les champs générés par chacune des
configurations, ce qui, essentiellement, signifie faire l'addition vectorielle des champs générés par
chacune de celles-ci.

THÉORÈMES DE GAUSS & DE COULOMB
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1. Notion d’angles solide
Pour comprendre la notion d’angle solide, prenons maintenant une feuille de papier et enroulons-la
en formant un cône. Si on vise par le petit trou placé à la pointe de ce cône, on aura une vision
d'une fraction des directions de l'espace un peu comme avec l'angle vous aviez une vision d'une
portion du plan.

On peut déformer ce cône en appuyant sur ses côtés et on aura une vision d'une fraction différente
de l'espace. La fraction des directions de l'espace qu’on aperçoit, rapportée à 4p est ce que l'on
appelle l'angle solide.
Pour déterminer la valeur d'un angle solide W, traçons une sphère de centre 0 et de rayon r. La
surface du cercle interceptée par le cône est S. La division de S par r2 est la valeur de l'angle solide
W. L'angle solide est sans dimension. On dit qu'il est en stéradian. Le stéradian vient se substituer
au radian de l'angle d'un plan.
La valeur maximale de l'angle solide est 4p.
L' angle solide dW sous lequel un élément de surface dS est vu depuis le point 0 est :

où u est le vecteur unitaire porté par le segment de droite entre le point 0 à l'élément de surface dS.
En coordonnées sphériques, la surface élémentaire à r constant vaut dS = r2 sinθ dθ dj.
L’angle solide élémentaire s’écrit alors dΩ = sinθ dθ dj.

Ainsi, l’angle solide délimité par un cône de révolution, d’angle au sommet α vaut
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Le demi-espace, engendré avec α=π/2 (radians), correspond donc à un angle solide de 2π
stéradians, tandis que l’espace entier correspond à un angle solide de 4π (α=π).

D’une façon générale, le cône (ou le faisceau lumineux de l’exemple ci-dessus) peut intercepter
une surface quelconque, dont la normale n fait un angle θ avec la génératrice de vecteur directeur
u. L’angle solide élémentaire est alors défini par

où dS’ est la surface effective (qui, par exemple, serait « vue » par un observateur situé en O).

2. Relation entre le flux et l'angle solide
Le champ électrique créé en r par une charge q située au point 0 s'écrit:

L'élément de flux df à travers l'élément de surface dS placé au point r s'écrit:

Le flux total du champ électrique à travers une surface S de forme quelconque, s'obtient en
découpant cette surface en éléments dS et en intégrant sur les éléments d'angle solide. Il vient
alors:

Le flux du champ électrique créé par une charge ponctuelle à travers une surface quelconque est
égal à q/4pe0 multiplié par l'angle solide sous lequel on voit cette surface depuis le point O.
Si la surface est fermée et entoure la charge q, l'angle solide est 4p et le flux est q/e0 .
Si la surface fermée n'entoure pas la charge q, l'angle solide est 0 (bien faire attention aux signes
des éléments de surface dS suivant la normale sortante au point considéré) et le flux est nul.
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C'est le théorème de Gauss.

3. Théorème de Gauss
On considère maintenant une charge ponctuelle q située en un point O de l’espace. Le flux du
champ électrostatique E, créé par cette charge, à travers une surface élémentaire quelconque
orientée est par définition

Par convention, on oriente le vecteur unitaire n, normal à la surface dS, vers l’extérieur, c’est à dire
dans la direction qui s’éloigne de la charge q. Ainsi, pour q>0, le champ E est dirigé dans le même
sens que n et l’on obtient un flux positif.
A partir de l’expression du champ créé par une charge ponctuelle, on obtient alors

c’est à dire un flux dépendant directement de l’angle solide sous lequel est vue la surface et non de
sa distance r (notez bien que dΩ>0, q pouvant être positif ou négatif). Ce résultat est une simple
conséquence de la décroissance du champ électrostatique en 1/ r2 : on aurait le même genre de
résultat avec le champ gravitationnel.

dF = (q/4pe0) dΩ

Ce résultat est général puisque, la charge se trouvant à l’intérieur de S, un rayon dans une direction
donnée va toujours traverser S un nombre impair de fois. En intégrant alors sur toutes les
directions (c’est à dire sur les 4π stéradians), on obtient un flux total

En vertu du principe de superposition, ce résultat se généralise aisément à un ensemble quelconque
de charges.
Théorème de Gauss :
Le flux du champ électrique à travers une surface fermée orientée quelconque est égal, dans le
vide, à 1 /ε0 fois la charge électrique contenue à l’intérieur de cette surface

Le théorème de Gauss fournit une méthode très utile pour calculer le champ E lorsque celui-ci
possède des propriétés de symétrie particulières. Celles-ci doivent en effet permettre de calculer
facilement le flux Φ. Comme le théorème de Gauss est valable pour une surface quelconque, il
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nous suffit de trouver une surface S adaptée, c’est à dire respectant les propriétés de symétrie du
champ, appelée ″surface de Gauss″.

Utilisation du théorème de Gauss :
Champ électrostatique créé par un plan infini uniformément chargé
On considère un plan infini Π portant une charge électrique σ uniforme par unité de surface. Pour
utiliser Gauss, il nous faut d’abord connaître les propriétés de symétrie du champ E.
Tous les plans perpendiculaires au plan infini Π sont des plans de symétrie de celui-ci : E
appartient aux plans de symétrie, il est donc perpendiculaire à Π. Si ce plan est engendré par
les vecteurs (i, j) alors Ez = E( x.y,z) k . Par ailleurs, l’invariance par translation selon x et y
nous fournit E = Ez = E(z) k. Le plan Π est lui-même plan de symétrie, donc E(z) est impaire.

Etant donné ces propriétés de symétrie, la surface de Gauss la plus adaptée est un cylindre de
sections perpendiculaires au plan et situées à des hauteurs symétriques.

Il s’ensuit que le champ électrostatique créé par un plan infini uniformément chargé vaut :

E = s/2e0
Remarques :
1. Le champ ne varie pas avec la distance, ce qui est naturel car le plan est supposé infini .
2. On peut encore appliquer ce résultat pour une surface quelconque chargée uniformément.
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Il suffit alors d’interpréter E comme le champ au voisinage immédiat de la surface : suffisamment
près, celle-ci peut être assimilée à un plan infini.

Champ créé par une boule uniformément chargée
On considère une boule (sphère pleine) de centre O et rayon R, chargée avec une distribution
volumique de charges ρ. Cette distribution possédant une symétrie sphérique, le champ
électrostatique qui en résulte aura la même symétrie, donc E = Er(r)er .
La surface de Gauss adaptée est simplement une sphère de rayon r et le théorème de Gauss nous

Fournit Lorsque r<R, on obtient un champ

Lorsque r>R, la sphère de Gauss enferme un volume V supérieur à celui de la boule. Mais la
distribution de charges n’est non nulle que jusqu’en r=R, ce qui fournit donc un champ :

où Q est la charge totale portée par la boule. On vient ainsi de démontrer, sur un cas simple,
qu’une distribution de charges à symétrie sphérique produit à l’extérieur le même champ qu’une
charge ponctuelle égale, située en O.

4. Conducteurs en équilibre
Définition :
l’équilibre électrostatique d’un conducteur est atteint lorsque aucune charge électrique ne se
déplace plus à l’intérieur du conducteur.
Du point de vue de chaque charge élémentaire, cela signifie que le champ électrostatique total
auquel elle est soumise est nul.
Comme le champ dérive d’un potentiel, cela implique qu’un conducteur à l’équilibre
électrostatique est équipotentiel.

Remarques :
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1. Si le conducteur est chargé, le champ électrostatique total est (principe de superposition) la
somme du champ extérieur et du champ créé par la distribution de charges contenues dans le
conducteur. Cela signifie que les charges s’arrangent (se déplacent) de telle sorte que le champ
qu’elles créent compense exactement, en tout point du conducteur, le champ extérieur.
2. Nous voyons apparaître ici une analogie possible avec la thermodynamique :
Equilibre électrostatique Û Equilibre thermodynamique
Potentiel électrostatique Û Température
Charges électriques Û Chaleur
En effet, à l’équilibre thermodynamique, deux corps de températures initialement différentes mis
en contact, acquièrent la même température finale en échangeant de la chaleur (du plus chaud vers
le plus froid).
Dans ce qui suit, tous les conducteurs seront considérés à l’équilibre électrostatique.

Propriétés des conducteurs en équilibre
1. Ă l’intérieur d’un conducteur (chargé ou non) le champ électrostatique total est nul. Mais ce
n’est pas forcément le cas à l’extérieur, en particulier si le conducteur est chargé. Puisqu’un
conducteur à l’équilibre est équipotentiel, cela entraîne alors que, sa surface étant au même
potentiel, le champ électrostatique est normal à la surface d’un conducteur. Par ailleurs, aucune
ligne de champ ne peut ″ revenir ″ vers le conducteur.
2. Si un conducteur est chargé, où se trouvent les charges non compensées? Supposons qu’elles
soient distribuées avec une distribution volumique ρ. Prenons un volume quelconque V situé à
l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre électrostatique. En vertu du théorème de Gauss, on a :

puisque le champ E est nul partout. Cela signifie que ρ = 0 (autant de charges + que de charges -)
et donc, qu’à l’équilibre, aucune charge non compensée ne peut se trouver dans le volume occupé
par le conducteur. Toutes les charges non compensées se trouvent donc nécessairement localisées
à la surface du conducteur.
Ce résultat peut se comprendre par l’effet de répulsion que celles-ci exercent les unes sur les
autres. A l’équilibre, les charges tendent donc à se trouver aussi éloignées les unes des autres qu’il
est possible de le faire.

3. Théorème de Coulomb
En un point M infiniment voisin de la surface S d’un conducteur, le champ électrostatique E est
normal à S. Considérons une petite surface Sext parallèle à la surface S du conducteur. On peut
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ensuite construire une surface fermée Σ en y adjoignant une surface rentrant à l’intérieur du
conducteur Sint ainsi qu’une surface latérale SL . En appliquant le théorème de Gauss sur cette
surface fermée, on obtient

où SM est la surface dessinée par le tube de flux passant par Sext , donc SM = Sext (on peut choisir
ces surfaces aussi petites que l’on veut).
Théorème :
le champ électrostatique à proximité immédiate d’un conducteur de densité
surfacique σ vaut : E = (σ/ε0) n
où n est un vecteur unitaire normal au conducteur et dirigé vers l’extérieur.
Lorsque le champ au voisinage d’un conducteur dépasse une certaine limite, une étincelle est
observée : le milieu entourant le conducteur devient alors conducteur. Ce champ maximal, de
l’ordre de 3 Méga V/m dans l’air, est appelé champ disruptif. Il correspond à l’ionisation des
particules du milieu (molécules dans le cas de l’air).

CAPACITÉ & PHÉNOMÈNE D’INFLUENCE ÉLECTROSTATIQUE
1. Phénomène d’Influence électrostatique
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Influence partielle : Considérons deux conducteurs C1 et C2. L’un est chargé (positivement pour
fixer les idées) et l’autre est neutre. Si l’on approche le conducteur chargé vers le conducteur
neutre, le champ électrique créé par C1 va éloigner les charges positives et attirer les charges
négatives. Ainsi, C2 se recouvre d’une distribution de charge non uniforme telle que òsdS = 0. Si
l’on considère une portion de surface (S1) de C1, alors les lignes de champ s’appuyant sur (S1) vont
arriver sur C2 (perpendiculairement à la surface du conducteur) et découper une surface (S2).
Appelons q1 la quantité de charge que porte (S1) et q2 la quantité de charge que porte (S2). Le
théorème de Gauss permet de montrer que q2 = - q1.

Si maintenant, le conducteur C2 est mis à la Terre (réservoir de charge) les charges négatives vont
être neutralisées et le conducteur sera donc chargé : on parle alors de charge par influence partielle.

Influence totale : Si l’on examine le cas particulier où le conducteur C2 entoure C1 alors la
surface intérieure de C2 se recouvre d’une charge opposée à celle que contient C1:on parle
d’influence totale.
Dans ce cas, on dit que les deux conducteurs forment un condensateur constitué de deux armatures
conductrices. La capacité d’un condensateur mesure l’aptitude à stocker une quantité de charge sur
l’armature interne. En effet, on montre que si l’on soumet le condensateur à une tension
U = V1 - V2, l’armature interne se charge d’une charge Q = CU
où C mesure la capacité du condensateur et ne dépend que de la géométrie du condensateur.

2. Capacité
a) Capacité d’un conducteur seul
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Définition :
La capacité d’un conducteur mesure son aptitude à stocker une quantité de charge Q sous un
potentiel électrique donné V. Elle se calcule par : C = QV et se mesure en Farad (F). Cette
grandeur ne dépend que de la géométrie du conducteur.

b) Capacité d’un condensateur plan
Un condensateur plan est formé par deux plans en influence totale (+Q et -Q sont les charges
totales de chaque armature) , parallèles à xOy et espacés d’une distance e et soumis à une tension
V. On néglige les effets de bords ce qui revient à considérer les plans infinis.

L’invariance du problème par translation suivant xety impose une répartitionuniforme des charges.
Or, on sait que le champ créé par un plan infini chargé uniformément vaut

En conséquence, le champ résultant est telle que (Eint est le champ entre les armatures, et Eext est
le champ à l’extérieur du condensateur) :

et le champ est orienté de la plaque positive vers la plaque négative.
Le potentiel électrique est tel que

Si l’on note V = V ( e/2 ) - V (-e/2) la tension électrique entre les plaques et sachant que s= Q/S
(si S est l’aire d’une portion de l’armature positive, Q est la charge que porte cette surface) , on
obtient : V = Q e/e0S
Or

Q = CV

donc

C = e0S/e
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On constate ainsi que la capacité d'un condensateur plan est proportionnelle à sa surface et
inversement proportionnelle à son épaisseur. On peut interpréter physiquement ce résultat en
disant que plus S est grand plus les charges peuvent se répartir et créer des densités de charges
limitées conduisant à des champs d'amplitude limitée et donc également à des potentiels limités, ce
qui conduit à des grandes capacités. C'est l'épaisseur e qui représente l'effet de l'influence
électrostatique. De manière schématique, on peut dire que plus e est petit, c'est-à-dire, plus les
plaques sont rapprochées, plus l'influence électrostatique est importante et plus la capacité est
grande. On pourrait se dire que la capacité des condensateurs plans est illimitée car on pourrait
donner à e une valeur arbitrairement faible. Il est évident qu'en pratique e est limité par des
contraintes technologiques et que l'on ne peut donc pas obtenir une capacité arbitrairement grande.
Exemple :
S = 1 m2 , e = 0.1 mm , e0 = 8.85 10-12 donne

C = e0S/e = 90 nF

c) Capacité d’un condensateur sphérique
Soit un condensateur constitué de deux armatures sphériques de même centre O, de rayons
respectifs R1 et R2 , séparées par un vide (R 2 > R 1).
D’après

le

théorème

de

Gauss,

le

champ

électrostatique en un point M situé à un rayon r entre
les deux armatures vaut

en coordonnées sphériques, ce qui donne une tension

d) Capacité d’un condensateur cylindrique
Soit un condensateur constitué de deux armatures cylindriques coaxiales de longueur infinie, de
rayons R1 et R2 , séparées par un vide (R2 >R1).

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Soit λ la charge par unité de longueur du cylindre intérieur. D’après le théorème de Gauss, le
champ électrostatique entre les deux armatures s’écrit :

en coordonnées cylindriques, ce qui donne une tension
et une capacité par unité de longueur

3. Association des condensateurs :
Condensateurs en parallèle
Soient n condensateurs de capacités Ci mis en parallèle avec la même tension U=V1−V2. La
charge électrique de chacun d’entre eux est donnée par Qi = CiU .

La charge électrique totale est simplement

Condensateurs en série
On démontre que la capacité équivalente est

4. Energie électrostatique
Définition :
Soit un conducteur isolé, de charge Q distribuée sur sa surface S. L’énergie potentielle
électrostatique de ce conducteur est alors

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puisqu’il est équipotentiel, c’est à dire

Ceci est l’énergie nécessaire pour amener un conducteur de capacité C au potentiel V. Puisque
cette énergie est toujours positive cela signifie que, quel que soit V (et donc sa charge Q), cela
coûte toujours de l’énergie.
D’autre part, cette énergie fournit sous forme de travail est emmagasine dans l’objet conducteur
sous forme d’une énergie potentielle électrique qui se manifeste par le système de force de
Coulomb qui repoussent les charges les uns contre les autres
Il est intéressant d'exprimer l'énergie stockée dans le condensateur en fonction du champ
électrique. Pour cela, il suffit de remplacer V par e||E||. Comme cette substitution fait apparaître
l'épaisseur du condensateur, faisons apparaître la surface du condensateur également en remplaçant
C par sa valeur pour le condensateur plan, soit, C=εS/e. On trouve avec ces deux substitutions que
la densité d'énergie électrique stockée dans le condensateur est donnée par (1/2) ε||E||2 multiplié
par le volume du condensateur, c'est-à-dire, le volume dans lequel s'établit le champ.

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ÉLECTROCINÉTIQUE

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