ANALYSE REELLE. COURS ET EXERCICES CORRIGES. PREMIERE ANNEE MATHS ET INFORMATIQUE.pdf


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Table des matières
I SEMESTRE 1 : NOMBRES REELS. SUITES. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELE : LIMITE, CONTINUITE, DERIVEE, FORMULES DE TAYLOR ET
DEVELOPPEMENTS LIMITES
10
1 L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
1.1 DEFINITION GENERALE ET APERCU HISTORIQUE . . .
1.1.1 Construction des ensembles N; Z; Q; R en utilisant les
équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Nombres irrationnels. Nombres algébriques. Nombres
transcendans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le nombre fascinant :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Contribution des civilisations anciennes dans le calcul
approximatif de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Irrationalité de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Transcendance de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Représentation décimale . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Dé…nition axiomatique des nombres réels . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Relation d’ordre, Minorants, Majorants, Sup, inf, Maximum, Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3
1.3.4

11
11
11
15
19
19
22
23
23
25
25
31

Introduction axiomatique des nombres réels . . . . . . 31
Propriété caractéristique du sup . . . . . . . . . . . . . 33

1.4 Propriétés caractéristiques de l’ensemble des nombres réels . . 37
1.4.1 Propriété d’Archimède et densité de Q et de RnQ dans R 37
1.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3
1.4.4
1.4.5

Partie entière d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Valeur absolue d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . 39
Ensembles particuliers de R . . . . . . . . . . . . . . . 41
2