Série SNV 2016 .pdf


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'pSDUWHPHQW GHV 6FLHQFHV GH OD 1DWXUH HW GH OD 9LH 0DWLqUH 06,

S´eries num´eriques: r´esum´e de cours. Exercices d’application.

1. R´
esum´
e de cours : les s´
eries `
a termes positifs
Les g´en´eralit´es sur les s´eries restent X
valables, en particulier :
– la d´efinition de la convergence :
un converge ssi la suite des sommes partielles (Sn )
n

converge (avec Sn = u0 + u1 + .... + un ). X
– la condition n´ecessaire de convergence de
un qui est que un → 0 quand n → ∞
n

X

un une s´erie `
a termes positifs, si la suite (Sn ) des sommes partielles est
X
X
major´ee par un r´eel M alors
un converge vers un r´eel S ≤ M sinon
un diverge vers +∞.
Th´
eor`
eme 1. Soit

n

n

n

La majoration n’´etant pas ´evidente, on peut utiliser des th´eor`emes de comparaison et des s´eries
connues (g´eom´etriques, Riemann ...) ou plus simplement des crit`eres qui en d´ecoulent.
X
X
Th´
eor`
eme de comparaison 1. Soient
un et
vn deux s´eries `
a termes positifs, si pour
n

n

tout entier
` un certain
Xn sup´erieur a
X n0 , on a : un ≤ vn alors :
– si
vn converge alors
un converge.
n
n
X
X
– si
un diverge vers +∞ alors
vn diverge vers +∞.
n

n

un
=1
vn

On rappelle que un ∼ vn lorsque n → ∞ ssi lim

n→∞

Th´
eor`
eme de comparaison 2. Soient

X

un et

n

X

vn deux s´eries `
a termes positifs, si un ∼ vn

n

lorsque n → ∞, alors les deux s´eries sont de mˆeme nature.
X
X
Th´
eor`
eme de comparaison 3. Soient
un et
vn deux s´eries `
a termes positifs, si pour
n

n

un+1
vn+1

alors :
tout entier n sup´erieur `
a un certain n0 , on a :
un
vn
X
X
– si
vn converge alors
un converge.
n
n
X
X
– si
un diverge vers +∞ alors
vn diverge vers +∞.
n

n

De ces th´eor`emes on d´eduit les crit`eres plus commodes :

1

Crit`
ere de d’Alembert Soit une s´erie de terme g´en´eral un > 0
un+1
Si lim
=`:
n→∞ un
X
– si ` < 1 alors
un est convergente.
n
X
– si ` > 1 alors
un est divergente.
n

Crit`
ere de Cauchy Soit une s´erie de terme g´en´eral un ≥ 0

Si lim n un = ` :
n→∞
X
– si ` < 1 alors
un est convergente.
n
X
– si ` > 1 alors
un est divergente.
n

On a aussi un th´eor`eme de comparaison avec une int´egrale :
Th´
eor`
eme de comparaison 4. Soit fZune fonction continue, positive, d´ecroissante sur [0; +∞[,de
n
limite nulle +∞ soit un = f (n), In =
(x)dx alors
0
X
un converge.
– si la suite (In ) converge, la s´erie
n
X
– si (In ) diverge vers +∞, la s´erie
vn diverge vers +∞.
n

Ce th´eor`eme s’applique aux s´eries de Riemann

+∞
X
1
qui deviennent des ´el´ements de comα
n
n=1

paraisons pour d’autres s´eries.
Th´
eor`
eme 2. Soit α ∈ R+ , la s´erie de Riemann


+∞
X
1
converge pour α > 1
α
diverge pour α ≤ 1
n
n=1

2. Exercices sur les r`
egles simples de convergence ou divergence
Ces r`egles simples sont : la condition n´ecessaire de convergence (un → 0), les crit`eres de
d’Alembert et Cauchy, les deux premiers th´eor`emes de comparaison utilis´es avec des s´eries
g´eom´etriques ou de Riemann
Exercice 1 Etudier la convergence des s´eries suivantes :
n







X
X
X
X
X
X
n
2n
n!
n
n
3n n
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
,
2n
n!
2n
2n + 1
2n + 1
2n
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
n





X
X
X
X
X

n!
1
1
1
− n
g)
,
h)
,
i)
,
j)
e
,
k)
n tan( )
(2n)!
Cn
(ln n)n
2n
n=1
n=1 2n
n=1
n=1
n=1
Exercice 2 Etudier la convergence des s´eries suivantes en utilisant le th´eor`eme sur les s´eries
de Riemann et ´eventuellement les th´eor`emes de comparaison 1 et 2 :
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
X
X
1
1
1
2n
1
1


a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
sin
3
3+1
n
n
2n

1
n
n.
n
n
n=1
n=0
n=1
n=1
n=1
n=1

2

Exercice 3 Etudier la convergence des s´eries suivantes :
+∞
+∞
+∞ 2
+∞
X
X
X
X
1 + 2n
2n + 1
n
n
a)
,
b)
,
c)
,
d)
n
n
3
3
n!
(n
+
1)4
n=1
n=0
n=1
n=0

Exercice 4

On se propose d’´etudier la convergence de

+∞
X
1
ln
n
n=2

1. Montrer `
a l’aide d’une ´etude de fonction que pour tout x > 0,
2. En d´eduire la nature de la s´erie

e)

+∞
X
n=0



n2
+n

2n

x > ln x

+∞
X

1
ln n
n=2

Exercice 5
1. Etudier les variations puis le signe sur [0; π2 ] des fonctions f et g d´efinies par f (x) = sin x−x
x3
et g(x) = sin x − x + .
6
2. En d´eduire un encadrement de sin x sur [0; π2 ] puis sur [− π2 ; 0]
3. Montrer que sin x ∼ x lorsque x → 0
4. En utilisant
nature des s´eries de termes g´en´eraux :
dernier r´esultat,
que
peut-on dire de
la
ce

1
1
1
2
,
bn = sin
,
cn = tan
,
dn = 1 − cos n1 ?
an = sin
n
n
n

Calculs de sommes de s´
eries convergentes
+∞
X
1 + 2n
converge. Calculer sa somme.
3n
n=1

Exercice 6

On a vu au a) de l’exercice 3 que

Exercice 7

+∞
X
2n + 1
On a vu au b) de l’exercice 3 que
converge vers un r´eel S.
3n
n=1

1. Montrer que pour 0 ≤ x < 1, 1 + 2x + 3x2 + ... + xn + ... =

1
(1 − x)2

2. En d´eduire la valeur de S.
Exercice 8

Soit la s´erie

+∞
X
2n − 1
3 − 4n
n
n=3

1. Montrer que cette s´erie converge vers un r´eel S.
2x − 1
2. D´ecomposer la fraction rationnelle : 3
en ´el´ements simples.
x − 4x
3. En d´eduire la valeur de S.
Exercice 9

Etudier la convergence de la s´erie

+∞
X
n=2

3


ln

n2
2
n −1


et calculer sa somme.

Les autres th´
eor`
emes de comparaison
Exercice 10

+∞
X

Etudier la convergence de la s´erie

1
`a l’aide du th´eor`eme de compan(ln n)2
n=2

Etudier la convergence de la s´erie

+∞
X
ln n
`a l’aide du th´eor`eme de comparaison
n
n=2

raison 4.
Exercice 11
4.
Exercice 12

+∞
X
ln n
.
Etudier la convergence de la s´erie
n2
n=1

4


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