Série Etude de fonction 3ème sc exp .pdf


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Prof : Mr Khammour.K

Série n°9 : Etude de fonction

3ème Sc-exp

Février 2016

Exercice n°1 :
On considère une fonction f définie et dérivable sur 2,  par : f  x   ax  b 

c
.
xd

Où a, b, c et d sont des réels non nuls. Le tableau de variations de f est le suivant :

La courbe représentative de f passe par le point A(-1,6 ).
1) Quelle asymptote parallèle à l’axe des ordonnées la courbe de fpossède-t-elle ? En déduire d.
2) Déterminer les trois autres nombres a, b et c.
3) Démontrer que la courbe de fadmet une asymptote oblique D’. Etudier la position relative de D ' et C.
Exercice n°2 :
Soit f la fonction définie sur IR\{1} par : f  x  

x2  3
.
x 1

1) Dresser le tableau de variations de f .
c
.
x 1
D en 

2) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x  1 , f  x   a x  b 
3) Démontrer que la courbe C f de f admet une asymptote oblique

et en

 .

La courbe

C f admet-elle une autre asymptote ?

4) Montrer que le point A  1;2  est un centre de symétrie de la courbe C f .
5) Tracer Cf.
Exercice n°3 :
1) On considère le polynôme P( x)  x 3  3 x 2  2 .
a) Vérifier que P( x)  ( x  1)( x 2  2 x  2) .
b) Etudier le signe de P(x).
2) On considère la fonction f définie sur





 {2} par f ( x) 

x3  3 x  2
et C sa courbe représentative dans un
x 2

repère orthonormé O, i, j (en abscisse 1 cm pour 1 unité, en ordonnée 1 cm pour 2 unités).
a) Déterminer les limites de f en +  , en −  et en 2. Préciser les asymptotes verticales et horizontales
éventuelles.
b) Montrer que f '( x) 

2 P( x)
.
( x  2)2

c) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
d) Tracer C .
3) a) Pour quelle abscisse a la tangente au point d’abscisse a est-elle horizontale ? Justifier.

b) Déterminer l’équation de la tangente T à C en x = 3 et la tracer dans le même repère que C.
4) Trouver a, b, c et d tels que f ( x )  ax 2  bx  c 
5) On admet que f ( x )  x 2  2 x  1 

4
x2

d
x2

.

. On appelle g la fonction définie par g( x)  x 2  2 x  1 et P sa courbe

représentative.
a) Déterminer les limites en  et en  de f(x) – g(x). Que peut-on en déduire sur les courbes C et P ?
b) Etudier la position relative de C et P.
Exercice n°4 :
I)

Soit  la fonction numérique de la variable réelle x telle que : ( x) 

3 x ²  ax  b
.
x²  1

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de  soit tangente au point I de
coordonnées (0 ; 3) à la droite (T) d’équation y = 4x + 3.
II)

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que : f ( x ) 





3 x²  4x  3
et (C) sa
x²  1

courbe représentative dans un repère orthonormé O, i, j d’unité graphique 2 cm.
1) Montrer que pour tout x réel, on a f ( x )   

x
;  et 
x²  1

étant deux réels que l’on déterminera.

2) Etudier les variations de f. Préciser ses limites en l’infini et en donner une interprétation
graphique. Dresser le tableau de variations de f.
3) Déterminer l’équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I d’abscisse 0. Etudier la
position de (C) par rapport à (T).
4) Démontrer que I est centre de symétrie de (C).
5) Construire la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère proposé.
Exercice n°5 :
Soit f la fonction définie sur IR \{-2 ; 0 } par : f  x 
1)
2)
3)
4)

 x  1


2

2 x  x2
Donner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
Justifier que f est dérivable sur IR \{-2 ; 0 } et calculer f'(x) .
Donner le tableau des variations de f.
Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormé

 O,i,j d'unité 1cm. On indiquera et on

tracera les asymptotes éventuelles à la courbe.
5) Démontrer que la courbe (C) a un axe de symétrie.
6) Déterminer l'équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 1.
Exercice n°6 :
Soit f la fonction définie par : f ( x)  1 





x
1  x2

; on note  la courbe représentative de f dans le plan rapporté

à un repère orthonormé O, i, j .
1) a) Montrer que f est dérivable sur IR et que pour tout x∈IR on a : f '( x) 

1
1 x

2

3

.

b) Dresser le tableau de variations de f.
c) En déduire le signe de f(x) pour tout x∈IR.
2) a) Vérifier que la tangente T à la courbe  au point d'abscisse 0 a pour équation y=x+1.
b) Etudier la position relative de  par rapport à T.
c) Démontrer que le point I(0,1) est un centre de symétrie de  .
3) a) Montrer que  admet au voisinage de +∞ une asymptote horizontale D dont on donnera une équation et
au voisinage de -∞ une asymptote horizontale qui est l'axe des abscisses.
b) Etudier la position de  par rapport à la droite D et l’axe (xx’).





4) Tracer  , T et D dans le repère O, i, j .

Exercice n°7 :
On considère une fonction f définie et dérivable sur IR* par : f  x  

ax²  bx  c
.
x

Où a, b et c sont des réels non nuls. On désigne par C sa courbe représentative dans un repère
orthonormé O, i, j .





1) Déterminer les réels a , b et c pour que C passe par les points A(1,-2) et B(-4,8) ; et
admette au point x = 2 une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
 x ²  3x  4
2) On considère une fonction f définie et dérivable sur IR* par : f  x  
.
x
a) Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. Interpréter géométriquement .
b) Montrer que f est dérivable sur IR* puis calculer f ‘(x). Dresser le tableau de variation de f.
c) Montrer que le point d’intersection I des asymptotes est un centre de symétrie de la courbe C.
3) a) Montrer que la droite  : y   x  3 est une asymptote oblique à C.
b) Etudier la position relative de C par rapport à la droite  .
4) Tracer C .
Exercice n°8 :
On considère une fonction f définie et dérivable sur IR\{2} par : f  x  





 x ²  3x  3
.C sa courbe
x2

représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé O,i,j .
1) Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. Interpréter géométriquement les
résultats.
2) Montrer que le point d’intersection I de deux asymptotes est un centre de symétrie de la courbe C.
c
3) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x  2, f  x   a x  b 
.En déduire que C admet une
x2
asymptote oblique au voisinage de  et - .
4) Montrer que f est dérivable sur IR\{2}puis calculer f ‘(x). Dresser le tableau de variation de f.
5) Tracer C
6) soit h la fonction définie sur [-2,2] par : h( x)  4  x ²
a) Etudier la dérivabilité de h en 2 et -2.Interpréter graphiquement les résultats.
b) Etudier les variations de h. Interpréter graphiquement les résultats.

7) Soit g la fonction définie par : {

g ( x)  f  x   1 si x  2

g ( x)  h( x) si x  2

a) Etudier la parité de g.
b) Tracer Cg.
Exercice n°9 :
On considère une fonction f définie et dérivable sur IR\{2} par : f  x  

 x ²  3x  3
.
x2





. On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, i, j .
1) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x  2, f  x   a x  b 

c
.En déduire que C
x2

admet une asymptote oblique au voisinage de  et - .
2) Etudier les variations de f et tracer sa courbe dans un repère orthonormé O, i, j .





3) a) Soit Dm: y = -2x + m , montrer que Dm coupe C en deux points M' et M'' distincts.
b) Soit Im le milieu de [M'M''], quel est l'ensemble des points Im quand m décrit IR.
Exercice n°10 :
x3  2 x 2
et C sa courbe représentative dans le
x²  1
(unité : 2 cm)

Soit la fonction f, définie sur IR\{-1,1} par f  x  



plan muni d’un repère orthonormé O,i,j



A) Soit g définie sur IR par g ( x)  x3  3x  4 .
1) Etudier les variations de la fonction g, et calculer ses limites en + et -.
2) Montrer qu’il existe un réel  unique tel que g( )  0 .
3) Etudier le signe de g sur IR.
B) 1) Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
xg ( x )
2) Montrer que pour tout x de IR\{-1,1} , f '( x ) 
. En déduire le tableau de variation de f.
 x ²  1 ²
x2
. En déduire que C admet une asymptote
x²  1
oblique D à l’infini. Etudier la position de C par rapport à D.
4) Déterminer les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y  x  2
5) Tracer la droite D, les tangentes du 4. ainsi que la courbe C .

3) Montrer que pour tout x de IR\{-1,1} , f ( x)  x  2 


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