ANALYSE REELLE. COURS ET EXERCICES CORRIGES. PREMIERE ANNEE MATHS ET INFORMATIQUE.pdf


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TABLE DES MATIÈRES
4.2.3 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Dérivée sur un intervalle. Fonction dérivée. . . . . . .
4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Somme, produit et quotient de fonctions dérivables .
4.3.2 Dérivée n-ième d’un produit (formule de Leibniz) . .
4.3.3 Dérivée d’une fonction composée. . . . . . . . . . . .
4.3.4 Dérivée d’une fonction réciproque . . . . . . . . . . .
4.3.5 Optimum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Théorème de Rolle et des accroissements …nis . . . . . . . .
4.4.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Théorème des accroissements …nis . . . . . . . . . . .
4.4.3 Théorème des accroissements …nis généralisé . . . . .
4.5 Quelques applications de la notion de dérivée et du théorème
des accroissements …nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Etude de la variation des fonctions . . . . . . . . . .
4.5.2 Regle de l’Hopital et applications . . . . . . . . . . .
4.5.3 Optimisation di¤erentiable dans R . . . . . . . . . .
4.5.4

5
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212
212
213
218

Condition su¢ sante d’optimalité . . . . . . . . . . . . 220

5 FORMULES DE TAYLOR. DEVELOPPEMENTS LIMITES242
5.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.2 FORMULES DE TAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4

Formule de Taylor avec reste de Lagrange . . . . . . . 243
Formule de Taylor MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . 246
Formule de Taylor Young . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Développement de Taylor et Maclaurin-Young des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.3 Applications de la formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 250
5.3.1 Application de la formule de Taylor au calcul d’optimums250
5.3.2 Application de la formule de Taylor au calcul des limites des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.4 DEVELOPPEMENTS LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.4.1 Développement limité d’odre n au voisinage de 0 . . . 255
5.4.2 Développements limités usuels obtenus par la formule
de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.4.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . 260