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cours probabilités 2016 02 10,17,24 .pdf



Nom original: cours probabilités- 2016-02-10,17,24.pdf

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Probabilités

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Chapitre III :
Variables aléatoires réelles

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

1

Variable aléatoire réelle :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

1

Variable aléatoire réelle :
Soit Ω un espace d’événements.
On appelle variable aléatoire réelle, notée v.a.r, toute
application X :
X :

Ω −→ R
ω 7−→ X(ω)

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

1

Variable aléatoire réelle :
Soit Ω un espace d’événements.
On appelle variable aléatoire réelle, notée v.a.r, toute
application X :
X :

Ω −→ R
ω 7−→ X(ω)

Remarque :
Souvent l’événement " X(ω) prend la valeur x " est noté
par " X = x ".

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Exemple :
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On
en tire successivement et avec remise 3 boules, et on
s’interesse au nombre de boules blanches tirées.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Exemple :
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On
en tire successivement et avec remise 3 boules, et on
s’interesse au nombre de boules blanches tirées.

Ω =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Exemple :
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On
en tire successivement et avec remise 3 boules, et on
s’interesse au nombre de boules blanches tirées.

Ω = {BBB, BBN, BNB, NBB, NNB, NBN, BNN, NNN} ⇒ card(Ω) = 8

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Exemple :
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On
en tire successivement et avec remise 3 boules, et on
s’interesse au nombre de boules blanches tirées.

Ω = {BBB, BBN, BNB, NBB, NNB, NBN, BNN, NNN} ⇒ card(Ω) = 8
Soit X la v.a.r qui exprime le nombre de boules blanches
obtenues.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3.
On note X(Ω) = {0, 1, 2, 3}

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3.
On note X(Ω) = {0, 1, 2, 3}

P(X = 0) = P({NNN}) = 18 .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3.
On note X(Ω) = {0, 1, 2, 3}

P(X = 0) = P({NNN}) = 18 .
P(X = 1) = P({NNB, NBN, BNN}) = 83 .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3.
On note X(Ω) = {0, 1, 2, 3}

P(X = 0) = P({NNN}) = 18 .
P(X = 1) = P({NNB, NBN, BNN}) = 83 .
P(X = 2) = P({BBN, BNB, NBB}) = 83 .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

Les valeurs possibles de X sont 0, 1, 2 et 3.
On note X(Ω) = {0, 1, 2, 3}

P(X = 0) = P({NNN}) = 18 .
P(X = 1) = P({NNB, NBN, BNN}) = 83 .
P(X = 2) = P({BBN, BNB, NBB}) = 83 .
P(X = 3) = P({BBB}) = 18 .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions
2

Types de v.a.r :

KARA-ZAÏTRI L.

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Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions
2

Types de v.a.r :
Variable alátoire discrète (v.a.d) :
X est dite v.a.d si X(Ω) est un ensemble fini ou
dénombrable.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions
2

Types de v.a.r :
Variable alátoire discrète (v.a.d) :
X est dite v.a.d si X(Ω) est un ensemble fini ou
dénombrable.
Variable aléatoire continue (v.a.c) :
X est dite v.a.c si X(Ω) est un intervalle ou une union
d’intervalles de R.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions
2

Types de v.a.r :
Variable alátoire discrète (v.a.d) :
X est dite v.a.d si X(Ω) est un ensemble fini ou
dénombrable.
Variable aléatoire continue (v.a.c) :
X est dite v.a.c si X(Ω) est un intervalle ou une union
d’intervalles de R.
Remarque :
si X est une v.a.c, alors :

∀x ∈ R ,

KARA-ZAÏTRI L.

P(X = x) = 0

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

3

Loi de probabilité d’une v.a.r :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

3

Loi de probabilité d’une v.a.r :
v.a.discrète :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

3

Loi de probabilité d’une v.a.r :
v.a.discrète :
La loi de probabilité d’une v.a.d est donnée par :
X(Ω),
∀x ∈ X(Ω) : P(X = x) .

KARA-ZAÏTRI L.

P
x∈Ω



P(X = x) = 1 .

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

3

Loi de probabilité d’une v.a.r :
v.a.discrète :
La loi de probabilité d’une v.a.d est donnée par :
X(Ω),
∀x ∈ X(Ω) : P(X = x) .

P
x∈Ω



P(X = x) = 1 .

Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

3

Loi de probabilité d’une v.a.r :
v.a.discrète :
La loi de probabilité d’une v.a.d est donnée par :
X(Ω),
∀x ∈ X(Ω) : P(X = x) .

P
x∈Ω



P(X = x) = 1 .

Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.

Exemple : Dans l’exemple précédent, la loi de
probabilité est donnée par :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

3

Loi de probabilité d’une v.a.r :
v.a.discrète :
La loi de probabilité d’une v.a.d est donnée par :
X(Ω),
∀x ∈ X(Ω) : P(X = x) .

P
x∈Ω



P(X = x) = 1 .

Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.

Exemple : Dans l’exemple précédent, la loi de
probabilité est donnée par :
x
P(X = x)

KARA-ZAÏTRI L.

0

1

2

3

1
8

3
8

3
8

1
8

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

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Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions
v.a.continue :

KARA-ZAÏTRI L.

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Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions
v.a.continue :
La loi de probabilité d’une v.a.c est donnée par une
fonction fX définie sur R telle que :

∀x ∈ R : fX (x) ≥ 0,

R

f (t ) dt
R X

= 1.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions
v.a.continue :
La loi de probabilité d’une v.a.c est donnée par une
fonction fX définie sur R telle que :

∀x ∈ R : fX (x) ≥ 0,

R

f (t ) dt
R X

= 1.

Une telle fonction est appelée "Densité de probabilité"

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Définitions

Définitions
v.a.continue :
La loi de probabilité d’une v.a.c est donnée par une
fonction fX définie sur R telle que :

∀x ∈ R : fX (x) ≥ 0,

R

f (t ) dt
R X

= 1.

Une telle fonction est appelée "Densité de probabilité"

Exemple : Montrer que la fonction suivante est une
densité de probabilité :

−x Si x > 0

 e
f (x ) =


0
sinon

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Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une
v.a.r

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Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r

1

Fonction de répartition :
La fonction de répartition de la v.a.X est une fonction F
définie par :
F :

R −→ [0, 1]
x 7−→ F(x) = P(X 6 x)

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r

1

Fonction de répartition :
La fonction de répartition de la v.a.X est une fonction F
définie par :
F :

R −→ [0, 1]
x 7−→ F(x) = P(X 6 x)

Propriétés :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r

1

Fonction de répartition :
La fonction de répartition de la v.a.X est une fonction F
définie par :
F :

R −→ [0, 1]
x 7−→ F(x) = P(X 6 x)

Propriétés :
lim F(x) = 0

x→−∞

et

lim F(x) = 1 .

x→+∞

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r

1

Fonction de répartition :
La fonction de répartition de la v.a.X est une fonction F
définie par :
F :

R −→ [0, 1]
x 7−→ F(x) = P(X 6 x)

Propriétés :
lim F(x) = 0

x→−∞

et

lim F(x) = 1 .

x→+∞

∀x ∈ R , P(X > x) = 1 − F(x).

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r

1

Fonction de répartition :
La fonction de répartition de la v.a.X est une fonction F
définie par :
F :

R −→ [0, 1]
x 7−→ F(x) = P(X 6 x)

Propriétés :
lim F(x) = 0

x→−∞

et

lim F(x) = 1 .

x→+∞

∀x ∈ R , P(X > x) = 1 − F(x).
∀ a, b ∈ R ,

P(a < X 6 b) = F(b) − F(a).

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r

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Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r
v.a.discrète :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r
v.a.discrète :
La fonction de répartition d’une v.a.d est donnée par :

∀ x ∈ R , F(x) =

X

P(X = k)

k ≤x

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r
v.a.discrète :
La fonction de répartition d’une v.a.d est donnée par :

∀ x ∈ R , F(x) =

X

P(X = k)

k ≤x

Elle est souvent présentée dans le tableau de la loi de
probabilité.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Variables aléatoires réelles

Caractéristiques d’une v.a.r

Caractéristiques d’une v.a.r
v.a.discrète :
La fonction de répartition d’une v.a.d est donnée par :

∀ x ∈ R , F(x) =

X

P(X = k)

k ≤x

Elle est souvent présentée dans le tableau de la loi de
probabilité.
Exemple : Dans l’exemple précédent, la fonction de
répartition est donnée par :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique


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