Cours MOST SIS .pdf
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Nom original: Cours-MOST-SIS.pdf
Titre: Cours-MOST-SIS.pptx
Auteur: Yougz
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TC#
MOST/SIS*
H.*BENOITACATTIN*
A.*BASKURT*
C.*MULLER*
*
Cours*+*TD*
Signaux*et*Systèmes*
Département*Télécommunica1ons*
TC#
Services*&*Usages*
Compétences,*connaissances*visées*
! !Caractériser*en*temps*et*en*fréquence!«!signal!déterministe!»!
et!«!Système!Linéaire!Temporellement!Invariant!(SLTI)»!
•
•
•
•
•
•
•
Con<nu,!discret,!échan<llonné,!périodique!
Stabilité,!causalité!
Signal!dirac,!échelon,!sinusoïde!complexe!
Transformées!(Fourier,!Laplace,!Z)!
Réponses!impulsionnelle,!indicielle,!en!fréquence!
Fonc<on!de!transfert,!diagramme!de!Bode,!densité!spectrale!
Filtre!1er!et!2nd!ordre!
! Calculer*la*sor1e*d’un*SLTI*
• Convolu<on!
• Equa<ons!différen<elles!/!aux!différences!
• Transformées!(Fourier,!Laplace,!Z)!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Bode
Gain
Pôles/Zéros
1er, 2nd ordre
Rép. en fréquence
FIR / IIR
Phase
Fonction de Transfert
Dirac
H
X
Impulsion
Echelon
Sinusoïde complexe
Puissance
h
Rép.
Impulsionnelle
Continu
Equ. Diff.
Discret
Périodique
Quantification Stable
Echantillonné
Fourier
Z
Laplace
Transformée
x
Energie
Y=X.H
Fondamental
Harmonique
TC#
Causal
y=x*h
Convolution
Corrélation
Linéaire
Temporellement invariant
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Plan*de*MOSTASIS*
9*Chapitres:*
TC#*
*
*
1.
Signaux*et*Systèmes*
*Slide*3*
2.
Systèmes*Linéaires*Temporellement*Invariants*SLTI
*Slide*30*
3.
Séries*de*Fourier
*Slide*52*
4.
Transformée*de*Fourier*en*Temps*Con1nu
*Slide*72*
5.
Transformée*de*Fourier*en*Temps*Discret
*Slide*92*
6.
Caractérisa1on*en*Temps*et*Fréquence*
*Slide*114**
*
***************************des*signaux*et*des*systèmes*
7.
Transformée*de*Laplace*(Temps*Con1nu)*
*Slide*134*
8.
Transformée*en*Z*(Temps*Discret)*
*Slide*154*
9.
Echan1llonnage
*Slide*174*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1:*Signaux*et*Systèmes*
1. Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
2. Transforma1on*de*la*variable*indépendante*
3. Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
4. Impulsion*unité*A*Echelon*unité*
5. Systèmes*temps*con1nu*et*temps*discret*
TC#
6. Propriétés*de*base*des*systèmes*
*
*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
*
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
1. Signaux*Temps*Con1nu*et*Temps*Discret*
! ***Exemples*de*signaux*et*représenta1on*mathéma1que!
signal!=!toute!en<té!qui!véhicule!une!informa1on!
Exemples:#
onde!acous<que!
courant!électrique!délivré!
par!un!microphone!
onde!lumineuse!
courant!électrique!délivré!
par!un!spectromètre!
suite!de!nombres!
Photographie!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Musique,!!
parole,!
...!
source!lumineuse!
(étoile,!gaz,!…)!
...!
Mesures!physiques!
!
...!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
*
Représenta1on*mathéma1que:*
Signal!=!fonc<on!d!’une!ou!plusieurs!variables*indépendantes:!
!ex:! !(Voix)
&Pression&Acous/que&=&f(temps)&&
&
&Luminosité=&f(x,y:variables&spa/ales)&
&(Image)
⇒!par!la!suite:!1!seule!variable!indépendante!=!temps!
Signaux*temps*con1nu:#
La!variable!indépendante!est!con<nue*⇒!t*
ex: **la&voix&en&fonc/on&du&temps,&
&&la&pression&atmosphérique&en&fonc/on&de&l&’al/tude&
Signaux*temps*discret:#
Définis!seulement!pour!des!temps!discrets!
La!variable!indépendante!est!un!ensemble!discret!de!valeurs!⇒!n!
*ex:
**indice&DowGJones&du&marché&boursier&
&
&études&démographiques&...&
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
Exemples:
1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
*a)*d*’un*signal*con1nu*x(t)**
********b)*d*’un*signal*discret*x[n]*
Remarques:#
x[n]!!n!’est!défini!que!pour!des!valeurs!en<ères!de!n.!!
x[n]!:!signal!Temps!Discret!ou!séquence!Temps!Discret.!
!
2!types!de!signaux!discrets:!
a)!Signaux!représentant!un!phénomène!dont!!la!variable!indépendante!est!discrète!
b)!Signaux!provenant!d!’une!opéra<on!d!’échan1llonnage:!
!x[n]!représente!les!échan<llons!successifs!d!’un!phénomène!pour!lequel!la! !
!variable!indépendante!est!con<nue!(niveau!quan<fié!ou!non...)!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
Signal continu
4
F0=1Hz
2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t en seconde
0.7
0.8
0.9
1
0.8
0.9
1
0.9
1
Signal échantillonné
4
F0=1Hz
Fe=20Hz 2
Echantillonnage
0
0
0.1
0.2
0.3
≠
0.4
0.5
0.6
t en seconde
0.7
Signal échantillonné et quantifié sur 5 niveaux
Quantification
q4 4
q3
q2 2
q1
q0 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t en seconde
0.7
0.8
Signal discret et quantifié sur 5 niveaux
q4 4
q3
q2 2
q1
q0 0
TC#
0
2
4
6
8
10
12
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
n entier relatif
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
14
16
18
20
1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
! **Energie*et*puissance*d*’un*signal*
Défini1on:!par!analogie!avec!les!signaux!électriques!
Temps!Con<nu!
+∞
Ex =
Energie!
∫ x(t )
2
+∞
dt
E x = ∑ x(n )
Puissance!moyenne!!!
T
∫
2
x(t ) dt
−T
3*Classes*de*signaux:#
P!Signaux!à!Energie*finie*(J)!
P!Signaux!à!Puissance*moyenne*finie*(W*=J/s)*
P!Signaux!à!Energie!et!Puissance!moyenne!infinies!
TC#
2
−∞
−∞
1
Px = lim
T → +∞ 2T
Temps!Discret!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
N
1
2
x(n )
∑
N → +∞ 2 N + 1
n=− N
Px = lim
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
1.*Signaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
P!Signaux!à!Energie*finie!
1!
Ex < ∞
Px = 0
Px < ∞
Ex = ∞
Px = ∞
Ex = ∞
t!
0! 1!
P!Signaux!à!Puissance*moyenne*finie*
4!
...*
...*
n!
0!
P!Signaux!à!Energie!et!Puissance!Moyenne!infinies!
1
1
TC#
t
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
2.*Transforma1on*de*la*variable*indépendante*
2. Transforma1on*de*la*variable*indépendante**
! **Exemples*de*transforma1ons!
!Décalage*temporel**
t*0*<*0*:**AVANCE*
TC#
n*0*>*0*:**RETARD*de*n0*échan1llons*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
1.2*Transforma1on*de*la*variable*indépendante*
*Inversion*temporelle**
Changement*d*’échelle*:**x(a.t)*
a*>*1*:**contrac1on*temporelle*
TC#
0*<*a*<*1*:**dilata1on*temporelle*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
2.*Transforma1on*de*la*variable*indépendante*
*
! Signaux*périodiques!
x[n] = x[n + N ]
x(t ) = x(t + T )
T ∈°
+
Remarques:*
T0!=!période!fondamentale!=!plus!pe<te!valeur!possible!de!T!
Px < ∞
TC#
Ex = ∞
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
N ∈•
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
*
2.*Transforma1on*de*la*variable*indépendante*
*
! *Signaux*Pairs*et*Impairs!
Pairs!
Impairs!
x(t ) = x(−t )
x(t ) = − x(−t )
x[n] = x[− n]
x[n] = − x[− n]
Propriété:*
Tout!signal!se!décompose!en!la!somme:!
P!!d!’un!signal!pair!xpair(t)!et!!
P!!d!’un!signal!impair!ximpair(t)!
1
[x(t ) + x(− t )]
2
1
ximpair (t ) = [x(t ) − x(− t )]
2
x pair (t ) =
TC#
x(t ) = x pair (t ) + ximpair (t )
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
*
3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
3. Signaux*exponen1els*et*sinusoïdaux*
! *En*temps*con1nu!
*Signaux*à*exponen1elle*réelle:!!
x(t ) = Ce at
avec
C et a réels
⇒!phénomènes!physiques!
a<0
Signaux*à*exponen1elle*complexe*périodiques*et*signaux*sinusoïdaux:*
ω 0 = 2πf 0 =
x(t ) = e jω0t
2π
T0
Ex = ∞
e jω0t = e jω0 (t +T ) = e jω0t e jω0T
e jω0T = 1
{
x(t ) = A cos(ω 0t + Φ ) = Aℜe e j (ω 0t + Φ )
A cos(ω 0t + Φ ) =
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
}
A j Φ j ω 0 t A − j Φ − jω 0 t
e e + e e
2
2
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
*
3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*
Remarques*:!
P!Signaux!à!exponen<elle!complexe!périodiques!appelés!aussi!signaux*harmoniques*
P!Ensemble!d!’exponen1elles*harmoniquement*reliées*=!
!Ensemble!d!’exponen<elles!périodiques!ayant!en!commun!la!période!T0!:!
!
!
Ψk (t ) = e jkω 0t , k = 0, ± 1, ± 2,...
Signaux*à*exponen1elle*réelle*et*complexe*:& x(t ) = Ce
at
avec
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
*
3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
! **En*temps*discret!
[]
Signaux*à*exponen1elle*réelle:!! x n = Cα
n
avec
C et α réels
α >1
0 <α <1
−1 < α < 0
TC#
jθ
r<0
r >0
TC#
a = r + jω0 et C = C e
α < −1
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*
Signaux*à*exponen1elle*complexe*et*sinusoïdaux:**
x [n] = e jω0n
x [n] = A cos(ω0 n + Φ)
Propriété*1:****Le*même*signal*pour*des*pulsa1ons*différentes!...*
e j (ω 0 + 2π )n = e j 2πn e jω0n = e jω0 n
e jω0n = e j (ω0 ± 2π )n = e j (ω0 ± 4π )n =
⇒!!!!!0!<!ω0!<!2π!!!!!!!
!!!!!!!!!0!<!!f0!!<!1!
Le!taux!d!’oscilla<ons!de!
e jω 0 n n*’augmente*pas*en!fonc<on!de!ω0****!…!
Basses*fréquences*
ω 0 = 2k π
Hautes*fréquences*
ω0 = (2k + 1)π
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*
Comparaison*entre*signaux*sinusoïdaux*temps*con1nu*et*temps*discret*
x(t)=*cos(2π*f0*t)*****et***x[n]=*cos(2π*f0*n)**
x(t)*
x[n]*
f0= 1/4
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
f0= 5/4 = 1/4+1
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
f0=
9/4 = 1/4+2
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
f0=
13/4 = 1/4+3
1
0.5
0
-0.5
-1
0
TC#
1
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*
Sinusoïdes*temps*discret*à*différentes*fréquences*
Oscilla1ons*BF*…*
f =0
ω=0
f = 1/4
ω = π /2$
Oscilla1ons*HF*…*
f = 1/16
f = 1/8
ω = π /8$
ω = π /4$
f = 1/2
f = 3/4
ω = π$
ω = 3 π /2$
f = 15/16
f = 7/8
ω = 15π /8$
ω = 7π /4$
TC#
f=1
Oscilla1ons*BF*…*
ω = 2π
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*
Propriété*2:*
*Périodicité*dans*le*domaine*temporel*⇒****Pas*toujours!...*
!
e jω0n N ∈ •
Si*N*période*fondamentale*de*x[n]*=**
e jω0 ( n + N ) = e jω0n
ω0 N = m ⋅ 2π
ω0 m
=
2π N
Signal*périodique*si*ω0*/*2π*est*un*en1er*ou*une*frac1on*ra1onnelle*
avec!!
ω0
m
=
2π
N
x[n] = cos(n / 6)
TC#
périodique!
Non!périodique!!
N*=*31*
N*=*12*
T*=*12*
pulsa<on!fondamentale!!!
T*=*31/4*
N*=*n’existe*pas*!*
T*=*12π*
périodique!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
!non!périodique!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
3.*Signaux*exponen1el*et*sinusoïdaux*
*
Propriété*3*:** *Exponen1elles*reliées*harmoniquement,*
*Seulement*N*exponen1elles*dis1nctes…*
Ψ k [ n] = e
" 2π #
jk $
%n
& N '
⇒ Ψ k + N [ n] = e
k = 0, ±1, ±2...
" 2π #
j ( k + N )$
%n
& N '
=e
" 2π #
jk $
%n
& N '
e j 2π n = Ψ k [n]
Signaux*à*exponen1elle*réelle*et*complexe*:# x[n] = Cα n avec α = α e jω 0 et C = C e jθ
α >1
α <1
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
4.*Impulsion*unité*et*fonc1on*échelon*
4. Impulsion*unité*A*Echelon*unité*
! En*temps*discret*
Impulsion*Unité:!
Δ[n]
1!
#0, n ≠ 0
Δ[n] = "
!1, n = 0
0!
n!
u[n]
Echelon*Unité:!
#0, n < 0
u[n] = "
!1, n ≥ 0
1!
...*
0!
Rela1ons*importantes:!
Δ[n] = u[n]− u[n −1]
u[n] =
∞
∑ Δ[n − k ]
k =0
x[n]Δ[n] = x[0]Δ[n]
u[n] =
x[n]Δ[n − n0 ] = x[n0 ]Δ[n − n0 ]
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
n
∑ Δ[m]
m = −∞
n!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
4.*Impulsion*unité*et*fonc1on*échelon*
*
u(t)&
! En*temps*con1nu*
Echelon*Unité:#
#0, t < 0
u (t ) = "
!1, t ≥ 0
t!
Impulsion*Unité*ou*Dirac:!
On!veut:!
δ (t ) =
du (t )
dt
Problème!...!
δ Δ (t )
∫
+∞
−∞
δ (t ) = lim δ Δ (t )
Δ→0
TC#
Signal!Pulse!
δ Δ ( t ) dt = 1
Impulsion*de*Dirac*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
4.*Impulsion*unité*et*fonc1on*échelon*
*
! Propriétés*du*Dirac!
Modélisa<on!mathéma<que!issue!de!la!théorie!des!Distribu<ons!(Laurent!Schwarzt)...!
• !!!δ(t)!n!’a!pas!de!durée,!!sa!hauteur!est!infinie!et!son*aire*est*égale*à*l*’unité!
+∞
∫ δ (t )dt = 1
−∞
• !!!Représenta<on!de!δ(t):!
1!
δ(t)! fonc<on!singulière!
t!
Besoin&des&physiciens:&
&δ(t)&modélise&par&exemple&le&courant&i(t)&d&’un&filtre&RC&&lors&de&la&charge&d&’un&condensateur...&
• !!!δ(t)!peut!être!pondéré!par!un!scalaire!
⇒!!!k.δ(t)!a!une!aire!de!k!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
4.*Impulsion*unité*et*fonc1on*échelon*
*
! Propriétés*du*Dirac*
x(t )δ (t − t0 ) = x(t0 )δ (t − t0 )
x(t )δ (t ) = x(0)δ (t )
+∞
+∞
∫ x(t )δ (t ) dt = x(0)
∫ x(t )δ (t − t ) dt = x(t )
0
−∞
0
−∞
+∞
du (t )
δ (t ) =
dt
u (t ) = δ (t − τ )dτ
∫
0
TC#
t
u (t ) = δ (τ )dτ
∫
−∞
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
5.*(Auto/Inter)*Corréla1on*
• Signaux déterministes
• Signaux à énergie finie
• Signaux à puissance finie
Mesure de ressemblance
>> Autocorrélation temporelle
• Processus aléatoires
• Statistique du second ordre
• Caractérisation fréquentielle des signaux aléatoires (Densité spectrale)
Autocorrélation statistique
<<
MOST – PBS
• De très nombreuses utilisations
• GPS, watermarking, tracking de cibles, Big data …
TC#
! Autocorréla1on*temporelle*des*signaux*à*énergie*finie*
+∞
+∞
Rxx (τ ) =
*
∫ x (t)x(t + τ )dt ,
Rxx [ j] =
∑ x [k]x[k + j]
*
k=−∞
−∞
! Mesure de ressemblance entre le signal et lui-même +- décalé
• Si x(t) est réel, l’autocorrélation est réelle
+∞
• Dimension V²/Hz ou A²/Hz
• Analogie avec la convolution : x(t ) * y (t ) = x(t − τ ). y (τ ).dτ
∫
−∞
• C’est un produit scalaire, projection de x*(t) sur x(t) décalé de τ
• Pour τ = 0, on retrouve l’énergie du signal >> Rxx(0) = Ex
• Rxx(τ) est maximale en τ =0. Rien ne ressemble plus au signal que lui-même !!
TC#
• L’autocorrélation possède la propriétés de symétrie hermitique
*
*
Rxx ( −τ ) = Rxx
(τ ) , Rxx [ − j ] = Rxx
[ j]
Si le signal est réel, l’autocorrélation est donc réelle et paire.
• Exemple : x(t) = Rect (t/T) <> Rxx(τ)=T Tri(τ/T)
Rect(t/T)
Rxx(τ)
1
-T/2
TC#
T
T/2
t
-T
T
τ$
! Intercorrélation temporelle des signaux à
énergie finie
+∞
+∞
Rxy (τ ) =
*
∫ x (t)y(t + τ )dt
,
Rxy [ j] =
∑ x [k]y[k + j]
*
k=−∞
−∞
• Mesure du degré de ressemblance entre deux signaux en
fonction d’un décalage
• Propriété de symétrie hermitique
*
*
Rxy ( −τ ) = Ryx
(τ ) , Rxy [ − j ] = Ryx
[ j]
" (Attention à l’inversion de x et y dans le deuxième membre des
équations)
• Projection de x(τ) sur y(τ+t), produit scalaire
• Analogie avec la convolution (Cf. TD3) : Rxy (τ ) =
x(−τ )* y(τ )
TC#
! Exemple d’intercorrélation
x(t)
y(t)
1
1
-T
-T/2
t
T/2
T
-1
t
Rxy(τ)
T
-3T/2
-T/2
T/2
3T/2
τ$
-T
Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux instants -T/2 et T/2.
En t=0, x(t) ne ressemble pas du tout à y(t) : ils sont orthogonaux, produit scalaire nul.
TC#
! Exemple d’intercorrélation
x(t)
-2T
-3T/2
-T
-T/2
1
T/2
T
3T/2
2T
t
y(t-2T)
+∞
Rxy (τ ) =
*
∫ x (t)y(t + τ )dt
−∞
y(t-3T/2)
Rxy(τ)
T
-3T/2
-T/2
T/2
-T
y(t-0)
y(t+T/2)
TC#
! Intercorrélation temporelle des signaux à
puissance fini
1 +T /2 *
Rxy (τ ) = lim ∫ x (t)y(t + τ )dt ,
T→∞ T
−T /2
1 N−1 *
Rxy [ j] = lim
∑ x [k]y[k + j]
N→∞ 2N
k=− N
>> Problème de convergence des intégrales et des sommes
! Notation
Rxy (τ ) = x * (t ) y (t + τ )
,
Rxy [ j ] = x *[ k ] y[ k + j ]
! Dimensions: V² ou A²
! Autocorrélation: y(t)=x(t) dans les formules précédentes
TC#
3T/2
τ$
! Autocorrélation des signaux périodiques
1 +T /2 *
Rxx (τ ) =
x (t)x(t + τ )dt ,
∫
T −T /2
1 N−1 *
Rxx [ j] = ∑ x [k]x[k + j]
N k=O
• Le calcul sur une seule période suffit
• L’autocorrélation d’un signal périodique est elle même
périodique.
• Par définition, le signal périodique ressemble parfaitement à
lui même, décalé d’une ou plusieurs périodes.
TC#
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
5.*Systèmes*temps*con1nu*et*temps*discret*
6.*Systèmes*Temps*Con1nu*et*Temps*Discret*
x[n]***→**y[n]*
x(t)**→**y(t)*
x(t)!
Système!
Temps!!
y(t)!
x[n]!
Con<nu!
Système!
Temps!
y[n]!
!Discret!
! Exemples:*
P!Rela<on!entre!la!tension!aux!bornes!d!’un!condensateur!et!la!tension!d!’entrée!!!
P!Rela<on!entre!la!vitesse!d!’un!véhicule!et!la!force!appliquée!!!
⇒!équa<ons!!différen<elles!linéaires!du!1er!ordre:!!
P!Evolu<on!d!’un!compte!bancaire!
TC#
dy (t )
+ ay (t ) = bx (t )
dt
y[n]−1.01 y[n −1] = x[n]
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
5.*Systèmes*temps*con1nu*et*temps*discret*
*
! Interconnexions*de*systèmes*
Idée:
!des!systèmes!complexes!peuvent!être!construits!en!interconnectant!!
!des!sous!ensembles!plus!simples...!
Interconnexion*Parallèle*
Interconnexion*Série*
Système*1!
E&
Système*1!
Système*2!
S&
+*
E&
S&
Système*2!
Interconnexion*RétroAac1onnée*
E&
+*
Système*1!
S&
Système*2!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
6.*Propriétés*de*base*des*systèmes**
7.*Propriétés*de*base*des*systèmes*
! **Système*sans*mémoire**
La!sor<e!y!à!l!’instant!t!ou!n!ne!dépend!que!de!l!’entrée!x!à!ce!!même!instant!
! **Système*inversible**
Des!entrées!dis<nctes!conduisent!à!des!sor<es!dis<nctes!
y[n]!
x[n]!
Système!
Système!
!inverse!
w[n]=x[n]!
! **Système*causal**
La!sor<e!à!n*’importe*quel*instant!ne!dépend!que!des!valeurs!de!l!’entrée!!
aux!instants!présent!et!!passés!
n
y[n] = ∑ x[n]
y[n] = x[n] − x[n + 1]
−∞
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
y[n] = x[−n]
Chap.*1*:*Signaux*et*Systèmes*
6.*Propriétés*de*base*des*systèmes*
! **Système*stable*
A!une!entrée!bornée:!|x(t)|!≤!M!!∀t!!correspond!une!sor<e!bornée!|y(t)|!≤!N!!∀t!!
n
y (t ) = x(t ) − x(t + 1)
y[n] = ∑ x[n]
−∞
! **Système*temporellement*invariant***
Un!décalage!temporel!sur!le!signal!d!’entrée!!entraîne!le!même!décalage!temporel!
sur!le!signal!de!sor<e!
x[nAn0]*
! **Système*linéaire*
Soit!
y[nAn0]*
Système!
x(tAt0)*
Système*
y(tAt0)*
*⇒***Propriété*de*superposi1on**
x1 (t) → y1 (t)
Alors!
x2 (t) → y2 (t)
x1 [n] → y1 [n]
a.x1 (t ) + b.x2 (t ) → a. y1 (t ) + b. y2 (t )
a.x1[n] + b.x2[n] → a. y1[n] + b. y2[n]
x2 [n] → y2 [n]
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Bode
Gain
Phase
Pôles/Zéros
1er, 2nd ordre
Rép. en fréquence
FIR / IIR
Fonction de Tranfert
Fondamental
Harmonique
Sinusoïde complexe
Echelon
Energie
x
Continu
Discret
Périodique
H
Fourier
Z
Laplace
h
Rép.
Impulsionnelle
Equ. Diff.
Quantification Stable
Echantillonné
Y=X.H
Transformée
Dirac
Impulsion
Puissance
X
Causal
y=x*h
Convolution
Corrélation
Linéaire
Temporellement invariant
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Plan*Chap.2*
Chap.2:***Systèmes*Linéaires*Temporellement*Invariants*(SLTI)*
*
*
1. SLTI*temps*discret:***somme*de*convolu1on*
2. SLTI**temps*con1nu:***intégrale*de*convolu1on*
3. Propriétés*des*SLTI**
4. SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles*et*par*des*
équa1ons*aux*différences*
*
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
1.*SLTI*TD:*Somme*de*convolu1on*
1. SLTI*temps*discret:*somme*de*convolu1on*
Etude!d!’un!sousPensemble!de!systèmes:!!
Systèmes*Linéaires*Temporellement**Invariants*(SLTI)*
(hypothèse:#ini0alement#au#repos)!
Nb!Propriétés!
Ou<ls!puissants!
! Représenta1on*d*’un*signal*temps*discret*à*l*’aide*des*signaux*impulsions*
x[n ] =
+∞
∑ x[k ] Δ[n − k ]
k = −∞
Somme*pondérée*d*’impulsions**
décalées*temporellement*
Δ$
Δ$
Δ$
Δ$
Δ$
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
1.*SLTI*TD:*Somme*de*convolu1on*
! Réponse*d*’un**système*linéaire*temps*discret*(pas!forcément!T.I.)!*
+∞
Signal!d!’entrée!
x[n] = ∑ x[k ] Δ[n − k ]
−∞
Si!!
Δ[n − k ] → hk [n]
Δ [n + 1] → h−1 [n]
Alors:!
TC#
y[n] =
Δ [n] → h0 [n]
Δ [ n − 1] → h1 [n]
+∞
∑ x[k ] h [n]
k
k = −∞
Principe*de**superposi1on!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
1.*SLTI*TD:*Somme*de*convolu1on*
! Réponse*d*’un**système*linéaire*temps*discret*(pas*forcément*T.I.)**
Δ$
Δ$
Δ$
La*réponse*au*signal*x[n]*est*une*combinaison*linéaire**
]
des*réponses**associées*à*chaque*impulsion* Δ[n*****décalée*temporellement**
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
1.*SLTI*TD:*Somme*de*convolu1on*
*
! Réponse*d*’un*SLTI*temps*discret*
Il!suffit!de!connaître!la!réponse!h0[n]!à!Δ[n]!!...!!
Δ[n] → h0 [n]
Invariance*Temporelle**!⇒!
Défini<on:!!
Δ[n − k ] → hk [n] = h0 [n − k ]
Réponse*impulsionnelle!=*Réponse*d*’un*SLTI*à*l*’impulsion*unité*
SLTI*
Δ[n]*
On!ob<ent:!
y[n] =
h[n] = h0 [n]
h[n]*
+∞
∑ x[k ] h[n − k ]
Somme*de*convolu1on!
k = −∞
y[n] = x[n]∗ h[n]
Conclusion:********1*SLTI*est*en1èrement*caractérisé*par*sa*réponse*impulsionnelle!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
! Opéra1on*de*convolu1on*
x[k]
h[k]
…
0
k
h[n-k]
0
k
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k]
h[n-k] x[k]
h[n-k] h[n-k] h[n-k]
……
n
Résultat!de!la!convolu<on!y[n]!
n
…
n0n n n n n n n n
k
y[n]
…
" 1 − α n+1 #
y [n] = %
& u [n]
' 1−α (
TC#
n
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
0
n
Chap.*2*:*SLTI*
*
2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*
2. SLTI*Temps*Con1nu:*Intégrale*de*Convolu1on*
! Représenta1on*d*’un*signal*temps*con1nu*à*l*’aide*des*impulsions*de*Dirac*
x(t )
xˆ (t )
$1
!
0≤t<Δ
δ Δ (t ) = # Δ
!" 0 ailleurs
Signal Pulse
xˆ ( t ) =
+∞
∑ x ( k Δ ) δ (t − k Δ ) Δ
Δ
k =−∞
Signal approximant x(t)
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
x ( t ) = lim
Δ→0
2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*
+∞
∑ x ( k Δ ) δ (t − k Δ ) Δ
Δ
k =−∞
+∞
x (t ) =
«*Somme**»**pondérée*d*’impulsions**de*Dirac*
décalées*temporellement*
∫ x (τ )δ (t − τ ) dτ
−∞
! **Réponse*d*’un**système*linéaire*temps*con1nu*(pas*forcément*T.I.)*
Signal!d!’entrée:!
+∞
xˆ (t ) =
∑ x(kΔ )δ (t − kΔ )Δ
Δ
k = −∞
Si:!
Alors:!
TC#
δ Δ ( t − k Δ ) → hˆk Δ (t )
yˆ ( t ) =
+∞
∑ x ( k Δ ) hˆ (t ) Δ
kΔ
Principe*de**superposi1on!
k =−∞
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*
! Interpréta1on*graphique*de*la*réponse*d*’un*système*linéaire*temps*con1nu*
xˆ t
La*réponse*au*signal************est*une*combinaison*linéaire**
()
δ Δ (t )
des*réponses**associées*à*chaque*pulse**************décalé*temporellement**
y ( t ) = lim
Δ→0
+∞
x ( k Δ ) hˆk Δ (t ) Δ =
∑
k =−∞
+∞
∫ x (τ ) hτ (t )dτ
avec!
hτ (t ) réponse!à! δ (t − τ )
−∞
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*
! Réponse*d’un*SLTI*temps*con1nu*
+∞
Signal!d!’entrée:!
x(t ) =
∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
−∞
+∞
Signal!de!sor<e:!
y (t ) =
∫ x(τ )hτ (t )dτ
−∞
δ (t ) → h0 (t )
Invariance*Temporelle**!⇒!
Défini<on:!!
δ (t − τ ) → hτ (t ) = h0 (t − τ )
Réponse*impulsionnelle**=**Réponse*d*’un*SLTI*à*l*’impulsion*de*Dirac*
SLTI*
δ(t)*
h(t)*
h(t ) = h0 (t )
+∞
On!ob<ent:!
y (t ) =
∫ x(τ )h(t − τ )dτ
Intégrale*de*convolu1on!
−∞
y(t ) = x(t )∗ h(t )
TC#
SLTI*en1èrement*caractérisé**
par*sa*réponse*impulsionnelle!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
! Exemple*de*calcul*de*l*’intégrale*de*convolu1on*
2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*
John!Hopkins!University:!!«!Joy!of!convolu<on!»!!!!hnp://www.jhu.edu/~signals!
Simon!Fraser!University!(Vancouver):! !
!!!!hnp://www.sfu.ca/index2.htm!
h(t −τ )
x(τ )
x (τ ) h (t − τ )
τ
t#
t
y(t ) = x(τ ) h(t − τ ) dτ
∫
0
t#
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
2.*SLTI*TC:*Intégrale*de*convolu1on*
*
h(t −τ )
x(τ )
τ
x(τ ) h(t −τ )
t
y(t ) = x(τ ) h(t − τ ) dτ
∫
t
0
h(t −τ )
x(τ )
τ
x(τ ) h(t −τ )
t
y(t ) = x(τ ) h(t − τ ) dτ
∫
0
t
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
3.*Propriétés*des*SLTI*
*
3. Propriétés*des*SLTI*
+∞
y[n] =
• **SLTI**:*en1èrement*caractérisés*
∑ x[k ]h[n − k ] = x[n]∗ h[n]
k = −∞
par*leur*réponse*impulsionnelle!
+∞
y (t ) =
∫ x(τ )h(t − τ )dτ = x(t )∗ h(t )
−∞
• ****Commuta1vité*
+∞
∑ x[k ]h[n − k ] =
x[n]∗ h[n] = h[n]∗ x[n]
k = −∞
+∞
+∞
x(t )∗ h(t ) = h(t )∗ x(t )
+∞
∫ x(τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(τ )x(t − τ )dτ
−∞
x[n]*
h[n]!
TC#
∑ h[k ]x[n − k ]
k = −∞
−∞
y[n]!
h[n]*
y[n]*
x[n]!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
3.*Propriétés*des*SLTI*
• ***Distribu1vité*
x[n]∗ (h1[n]+ h2 [n]) = x[n]∗ h1[n]+ x[n]∗ h2 [n]
h1(t)
y1(t)
+
x(t)
h2(t)
x(t)
(IDEM&T.C.)&
y(t)
y2(t)
h1(t)&+&h2(t)
y(t)
Une!combinaison!parallèle!de!plusieurs!SLTI!peut!remplacer!un!seul!SLTI!dont!!
la!réponse!impulsionnelle!est!la!somme!des!réponses!impulsionnelles!des!SLTI!interconnectés!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
3.*Propriétés*des*SLTI*
• ***Associa1vité*
x[n]∗ (h1[n]∗ h2 [n]) = (x[n]∗ h1[n])∗ h2 [n] = x[n]∗ h1[n]∗ h2 [n]
x[n]
h1[n]
w[n]
h2[n]
h[n]* =**h1[n]*****h2[n]
x[n]
(IDEM&T.C.)&
y[n]
y[n]
Une!combinaison*série!de!plusieurs!SLTI!peut!remplacer!un!seul!SLTI!dont!la!réponse!
impulsionnelle!est!la!convolu1on!des!réponses!impulsionnelles!des!SLTI!interconnectés!
La!réponse!impulsionnelle!d!’un!SLTI!résultant!de!l!’interconnexion*série!de!plusieurs!
SLTI!!ne!dépend*pas*de*l*’ordre!dans!lequel!ils!ont!été!cascadés!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
3.*Propriétés*des*SLTI*
*
• ***Mul1plica1on*par*un*scalaire*
α (x[n] ∗ y[n]) = αx[n] ∗ y[n] = x[n] ∗αy[n]
(IDEM&T.C.)&
• **Elément*neutre:*
x(t )∗δ (t ) = x(t )
x[n]∗ Δ[n] = x[n]
• **Décalage*temporel:!
y[n − n0 ] = x[n − n0 ] ∗ h[n] = x[n] ∗ h[n − n0 ]
x(t )∗ δ (t − t0 ) = x(t − t0 )
• **Dériva1on:*
D(x ∗ y ) = (Dx)∗ y = x ∗ (Dy )
Dx(t ) =
TC#
x[n]∗ Δ[n − n0 ] = x[n − n0 ]
dx (t )
dt
Dx[n] = x[n]− x[n −1]
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
(IDEM&T.C.)&
Très*important*
Chap.*2*:*SLTI*
*
3.*Propriétés*des*SLTI*
*
• ***SLTI*sans*mémoire*
h[n] = 0 pour n ≠ 0
• ***SLTI*inversible*
h[n]∗ hi [n] = Δ[n]
• ***SLTI*causal*
h[n] = 0 pour n < 0
(IDEM&T.C.)&
h(t )∗ hi (t ) = δ (t )
h(t ) = 0 pour t < 0
• ***SLTI*stable*
+∞
∑ h[k ] < ∞
Sa!réponse!impulsionnelle!est!!
k = −∞
absolument!sommable!
+∞
∫ h(t ) dt < ∞
Sa!réponse!impulsionnelle!est!!
−∞
TC#
absolument!intégrable!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
3.*Propriétés*des*SLTI*
*
• **Réponse*d*’un*SLTI*à*l*’échelon*unité*
Réponse*indicielle!
i[n] = h[n]∗ u[n]
i(t ) = h(t )∗ u(t )
h[n] = i[n]− i[n −1]
h(t ) =
⇒!!!!!Réponse!indicielle!u<lisée!aussi!pour!caractériser!un!SLTI!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
di (t )
dt
Chap.*2*:*SLTI*
*
4. SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles**
et*des*équa1ons*aux*différences*
! Equa1ons*différen1elles*linéaires*à*coefficients*constants*
⇒!Descrip<on!de!phénomènes!physiques!TC:!
d k y (t ) M d k x (t )
ak
= ∑ bk
∑
dt k
dt k
k =0
k =0
N
Réponse&d&’un&circuit&RC,&vitesse&d&’un&véhicule&soumis&à&une&accéléra/on&et&des&forces&de&froSement&...&
dy (t )
avec x(t ) = ke3t u(t )
+ 2 y(t ) = x(t ) (1)
dt
Spécifica<on!implicite!du!système!!⇔!rela<on!ou!contrainte!entre!l!’entrée!et!la!sor<e!
Exemple*
a)!Pour!avoir!une!expression!explicite!⇒!résoudre!l!’équa<on,!trouver!y(t)!génerale!
b)!Pour!trouver!une!solu<on!unique!⇒!!Informa<ons!complémentaires,!appliquer!!les!condi<ons!ini<ales!
Rappels:**Résolu<on!d!’une!équa<on!différen<elle!à!coefficients!constants!
y gén (t ) = y part (t ) + yhom (t )
y part (t )
:!solu<on!par<culière!vérifiant!(1)!de!même!forme!que!l!’entrée!
yhom (t )
:!solu<on!!de!l!’équa<on!homogène!
TC#
dy (t )
+ 2 y(t ) = 0
dt
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
D!’où:!
4.*SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles*et*des*équa1ons*aux*différences*
k 3t
e , t >0
yhom (t ) = Ae −2t , t > 0
5
k
⇒!!infinité!de!solu<ons!
y gen (t ) = Ae −2t + e3t , t > 0
5
y part (t ) =
Applica<on!des!Condi<ons!Ini<ales!
Cas*par1culier!
SLTI**CAUSAL*ini1alement*au*repos*(IAR)*
*
Défini1on:!
Un*système*causal*est*ini1alement*au*repos,*si*sa*sor1e*est*nulle*tant*que*son*entrée*est*nulle*
x(t ) = 0 pour t ≤ t0 , alors y(t ) = 0 pour t ≤ t0
D!’où:!
x(t ) = 0 pour t ≤ 0, alors
y IAR (t ) =
TC#
y (t ) = 0 pour t ≤ 0 et y gen (0) = 0
k 3t −2t
e −e , t > 0
5
[
]
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
4.*SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles*et*des*équa1ons*aux*différences*
*
Propriété*1*
Un!système,!régi!par!une!équa<on!différen<elle!à!coefficients!constants,!ini1alement*au*repos,!!
est!un!!SLTI*autrement!dit!un!système*convolu1f!
Propriété*2*
La!solu<on!yIAR(t)!d’un!système!régi!par!une!équa<on!différen<elle!à!coefficients!constants!!et!!
ini1alement*au*repos,!est!!égale!au!produit*de*convolu1on*de!la!réponse!impulsionnelle!h(t)!du!
SLTI!par!l!’entrée!x(t)&appliqué!au!système!
yIAR ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t )
Propriété*3*
Dans!le!cas!général,!la!solu<on!y&(t)!d’un!système!régi!par!une!équa<on!différen<elle!à!coefficients!!
constants!et!non!ini1alement*au*repos,!peut!se!décomposer!en!la!somme!de!yIAR#(t)!solu<on!du!
système!ini<alement!au!repos!et!de!yZI(t)&solu<on!du!système!avec!une!entrée!nulle!et!!les!
condi<ons!ini<ales!réelles!
TC#
y (t )
CI réelles
= yIAR ( t ) + yZI ( t )
y (t )
CI réelles
= h ( t ) ∗ x ( t ) + yhom ( t )
CI réelles
CI réelles
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*2*:*SLTI*
*
4.*SLTI*causaux*décrits*par*des*équa1ons*différen1elles*et*des*équa1ons*aux*différences*
N
M
k =0
k =0
! Equa1ons*aux*différences*linéaires*à*coefficients*constants* ∑ ak y [ n − k ] = ∑ bk x [ n − k ]
Même!méthode!de!résolu<on!que!pour!les!équa<ons!différen<elles!à!coefficients!constants!
Mêmes!propriétés!!1,!2!et!3!...!
yIAR [n] = h[n] ∗ x[n]
Cas!par<culier:!SLTI*Ini1alement*au*Repos**
N
∑ ak y[n − k ] =
k =0
Si N=0
M
∑ bk x[n − k ] ⇔ y[n] =
k =0
b
∑ %% ak "" x[n − k ]
k =0
TC#
N
'! M
$!
& ∑ bk x[n − k ] − ∑ ak y[n − k ]#
!%k =0
!"
k =1
Éq.!non!récursive! ⇒*SLTI*avec*une*réponse*impulsionnelle*finie*
M '
$ bk
$
y[n] =
Si N≥ 1
1
a0
&
0
#
Éq.!récursive!
Système*FIR*
! ,0≤k ≤ M
⇒ h[k ] = # a0
!" 0, ailleurs
Équa<on!récursive!⇒!SLTI*avec*une*réponse*impulsionnelle*infinie*
*
*!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Système*IIR*
Bode
Gain
Phase
Pôles/Zéros
1er, 2nd ordre
Rép. en fréquence
FIR / IIR
Fonction de Tranfert
Fondamental
Harmonique
Sinusoïde complexe
Echelon
Energie
x
Continu
Discret
Périodique
Y=X.H
Fourier
Z
Laplace
Transformée
Dirac
Impulsion
Puissance
H
X
h
Rép.
Impulsionnelle
Equ. Diff.
Quantification Stable
Causal
y=x*h
Convolution
Corrélation
Linéaire
Echantillonné
Temporellement invariant
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
Plan*Chap.3*
Chap.3:*Séries*de*Fourier*
1. Réponse*d*’un*SLTI*à*des*exponen1elles*complexes*
*
2. Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*
en*temps*con1nu*
3. Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*
en*temps*discret*
4. Séries*de*Fourier*et*SLTI*
TC#
5. Filtrage*
* * **
*
*
*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
*
Chap.3:*Séries*de*Fourier*
! Avant*propos*
Merci!M.!Fourier!...!
JeanPBap<ste!Joseph!Fourier!
21/03/1768 (Auxerre) - 16/05/1830
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
1.*Réponse*d*’un*SLTI*à*des*exponen1elles*complexes*
1. Réponse*d*’un*SLTI*aux*exponen1elles*complexes*
! Idées:*
1P!Rechercher!des!signaux!de!base!pouvant!construire!une!grande!classe!de!
signaux!par!simple!combinaison!linéaire!
2P!Réponses!du!SLTI!à!ces!signaux!suffisamment!simples!pour!pouvoir!déduire!la!
réponse!à!n!’importe!quel!!signal!d!’entrée!construit!à!par<r!de!ces!signaux!de!
base!
!L’analyse!de!Fourier!montre!que!les!exponen<elles!complexes!!en!TC!et!TD!vérifient!
ces!propriétés!:!
En!temps!con<nu:!
e st = e ( r + jω )t
En!temps!discret:!
z n = re jθ
! Propriété**1*:******Un!peu!plus!tard…!
TC#
n
( )
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
1.*Réponse*d*’un*SLTI*à*des*exponen1elles*complexes*
*
! Propriété*2*:**
La*réponse*d*’un*SLTI*à*une*exponen1elle*complexe*n*’est*autre*que*la*même*
exponen1elle*complexe*mul1pliée*par*une*amplitude*complexe**
*
valeur!propre!
En!temps!con<nu:!
e st → H s e st
En!temps!discret:!
z n → H ( z) z n
()
vecteurs**
propres!
valeur!propre!
On!démontre!que:!
En!temps!con<nu:!
En!temps!discret:!
+∞
H (s ) = ∫ h(τ )e − sτ dτ
H (z ) =
−∞
+∞
∑
h[k ]z −k
k = −∞
Exercices:!
x(t ) = a1e s1t + a2 e s2t + a3e s3t
TC#
fonc1ons*de*transfert*
*du*système!
x[n] = ∑ ak zkn
k
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
1.*Réponse*d*’un*SLTI*à*des*exponen1elles*complexes*
*
! Quelques*exemples*de*signaux*périodiques*
Sinusoïde
Rectangle périodique
Triangle périodique
Dent de scie
TC#
H(s)**et*H(z)*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
^p*
*
2. Représenta1on*par*SF*des*signaux*périodiques*TC*
! Tout*signal*périodique*de*puissance*finie*peut*se*représenter*sous*la*forme**
d*’une*combinaison*linéaire*d*’exponen1elles*complexes*reliées*
harmoniquement*
Synthèse!
f 0 = 1/ T
x(t ) =
ω 0 = 2πf 0
ω 0 = 2π / T
+∞
∑X
k
e jkω 0t
k = −∞
Xk =
1
T
T /2
∫
−T / 2
x(t ) e − jkω0t dt
Analyse!
coefficient*de*Fourier*ou*coefficient*spectral*
Mesure*la*por1on*du*signal*x(t)*à*chaque*harmonique*de*la*fréquence*fondamentale….**
exp ( jω0t ) = cos ω0t + j sin ω0t
Euler:*
( )
sin ω t = Im (e )
cos ω 0t = Re e jω 0t
0
TC#
e jkω0t + e − jkω0t
cos(kω 0t ) =
2
jω 0 t
sin(kω 0t ) =
e jkω0t − e − jkω0t
2j
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*
*
Composante*con1nue:*
X0 =
1
x(t )dt
TT
∫
Valeur*moyenne*du*signal*sur!une!période!T!
Composante*du*fondamental*ou*composante*du*1er*harmonique:*
x fondamental (t ) = xharm1 (t ) = X −1e− jω0t + X1e jω0t
⇒!!Signal!de!même!fréquence!que!le!signal!périodique!!!f0!=!1/T!
Composantes*du*kième*harmonique:*
xharm −k (t ) = X −k e − jkω0t + X k e jkω0t
⇒!!Signal!de!fréquence!f!=!kf0!!!!!!!!Tk=T/k!
Exercices:!
TC#
Trouver&les&développements&en&série&de&Fourier&complexe&de:&
π#
&
x(t ) = 1 + sin ω 0t + 2 cos ω 0t + cos$ 2ω 0t + !
x(t ) = sin ω 0t
4"
%
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*
*
! Forme*trigonométrique:****Tout*signal*périodique*réel*de*puissance*finie*peut*être*
représenté*par*une**combinaison*linéaire**de*sinus*et*de*cosinus
Rapport!cyclique!=1/2!!!!⇒!!B2k=0!
Ak!et!Bk!:!Coefficients!de!Fourier!réels!
A
x(t ) = 0 +
2
Ak=0#
(signal!impaire)*
∞
∑ A cos(kω t ) + B sin( kω t )
k
0
k
0
k =1
1(4/π)!
T /2
2
Ak =
x(t ).cos(kω 0t )dt
T −T∫/ 2
k = 0,1,2,...
(fondamentale)*
1+!3!(4/3π)!
T /2
Bk =
2
x(t ).sin(kω 0t )dt
T −T∫/ 2
Lien!avec!la!série!exponen<elle:*
Impossible
d'afficher l'image.
Votre ordinateur
manque peut-être
Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque
peut-être de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est
endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à
nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous
devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.
Fréquence!fondamentale:*
2π
ω 0 = 2πf 0 =
T
k = 1,2,3...
1+!3+5!(4/5π)!
Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur manque peutêtre de mémoire pour ouvrir l'image ou l'image est
endommagée. Redémarrez l'ordinateur, puis ouvrez à
nouveau le fichier. Si le x rouge est toujours affiché, vous
devrez peut-être supprimer l'image avant de la réinsérer.
Composante!
!con<nue:*
TC#
1+!3+!5!+!7!(4/7π)!
I
m
p
o
s
s
i
b
Impossible d'afficher l'image. Votre ordinateur
manque peut-être de mémoire pour ouvrir
l'image ou l'image est endommagée. Redémarrez
l'ordinateur, puis ouvrez à nouveau le fichier. Si
le x rouge est toujours affiché, vous devrez
peut-être supprimer l'image avant de la
réinsérer.
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*
! Exemple de coefficients de Fourier*
Spectre du signal
T=5τ
Regraduons l ’axe des n
en fréquence ...
TC#
Xn =
Aτ sin( nω 0τ / 2)
T
nω 0τ / 2
Xn =
A τ sin( π nf 0 τ )
T
π nf 0 τ
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*
Propriétés*des*Séries*de*Fourier*en*Temps*Con1nu*
FS
! Linéarité*
z (t ) = α x(t ) + β y(t )↔ Z k = α X k + β Yk
! Décalage*temporel*
x(t − t0 )↔ X k e − jkω0t0
! Inversion*temporelle*
x(− t )↔ X −k
FS
x(t)*paire*
x(t)*impaire*
FS
! Changement*d’échelle* x(α t ) =
+∞
∑X
k
*⇒*Xk**paire****
*⇒*Xk**impaire**
x(t)!:!T,!ω0!!!⇒!!x( αt)!:!T/α,!αω0!!
Xn!inchangé,!mais!représenta<on!de!la!
e j (αω 0 )kt
k = −∞
série!de!Fourier!modifiée!
FS
z (t ) = x(t )y (t ) ↔ Z k =
! Mul1plica1on*
*
x(t ), y(t ), z(t )
TC#
+∞
∑X Y
l k −l
Convolu1on*discrète*
l = −∞
de!même!période!T!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
2.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*con1nu*
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
! Conjugaison*
FS
x∗ (t ) ↔ X −∗k
$ X −k = X k∗
Symétrie*conjuguée!!
!
x(t)!!réel*⇒!! # Re( X k ) : paire
X k : paire
!Im( X ) : impaire ∠ X : impaire
k
k
"
x(t)**réel**et*paire*
****⇒*
x(t)**réel**et*impaire **⇒*
*Xk*réel**et*paire**
*Xk*imaginaire**et*impaire**
*
! Rela1on*de*Parseval*
Pmoy
+∞
2
1
= ∫ x(t ) dt = ∑ X k
TT
k = −∞
Pmoy (harm k ) =
2
2
1
2
X k e jkω0t dt = X k
∫
TT
La*puissance*moyenne*d*’un*signal*périodique*est*égale*à*la*somme*des*
puissances*moyennes*de*toutes*ses*composantes*harmoniques*
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
*
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
3. Représenta1on*par*SF*des*signaux*périodiques*TD*
x[n] = x[n + N ]
Soit!un!signal!périodique!
Période!N!
Fréquence*fondamentale:**ω0*=*2π/N*
Rappel:!
Ensemble!des!signaux!exponen<els!!de!période!N:!
Ψk + rN [n] = e
Or:!
' 2π $
j ( k + rN ) %
"n
& N #
=e
Ψk [n] = e
' 2π $
jk %
"n
& N #
& 2π #
jk $
!n
% N "
k = 0,±1,...
e j 2πnr = Ψk [n]
Seulement*N*exponen1elles*dis1nctes*
[]
Représenta<on!d!’un!signal!périodique!avec!les!séquences!!Ψk n :
x[n] =
+∞
∑
+∞
X k Ψk [n] =
k = −∞
∑
X k e jkω0n =
k = −∞
+∞
∑
X ke
jk
2π
n
N
k = −∞
[]
Seulement!N! Ψk n dis<nctes!
⇒ x[n] =
∑X
k
Ψk [n] =
k= N
∑X
k
e
jkω 0 n
k= N
TC#
=
∑X
k
e
jk
Série*de*Fourier**
2π
n
N
Temps*Discret!
k= N
**Série*Finie*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
3.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*discret*
*
Décomposi1on*en*SF*d’un*signal*périodique*TD*
! Tout*signal*discret*périodique*(période*N)*peut*être**représenté*par*une*combinaison*
linéaire*de*N*exponen1elles*complexes*discrètes*reliées*harmoniquement*
x[n] =
∑X
k
e jkω 0 n =
k= N
Coef.!de!Fourier!
1
Xk =
N
∑X
k
e
jk
k= N
∑ x[n] e
− jkω 0 n
n= N
1
=
N
∑ x[n] e
− jk
2π
n
N
n= N
Analyse#
!ou!Coef.!spectral!
Remarque!
Synthèse#
2π
n
N
x[n] = X 0 Ψ0 [n]+ X 1Ψ1 [n]+ ... + X N −1ΨN −1 [n]
x[n] = X 1Ψ1 [n]+ X 2 Ψ2 [n]+ ... + X N ΨN [n]
Donc:!
X0 = X N
X k = X k+N
...*
Les*coefficient*Xk*sont*périodiques*de*période*N*
La*représenta1on*en*Série*de*Fourier*Temps*Discret*est*une*série*FINIE*de*N*termes!
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
3.*Représenta1on*par*Série*de*Fourier*des*signaux*périodiques*en*temps*discret*
*
Propriétés*des*Séries*de*Fourier*en*Temps*Discret*
FS
z[n] = x[n]y[n]↔ Z k =
! *Mul1plica1on*
Convolu1on*discrète**
périodique*
∑X Y
l k −l
l= N
z[n]!périodique!!N!!⇒!Zk!périodique!N!
FS
! *Décalage*temporelle*
x[n − n0 ]↔ X k e
− jk
2π
n0
N
2π
− jk
&
$
x[n] − x[n − 1]↔$1 − e N
%
FS
! *Différencia1on*
! *Parseval*
Pmoy =
1
N
∑ x[n]
2
∑X
=
n= N
#
!Xk
!
"
2
k
k= N
La*puissance*moyenne*d*’un*signal*périodique*est*égale*à*la*somme*des*
puissances*moyennes*de*ses*N*composantes*harmoniques**
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
4.*Séries*de*Fourier*et*SLTI*
4. Séries*de*Fourier*et*SLTI*
Fonc1ons*de*Transfert:*
T.C.!:!
+∞
st
e → H (s ) e
st
H (s ) =
∫ h(τ ) e
− sτ
dτ
−∞
T.D.!:!
n
z → H (z ) z
Réponses*fréquen1elles:*
T.C.!:!
T.D.!:!
s = jω
z = e jω
Réponse!d!’un!SLTI!à!une!
exponen<elle!complexe!
Réponse!d!’un!SLTI!!
à!un!signal!!sinusoïdal!
TC#
n
+∞
H (z ) =
∑ h[k ]z
Avec*h(τ)*,*h[k]!
réponses*impulsionnelles!
−k
k = −∞
!des*SLTI!
+∞
H ( jω ) =
( )
H e jω =
∫ h(t )e
− jω t
dt
−∞
+∞
∑ h[n]e− jω n
n=−∞
( )
e jω0t → H ( jω0 ) e jω0 t
{
cos(ω0t ) → Re H ( jω0 ) e jω0 t
e jω0n → H e jω0 e jω0n
}
{(
)
cos[ω0n] → Re H e jω0 e jω0n
( ) [
}
( )]
cos(ω0t ) → H ( jω0 ) cos(ω0t + ∠H ( jω0 )) cos[ω0n] → H e jω0 cos ω0 n + ∠H e jω0
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
4.*Séries*de*Fourier*et*SLTI*
*
Réponse*d’un*SLTI*à*une*entrée*périodique*
! Réponse*d’un*SLTI*à*une*entrée*périodique*
La!réponse!d!’un!SLTI!à!une!combinaison!de!plusieurs!signaux!d!’entrée!peut!se!déterminer!en!
faisant!la!somme!des!réponses!individuelles!à!chacun!de!ces!signaux!!!!
Temps*Discret*
Temps*Con1nu*
Signal*d*’entrée*
x(t ) =
périodique*
Réponse*fréquen1elle*
du*SLTI*
+∞
∑ Xk e
j kω 0 t
x[n] =
k =−∞
− jω t
( )=
dt
He
−∞
Réponse*du*SLTI**
au*signal**périodique*
Coefficient*de*Fourier*
de*la*sor1e*périodique*
y(t ) =
∑ X k H ( j kω0 )e j kω t
0
y [n] =
Yk = X k H ( j kω0 )
∑
k= N
+∞
∑ h[n]e− jω n
n=−∞
" j k 2Nπ # j k 2Nπ n
Xk H $e
%e
&
'
" j k 2Nπ #
Yk = X k H $ e
%
&
'
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
Réponse*d*’un*SLTI*à*un*signal*périodique* x(t)*
4.*Séries*de*Fourier*et*SLTI*
*
SLTI*
y(t)*
2
1
3
TC#
jω
+∞
k =−∞
TC#
2π
n
N
k= N
+∞
H ( jω ) = ∫ h(t )e
∑ Xk e
jk
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
4
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
Intérêt:*
5.*Filtrage*
*
5. Filtrage*
Changer!la!forme!d!’un!spectre,!laisser!passer!certaines!fréquences!et!en!anénuer!ou!
éliminer!d!’autres!
Filtres*sélec1fs!
Filtres*idéaux*Temps*Discret*
Filtres*idéaux*Temps*Con1nu*
Passe*Bas*
Passe*Haut*
Passe*Bande*
jω n
Périodicité*2π!:! e
HF*pour***ω=*(2k+1)π!
TC#
= e j (ω + 2π ) n
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
Exemples*de*filtres*Temps*Con1nu*
! Résolu1on*des*équa1ons*différen1elles*à*coefficients*constants*
Systèmes!décrits!par!des!équa<ons!différen<elles!à!coefficients!constants!et!
ini<alement!au!repos!sont!des!SLTI!
*
Exemple:!!Filtre!PassePBas!RC!
RC
R
VS(t)
C
+
-
VC(t)
dVC (t )
+ VC (t ) = VS (t )
dt
VS (t ) = e jω t → VC (t ) = H ( jω )e jω t
H ( jω ) =
1
1 + RCjω
Exemple:!!Filtre!PassePHaut!RC!
VS(t)
+
R
C
VR(t)
-
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
5.*Filtrage*
*
Chap.*3*:*Séries*de*Fourier*
*
5.*Filtrage*
*
Exemples*de*filtres*Temps*Discret*
! Résolu1on*des*équa1ons*aux*différences*à*coefficients*constants*
Systèmes!décrits!par!des!équa<ons!aux!différences!à!coefficients!constants!et!
ini1alement*au*repos!sont!des!SLTI*
*
Filtre*récursif*du*1er*ordre*(IIR:*Infinite*Impulse*Response)*
y[n]− ay[n − 1] = x[n]
a <1
( )
x[n] = e jω n → y[n] = H e jω e jω n
( )
H e jω =
1
1 − ae − jω
Filtre*non*récursif*(FIR:*Finite*Impulse*Response)*
1
Filtre à moyenne glissante
y[n] = (x[n − 1] + x[n] + x[n + 1])
3
1
h[n] = (Δ[n − 1] + Δ[n] + Δ[n + 1])
3
1
1
H e jω = e − jω + 1 + e jω = (1 + 2 cos ω )
3
3
( ) (
TC#
)
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
Plan*Chap.*4*
Chap.4:**Transformée*de*Fourier*en*Temps*Con1nu*
1. Signaux*Apériodiques:*Transformée*de*Fourier*Temps*Con1nu*
*
2. Paires*de*Transformées*de*Fourier*en*Temps*Con1nu*
3. Propriétés*de*la*TF*Temps*Con1nu*
4. Propriété*de*la*convolu1on*
5. Propriété*de*la*mul1plica1on*
6. Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*
7. Un*aperçu*de*l’échan1llonnage…*
8. Réponse*fréquen1elle*d’un*SLTI*régi*par*des*équa1ons*différen1elles*
linéaires*à*coefficients*constants*
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
0
n
0
X =
Aτ sin( nω τ / 2)
T
nω τ / 2
Introduc1on*
X ( jω ) = Aτ
sin(ωτ / 2)
ωτ / 2
Enveloppe*des*échan1llons!
T Xn
T Xn
T
τ
A / 20
=5
−
4π
τ
−
X ( jω )
2π
2π
4π
τ
τ
τ
5w0!
0!
T
τ
T Xn
A / 20
= 10
X ( jω )
10w0!
0!
T
τ
10w0!
20w0!
T Xn
A / 20
= 20
X ( jω )
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes! 0!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
20w0!
40w0!
1.*Signaux*Apériodiques:*TF*Temps*Con1nu*
1. Signaux*Apériodiques:*Transformée*de*Fourier*T.C.*
! Rappels:*Signaux*périodiques*(T)*à*puissance*finie*A*Série*de*Fourier*
~
x (t ) =
~
x (t )
T /2
+∞
∑X
k
e jkω 0t
Xk =
k = −∞
1 ~ − jkω0t
x (t )e
dt
T −T∫/ 2
ω0 = 2π / T
...
...
-T
-T1 0 T1
T
2T
Somme*infinie*d*’exponen1elles*complexes**reliées*harmoniquement*A*Spectre*discret*
T /2
x(t)
+∞
1
1
− j kω t
− j kω t
Xk =
x(t )e 0 dt = ∫ x(t )e 0 dt
∫
T −T / 2
T −∞
Or:
-T1
+∞
Soit:
X ( jω ) =
∫ x(t )e
− jω t
dt
T1
t
Enveloppe*des*échan1llons*T.Xk*
−∞
1
X ( j kω 0 )
T
+∞
1
1
~
x (t ) = ∑ X ( jkω 0 )e jkω 0t =
2π
k = −∞ T
Xk =
Si
TC#
T →∞
~
x (t ) → x(t )
ω 0 → dω
+∞
∑ X ( jkω )e
0
jkω 0t
ω0
k = −∞
1 +∞
jω t
X ( jω )e dω
∫
2π −∞
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
x(t ) =
Intégrale***
de*Fourier!
t
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
Série*de*Fourier*TC*
Signaux*périodiques**
con1nus*
Somme*infinie*d*’exponen1elles*
+∞
x(t ) =
Période!T !!
∑X
k
e
jkω 0t
*complexes*reliées*harmoniquement**
k = −∞
ω0 = !!2π / T
Spectre*discret*apériodique*
T /2
1
Xk =
x(t )e − jkω 0t dt
∫
T −T / 2
Puissance!Finie!
x(t )
0!
1.*Signaux*Apériodiques:*TF*Temps*Con1nu*
T!
X!k!
0! 1! 2!
2T! t!
Transformée*de*Fourier*TC*
k!
Transformée*de*Fourier*Inverse*
(Synthèse)&
Signaux*apériodiques*
con1nus!!
Période!T→! ∞
x(t ) =
Energie!Finie!
1
2π
∫
+∞
−∞
X ( jω )e
jω t
Intégrale*infinie**
d*’exponen1elles*complexes*
dω
Spectre*con1nu*apériodique*
+∞
x(t)!
X ( jω ) =
∫ x(t )e
− jω t
X(jω)!
dt
−∞
0!
T!
t!
ω!
Transformée*de*Fourier*Directe*
(Analyse)*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
TC#
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
1.*Signaux*Apériodiques:*TF*Temps*Con1nu*
TF*en*Temps*Con1nu*pour*des*Signaux*Apériodiques*
x(t ) =
1
2π
+∞
∫−∞
X ( jω )e
+∞
X ( jω ) =
∫ x(t )e
jω t
− jω t
x(t ) = ∫
dω
+∞
−∞
+∞
X(f )=
dt
j 2πf t
df
− j 2πf t
dt
X ( f )e
∫ x(t )e
−∞
−∞
Pulsa1on*ou*fréquence*angulaire*en*
Fréquence*en*Hz*
Rad/s*
(nota1on*française)*
(nota1on*angloAsaxonne)*
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
2.*Paires*de*TF*en*TC*
2. Paires*de*Transformées*de*Fourier*en*TC*
Signaux*
TF*fréquence*
TF*pulsa1on*
δ (t )
1
1
1
δ(f )
2πδ (ω )
1
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )]
2
1
[δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 )]
2j
π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )]
cos(2πf 0t ) = cos(ω0t )
sin (2πf 0t ) = sin (ω0t )
u(t )
1
1
δ ( f )+
2
j 2πf
#1, t < a / 2
x(t )"
!0, t > a / 2
a sinc(πfa)
PT (t ) =
+∞
∑δ (t − kT )
k = −∞
1
1 +∞ )
k&
P1 ( f ) =
δ' f − $
T T
T k =−∞ (
T%
∑
π
j
[δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )]
πδ (ω ) +
1
jω
&ω #
a sinc $ a !
%2 "
2π
2π
P2π ( jω ) =
T T
T
+∞
)
2π &
$
%
∑δ '(ω − k T
k = −∞
Peigne de Dirac
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
Principales paires
de la
Transformée de
Fourier Temps
Continu
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
2.*Paires*de*TF*en*TC*
*
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
3.*Propriétés*de*la*TF*en*TC*
*
3. Propriétés*de*la*TF*Temps*Con1nu*
TF
! *Linéarité*
α x(t ) + β y (t ) ↔ α X ( jω ) + β Y ( jω )
! *Changement*d*’échelle*
x(α t ) ↔
TF
1
& ω#
X$ j !
α % α"
TF
x(− t ) ↔ X (− jω )
Contrac<on!Temporelle!(α!>1)!⇒!Dilata<on!!Fréquen<elle!
! *Dualité*
TF
TF
x ( t − t0 ) ↔ X ( jω ) e − jω t0
! *Décalage*
TF
x ( t − t0 ) ↔ X ( jω ) e
x(t ) e jω0t ↔ X ( j (ω − ω0 ))
j &$∠X ( jω ) −ω t0 '%
TF
dx( t ) TF
↔ jω X ( jω )
dt
! *Dériva1on*
TC#
− jt x( t ) ↔
dX ( jω )
dω
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
3.*Propriétés*de*la*TF*en*TC*
*
TF
x∗ (t ) ↔ X ∗ (− jω )
! *Conjugaison*
Cas!par<culier:!! x(t)!!réel*⇒!!
X ( jω )= X ∗ (− jω )
Symétrie*conjuguée:!!
Re{X ( jω )}: paire
X ( jω ) : paire
Im{X ( jω )}: impaire
x(t)**réel**et*paire*
*⇒*
x(t)**réel**et*impaire **⇒*
∠ X ( jω ) : impaire
*X(jω)*réel**et*paire**
*X*(jω)*imaginaire**et*impaire**
( )
X jω
! *Rela1on*de*Parseval*
+∞
E=
∫
x(t )
−∞
2
1
dt =
2π
∫
= TF (Rxx (t))
Densité*Spectrale**
+∞
−∞
2
X ( jω )
2
+∞
dω =
∫
X(f )
2
df
d’Energie*du*signal*x(t)!
−∞
Energie*total*d*’un*signal****=*****Energie*par*unité*de*temps*intégrée*sur*tous*les*temps**
*
************=*****Densité*spectrale*d*’énergie*intégrée*sur*toutes*les*fréquences*
*
TC#
*
**[V2*.*s*/*Hz]*ou*[A2*.*s*/*Hz]*
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
! *Densité*spectrale*d’énergie*et*fonc1on*d’autocorrela1on*
La!densité!spectrale!d’énergie!est!la!transformée!de!Fourier!de!la!fonc<on!d’autocorréla<on!!!
( )
X jω
2
= S xx ( jw) = TF (Rxx (τ ))
P!Fonc<on!réelle.!!
P!Fonc<on!paire!si!le!signal!est!réel!
P!Dimension!V²s/Hz!ou!A²s/Hz!
L’énergie!est!l’intégrale!de!la!densité!spectrale,!aussi!égale!à!l’autocorréla<on!en!0!
+∞
Ex =
∫
+∞
x (t ) ² dt =
−∞
X ( f ) ² df
∫
−∞
+∞
= Rxx (0) =
∫S
xx
( f )df
−∞
TC#
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
4.*Propriété*de*la*convolu1on*
4. Propriété*de*la*convolu1on*
+∞
Recherchons!la!TF!de!y(t)=x(t)*h(t)!:!
y (t ) =
∫ x(τ )h(t − τ )dτ
−∞
+
(
+ +∞
(
+∞
)
& − jωt
)
&
− jωt
Y ( jω ) = ∫ ) ∫ x(τ )h(t − τ )dτ & e dt = ∫ x(τ )) ∫ h(t − τ )e dt & dτ
− ∞) − ∞
−∞
&
) −∞
&
*
'
*
'
+∞ +∞
+∞
Y ( jω ) =
Rappel:!vrai!si!SLTI!Stable!
+∞
∫ h(t ) dt < ∞
+∞
∫ x(τ )H ( jω )e
−∞
− jωτ
dτ = H ( jω ) ∫ x(τ )e − jωτ dτ
= H ( jω ) X ( j ω )
−∞
−∞
TF
y (t ) = x(t )∗ h(t ) ↔ Y ( jω ) = X ( jω ) H ( jω )
x(t)
h(t): réponse impulsionnelle du SLTI
H(jω): réponse fréquentielle du SLTI
TF
y(t) = x(t) * h(t)
h(t)
TF
TF
+∞
H ( jω ) = ∫ h(t )e − jω t dt
−∞
TC#
X(f)
H(f)
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Y(f) = X(f) . H(f)
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
5.*Propriété*de*la*mul1plica1on*
5. Propriété*de*la*mul1plica1on*
signal modulant
Modula1on*d*’amplitude!
porteuse
TF
r (t ) = s(t ) p(t ) ↔ R( f ) = S ( f )∗ P( f )
signal modulé
A
Exemple!
S(f)
f1
-f1
Porteuse:
p(t ) = cos(2πf 0t )
P( f ) =
1
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )]
2
R( f ) =
1
[S ( f − f 0 ) + S ( f + f 0 )]
2
f
P(f)
1/2
1/2
-f0
f0
R(f)
f
A/2
A/2
f0 -f1 f0 +f1
-f0-f1 -f0 +f1
-f0
f
f0
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
5.*Propriété*de*la*mul1plica1on*
*
g (t ) = r (t ) p(t )
Exemple:******Démodula1on*d*’amplitude!
R(f)
A/2
A/2
f0 -f1 f0 +f1
-f0-f1 -f0 +f1
-f0
f
f0
P(f)
1/2
P( f ) =
f0
A/2
A/4
1
[S ( f − f 0 ) + S ( f + f 0 )]
2
Porteuse:! p(t ) = cos(2πf 0t )
1/2
-f0
-2f0
R( f ) =
1
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )]
2
G(f)
A/4
-f0
f0
2f0
f
H(f)
H(f)!Filtre!PassePBas!
-fc
H(0) A/2
fc
f
Y(f) = G(f) H(f)
Y(f) = G(f) H(f)
y(t) ~ s(t)
f
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
*
Propriétés de la
Transformée de
Fourier Temps
Continu
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
6.*Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*
6. Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*
! Extension*de*la*TF*en*Temps*Con1nu*
Considérons!l!’impulsion!
X ( f ) = δ ( f − f0 )
+∞
TF
j 2π f t
df = e j 2π f t
↔ x(t ) = ∫ δ ( f − f 0 )e
0
−∞
Un!signal*périodique!se!décompose!en!Série!de!Fourier!
x p (t ) =
+∞
∑
1
= T période du signal
f0
X k e jk 2π f 0t
k = −∞
x p (t ) =
+∞
∑ δ ( f − kf
∑ X ∫ δ ( f − kf )e
k
k = −∞
0
)
k = −∞
+∞
+∞
0
jk 2π ft
df
...
...
−∞
+∞
, +∞
)
x p (t ) = **
X k δ ( f − kf 0 ) '' e jk 2π ft df
(
− ∞+ k = −∞
-2f0
0
-f0
f0
2f0
3f0
f
∫ ∑
Par!iden<fica<on!
X p(f )=
+∞
∑
k = −∞
TC#
X k δ ( f − kf 0 )
Train*d*’impulsions*de*Dirac*pondérées*
par*les*coefficients*de*Fourier*Xk*et**
situées*aux*fréquences*f*=*kf0!
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
6.*Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*
Comparaison*entre*la*décomposi1on*en*Série*de*Fourier*d*’un*
signal*périodique*et*sa*Transformée*de*Fourier*
xp(t)
-T
0
T1
T= 4 T1
T
X p ( jω )
Xk
k
TF*
SF*
TC#
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
Chap.*4*:*Transformée*de*Fourier*en*temps*con1nu*
*
6.*Signaux*Périodiques*et*Transformée*de*Fourier*
Expression*simple*de*la*TF*d*’un*signal*périodique*en*TC*
Tout!signal!périodique!xp(t)!peut!être!représenté!comme!la!somme!d!’une!suite!infinie!de!translatées!!
de!x(t)!!mo<f!élémentaire!sur![0,!T]!
xp(t)
x(t )
x(t + T )
x(t )
x(t − T ) x(t − 2T )
...
0
x p (t ) =
T
t
0
+∞
...
...
0
-T
∑δ (t − kT ) = x(t )∗ P (t )
T
Propriété&de&la&convolu/on&
f0 =
2T
1
P1 ( f )
T T
∑
1 &k# 1
X $ ! = X (k f 0 )
T %T " T
∑
La*TF*permet*d*’obtenir**
3T
X(f )
1
T
1 +∞
k # 1 +∞ & k # &
k#
&
X p(f )=
X ( f )δ $ f − ! =
X$ !δ$ f − !
T k =−∞
T
T
T
T
%
"
" %
"
k = −∞ %
TC#
T
t
&1#
X$ !
% T " X &$ 2 #!
%T "
& 1#
X $− !
% T"
k = −∞
X p ( f ) = X ( f ).
t
∑δ (t − kT )
+∞
D!’où:! x p (t ) = x(t )∗
3T
2T
+∞
k = −∞
x(t − kT ) = x(t )∗δ (t − kT )
Xk =
T
PT (t ) =
∑ x(t − kT )
k = −∞
Or:!
...
0
1/T 2/T
X p(f
3/T
f
)
1 &1#
X$ !
T %T " 1 X& 2 #
$ !
T %T "
1 & 1#
X $− !
T % T"
0
3TCPMOSTPSIS!:!Signaux!&!Systèmes!
directement*les*coefficients*de*Fourier!
*
1/T
2/T 3/T
f
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fourier
3tcpmostpsis
signaux
periodiques
con1nu
transformee
signal
proprietes
discret
periodique
reponse
temps
systemes