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Fonctions usuelles et DL .pdf


Nom original: Fonctions usuelles et DL.pdf

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´ Saad Dahlab Blida
Universite
Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2014/2015
Module: Maths I


erie d’Exercices no : 5

Fonctions usuelles &
D´eveloppements limit´es
Exercice (02):D´eterminer les domaines de d´efinition et
de d´erivabilit´e, puis calculer la d´eriv´ee des fonctions :


2x
1. f (x) = arccos
.
1 + x2
2. f (x) = arctan (x + cos (x)) ,
3. f (x) = sinh (ln (x)) .
Exercice (01):(Examen 2013/2014)
Soit f la fonction d´efinie par:
f (x) = arctan(
1.
2.
3.
4.
5.

2x
).
1 − x2

D´eterminer le domaine de d´efinition de f .
Peut-on prolonger f par continuit´e en x0 = 1?
Calculer la d´eriv´ee de f sur [0, 1[∪]1, +∞[.
Enoncer le Th´eor`eme des accroissements finis.
Montrer que ∀x ∈]0, 1[ on a:
2x
2x
< arctan(
) < 2x.
x2 + 1
1 − x2

6. En d´eduire la limite suivante:
lim

x7→0+

1
2x
arctan(
).
x
1 − x2

Exercice (02): Trouver DLn (f )(0) dans les cas suivants:
1
avec(n = 3)
1/ f (x) = 1 + exp x − sin x + chx + 1−x


2/ f (x) = 1 + x + 1 − x avec(n = 4)
3/ f (x) = cos x ln(1 − x) avec
√ (n = 3)
4/ f (x) = (1 + x2 ) exp x + x 1 + x2 avec(n = 4)
3
5/ f (x) = 1+x+x
avec (n = 4)
2+sin x
6/ f (x) = exp(sin x) avec (n = 4)
7/ f (x) = exp(cos x) avec (n = 4)
arcsin x
avec (n = 5)
8/ f (x) = √
2
1−x

Donner DLn (f )(x0 ) pour les fonctions suivantes:

1/ f (x) = x avec x0 = 1, n = 3; 2/ f (x) = ln(sin x)
avec x0 = π2 , n = 3
1
3/ f (x) = (1 + cos x) x avec x0 = π2 , n = 3.
Trouver le d´eveloppement limit´e au voisinage de l’infini
des fonctions suivantes:

1/ f (x) = ln(x
+ 1 + x2 ) − ln x au v(+∞) et n = 4.

x+2
2/ f (x) = √
au v(+∞) et n = 3.
√ x

2
3/ f (x) = x − 1 − x2 − x au v(±∞)
et n = 3.

3
2
4/ f (x) = (x − x + x2 ) exp( x1 ) − x6 + 1 au v(+∞) et
n = 3.
Exercice (03):
Soit la fonction f d´efinie pour tout x ∈ R par:
p
f (x) = 1 + x + x2

1/ D´eterminer le d´eveloppement limit´e de f a
` l’ordre 1
2
au voisinage de 0.
2/ En d´eduire l’´equation de la tangente au point
d’abscisse x = 0 ainsi que sa position par rapport a
` la
courbe de f .
3/ D´eterminer une ´equation de l’asymptote au
v(+∞),ainsi que la position de cette asymptote par
rapport a
` la courbe de f .
Exercice (04)(Examen 2003):
Soient a ∈ R et f la fonction ind´efiniment d´erivable au
point 0 d´efinie par:


f (x) = ln 1 + a sin x + (a2 + 1)x2
1/ Montrer que f admet un d´eveloppement limit´e au
voisinage de 0 a
` l’ordre 3 qui s’´ecrit:
ax + (4a2 + 3)

x2
x3
− (a3 + 7a)
+ ◦(x3 )
2
6
0

00

2/ En d´eduire les valeurs de f (0), f (0), f (0) et f (3) (0).
3/ Quelle est l’´equation de la tangente a
` la courbe Γ de f ?
Exercice(05) Soient a ∈ R et f la fonction ind´efiniment
d´erivable au point 0 et admettant le d´eveloppement
limit´e:
f (x) = (3 − 4a) + (a2 − 2a)x + (a3 − 7a)

x2
− ax3 + o(x3 ).
2

1. Trouver la valeur de a, v´erifiant les deux conditions:
f (0) = f (1) (0) et f (2) (0) = f (3) (0).
2. Pour a = 1, d´eterminer le d´eveloppement limit´e de la
fonction g(x) = f o(sin(x)) a
` l’ordre 3, dans un voisinage
de 0.
3. En d´eduire les valeurs suivantes:
g (3) (0)

;

lim

x7→0

g(x) + 1
.
x

Exercice(06) Soient les fonctions f et g d´efinies par:
f (x) =

1
1 + x2 + x3
; g(x) =
.
1 + ln(x + cos(x))
1+x

1. Donner les d´eveloppements limit´es a
` l’ordre 3 de f et
g, dans un voisinage de 0.
2. D´eterminer l’´equation de la tangente au graphe de f
au point d’abscisse 0, puis pr´eciser la position du graphe
par rapport a
` cette droite.
3. Trouver selon les valeurs de n ∈ N, la limite suivante:
.
lim f (x)−g(x)
xn
x→0

Exercice(07).Soit pour α ∈ R, la fonction f (x) d´efinie
par:

f (x) = (x2 + α) ln 2 + sin(x) .
1. Montrer que f admet un d´eveloppement limit´e dans
un voisinage de 0.
2. Donner en fonction de α, le d´eveloppement limit´e de
f, a
` l’ordre 3, dans un voisinage de 0.
3. D´eterminer l’´equation de la tangente au graphe de f
au point d’abscisse 0, puis pr´eciser la position du graphe
par rapport a
` cette droite.
4. Pour quelle valeur de α on a: f (2) (0) = ln(4)?

Exercice (08):
En utilisant les d´eveloppements limit´es, calculer les limites:
sin x
x
x−x
1/ lim 1−cos
2/ lim (1−exp(x))
3/ lim arcsin
2
x2 +x3
x→0 tg x
x→→0
x→0 x−sin x
1

x)+sin x−2x
4/ lim sin2 x − x12
.
5/ lim sin(tg(sin
x)5
x→0

x→0

Exercices suppl´
ementaires

x
cos x

(n = 4), 2/ f (x) = (cos x)sin x

1+sin x
log( 1−2
)
sin x

3/ f (x) =
sh(3x). arctg x

,

(n = 4)

(n = 5)

4/ f (x) =

(n = 5)

5/ f (x) = (arcsin x)2 (n = 5).
Exercice (10):
a/ Donner le d´eveloppement limit´e a
` l’ordre n indiqu´e au
voisinage de x0 pour les fonctions suivantes:

1
1/ f (x) = ch( x) (x0 = 1, n = 2) ; 2/ f (x) = x x
(x0 = 1, n = 3)
q

(au
3/ f (x) = 3 sin x (x0 = π2 , n = 4); 4/ f (x) = 1+x
2+x
v(∞), n = 3).
b/ Donner le d´eveloppement limit´e g´en´eralis´e des fonctions suivantes au voisinage de x0 :
1
1/ f (x) = x2 +x
4
(x0 = 0, n = 3).

(x0 = 0, n = 4) 2/ f (x) =

cos x
log(1+x)

Exercice (11):
Calculer en utilisant le d´eveloppement limit´e les limites
suivantes:
x)arctgx
1/ lim (1−cos
x sin2 x
x→0

3/ lim (cos x)tgx
x→0

2/ lim

x→→0

exp x−sin x−cos x
x2



x− e
x→e ln x−1

4/ lim

Exercice (12):
Soit la fonction d´efinie par f (x) =

5/ lim (cos xa )x .
x→+∞

arctg x
x

1/ Donner le DL de f a
` l’ordre 2 en x0 = 1
2/ En d´eduire l’´equation de la tangente a
` la courbe de f
au point x0 = 1 et sa position par rapport a
` celle-ci.
3/ D´eterminer les asymptotes ainsi que leurs positions
par rapport a
` la courbe repr´esentative de f dans les cas
suivants:
f (x) = x2 ln(1 + x1 )

x2
x3
xn
x
+
+
+ ... +
+ o(xn )
1!
2!
3!
n!
(−1)n x2n
x2
x4
cos x = 1 −
+
+ ... +
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
ex = 1 +

sin x = x −

Exercice (09):
Donner le DL a
` l’ordre n indiqu´e au voisinage de 0 pour
les fonctions suivantes:
1/ f (x) =

2
Les d´eveloppements limit´es ci-dessous sont valables quand
x tend vers 0 et uniquement dans ce cas.

x
f (x) = (x − 1) exp( x−1
)

(−1)n x2n+1
x3
x5
+
+ ... +
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!

2x5
17x7
x3
+
++
+ o(x8 )
3!
15
315
x2
x4
x2n
cosh x = 1 +
+
+ ... +
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
tg x = x +

x3
x5
x2n+1
+
+ ... +
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!

1
1
1 3
1 + x = 1 + x − x2 +
x + o(x3 )
2
8
16
x
x2
xn
(1 + x)α = 1 + α + α(α − 1)
+ . . . + α · · · (α − n + 1)
+ o(xn )
1!
2!
n!
1
= 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + o(xn )
1−x
1
1
3
5 3

= 1 − x + x2 −
x + o(x3 )
2
8
16
1+x
(−1)n−1 xn
x2
x3
ln(1 + x) = x −
+
+ ... +
+ o(xn )
2
3
n
(−1)n x2n+1
x3
x5
arctg(x) = x −
+
+ ... +
+ o(x2n+2 )
3
5
(2n + 1)
sinh x = x +


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