Cont 2 4 maths 2014 2015 .pdf


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2014/2015
Lyc´ee EL ALIA

Exercice 1

4° Maths
Dur´ee: 2 heures

[ Devoir de contrˆ
ole 2 \
y
( 3 points )
1

Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [−1, 1] par

f(x) = x 1 − x2 dont la courbe Cf est trac´e‹e ci→ −


contre dans un rep`ere orthonorm´e O, ı ,  .

-2

-1

0

(Cf )
x

1

-1

-2

1. Calculer l’aire, en u.a, de la partie du plan limit´ee par la courbe Cf et les droites d’´equations
respectives x = −1 , x = 1 et y = 0.
−1

x
1

2. Calculer le volume, en u v, du solide engendr´e
par rotation de (C) autour de l’axe des abscisses.

Exercice 2

( 5 points )

1. a) D´eterminer le reste modulo 13 de 54 .
b) En d´eduire les restes modulo 13 de chacun des entiers 54k , 54k+1 , 54k+2 et 54k+3 avec k ∈ N.
c) D´eterminer alors le reste de la division euclidienne par 13 de : a = 13182015 + 912014 .
d) D´eterminer les entiers naturels n tels que : 52n + 5n ≡ 0(mod13) .
2. Soit la suite (un ) d´efinie sur N∗ par : un = 1 + 5 + 52 + 53 + · · · + 5n−1 .
a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , 4un = 5n − 1.
b) Montrer que u2016 est divisible par 13 .
c) En utilisant la question 1 ) b ) d´eterminer suivant les valeurs de n les restes modulo 13 de un .

Exercice 3

( 6 points )

Zx
1
dt

On consid`ere les fonctions f et F d´efinie sur l’intervalle [0, 1[ par :f(x) = √
et
F(x)
=
.
1 − x2
1 − t2
0
On donne ci-joint 
`a la page 3/3,
la courbe repr´esentative Cf de f dans le plan rapport´e `a un rep`ere
→ −

→‹
orthonorm´e direct O, ı ,  .
Z sin x
• π•
dt

1. Soit G la fonction d´efinie sur l’intervalle I = 0,
par : G(x) =
.
2
1 − t2
0
a) Montrer que G est d´erivable sur I et que G ′ (x) = 1 pour tout x de I.
ˆ le 2
Devoir de contro

- 1/3 -

Profs : Lahbib Ghaleb
Lahbib Mohamed

2014/2015
Lyc´ee EL ALIA

4° Maths
Dur´ee: 2 heures

[ Devoir de contrˆ
ole 2 \

b) En d´eduire G(x) pour tout x de I.
c) Calculer l’aire, en unit´es d’aire, de la partie
√ du plan limit´ee par Cf , l’axe des abscisses et les
2
droites d’´equations respectives x = 0 et x =
.
2
Z √2
2
tn


2. Soit (un ) la suite d´efinie pour tout n ∈ N par, un =
dt.
1 − t2
0

2
a) V´erifier que u1 = 1 −
.
2
Z √2 È
2
1
b) A laide d’une int´egration par partie, montrer que u2 = − +
1 − t2 dt.
2
0
π 1
c) En d´eduire que u2 = − .
8 4
1
1

√ .
d) Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
6 un 6
n+1
(n + 1)( 2)
(n + 1)( 2)n
e) En d´eduire que la suite (un ) est convergente et d´eterminer sa limite.

Exercice 4

( 6 points )

!

−Û
−→ −−→
π
On consid`ere dans le plan orient´e un triangle ABC tel que AC = 4, AB = 2 et AC , AB ≡ [2π].
2
On d´esigne par Ω le projet´e orthogonal de A sur (BC).
1. Soit f la similitude directe qui transforme A en C et B en A.
a) D´eterminer l’angle et le rapport de f.
b) Montrer que Ω est le centre de f.
c) On d´esigne par E le sym´etrique de Ω par rapport `a la droite (AB) et par F le sym´etrique de Ω
par rapport `a la droite (AC).
Montrer que A est le milieu de [EF] et que f(E) = F.
2. Soit g la similitude indirecte qui transforme E en Ω et Ω en F.
a) D´eterminer le rapport de g.On note ω le centre de g .
b) D´eterminer (g ◦ g)(E) .En d´eduire que ω appartient `a la droite (EF).
3. a) D´eterminer (g ◦ f−1 )(Ω) et (g ◦ f−1 )(F). En d´eduire que g ◦ f−1 = S(AC) .
b) D´eterminer alors g(A) et g(B).En d´eduire que ω appartient `a la droite (BC).
c) Construire alors ω et l’axe ∆ de g.

ˆ le 2
Devoir de contro

- 2/3 -

Profs : Lahbib Ghaleb
Lahbib Mohamed

` rendre avec la copie
Annexe a

Nom et Pr´enom :...........................................

B
b



E
b

b

b
b

C

A

b

F

ˆ le 2
Devoir de contro

Page 3/3

4° Maths


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