Cours MOST SIS .pdf

TC#

MOST/SIS*
H.*BENOITACATTIN*
A.*BASKURT*
C.*MULLER*

*

Cours*+*TD*
Signaux*et*Systèmes*

Département*Télécommunica1ons*

TC#

Services*&*Usages*

Compétences,*connaissances*visées*
!  !Caractériser*en*temps*et*en*fréquence!«!signal!déterministe!»!
et!«!Système!Linéaire!Temporellement!Invariant!(SLTI)»!
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Con<nu,!discret,!échan<llonné,!périodique!
Stabilité,!causalité!
Signal!dirac,!échelon,!sinusoïde!complexe!
Transformées!(Fourier,!Laplace,!Z)!
Réponses!impulsionnelle,!indicielle,!en!fréquence!
Fonc<on!de!transfert,!diagramme!de!Bode,!densité!spectrale!
Filtre!1er!et!2nd!ordre!

!  Calculer*la*sor1e*d’un*SLTI*
•  Convolu<on!
•  Equa<ons!différen<elles!/!aux!différences!
•  Transformées!(Fourier,!Laplace,!Z)!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Bode

Gain

Pôles/Zéros

1er, 2nd ordre
Rép. en fréquence
FIR / IIR

Phase

Fonction de Transfert

Dirac

H

X

Impulsion
Echelon
Sinusoïde complexe

Puissance

h
Rép.
Impulsionnelle

Continu

Equ. Diff.

Discret

Périodique

Quantification Stable

Echantillonné

Fourier
Z
Laplace

Transformée

x
Energie

Y=X.H

Fondamental

Harmonique

TC#

Causal

y=x*h
Convolution
Corrélation

Linéaire
Temporellement invariant

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Plan*de*MOSTASIS*
9*Chapitres:*

TC#*
*
*

1. 

Signaux*et*Systèmes*

*Slide*3*

2. 

Systèmes*Linéaires*Temporellement*Invariants*SLTI

*Slide*30*

3. 

Séries*de*Fourier

*Slide*52*

4. 

Transformée*de*Fourier*en*Temps*Con1nu

*Slide*72*

5. 

Transformée*de*Fourier*en*Temps*Discret

*Slide*92*

6. 

Caractérisa1on*en*Temps*et*Fréquence*

*Slide*114**

*

***************************des*signaux*et*des*systèmes*

7. 

Transformée*de*Laplace*(Temps*Con1nu)*

*Slide*134*

8. 

Transformée*en*Z*(Temps*Discret)*

*Slide*154*

9. 

Echan1llonnage

*Slide*174*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1:*Signaux*et*Systèmes*
1.  Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
2.  Transforma1on*de*la*variable*indépendante*
3.  Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
4.  Impulsion*unité*A*Echelon*unité*
5.  Systèmes*temps*con1nu*et*temps*discret*

TC#

6.  Propriétés*de*base*des*systèmes*
*
*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
*

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*

1.  Signaux*Temps*Con1nu*et*Temps*Discret*
! ***Exemples*de*signaux*et*représenta1on*mathéma1que!
signal!=!toute!en<té!qui!véhicule!une!informa1on!
Exemples:#
onde!acous<que!
courant!électrique!délivré!
par!un!microphone!
onde!lumineuse!
courant!électrique!délivré!
par!un!spectromètre!
suite!de!nombres!

Photographie!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Musique,!!
parole,!
...!
source!lumineuse!
(étoile,!gaz,!…)!
...!

Mesures!physiques!
!

...!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
*

Représenta1on*mathéma1que:*
Signal!=!fonc<on!d!’une!ou!plusieurs!variables*indépendantes:!
!ex:! !(Voix)

&Pression&Acous/que&=&f(temps)&&

&

&Luminosité=&f(x,y:variables&spa/ales)&

&(Image)

⇒!par!la!suite:!1!seule!variable!indépendante!=!temps!
Signaux*temps*con1nu:#
La!variable!indépendante!est!con<nue*⇒!t*
ex: **la&voix&en&fonc/on&du&temps,&
&&la&pression&atmosphérique&en&fonc/on&de&l&’al/tude&
Signaux*temps*discret:#
Définis!seulement!pour!des!temps!discrets!
La!variable!indépendante!est!un!ensemble!discret!de!valeurs!⇒!n!
*ex:

**indice&DowGJones&du&marché&boursier&

&

&études&démographiques&...&

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

Exemples:

1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*

*a)*d*’un*signal*con1nu*x(t)**

********b)*d*’un*signal*discret*x[n]*

Remarques:#
x[n]!!n!’est!défini!que!pour!des!valeurs!en<ères!de!n.!!
x[n]!:!signal!Temps!Discret!ou!séquence!Temps!Discret.!
!
2!types!de!signaux!discrets:!
a)!Signaux!représentant!un!phénomène!dont!!la!variable!indépendante!est!discrète!
b)!Signaux!provenant!d!’une!opéra<on!d!’échan1llonnage:!
!x[n]!représente!les!échan<llons!successifs!d!’un!phénomène!pour!lequel!la! !
!variable!indépendante!est!con<nue!(niveau!quan<fié!ou!non...)!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
Signal continu
4

F0=1Hz

2
0

0

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
t en seconde

0.7

0.8

0.9

1

0.8

0.9

1

0.9

1

Signal échantillonné
4
F0=1Hz

Fe=20Hz 2

Echantillonnage

0

0

0.1

0.2

0.3

≠

0.4
0.5
0.6
t en seconde

0.7

Signal échantillonné et quantifié sur 5 niveaux

Quantification

q4 4
q3
q2 2
q1
q0 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
t en seconde

0.7

0.8

Signal discret et quantifié sur 5 niveaux
q4 4
q3
q2 2
q1
q0 0

TC#

0

2

4
6
8
10
12
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
n entier relatif

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

14

16

18

20

1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*

! **Energie*et*puissance*d*’un*signal*
Défini1on:!par!analogie!avec!les!signaux!électriques!
Temps!Con<nu!
+∞

Ex =

Energie!

∫ x(t )

2

+∞

dt

E x = ∑ x(n )

Puissance!moyenne!!!

T

∫

2

x(t ) dt

−T

3*Classes*de*signaux:#
P!Signaux!à!Energie*finie*(J)!
P!Signaux!à!Puissance*moyenne*finie*(W*=J/s)*
P!Signaux!à!Energie!et!Puissance!moyenne!infinies!

TC#

2

−∞

−∞

1
Px = lim
T → +∞ 2T

Temps!Discret!

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

N
1
2
x(n )
∑
N → +∞ 2 N + 1
n=− N

Px = lim

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*

P!Signaux!à!Energie*finie!

1!

Ex < ∞

Px = 0

Px < ∞

Ex = ∞

Px = ∞

Ex = ∞

t!

0! 1!
P!Signaux!à!Puissance*moyenne*finie*
4!
...*

...*
n!

0!

P!Signaux!à!Energie!et!Puissance!Moyenne!infinies!
1
1

TC#

t
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

2.*Transforma1on*de*la*variable*indépendante*

2.  Transforma1on*de*la*variable*indépendante**
! **Exemples*de*transforma1ons!
!Décalage*temporel**

t*0*<*0*:**AVANCE*

TC#

n*0*>*0*:**RETARD*de*n0*échan1llons*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

1.2*Transforma1on*de*la*variable*indépendante*

*Inversion*temporelle**

Changement*d*’échelle*:**x(a.t)*

a*>*1*:**contrac1on*temporelle*

TC#

0*<*a*<*1*:**dilata1on*temporelle*

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

2.*Transforma1on*de*la*variable*indépendante*
*

!  Signaux*périodiques!

x[n] = x[n + N ]

x(t ) = x(t + T )

T ∈°

+

Remarques:*
T0!=!période!fondamentale!=!plus!pe<te!valeur!possible!de!T!

Px < ∞
TC#

Ex = ∞
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

N ∈•

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
*

2.*Transforma1on*de*la*variable*indépendante*
*

! *Signaux*Pairs*et*Impairs!
Pairs!

Impairs!

x(t ) = x(−t )

x(t ) = − x(−t )

x[n] = x[− n]

x[n] = − x[− n]

Propriété:*
Tout!signal!se!décompose!en!la!somme:!
P!!d!’un!signal!pair!xpair(t)!et!!
P!!d!’un!signal!impair!ximpair(t)!

1
[x(t ) + x(− t )]
2
1
ximpair (t ) = [x(t ) − x(− t )]
2
x pair (t ) =

TC#

x(t ) = x pair (t ) + ximpair (t )

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
*

3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*

3.  Signaux*exponen1els*et*sinusoïdaux*

! *En*temps*con1nu!
*Signaux*à*exponen1elle*réelle:!!

x(t ) = Ce at

avec

C et a réels
⇒!phénomènes!physiques!

a<0

Signaux*à*exponen1elle*complexe*périodiques*et*signaux*sinusoïdaux:*

ω 0 = 2πf 0 =

x(t ) = e jω0t

2π
T0

Ex = ∞

e jω0t = e jω0 (t +T ) = e jω0t e jω0T

e jω0T = 1

{

x(t ) = A cos(ω 0t + Φ ) = Aℜe e j (ω 0t + Φ )
A cos(ω 0t + Φ ) =

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

}

A j Φ j ω 0 t A − j Φ − jω 0 t
e e + e e
2
2

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
*

3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*

Remarques*:!
P!Signaux!à!exponen<elle!complexe!périodiques!appelés!aussi!signaux*harmoniques*
P!Ensemble!d!’exponen1elles*harmoniquement*reliées*=!
!Ensemble!d!’exponen<elles!périodiques!ayant!en!commun!la!période!T0!:!
!
!

Ψk (t ) = e jkω 0t , k = 0, ± 1, ± 2,...

Signaux*à*exponen1elle*réelle*et*complexe*:& x(t ) = Ce

at

avec

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
*

3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*

! **En*temps*discret!

[]

Signaux*à*exponen1elle*réelle:!! x n = Cα

n

avec

C et α réels

α >1

0 <α <1

−1 < α < 0

TC#

jθ

r<0

r >0

TC#

a = r + jω0 et C = C e

α < −1

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*

Signaux*à*exponen1elle*complexe*et*sinusoïdaux:**

x [n] = e jω0n
x [n] = A cos(ω0 n + Φ)

Propriété*1:****Le*même*signal*pour*des*pulsa1ons*différentes!...*

e j (ω 0 + 2π )n = e j 2πn e jω0n = e jω0 n
e jω0n = e j (ω0 ± 2π )n = e j (ω0 ± 4π )n = 
⇒!!!!!0!<!ω0!<!2π!!!!!!!
!!!!!!!!!0!<!!f0!!<!1!
Le!taux!d!’oscilla<ons!de!

e jω 0 n n*’augmente*pas*en!fonc<on!de!ω0****!…!

Basses*fréquences*

ω 0 = 2k π

Hautes*fréquences*

ω0 = (2k + 1)π

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*

Comparaison*entre*signaux*sinusoïdaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
x(t)=*cos(2π*f0*t)*****et***x[n]=*cos(2π*f0*n)**
x(t)*
x[n]*

f0= 1/4
1

0.5
0
-0.5
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

2

3

4

5

6

7

8

9

f0= 5/4 = 1/4+1
1
0.5
0
-0.5
-1

0

1

f0=
9/4 = 1/4+2
1
0.5
0
-0.5
-1

0

1

f0=
13/4 = 1/4+3
1
0.5
0
-0.5
-1

0

TC#

1

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*

Sinusoïdes*temps*discret*à*différentes*fréquences*

Oscilla1ons*BF*…*

f =0

ω=0

f = 1/4

ω = π /2$

Oscilla1ons*HF*…*

f = 1/16

f = 1/8

ω = π /8$

ω = π /4$

f = 1/2

f = 3/4

ω = π$

ω = 3 π /2$

f = 15/16

f = 7/8

ω = 15π /8$

ω = 7π /4$

TC#

f=1

Oscilla1ons*BF*…*

ω = 2π

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*

Propriété*2:*

*Périodicité*dans*le*domaine*temporel*⇒****Pas*toujours!...*
!
e jω0n N ∈ •
Si*N*période*fondamentale*de*x[n]*=**

e jω0 ( n + N ) = e jω0n
ω0 N = m ⋅ 2π

ω0 m
=
2π N

Signal*périodique*si*ω0*/*2π*est*un*en1er*ou*une*frac1on*ra1onnelle*
avec!!

ω0
m

=

2π
N

x[n] = cos(n / 6)

TC#

périodique!

Non!périodique!!
N*=*31*

N*=*12*

T*=*12*

pulsa<on!fondamentale!!!

T*=*31/4*

N*=*n’existe*pas*!*

T*=*12π*

périodique!

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

!non!périodique!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*

Propriété*3*:** *Exponen1elles*reliées*harmoniquement,*
*Seulement*N*exponen1elles*dis1nctes…*

Ψ k [ n] = e

" 2π #
jk $
%n
& N '

⇒ Ψ k + N [ n] = e

k = 0, ±1, ±2...

" 2π #
j ( k + N )$
%n
& N '

=e

" 2π #
jk $
%n
& N '

e j 2π n = Ψ k [n]

Signaux*à*exponen1elle*réelle*et*complexe*:# x[n] = Cα n avec α = α e jω 0 et C = C e jθ

α >1

α <1

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

4.*Impulsion*unité*et*fonc1on*échelon*

4.  Impulsion*unité*A*Echelon*unité*
!  En*temps*discret*
Impulsion*Unité:!

Δ[n]

1!

#0, n ≠ 0
Δ[n] = "
!1, n = 0

0!

n!

u[n]
Echelon*Unité:!

#0, n < 0
u[n] = "
!1, n ≥ 0

1!

...*

0!

Rela1ons*importantes:!

Δ[n] = u[n]− u[n −1]

u[n] =

∞

∑ Δ[n − k ]
k =0

x[n]Δ[n] = x[0]Δ[n]

u[n] =

x[n]Δ[n − n0 ] = x[n0 ]Δ[n − n0 ]

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

n

∑ Δ[m]

m = −∞

n!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

4.*Impulsion*unité*et*fonc1on*échelon*
*

u(t)&

!  En*temps*con1nu*
Echelon*Unité:#

#0, t < 0
u (t ) = "
!1, t ≥ 0

t!

Impulsion*Unité*ou*Dirac:!
On!veut:!

δ (t ) =

du (t )
dt

Problème!...!

δ Δ (t )

∫

+∞

−∞

δ (t ) = lim δ Δ (t )
Δ→0

TC#

Signal!Pulse!

δ Δ ( t ) dt = 1

Impulsion*de*Dirac*

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

4.*Impulsion*unité*et*fonc1on*échelon*
*

!  Propriétés*du*Dirac!
Modélisa<on!mathéma<que!issue!de!la!théorie!des!Distribu<ons!(Laurent!Schwarzt)...!
• !!!δ(t)!n!’a!pas!de!durée,!!sa!hauteur!est!infinie!et!son*aire*est*égale*à*l*’unité!
+∞

∫ δ (t )dt = 1

−∞

• !!!Représenta<on!de!δ(t):!

1!

δ(t)! fonc<on!singulière!

t!

Besoin&des&physiciens:&

&δ(t)&modélise&par&exemple&le&courant&i(t)&d&’un&filtre&RC&&lors&de&la&charge&d&’un&condensateur...&

• !!!δ(t)!peut!être!pondéré!par!un!scalaire!
⇒!!!k.δ(t)!a!une!aire!de!k!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

4.*Impulsion*unité*et*fonc1on*échelon*
*

!  Propriétés*du*Dirac*

x(t )δ (t − t0 ) = x(t0 )δ (t − t0 )

x(t )δ (t ) = x(0)δ (t )

+∞

+∞

∫ x(t )δ (t ) dt = x(0)

∫ x(t )δ (t − t ) dt = x(t )
0

−∞

0

−∞

+∞

du (t )
δ (t ) =
dt

u (t ) = δ (t − τ )dτ

∫
0

TC#

t

u (t ) = δ (τ )dτ

∫

−∞

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

5.*(Auto/Inter)*Corréla1on*

•  Signaux déterministes
•  Signaux à énergie finie
•  Signaux à puissance finie
Mesure de ressemblance

>> Autocorrélation temporelle

•  Processus aléatoires
•  Statistique du second ordre
•  Caractérisation fréquentielle des signaux aléatoires (Densité spectrale)
Autocorrélation statistique

<<

MOST – PBS

•  De très nombreuses utilisations
•  GPS, watermarking, tracking de cibles, Big data …

TC#

! Autocorréla1on*temporelle*des*signaux*à*énergie*finie*
+∞

+∞

Rxx (τ ) =

*

∫ x (t)x(t + τ )dt ,

Rxx [ j] =

∑ x [k]x[k + j]
*

k=−∞

−∞

!  Mesure de ressemblance entre le signal et lui-même +- décalé
•  Si x(t) est réel, l’autocorrélation est réelle
+∞
•  Dimension V²/Hz ou A²/Hz
•  Analogie avec la convolution : x(t ) * y (t ) = x(t − τ ). y (τ ).dτ

∫

−∞

•  C’est un produit scalaire, projection de x*(t) sur x(t) décalé de τ
•  Pour τ = 0, on retrouve l’énergie du signal >> Rxx(0) = Ex
•  Rxx(τ) est maximale en τ =0. Rien ne ressemble plus au signal que lui-même !!

TC#

•  L’autocorrélation possède la propriétés de symétrie hermitique
*
*
Rxx ( −τ ) = Rxx
(τ ) , Rxx [ − j ] = Rxx
[ j]
Si le signal est réel, l’autocorrélation est donc réelle et paire.
•  Exemple : x(t) = Rect (t/T) <> Rxx(τ)=T Tri(τ/T)

Rect(t/T)

Rxx(τ)

1

-T/2

TC#

T

T/2

t

-T

T

τ$

! Intercorrélation temporelle des signaux à
énergie finie
+∞

+∞

Rxy (τ ) =

*

∫ x (t)y(t + τ )dt

,

Rxy [ j] =

∑ x [k]y[k + j]
*

k=−∞

−∞

•  Mesure du degré de ressemblance entre deux signaux en
fonction d’un décalage
•  Propriété de symétrie hermitique
*
*
Rxy ( −τ ) = Ryx
(τ ) , Rxy [ − j ] = Ryx
[ j]

"  (Attention à l’inversion de x et y dans le deuxième membre des
équations)

•  Projection de x(τ) sur y(τ+t), produit scalaire
•  Analogie avec la convolution (Cf. TD3) : Rxy (τ ) =

x(−τ )* y(τ )

TC#

!  Exemple d’intercorrélation
x(t)

y(t)

1

1
-T

-T/2

t

T/2

T

-1

t

Rxy(τ)
T
-3T/2

-T/2
T/2

3T/2

τ$

-T
Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux instants -T/2 et T/2.
En t=0, x(t) ne ressemble pas du tout à y(t) : ils sont orthogonaux, produit scalaire nul.

TC#

!  Exemple d’intercorrélation
x(t)

-2T

-3T/2

-T

-T/2

1

T/2

T

3T/2

2T

t

y(t-2T)

+∞

Rxy (τ ) =

*

∫ x (t)y(t + τ )dt

−∞
y(t-3T/2)

Rxy(τ)
T
-3T/2

-T/2
T/2

-T

y(t-0)

y(t+T/2)

TC#

! Intercorrélation temporelle des signaux à
puissance fini
1 +T /2 *
Rxy (τ ) = lim ∫ x (t)y(t + τ )dt ,
T→∞ T
−T /2
1 N−1 *
Rxy [ j] = lim
∑ x [k]y[k + j]
N→∞ 2N
k=− N
>> Problème de convergence des intégrales et des sommes

!  Notation
Rxy (τ ) = x * (t ) y (t + τ )

,

Rxy [ j ] = x *[ k ] y[ k + j ]

!  Dimensions: V² ou A²
!  Autocorrélation: y(t)=x(t) dans les formules précédentes

TC#

3T/2

τ$

! Autocorrélation des signaux périodiques
1 +T /2 *
Rxx (τ ) =
x (t)x(t + τ )dt ,
∫
T −T /2
1 N−1 *
Rxx [ j] = ∑ x [k]x[k + j]
N k=O
•  Le calcul sur une seule période suffit
•  L’autocorrélation d’un signal périodique est elle même
périodique.
•  Par définition, le signal périodique ressemble parfaitement à
lui même, décalé d’une ou plusieurs périodes.

TC#

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

5.*Systèmes*temps*con1nu*et*temps*discret*

6.*Systèmes*Temps*Con1nu*et*Temps*Discret*
x[n]***→**y[n]*

x(t)**→**y(t)*

x(t)!

Système!
Temps!!

y(t)!

x[n]!

Con<nu!

Système!
Temps!

y[n]!

!Discret!

!  Exemples:*
P!Rela<on!entre!la!tension!aux!bornes!d!’un!condensateur!et!la!tension!d!’entrée!!!
P!Rela<on!entre!la!vitesse!d!’un!véhicule!et!la!force!appliquée!!!
⇒!équa<ons!!différen<elles!linéaires!du!1er!ordre:!!
P!Evolu<on!d!’un!compte!bancaire!

TC#

dy (t )
+ ay (t ) = bx (t )
dt

y[n]−1.01 y[n −1] = x[n]

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

5.*Systèmes*temps*con1nu*et*temps*discret*
*

!  Interconnexions*de*systèmes*
Idée:

!des!systèmes!complexes!peuvent!être!construits!en!interconnectant!!
!des!sous!ensembles!plus!simples...!
Interconnexion*Parallèle*

Interconnexion*Série*

Système*1!
E&

Système*1!

Système*2!

S&

+*

E&

S&

Système*2!

Interconnexion*RétroAac1onnée*
E&

+*

Système*1!

S&

Système*2!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

6.*Propriétés*de*base*des*systèmes**

7.*Propriétés*de*base*des*systèmes*
! **Système*sans*mémoire**
La!sor<e!y!à!l!’instant!t!ou!n!ne!dépend!que!de!l!’entrée!x!à!ce!!même!instant!
! **Système*inversible**
Des!entrées!dis<nctes!conduisent!à!des!sor<es!dis<nctes!
y[n]!

x[n]!

Système!

Système!
!inverse!

w[n]=x[n]!

! **Système*causal**
La!sor<e!à!n*’importe*quel*instant!ne!dépend!que!des!valeurs!de!l!’entrée!!
aux!instants!présent!et!!passés!
n

y[n] = ∑ x[n]

y[n] = x[n] − x[n + 1]

−∞

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

y[n] = x[−n]

Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*

6.*Propriétés*de*base*des*systèmes*

! **Système*stable*
A!une!entrée!bornée:!|x(t)|!≤!M!!∀t!!correspond!une!sor<e!bornée!|y(t)|!≤!N!!∀t!!
n

y (t ) = x(t ) − x(t + 1)

y[n] = ∑ x[n]
−∞

! **Système*temporellement*invariant***
Un!décalage!temporel!sur!le!signal!d!’entrée!!entraîne!le!même!décalage!temporel!
sur!le!signal!de!sor<e!
x[nAn0]*

! **Système*linéaire*
Soit!

y[nAn0]*

Système!

x(tAt0)*

Système*

y(tAt0)*

*⇒***Propriété*de*superposi1on**

x1 (t) → y1 (t)

Alors!

x2 (t) → y2 (t)

x1 [n] → y1 [n]

a.x1 (t ) + b.x2 (t ) → a. y1 (t ) + b. y2 (t )
a.x1[n] + b.x2[n] → a. y1[n] + b. y2[n]

x2 [n] → y2 [n]

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Bode

Gain
Phase

Pôles/Zéros

1er, 2nd ordre
Rép. en fréquence
FIR / IIR

Fonction de Tranfert
Fondamental
Harmonique
Sinusoïde complexe
Echelon
Energie

x

Continu
Discret

Périodique

H

Fourier
Z
Laplace

h
Rép.
Impulsionnelle
Equ. Diff.

Quantification Stable

Echantillonné

Y=X.H

Transformée

Dirac

Impulsion
Puissance

X

Causal

y=x*h
Convolution
Corrélation

Linéaire
Temporellement invariant

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Plan*Chap.2*

Chap.2:***Systèmes*Linéaires*Temporellement*Invariants*(SLTI)*
*
*
1.  SLTI*temps*discret:***somme*de*convolu1on*
2.  SLTI**temps*con1nu:***intégrale*de*convolu1on*
3.  Propriétés*des*SLTI**
4.  SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles*et*par*des*
équa1ons*aux*différences*
*

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*

1.*SLTI*TD:*Somme*de*convolu1on*

1.  SLTI*temps*discret:*somme*de*convolu1on*
Etude!d!’un!sousPensemble!de!systèmes:!!
Systèmes*Linéaires*Temporellement**Invariants*(SLTI)*
(hypothèse:#ini0alement#au#repos)!

Nb!Propriétés!
Ou<ls!puissants!

!  Représenta1on*d*’un*signal*temps*discret*à*l*’aide*des*signaux*impulsions*

x[n ] =

+∞

∑ x[k ] Δ[n − k ]

k = −∞

Somme*pondérée*d*’impulsions**
décalées*temporellement*
Δ$

Δ$
Δ$
Δ$
Δ$

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

1.*SLTI*TD:*Somme*de*convolu1on*

!  Réponse*d*’un**système*linéaire*temps*discret*(pas!forcément!T.I.)!*
+∞

Signal!d!’entrée!

x[n] = ∑ x[k ] Δ[n − k ]
−∞

Si!!

Δ[n − k ] → hk [n]
Δ [n + 1] → h−1 [n]

Alors:!

TC#

y[n] =

Δ [n] → h0 [n]

Δ [ n − 1] → h1 [n]

+∞

∑ x[k ] h [n]
k

k = −∞

Principe*de**superposi1on!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*

1.*SLTI*TD:*Somme*de*convolu1on*

!  Réponse*d*’un**système*linéaire*temps*discret*(pas*forcément*T.I.)**

Δ$

Δ$

Δ$

La*réponse*au*signal*x[n]*est*une*combinaison*linéaire**

]
des*réponses**associées*à*chaque*impulsion* Δ[n*****décalée*temporellement**
TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*

1.*SLTI*TD:*Somme*de*convolu1on*
*

!  Réponse*d*’un*SLTI*temps*discret*
Il!suffit!de!connaître!la!réponse!h0[n]!à!Δ[n]!!...!!

Δ[n] → h0 [n]

Invariance*Temporelle**!⇒!

Défini<on:!!

Δ[n − k ] → hk [n] = h0 [n − k ]

Réponse*impulsionnelle!=*Réponse*d*’un*SLTI*à*l*’impulsion*unité*
SLTI*

Δ[n]*

On!ob<ent:!

y[n] =

h[n] = h0 [n]

h[n]*

+∞

∑ x[k ] h[n − k ]

Somme*de*convolu1on!

k = −∞

y[n] = x[n]∗ h[n]
Conclusion:********1*SLTI*est*en1èrement*caractérisé*par*sa*réponse*impulsionnelle!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

!  Opéra1on*de*convolu1on*
x[k]

h[k]

…
0

k

h[n-k]

0

k

h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k] x[k]
h[n-k] h[n-k] h[n-k]

……
n

Résultat!de!la!convolu<on!y[n]!

n

…

n0n n n n n n n n

k

y[n]

…

" 1 − α n+1 #
y [n] = %
& u [n]
' 1−α (

TC#

n

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

0

n

Chap.*2*:*SLTI*
*

2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*

2.  SLTI*Temps*Con1nu:*Intégrale*de*Convolu1on*

!  Représenta1on*d*’un*signal*temps*con1nu*à*l*’aide*des*impulsions*de*Dirac*

x(t )

xˆ (t )

$1
!

0≤t<Δ

δ Δ (t ) = # Δ

!" 0 ailleurs

Signal Pulse

xˆ ( t ) =

+∞

∑ x ( k Δ ) δ (t − k Δ ) Δ
Δ

k =−∞

Signal approximant x(t)

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

x ( t ) = lim
Δ→0

2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*
+∞

∑ x ( k Δ ) δ (t − k Δ ) Δ
Δ

k =−∞

+∞

x (t ) =

«*Somme**»**pondérée*d*’impulsions**de*Dirac*
décalées*temporellement*

∫ x (τ )δ (t − τ ) dτ

−∞

! **Réponse*d*’un**système*linéaire*temps*con1nu*(pas*forcément*T.I.)*
Signal!d!’entrée:!

+∞

xˆ (t ) =

∑ x(kΔ )δ (t − kΔ )Δ
Δ

k = −∞

Si:!
Alors:!

TC#

δ Δ ( t − k Δ ) → hˆk Δ (t )

yˆ ( t ) =

+∞

∑ x ( k Δ ) hˆ (t ) Δ
kΔ

Principe*de**superposi1on!

k =−∞

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*

!  Interpréta1on*graphique*de*la*réponse*d*’un*système*linéaire*temps*con1nu*

xˆ t
La*réponse*au*signal************est*une*combinaison*linéaire**

()

δ Δ (t )
des*réponses**associées*à*chaque*pulse**************décalé*temporellement**
y ( t ) = lim
Δ→0

+∞

x ( k Δ ) hˆk Δ (t ) Δ =

∑

k =−∞

+∞

∫ x (τ ) hτ (t )dτ

avec!

hτ (t ) réponse!à! δ (t − τ )

−∞

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*

2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*

!  Réponse*d’un*SLTI*temps*con1nu*
+∞

Signal!d!’entrée:!

x(t ) =

∫ x(τ )δ (t − τ )dτ

−∞

+∞

Signal!de!sor<e:!

y (t ) =

∫ x(τ )hτ (t )dτ

−∞

δ (t ) → h0 (t )

Invariance*Temporelle**!⇒!
Défini<on:!!

δ (t − τ ) → hτ (t ) = h0 (t − τ )

Réponse*impulsionnelle**=**Réponse*d*’un*SLTI*à*l*’impulsion*de*Dirac*
SLTI*

δ(t)*

h(t)*

h(t ) = h0 (t )

+∞

On!ob<ent:!

y (t ) =

∫ x(τ )h(t − τ )dτ

Intégrale*de*convolu1on!

−∞

y(t ) = x(t )∗ h(t )
TC#

SLTI*en1èrement*caractérisé**
par*sa*réponse*impulsionnelle!

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*

!  Exemple*de*calcul*de*l*’intégrale*de*convolu1on*

2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*

John!Hopkins!University:!!«!Joy!of!convolu<on!»!!!!hnp://www.jhu.edu/~signals!
Simon!Fraser!University!(Vancouver):! !

!!!!hnp://www.sfu.ca/index2.htm!

h(t −τ )
x(τ )
x (τ ) h (t − τ )

τ

t#

t

y(t ) = x(τ ) h(t − τ ) dτ

∫
0

t#
TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*

2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*

h(t −τ )
x(τ )

τ

x(τ ) h(t −τ )

t

y(t ) = x(τ ) h(t − τ ) dτ

∫

t

0

h(t −τ )
x(τ )

τ

x(τ ) h(t −τ )

t

y(t ) = x(τ ) h(t − τ ) dτ

∫
0

t

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*

3.*Propriétés*des*SLTI*
*

3.  Propriétés*des*SLTI*
+∞

y[n] =

• **SLTI**:*en1èrement*caractérisés*

∑ x[k ]h[n − k ] = x[n]∗ h[n]

k = −∞

par*leur*réponse*impulsionnelle!

+∞

y (t ) =

∫ x(τ )h(t − τ )dτ = x(t )∗ h(t )

−∞

• ****Commuta1vité*
+∞

∑ x[k ]h[n − k ] =

x[n]∗ h[n] = h[n]∗ x[n]

k = −∞

+∞

+∞

x(t )∗ h(t ) = h(t )∗ x(t )

+∞

∫ x(τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(τ )x(t − τ )dτ

−∞

x[n]*

h[n]!

TC#

∑ h[k ]x[n − k ]

k = −∞

−∞

y[n]!

h[n]*

y[n]*

x[n]!

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*

3.*Propriétés*des*SLTI*

• ***Distribu1vité*

x[n]∗ (h1[n]+ h2 [n]) = x[n]∗ h1[n]+ x[n]∗ h2 [n]
h1(t)

y1(t)

+

x(t)
h2(t)

x(t)

(IDEM&T.C.)&

y(t)

y2(t)

h1(t)&+&h2(t)

y(t)

Une!combinaison!parallèle!de!plusieurs!SLTI!peut!remplacer!un!seul!SLTI!dont!!
la!réponse!impulsionnelle!est!la!somme!des!réponses!impulsionnelles!des!SLTI!interconnectés!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

3.*Propriétés*des*SLTI*

• ***Associa1vité*

x[n]∗ (h1[n]∗ h2 [n]) = (x[n]∗ h1[n])∗ h2 [n] = x[n]∗ h1[n]∗ h2 [n]

x[n]

h1[n]

w[n]

h2[n]

h[n]* =**h1[n]*****h2[n]

x[n]

(IDEM&T.C.)&

y[n]

y[n]

Une!combinaison*série!de!plusieurs!SLTI!peut!remplacer!un!seul!SLTI!dont!la!réponse!
impulsionnelle!est!la!convolu1on!des!réponses!impulsionnelles!des!SLTI!interconnectés!
La!réponse!impulsionnelle!d!’un!SLTI!résultant!de!l!’interconnexion*série!de!plusieurs!
SLTI!!ne!dépend*pas*de*l*’ordre!dans!lequel!ils!ont!été!cascadés!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

3.*Propriétés*des*SLTI*
*

• ***Mul1plica1on*par*un*scalaire*

α (x[n] ∗ y[n]) = αx[n] ∗ y[n] = x[n] ∗αy[n]

(IDEM&T.C.)&

• **Elément*neutre:*

x(t )∗δ (t ) = x(t )

x[n]∗ Δ[n] = x[n]

• **Décalage*temporel:!

y[n − n0 ] = x[n − n0 ] ∗ h[n] = x[n] ∗ h[n − n0 ]
x(t )∗ δ (t − t0 ) = x(t − t0 )
• **Dériva1on:*

D(x ∗ y ) = (Dx)∗ y = x ∗ (Dy )
Dx(t ) =

TC#

x[n]∗ Δ[n − n0 ] = x[n − n0 ]

dx (t )
dt

Dx[n] = x[n]− x[n −1]
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

(IDEM&T.C.)&
Très*important*

Chap.*2*:*SLTI*
*

3.*Propriétés*des*SLTI*
*

• ***SLTI*sans*mémoire*

h[n] = 0 pour n ≠ 0

• ***SLTI*inversible*

h[n]∗ hi [n] = Δ[n]

• ***SLTI*causal*

h[n] = 0 pour n < 0

(IDEM&T.C.)&

h(t )∗ hi (t ) = δ (t )

h(t ) = 0 pour t < 0

• ***SLTI*stable*

+∞

∑ h[k ] < ∞

Sa!réponse!impulsionnelle!est!!

k = −∞

absolument!sommable!

+∞

∫ h(t ) dt < ∞

Sa!réponse!impulsionnelle!est!!

−∞

TC#

absolument!intégrable!

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

3.*Propriétés*des*SLTI*
*

• **Réponse*d*’un*SLTI*à*l*’échelon*unité*

Réponse*indicielle!

i[n] = h[n]∗ u[n]

i(t ) = h(t )∗ u(t )

h[n] = i[n]− i[n −1]

h(t ) =

⇒!!!!!Réponse!indicielle!u<lisée!aussi!pour!caractériser!un!SLTI!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

di (t )
dt

Chap.*2*:*SLTI*
*

4.  SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles**
et*des*équa1ons*aux*différences*

!  Equa1ons*différen1elles*linéaires*à*coefficients*constants*
⇒!Descrip<on!de!phénomènes!physiques!TC:!

d k y (t ) M d k x (t )
ak
= ∑ bk
∑
dt k
dt k
k =0
k =0
N

Réponse&d&’un&circuit&RC,&vitesse&d&’un&véhicule&soumis&à&une&accéléra/on&et&des&forces&de&froSement&...&

dy (t )
avec x(t ) = ke3t u(t )
+ 2 y(t ) = x(t ) (1)
dt
Spécifica<on!implicite!du!système!!⇔!rela<on!ou!contrainte!entre!l!’entrée!et!la!sor<e!

Exemple*

a)!Pour!avoir!une!expression!explicite!⇒!résoudre!l!’équa<on,!trouver!y(t)!génerale!
b)!Pour!trouver!une!solu<on!unique!⇒!!Informa<ons!complémentaires,!appliquer!!les!condi<ons!ini<ales!
Rappels:**Résolu<on!d!’une!équa<on!différen<elle!à!coefficients!constants!
y gén (t ) = y part (t ) + yhom (t )
y part (t )

:!solu<on!par<culière!vérifiant!(1)!de!même!forme!que!l!’entrée!

yhom (t )

:!solu<on!!de!l!’équa<on!homogène!

TC#

dy (t )
+ 2 y(t ) = 0
dt

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

D!’où:!

4.*SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles*et*des*équa1ons*aux*différences*

k 3t
e , t >0
yhom (t ) = Ae −2t , t > 0
5
k
⇒!!infinité!de!solu<ons!
y gen (t ) = Ae −2t + e3t , t > 0
5
y part (t ) =

Applica<on!des!Condi<ons!Ini<ales!
Cas*par1culier!

SLTI**CAUSAL*ini1alement*au*repos*(IAR)*
*

Défini1on:!
Un*système*causal*est*ini1alement*au*repos,*si*sa*sor1e*est*nulle*tant*que*son*entrée*est*nulle*
x(t ) = 0 pour t ≤ t0 , alors y(t ) = 0 pour t ≤ t0

D!’où:!

x(t ) = 0 pour t ≤ 0, alors

y IAR (t ) =

TC#

y (t ) = 0 pour t ≤ 0 et y gen (0) = 0

k 3t −2t
e −e , t > 0
5

[

]

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

4.*SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles*et*des*équa1ons*aux*différences*
*

Propriété*1*
Un!système,!régi!par!une!équa<on!différen<elle!à!coefficients!constants,!ini1alement*au*repos,!!
est!un!!SLTI*autrement!dit!un!système*convolu1f!

Propriété*2*
La!solu<on!yIAR(t)!d’un!système!régi!par!une!équa<on!différen<elle!à!coefficients!constants!!et!!
ini1alement*au*repos,!est!!égale!au!produit*de*convolu1on*de!la!réponse!impulsionnelle!h(t)!du!
SLTI!par!l!’entrée!x(t)&appliqué!au!système!

yIAR ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t )
Propriété*3*
Dans!le!cas!général,!la!solu<on!y&(t)!d’un!système!régi!par!une!équa<on!différen<elle!à!coefficients!!
constants!et!non!ini1alement*au*repos,!peut!se!décomposer!en!la!somme!de!yIAR#(t)!solu<on!du!
système!ini<alement!au!repos!et!de!yZI(t)&solu<on!du!système!avec!une!entrée!nulle!et!!les!
condi<ons!ini<ales!réelles!

TC#

y (t )

CI réelles

= yIAR ( t ) + yZI ( t )

y (t )

CI réelles

= h ( t ) ∗ x ( t ) + yhom ( t )

CI réelles

CI réelles

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*2*:*SLTI*
*

4.*SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles*et*des*équa1ons*aux*différences*
N

M

k =0

k =0

!  Equa1ons*aux*différences*linéaires*à*coefficients*constants* ∑ ak y [ n − k ] = ∑ bk x [ n − k ]
Même!méthode!de!résolu<on!que!pour!les!équa<ons!différen<elles!à!coefficients!constants!
Mêmes!propriétés!!1,!2!et!3!...!

yIAR [n] = h[n] ∗ x[n]

Cas!par<culier:!SLTI*Ini1alement*au*Repos**

N

∑ ak y[n − k ] =

k =0

Si N=0

M

∑ bk x[n − k ] ⇔ y[n] =

k =0

b

∑ %% ak "" x[n − k ]

k =0

TC#

N
'! M
$!
& ∑ bk x[n − k ] − ∑ ak y[n − k ]#
!%k =0
!"
k =1

Éq.!non!récursive! ⇒*SLTI*avec*une*réponse*impulsionnelle*finie*
M '
$ bk
$

y[n] =

Si N≥ 1

1
a0

&

0

#

Éq.!récursive!

Système*FIR*

! ,0≤k ≤ M
⇒ h[k ] = # a0
!" 0, ailleurs

Équa<on!récursive!⇒!SLTI*avec*une*réponse*impulsionnelle*infinie*
*
*!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Système*IIR*

Bode

Gain
Phase

Pôles/Zéros

1er, 2nd ordre
Rép. en fréquence
FIR / IIR

Fonction de Tranfert
Fondamental
Harmonique
Sinusoïde complexe
Echelon
Energie

x

Continu
Discret

Périodique

Y=X.H
Fourier
Z
Laplace

Transformée

Dirac

Impulsion
Puissance

H

X

h
Rép.
Impulsionnelle
Equ. Diff.

Quantification Stable

Causal

y=x*h
Convolution
Corrélation

Linéaire

Echantillonné

Temporellement invariant

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*

Plan*Chap.3*

Chap.3:*Séries*de*Fourier*

1.  Réponse*d*’un*SLTI*à*des*exponen1elles*complexes*
*
2.  Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*
en*temps*con1nu*
3.  Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*
en*temps*discret*
4.  Séries*de*Fourier*et*SLTI*

TC#

5.  Filtrage*
* * **
*
*
*

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

*

Chap.3:*Séries*de*Fourier*

!  Avant*propos*

Merci!M.!Fourier!...!

JeanPBap<ste!Joseph!Fourier!
21/03/1768 (Auxerre) - 16/05/1830

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

1.*Réponse*d*’un*SLTI*à*des*exponen1elles*complexes*

1.  Réponse*d*’un*SLTI*aux*exponen1elles*complexes*

!  Idées:*
1P!Rechercher!des!signaux!de!base!pouvant!construire!une!grande!classe!de!
signaux!par!simple!combinaison!linéaire!
2P!Réponses!du!SLTI!à!ces!signaux!suffisamment!simples!pour!pouvoir!déduire!la!
réponse!à!n!’importe!quel!!signal!d!’entrée!construit!à!par<r!de!ces!signaux!de!
base!
!L’analyse!de!Fourier!montre!que!les!exponen<elles!complexes!!en!TC!et!TD!vérifient!
ces!propriétés!:!
En!temps!con<nu:!

e st = e ( r + jω )t

En!temps!discret:!

z n = re jθ

!  Propriété**1*:******Un!peu!plus!tard…!

TC#

n

( )

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

1.*Réponse*d*’un*SLTI*à*des*exponen1elles*complexes*
*

!  Propriété*2*:**

La*réponse*d*’un*SLTI*à*une*exponen1elle*complexe*n*’est*autre*que*la*même*
exponen1elle*complexe*mul1pliée*par*une*amplitude*complexe**
*

valeur!propre!

En!temps!con<nu:!

e st → H s e st

En!temps!discret:!

z n → H ( z) z n

()

vecteurs**
propres!

valeur!propre!

On!démontre!que:!
En!temps!con<nu:!
En!temps!discret:!

+∞

H (s ) = ∫ h(τ )e − sτ dτ

H (z ) =

−∞
+∞

∑

h[k ]z −k

k = −∞

Exercices:!

x(t ) = a1e s1t + a2 e s2t + a3e s3t

TC#

fonc1ons*de*transfert*
*du*système!

x[n] = ∑ ak zkn
k

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

1.*Réponse*d*’un*SLTI*à*des*exponen1elles*complexes*
*

!  Quelques*exemples*de*signaux*périodiques*

Sinusoïde

Rectangle périodique

Triangle périodique

Dent de scie

TC#

H(s)**et*H(z)*

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
^p*

*

2.  Représenta1on*par*SF*des*signaux*périodiques*TC*

!  Tout*signal*périodique*de*puissance*finie*peut*se*représenter*sous*la*forme**
d*’une*combinaison*linéaire*d*’exponen1elles*complexes*reliées*
harmoniquement*
Synthèse!
f 0 = 1/ T

x(t ) =

ω 0 = 2πf 0
ω 0 = 2π / T

+∞

∑X

k

e jkω 0t

k = −∞

Xk =

1
T

T /2

∫

−T / 2

x(t ) e − jkω0t dt
Analyse!

coefficient*de*Fourier*ou*coefficient*spectral*
Mesure*la*por1on*du*signal*x(t)*à*chaque*harmonique*de*la*fréquence*fondamentale….**

exp ( jω0t ) = cos ω0t + j sin ω0t
Euler:*

( )
sin ω t = Im (e )

cos ω 0t = Re e jω 0t
0

TC#

e jkω0t + e − jkω0t
cos(kω 0t ) =
2

jω 0 t

sin(kω 0t ) =

e jkω0t − e − jkω0t
2j

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*
*

Composante*con1nue:*

X0 =

1
x(t )dt
TT

∫

Valeur*moyenne*du*signal*sur!une!période!T!

Composante*du*fondamental*ou*composante*du*1er*harmonique:*

x fondamental (t ) = xharm1 (t ) = X −1e− jω0t + X1e jω0t
⇒!!Signal!de!même!fréquence!que!le!signal!périodique!!!f0!=!1/T!
Composantes*du*kième*harmonique:*

xharm −k (t ) = X −k e − jkω0t + X k e jkω0t
⇒!!Signal!de!fréquence!f!=!kf0!!!!!!!!Tk=T/k!
Exercices:!

TC#

Trouver&les&développements&en&série&de&Fourier&complexe&de:&
π#
&
x(t ) = 1 + sin ω 0t + 2 cos ω 0t + cos$ 2ω 0t + !
x(t ) = sin ω 0t
4"
%
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*
*

!  Forme*trigonométrique:****Tout*signal*périodique*réel*de*puissance*finie*peut*être*
représenté*par*une**combinaison*linéaire**de*sinus*et*de*cosinus
Rapport!cyclique!=1/2!!!!⇒!!B2k=0!

Ak!et!Bk!:!Coefficients!de!Fourier!réels!

A
x(t ) = 0 +
2

Ak=0#
(signal!impaire)*

∞

∑ A cos(kω t ) + B sin( kω t )
k

0

k

0

k =1

1(4/π)!

T /2

2
Ak =
x(t ).cos(kω 0t )dt
T −T∫/ 2

k = 0,1,2,...

(fondamentale)*
1+!3!(4/3π)!

T /2

Bk =

2
x(t ).sin(kω 0t )dt
T −T∫/ 2

Lien!avec!la!série!exponen<elle:*
Impossible
d'afficher l'image.
Votre ordinateur
manque peut-être

Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque
peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est
endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à
nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous
devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.

Fréquence!fondamentale:*
2π
ω 0 = 2πf 0 =
T

k = 1,2,3...
1+!3+5!(4/5π)!
Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peutêtre de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est
endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à
nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous
devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.

Composante!
!con<nue:*

TC#

1+!3+!5!+!7!(4/7π)!

I
m
p
o
s
s
i
b

Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur
manque peut-être de mémoire pour ouvrir
l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez
l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si
le x rouge est toujours affiché, vous devrez
peut-être supprimer l'image avant de la
réinsérer.

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*

!  Exemple de coefficients de Fourier*
Spectre du signal

T=5τ

Regraduons l ’axe des n
en fréquence ...

TC#

Xn =

Aτ sin( nω 0τ / 2)
T
nω 0τ / 2

Xn =

A τ sin( π nf 0 τ )
T
π nf 0 τ
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*

Propriétés*des*Séries*de*Fourier*en*Temps*Con1nu*
FS

!  Linéarité*

z (t ) = α x(t ) + β y(t )↔ Z k = α X k + β Yk

!  Décalage*temporel*

x(t − t0 )↔ X k e − jkω0t0

!  Inversion*temporelle*

x(− t )↔ X −k

FS

x(t)*paire*
x(t)*impaire*

FS

!  Changement*d’échelle* x(α t ) =

+∞

∑X

k

*⇒*Xk**paire****
*⇒*Xk**impaire**

x(t)!:!T,!ω0!!!⇒!!x( αt)!:!T/α,!αω0!!
Xn!inchangé,!mais!représenta<on!de!la!

e j (αω 0 )kt

k = −∞

série!de!Fourier!modifiée!
FS

z (t ) = x(t )y (t ) ↔ Z k =

!  Mul1plica1on*
*

x(t ), y(t ), z(t )

TC#

+∞

∑X Y

l k −l

Convolu1on*discrète*

l = −∞

de!même!période!T!

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

!  Conjugaison*

FS

x∗ (t ) ↔ X −∗k
$ X −k = X k∗
Symétrie*conjuguée!!
!
x(t)!!réel*⇒!! # Re( X k ) : paire
X k : paire
!Im( X ) : impaire ∠ X : impaire
k
k
"

x(t)**réel**et*paire*
****⇒*
x(t)**réel**et*impaire **⇒*

*Xk*réel**et*paire**
*Xk*imaginaire**et*impaire**

*
!  Rela1on*de*Parseval*

Pmoy

+∞
2
1
= ∫ x(t ) dt = ∑ X k
TT
k = −∞

Pmoy (harm k ) =

2

2
1
2
X k e jkω0t dt = X k
∫
TT

La*puissance*moyenne*d*’un*signal*périodique*est*égale*à*la*somme*des*
puissances*moyennes*de*toutes*ses*composantes*harmoniques*

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

*

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

3.  Représenta1on*par*SF*des*signaux*périodiques*TD*
x[n] = x[n + N ]

Soit!un!signal!périodique!

Période!N!
Fréquence*fondamentale:**ω0*=*2π/N*

Rappel:!
Ensemble!des!signaux!exponen<els!!de!période!N:!

Ψk + rN [n] = e

Or:!

' 2π $
j ( k + rN ) %
"n
& N #

=e

Ψk [n] = e

' 2π $
jk %
"n
& N #

& 2π #
jk $
!n
% N "

k = 0,±1,...

e j 2πnr = Ψk [n]

Seulement*N*exponen1elles*dis1nctes*

[]

Représenta<on!d!’un!signal!périodique!avec!les!séquences!!Ψk n :

x[n] =

+∞

∑

+∞

X k Ψk [n] =

k = −∞

∑

X k e jkω0n =

k = −∞

+∞

∑

X ke

jk

2π
n
N

k = −∞

[]

Seulement!N! Ψk n dis<nctes!

⇒ x[n] =

∑X

k

Ψk [n] =

k= N

∑X

k

e

jkω 0 n

k= N

TC#

=

∑X

k

e

jk

Série*de*Fourier**

2π
n
N

Temps*Discret!

k= N

**Série*Finie*

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

3.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*discret*
*

Décomposi1on*en*SF*d’un*signal*périodique*TD*

!  Tout*signal*discret*périodique*(période*N)*peut*être**représenté*par*une*combinaison*
linéaire*de*N*exponen1elles*complexes*discrètes*reliées*harmoniquement*

x[n] =

∑X

k

e jkω 0 n =

k= N

Coef.!de!Fourier!

1
Xk =
N

∑X

k

e

jk

k= N

∑ x[n] e

− jkω 0 n

n= N

1
=
N

∑ x[n] e

− jk

2π
n
N

n= N

Analyse#

!ou!Coef.!spectral!

Remarque!

Synthèse#

2π
n
N

x[n] = X 0 Ψ0 [n]+ X 1Ψ1 [n]+ ... + X N −1ΨN −1 [n]
x[n] = X 1Ψ1 [n]+ X 2 Ψ2 [n]+ ... + X N ΨN [n]

Donc:!

X0 = X N

X k = X k+N

...*

Les*coefficient*Xk*sont*périodiques*de*période*N*
La*représenta1on*en*Série*de*Fourier*Temps*Discret*est*une*série*FINIE*de*N*termes!

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

3.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*discret*
*

Propriétés*des*Séries*de*Fourier*en*Temps*Discret*
FS

z[n] = x[n]y[n]↔ Z k =

!  *Mul1plica1on*

Convolu1on*discrète**
périodique*

∑X Y

l k −l

l= N

z[n]!périodique!!N!!⇒!Zk!périodique!N!
FS

!  *Décalage*temporelle*

x[n − n0 ]↔ X k e

− jk

2π
n0
N

2π
− jk
&
$
x[n] − x[n − 1]↔$1 − e N
%
FS

!  *Différencia1on*

!  *Parseval*

Pmoy =

1
N

∑ x[n]

2

∑X

=

n= N

#
!Xk
!
"
2
k

k= N

La*puissance*moyenne*d*’un*signal*périodique*est*égale*à*la*somme*des*
puissances*moyennes*de*ses*N*composantes*harmoniques**

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

4.*Séries*de*Fourier*et*SLTI*

4.  Séries*de*Fourier*et*SLTI*

Fonc1ons*de*Transfert:*
T.C.!:!

+∞

st

e → H (s ) e

st

H (s ) =

∫ h(τ ) e

− sτ

dτ

−∞

T.D.!:!

n

z → H (z ) z

Réponses*fréquen1elles:*
T.C.!:!

T.D.!:!

s = jω
z = e jω

Réponse!d!’un!SLTI!à!une!
exponen<elle!complexe!

Réponse!d!’un!SLTI!!
à!un!signal!!sinusoïdal!

TC#

n

+∞

H (z ) =

∑ h[k ]z

Avec*h(τ)*,*h[k]!
réponses*impulsionnelles!

−k

k = −∞

!des*SLTI!

+∞

H ( jω ) =

( )

H e jω =

∫ h(t )e

− jω t

dt

−∞
+∞

∑ h[n]e− jω n

n=−∞

( )

e jω0t → H ( jω0 ) e jω0 t

{

cos(ω0t ) → Re H ( jω0 ) e jω0 t

e jω0n → H e jω0 e jω0n

}

{(

)

cos[ω0n] → Re H e jω0 e jω0n

( ) [

}

( )]

cos(ω0t ) → H ( jω0 ) cos(ω0t + ∠H ( jω0 )) cos[ω0n] → H e jω0 cos ω0 n + ∠H e jω0
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

4.*Séries*de*Fourier*et*SLTI*
*

Réponse*d’un*SLTI*à*une*entrée*périodique*

!  Réponse*d’un*SLTI*à*une*entrée*périodique*
La!réponse!d!’un!SLTI!à!une!combinaison!de!plusieurs!signaux!d!’entrée!peut!se!déterminer!en!
faisant!la!somme!des!réponses!individuelles!à!chacun!de!ces!signaux!!!!
Temps*Discret*

Temps*Con1nu*
Signal*d*’entrée*

x(t ) =

périodique*
Réponse*fréquen1elle*
du*SLTI*

+∞

∑ Xk e

j kω 0 t

x[n] =

k =−∞

− jω t

( )=

dt

He

−∞

Réponse*du*SLTI**
au*signal**périodique*

Coefficient*de*Fourier*
de*la*sor1e*périodique*

y(t ) =

∑ X k H ( j kω0 )e j kω t
0

y [n] =

Yk = X k H ( j kω0 )

∑

k= N

+∞

∑ h[n]e− jω n

n=−∞

" j k 2Nπ # j k 2Nπ n
Xk H $e
%e
&
'

" j k 2Nπ #
Yk = X k H $ e
%
&
'

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

Réponse*d*’un*SLTI*à*un*signal*périodique* x(t)*

4.*Séries*de*Fourier*et*SLTI*
*

SLTI*

y(t)*
2

1

3

TC#

jω

+∞

k =−∞

TC#

2π
n
N

k= N

+∞

H ( jω ) = ∫ h(t )e

∑ Xk e

jk

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

4

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

Intérêt:*

5.*Filtrage*
*

5.  Filtrage*

Changer!la!forme!d!’un!spectre,!laisser!passer!certaines!fréquences!et!en!anénuer!ou!
éliminer!d!’autres!

Filtres*sélec1fs!

Filtres*idéaux*Temps*Discret*

Filtres*idéaux*Temps*Con1nu*

Passe*Bas*

Passe*Haut*

Passe*Bande*
jω n

Périodicité*2π!:! e
HF*pour***ω=*(2k+1)π!

TC#

= e j (ω + 2π ) n

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

Exemples*de*filtres*Temps*Con1nu*

!  Résolu1on*des*équa1ons*différen1elles*à*coefficients*constants*
Systèmes!décrits!par!des!équa<ons!différen<elles!à!coefficients!constants!et!
ini<alement!au!repos!sont!des!SLTI!
*
Exemple:!!Filtre!PassePBas!RC!

RC

R
VS(t)

C

+
-

VC(t)

dVC (t )
+ VC (t ) = VS (t )
dt

VS (t ) = e jω t → VC (t ) = H ( jω )e jω t
H ( jω ) =

1
1 + RCjω

Exemple:!!Filtre!PassePHaut!RC!

VS(t)

+

R

C

VR(t)

-

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

5.*Filtrage*
*

Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*

5.*Filtrage*
*

Exemples*de*filtres*Temps*Discret*

!  Résolu1on*des*équa1ons*aux*différences*à*coefficients*constants*
Systèmes!décrits!par!des!équa<ons!aux!différences!à!coefficients!constants!et!
ini1alement*au*repos!sont!des!SLTI*
*
Filtre*récursif*du*1er*ordre*(IIR:*Infinite*Impulse*Response)*

y[n]− ay[n − 1] = x[n]

a <1

( )

x[n] = e jω n → y[n] = H e jω e jω n

( )

H e jω =

1
1 − ae − jω

Filtre*non*récursif*(FIR:*Finite*Impulse*Response)*
1
Filtre à moyenne glissante
y[n] = (x[n − 1] + x[n] + x[n + 1])
3
1
h[n] = (Δ[n − 1] + Δ[n] + Δ[n + 1])
3
1
1
H e jω = e − jω + 1 + e jω = (1 + 2 cos ω )
3
3

( ) (

TC#

)

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

Plan*Chap.*4*

Chap.4:**Transformée*de*Fourier*en*Temps*Con1nu*

1.  Signaux*Apériodiques:*Transformée*de*Fourier*Temps*Con1nu*
*
2.  Paires*de*Transformées*de*Fourier*en*Temps*Con1nu*
3.  Propriétés*de*la*TF*Temps*Con1nu*
4.  Propriété*de*la*convolu1on*
5.  Propriété*de*la*mul1plica1on*
6.  Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*
7.  Un*aperçu*de*l’échan1llonnage…*
8.  Réponse*fréquen1elle*d’un*SLTI*régi*par*des*équa1ons*différen1elles*
linéaires*à*coefficients*constants*

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
0
n
0

X =

Aτ sin( nω τ / 2)
T
nω τ / 2

Introduc1on*

X ( jω ) = Aτ

sin(ωτ / 2)
ωτ / 2

Enveloppe*des*échan1llons!

T Xn

T Xn

T

τ

A / 20

=5

−

4π

τ

−

X ( jω )

2π

2π

4π

τ

τ

τ

5w0!

0!

T

τ

T Xn
A / 20

= 10

X ( jω )

10w0!

0!

T

τ

10w0!

20w0!

T Xn

A / 20

= 20

X ( jω )

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes! 0!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

20w0!

40w0!

1.*Signaux*Apériodiques:*TF*Temps*Con1nu*

1.  Signaux*Apériodiques:*Transformée*de*Fourier*T.C.*

!  Rappels:*Signaux*périodiques*(T)*à*puissance*finie*A*Série*de*Fourier*

~
x (t ) =

~
x (t )

T /2

+∞

∑X

k

e jkω 0t

Xk =

k = −∞

1 ~ − jkω0t
x (t )e
dt
T −T∫/ 2

ω0 = 2π / T

...

...
-T

-T1 0 T1

T

2T

Somme*infinie*d*’exponen1elles*complexes**reliées*harmoniquement*A*Spectre*discret*
T /2

x(t)

+∞

1
1
− j kω t
− j kω t
Xk =
x(t )e 0 dt = ∫ x(t )e 0 dt
∫
T −T / 2
T −∞

Or:

-T1

+∞

Soit:

X ( jω ) =

∫ x(t )e

− jω t

dt

T1

t

Enveloppe*des*échan1llons*T.Xk*

−∞

1
X ( j kω 0 )
T
+∞
1
1
~
x (t ) = ∑ X ( jkω 0 )e jkω 0t =
2π
k = −∞ T
Xk =

Si

TC#

T →∞

~
x (t ) → x(t )
ω 0 → dω

+∞

∑ X ( jkω )e
0

jkω 0t

ω0

k = −∞

1 +∞
jω t
X ( jω )e dω
∫
2π −∞
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
x(t ) =

Intégrale***
de*Fourier!

t

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

Série*de*Fourier*TC*

Signaux*périodiques**
con1nus*

Somme*infinie*d*’exponen1elles*

+∞

x(t ) =

Période!T !!

∑X

k

e

jkω 0t

*complexes*reliées*harmoniquement**

k = −∞

ω0 = !!2π / T

Spectre*discret*apériodique*

T /2

1
Xk =
x(t )e − jkω 0t dt
∫
T −T / 2

Puissance!Finie!
x(t )

0!

1.*Signaux*Apériodiques:*TF*Temps*Con1nu*

T!

X!k!

0! 1! 2!

2T! t!

Transformée*de*Fourier*TC*

k!

Transformée*de*Fourier*Inverse*
(Synthèse)&

Signaux*apériodiques*
con1nus!!
Période!T→! ∞

x(t ) =

Energie!Finie!

1
2π

∫

+∞

−∞

X ( jω )e

jω t

Intégrale*infinie**
d*’exponen1elles*complexes*

dω

Spectre*con1nu*apériodique*

+∞

x(t)!

X ( jω ) =

∫ x(t )e

− jω t

X(jω)!

dt

−∞
0!

T!

t!

ω!

Transformée*de*Fourier*Directe*
(Analyse)*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

TC#

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

1.*Signaux*Apériodiques:*TF*Temps*Con1nu*

TF*en*Temps*Con1nu*pour*des*Signaux*Apériodiques*

x(t ) =

1
2π

+∞

∫−∞

X ( jω )e

+∞

X ( jω ) =

∫ x(t )e

jω t

− jω t

x(t ) = ∫

dω

+∞

−∞

+∞

X(f )=

dt

j 2πf t

df

− j 2πf t

dt

X ( f )e

∫ x(t )e

−∞

−∞

Pulsa1on*ou*fréquence*angulaire*en*

Fréquence*en*Hz*

Rad/s*

(nota1on*française)*

(nota1on*angloAsaxonne)*

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

2.*Paires*de*TF*en*TC*

2.  Paires*de*Transformées*de*Fourier*en*TC*

Signaux*

TF*fréquence*

TF*pulsa1on*

δ (t )

1

1

1

δ(f )

2πδ (ω )

1
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )]
2
1
[δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 )]
2j

π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )]

cos(2πf 0t ) = cos(ω0t )
sin (2πf 0t ) = sin (ω0t )

u(t )

1
1
δ ( f )+
2
j 2πf

#1, t < a / 2
x(t )"
!0, t > a / 2

a sinc(πfa)

PT (t ) =

+∞

∑δ (t − kT )

k = −∞

1
1 +∞ )
k&
P1 ( f ) =
δ' f − $
T T
T k =−∞ (
T%

∑

π
j

[δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )]
πδ (ω ) +

1
jω

&ω #
a sinc $ a !
%2 "

2π
2π
P2π ( jω ) =
T T
T

+∞

)

2π &
$
%

∑δ '(ω − k T

k = −∞

Peigne de Dirac

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

Principales paires
de la
Transformée de
Fourier Temps
Continu

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

2.*Paires*de*TF*en*TC*
*

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

3.*Propriétés*de*la*TF*en*TC*
*

3.  Propriétés*de*la*TF*Temps*Con1nu*
TF

!  *Linéarité*

α x(t ) + β y (t ) ↔ α X ( jω ) + β Y ( jω )

!  *Changement*d*’échelle*

x(α t ) ↔

TF

1

& ω#
X$ j !
α % α"

TF

x(− t ) ↔ X (− jω )

Contrac<on!Temporelle!(α!>1)!⇒!Dilata<on!!Fréquen<elle!

!  *Dualité*

TF

TF

x ( t − t0 ) ↔ X ( jω ) e − jω t0

!  *Décalage*

TF

x ( t − t0 ) ↔ X ( jω ) e

x(t ) e jω0t ↔ X ( j (ω − ω0 ))

j &$∠X ( jω ) −ω t0 '%

TF

dx( t ) TF
↔ jω X ( jω )
dt

!  *Dériva1on*

TC#

− jt x( t ) ↔

dX ( jω )
dω

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

3.*Propriétés*de*la*TF*en*TC*
*

TF

x∗ (t ) ↔ X ∗ (− jω )

!  *Conjugaison*

Cas!par<culier:!! x(t)!!réel*⇒!!

X ( jω )= X ∗ (− jω )

Symétrie*conjuguée:!!

Re{X ( jω )}: paire

X ( jω ) : paire

Im{X ( jω )}: impaire
x(t)**réel**et*paire*

*⇒*

x(t)**réel**et*impaire **⇒*

∠ X ( jω ) : impaire

*X(jω)*réel**et*paire**
*X*(jω)*imaginaire**et*impaire**

( )

X jω

!  *Rela1on*de*Parseval*
+∞

E=

∫

x(t )

−∞

2

1
dt =
2π

∫

= TF (Rxx (t))

Densité*Spectrale**

+∞
−∞

2

X ( jω )

2

+∞

dω =

∫

X(f )

2

df

d’Energie*du*signal*x(t)!

−∞

Energie*total*d*’un*signal****=*****Energie*par*unité*de*temps*intégrée*sur*tous*les*temps**
*
************=*****Densité*spectrale*d*’énergie*intégrée*sur*toutes*les*fréquences*
*

TC#

*

**[V2*.*s*/*Hz]*ou*[A2*.*s*/*Hz]*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

!  *Densité*spectrale*d’énergie*et*fonc1on*d’autocorrela1on*
La!densité!spectrale!d’énergie!est!la!transformée!de!Fourier!de!la!fonc<on!d’autocorréla<on!!!

( )

X jω

2

= S xx ( jw) = TF (Rxx (τ ))

P!Fonc<on!réelle.!!
P!Fonc<on!paire!si!le!signal!est!réel!
P!Dimension!V²s/Hz!ou!A²s/Hz!
L’énergie!est!l’intégrale!de!la!densité!spectrale,!aussi!égale!à!l’autocorréla<on!en!0!
+∞

Ex =

∫

+∞

x (t ) ² dt =

−∞

X ( f ) ² df

∫

−∞
+∞

= Rxx (0) =

∫S

xx

( f )df

−∞

TC#

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

4.*Propriété*de*la*convolu1on*

4.  Propriété*de*la*convolu1on*
+∞

Recherchons!la!TF!de!y(t)=x(t)*h(t)!:!

y (t ) =

∫ x(τ )h(t − τ )dτ

−∞

+
(
+ +∞
(
+∞
)
& − jωt
)
&
− jωt
Y ( jω ) = ∫ ) ∫ x(τ )h(t − τ )dτ & e dt = ∫ x(τ )) ∫ h(t − τ )e dt & dτ
− ∞) − ∞
−∞
&
) −∞
&
*
'
*
'
+∞ +∞

+∞

Y ( jω ) =

Rappel:!vrai!si!SLTI!Stable!
+∞

∫ h(t ) dt < ∞

+∞

∫ x(τ )H ( jω )e

−∞

− jωτ

dτ = H ( jω ) ∫ x(τ )e − jωτ dτ

= H ( jω ) X ( j ω )

−∞

−∞

TF

y (t ) = x(t )∗ h(t ) ↔ Y ( jω ) = X ( jω ) H ( jω )
x(t)
h(t): réponse impulsionnelle du SLTI
H(jω): réponse fréquentielle du SLTI

TF

y(t) = x(t) * h(t)

h(t)
TF

TF

+∞

H ( jω ) = ∫ h(t )e − jω t dt
−∞

TC#

X(f)

H(f)

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Y(f) = X(f) . H(f)

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

5.*Propriété*de*la*mul1plica1on*

5.  Propriété*de*la*mul1plica1on*
signal modulant

Modula1on*d*’amplitude!

porteuse
TF

r (t ) = s(t ) p(t ) ↔ R( f ) = S ( f )∗ P( f )

signal modulé

A

Exemple!

S(f)
f1

-f1

Porteuse:

p(t ) = cos(2πf 0t )

P( f ) =

1
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )]
2

R( f ) =

1
[S ( f − f 0 ) + S ( f + f 0 )]
2

f

P(f)
1/2

1/2

-f0

f0

R(f)

f
A/2

A/2

f0 -f1 f0 +f1

-f0-f1 -f0 +f1
-f0

f

f0

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

5.*Propriété*de*la*mul1plica1on*
*

g (t ) = r (t ) p(t )

Exemple:******Démodula1on*d*’amplitude!
R(f)

A/2

A/2

f0 -f1 f0 +f1

-f0-f1 -f0 +f1
-f0

f

f0

P(f)

1/2

P( f ) =

f0
A/2

A/4

1
[S ( f − f 0 ) + S ( f + f 0 )]
2

Porteuse:! p(t ) = cos(2πf 0t )
1/2

-f0

-2f0

R( f ) =

1
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )]
2

G(f)
A/4

-f0

f0

2f0

f

H(f)
H(f)!Filtre!PassePBas!
-fc
H(0) A/2

fc

f
Y(f) = G(f) H(f)

Y(f) = G(f) H(f)

y(t) ~ s(t)
f

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

*

Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
Continu

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

6.*Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*

6.  Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*

!  Extension*de*la*TF*en*Temps*Con1nu*
Considérons!l!’impulsion!

X ( f ) = δ ( f − f0 )

+∞

TF

j 2π f t
df = e j 2π f t
↔ x(t ) = ∫ δ ( f − f 0 )e
0

−∞

Un!signal*périodique!se!décompose!en!Série!de!Fourier!

x p (t ) =

+∞

∑

1
= T période du signal
f0

X k e jk 2π f 0t

k = −∞

x p (t ) =

+∞

∑ δ ( f − kf

∑ X ∫ δ ( f − kf )e
k

k = −∞

0

)

k = −∞

+∞

+∞

0

jk 2π ft

df

...

...

−∞

+∞

, +∞
)
x p (t ) = **
X k δ ( f − kf 0 ) '' e jk 2π ft df
(
− ∞+ k = −∞

-2f0

0

-f0

f0

2f0

3f0

f

∫ ∑

Par!iden<fica<on!

X p(f )=

+∞

∑

k = −∞

TC#

X k δ ( f − kf 0 )

Train*d*’impulsions*de*Dirac*pondérées*
par*les*coefficients*de*Fourier*Xk*et**
situées*aux*fréquences*f*=*kf0!

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

6.*Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*

Comparaison*entre*la*décomposi1on*en*Série*de*Fourier*d*’un*
signal*périodique*et*sa*Transformée*de*Fourier*
xp(t)

-T

0

T1

T= 4 T1

T

X p ( jω )

Xk

k

TF*

SF*

TC#

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!

Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*

6.*Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*

Expression*simple*de*la*TF*d*’un*signal*périodique*en*TC*

Tout!signal!périodique!xp(t)!peut!être!représenté!comme!la!somme!d!’une!suite!infinie!de!translatées!!
de!x(t)!!mo<f!élémentaire!sur![0,!T]!
xp(t)

x(t )

x(t + T )

x(t )

x(t − T ) x(t − 2T )

...
0

x p (t ) =

T

t

0

+∞

...

...
0

-T

∑δ (t − kT ) = x(t )∗ P (t )
T

Propriété&de&la&convolu/on&

f0 =

2T

1
P1 ( f )
T T

∑

1 &k# 1
X $ ! = X (k f 0 )
T %T " T

∑

La*TF*permet*d*’obtenir**

3T

X(f )

1
T

1 +∞
k # 1 +∞ & k # &
k#
&
X p(f )=
X ( f )δ $ f − ! =
X$ !δ$ f − !
T k =−∞
T
T
T
T
%
"
" %
"
k = −∞ %

TC#

T

t

&1#
X$ !
% T " X &$ 2 #!
%T "

& 1#
X $− !
% T"

k = −∞

X p ( f ) = X ( f ).

t

∑δ (t − kT )

+∞

D!’où:! x p (t ) = x(t )∗

3T

2T

+∞

k = −∞

x(t − kT ) = x(t )∗δ (t − kT )

Xk =

T
PT (t ) =

∑ x(t − kT )

k = −∞

Or:!

...

0

1/T 2/T

X p(f

3/T

f

)

1 &1#
X$ !
T %T " 1 X& 2 #
$ !
T %T "

1 & 1#
X $− !
T % T"

0

3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
directement*les*coefficients*de*Fourier!
*

1/T

2/T 3/T

f