Synth 2 4 maths 2014 2015 .pdf


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2014/2015
Lyc´ee EL ALIA

Exercice 1

4° Maths
Dur´ee: 4 heures

[ Devoir de synth`
ese n°2 \

( 4 points )

On consid`ere la suite u d´efinie sur N par un =


Ze
1

(lnx)n
dx.
x2

1. a) Montrer que pour tout n ∈ N ; un > 0.


b) Montrer que la suite u est d´ecroissante.
2. a) A l’aide d’une int´egration par partie, calculer u1 .
1
b) Montrer, `a l’aide d’une int´egration par partie que pour tout n ∈ N∗ , un+1 − (n + 1)un = − .
e
c) En d´eduire la valeur de u2 .
1
3. a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , 0 6 un 6
.
ne
b) En d´eduire lim un
n→+∞

Exercice 2

( 5 points )

1. Soit dans Z × Z l’´equation (E) : 6x − 7y = 1.
a) V´erifier que (−1, −1) est une solution de (E).
b) R´esoudre dans Z × Z l’´equation de (E).

n ≡ 1( mod 6)
2. On consid`ere le syst`eme (S) :
o`
u n est un entier.
n ≡ 2( mod 7)
a) V´erifier que 20112014 est une solution de (S).
b) Montrer que n est une solution de (S) si est seulement si n ≡ 37( mod 42).
c) D´eduire le reste modulo 42 de 20112014 .
3. a) Donner une solution particuli`ere de (E ′ ) : 6x − 7y = 5.
b) R´esoudre dans Z × Z l’´equation (E ′ ).
4. Soit (x, y) une solution de (E ′ ) et d = x ∧ y .
a) D´eterminer les valeurs possibles de d.
b) On suppose que d = 5. D´eterminer les couples (x, y) solutions de (E ′ ).

Exercice 3

( 5 points )

Dans le plan orient´e, on consid`ere un carr´e ABCD de centre O et de sens direct.
1. Soit S la similitude directe qui envoie D en C et O en B.
a) D´eterminer le rapport et l’angle de S.
b) Pr´eciser l’image par S de la droite (OD).
c) D´eterminer les images par S des droites (AC) et (AD) et en d´eduire que A est le centre de S.
π
2. On d´esigne par I le sym´etrique de O par rapport `a (CD) et par R la rotation de centre D et d’angle − .
2
−→ ◦ S ◦ R.
On pose g = t−
BC
a) Pr´eciser g(I) et g(C).
b) Montrer que g est une similitude directe de rapport 2 et d’angle −
Devoir de synth`
ese 1

- 1/2 -


.
4

Prof : L. Ghaleb et L. Mohamed


−−→ −−→
3. On rapporte le plan complexe au rep`ere orthonorm´e direct O, AB , AD .

On d´esigne par Ω le centre de g.
a) Donner la transformation complexe associ´ee `a g.
b) En d´eduire l’affixe de Ω.
4. On d´esigne par J le sym´etrique de A par rapport `a la droite (CD) et par K le sym´etrique de D par
rapport a` I.
Soit σ = g ◦ S(IC) .
a) Montrer que σ est similitude indirecte dont on pr´ecisera le rapport.
b) V´erifier que I est le milieu du segment [JC].
c) D´eterminer (σ ◦ σ)(I) et en d´eduire que K est le centre de σ.
d) D´eterminer l’axe ∆ de σ.

Exercice 4

( 6 points )







Z 2x

dt
ln t



i
h
1
si x ∈ 0,
∪ 1 , +∞
2

1
F(x) =
∪ 1 , +∞ par :
x

2
F(0) = 0

i
h
1
x
x
1. a) D´emontrer que pour tout x ∈ 0,
∪ 1 , +∞ ;
6 F(x) 6
.
2
ln(2x)
ln x
b) Montrer que F est continue et d´erivable `a droite en 0 et pr´eciser Fd′ (0) .
F(x)
c) D´eterminer les limites respectives de F(x) et de
lorsque x tend vers +∞.
x
h
h
2. Soit g la fonction d´efinie sur 1 , +∞ par g(x) = ln t + 1 − t.
Soit F la fonction d´efinie sur 0,

i

h

a) Dresser le tableau de variations de g.
h
h
b) Justifier que pour tout t ∈ 1 , +∞ , ln t 6 −1 + t.
i
h
c) Montrer alors que pour tout x ∈ 1 , +∞ , F(x) > ln(2x − 1) − ln(x − 1).

d) D´eterminer alors lim+ F(x).
x→1
i
i
3. Soit h la fonction d´efinie sur 0 , 1 par h(t) = 2 − 2t + ln t.
a) Dresser le tableau de variations de h.


1
une unique solution α.
b) D´eduire que l’´equation h(t) = 0 admet dans 0,
2
i
h
c) Justifier que pour tout t ∈ α , 1 , ln t > 2t − 2.


1
d) En d´eduire que pour tout x ∈ α, , F(x) 6 2 (ln |2x − 1| − ln |x − 1|).
2
e) D´eterminer alors lim F(x).
x→( 21 )−
x

i
h
ln
1
2
4. a) Montrer que pour tout x ∈ 0,
∪ 1 , +∞ , F ′ (x) =
.
2
ln(x) · ln(2x)
b) Dresser le tableau de F.

→ −


c) Tracer l’allure de la courbe (C) de F dans un rep`ere orthonorm´e O, ı ,  .


Devoir de synth`
ese 2

- 2/2 -

Prof : L. Ghaleb et L. Mohamed


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