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Nom original: td8.pdf
Titre: Dans le cadre d’un programme de recherche écologique portant sur un étang du sud de la France (étang de Thau), un campagne de mesures a été réalisée à l’aide de 12 stations de mesure (placées à la profondeur de 0,5 m dans les eaux de l’ét
Auteur: PH GARAT

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LP ESSIG Grenoble

Décembre 2010

TD No 8
Modèle linéaire multiple , Interpolation Spatiale , Régression spatiale
Avertissement :
Le travail demandé sera réalisé sous R. Les scripts R de chaque exercice devront être mis en annexe.

Exercice 1 :
Un ingénieur forestier souhaite connaître la relation statistique entre la hauteur des arbres d’une
espèce donnée de résineux (variable Z ) et la circonférence du tronc mesurée à 1m30 du sol
(variable X ). Il dispose de 16 mesures :
No arbre
1 2
3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13 14 15 16
X=Périmètre 51 125 109 88 121 64 128 85 149 135 71 130 146 123 87 70
(cm)
Z=Hauteur
9 30 25 24 26 14 30 21 29 30 21 30 29 28 23 20
(m)
1) Représentez le nuage de points des données observées (X en abscisse, Z en ordonnée).
Superposez la droite des moindres carrés et commentez.
Rappel : la droite des moindres carrées passe par le barycentre ( X , Z ) du nuage de points
et a une pente égale à A = cov(X,Z) / var(X)
2) L’ingénieur propose d’ajuster un modèle polynomial de degré maximal 3 de la forme :
Z = 0 + 1 X + 2 X2 + 3 X3 + 
a) Ajustez les différents modèles possibles (il y en a sept) basés sur une ou plusieurs des
variables X, X2, X3 . Complétez le tableau récapitulatif suivant :
Modèle 1 (complet)
Modèle 2
Modèle 3
Modèle 4
Modèle 5
Modèle 6
Modèle 7

X

X2

X3







R2

R2adj

Cp Mallows

AIC

b) Quel modèle retenez-vous (justifiez bien sûr votre réponse) ?
c) Testez le modèle retenu contre le modèle complet (test F). Quelle conclusion en tirezvous ?
d) Affichez les coefficients du modèle et donnez la formule mathématique du modèle retenu.
Superposez la courbe de ce modèle sur le graphique de la question 1.
Indication : la fonction curve de R permet le tracé d’une fonction f(x). Par exemple : la
fonction f ( x)  x  1 est affichée par la commande curve ( sqrt( x-1) , add= TRUE). Le
premier argument doit être une expression contenant la lettre x minuscule. L’argument
add= TRUE sert à ce que la courbe soit superposée sur une graphique existant.
3) Analyse des résidus : étudiez la normalité des résidus issus du modèle retenu.

Exercice 2 :

Le graphique ci-dessus donne la position de dix sites (notés A à J) dans un repère cartésien du plan.
On donne les valeurs Z observées pour l’ensemble des sites :
A
1.5

B
4.2

C
1.0

D
2.0

E
6.5

F
3.1

G
2.5

H
1.0

I
4.5

J
3.7

Effectuez une interpolation spatiale sur ces données, en utilisant la méthode de la régression spatiale :
1) Ajustez un modèle polynomial en x et y complet de degré maximal 2 (cinq variables au total) .
2) Simplifiez le modèle à l’aide d’une procédure pas-àpas descendante. Donnez les coefficients et la table ANOVA
du modèle retenu.
3) Représentez la surface d’interpolation issue du modèle simplifié.
4) Construisez la matrice d’expérience X du modèle simplifié puis calculez la matrice ( X t X ) 1 .
5) Calculez la valeur d’interpolation Zˆ ( I ) pour le point I de coordonnées ( 5 ; 3 )
6) Calculez un intervalle de confiance de niveau 95% pour l’interpolation en I , à l’aide de la formule :

IC1a  Zˆ ( I )  t1a / 2 (n  q  1)ˆ x 0 t ( X t X ) 1 x 0
où :
x0 désigne le vecteur des variables (du modèle retenu) évaluées au point I.
t1a / 2 (n  q  1) désigne le fractile 1 – /2 de la loi Student de degré de liberté n – q – 1.
ˆ désigne l’erreur type résiduelle (residual standard error) du modèle retenu.

Code R pour l’affichage des sites observés :
x <- c(2,4,8,2,5,10,3,4,7,8)
y <- c(5,5,5,1,1,1,2,3,3,2)
z <- c(1.5,4.2,1.0,2.0,6.5,3.1,2.5,1.0,4.5,3.7)
plot(x,y,type='p',xlim=c(0,10),ylim=c(0,6),pch=20,cex=2.0)
for(i in c(0,2,4,6,8,10)) abline(v=i,lty=2)
for(j in c(0,2,4,6)) abline(h=j,lty=2)
Dx<-c(0,0,0,0,0,0,-0.2,0.2,0,0.2)
Dy<-c(0.2,0.2,0.2,-0.2,-0.2,-0.2,0.1,0.1,0.2,0.1)
text(x+Dx,y+Dy,labels=c("A","B","C","D","E","F","G","H","I","J"))


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