Rattrapage Alg1 2016 .pdf

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Université Abdel Hamid Ben Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique

Algèbre1
Rattrapage

1iere Annee Licence

Date: Jeudi 25 Février 2016

Time: 16.00-17.30
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Exercice 1 (04 points) Soient (G; ) et (H; ?) deux groupes quelconques, et soit f un
isomorphisme de G sur H:
i) Enoncer la dé…nition d’un isomorphisme.
ii) Montrer que f

1

est un isomorphisme de H sur G.

Exercice 2 (06 points) Donner la négation des propositions suivantes. Dire si elles sont
vraies ou fausses, et le justi…er.
1. (a) P : Il existe un réel x tel que; pour tout réel y, si (y < x et y 1) alors y 2 > x2 .
(b) Q : Pour tout réel > 0; pour tout réel x; pour tout réel y, il existe > 0 tel que
jx

yj <

) x2

y2 < :

(c) Dans le cas où Q est vraie, peut-on dire que la fonction x2 est continue sur R?
Exercice 3 (04 points) Soit E un ensemble non vide. Soit R une relation binaire sur E.
On suppose que R est à la fois une relation d’ordre et une relation d’équivalence.
Montrer que, pour tout x et y dans E,
xRy , x = y:
Exercice 4 (06 points) Considérer l’application
f : R !
x 7 !

R

2x
1+x2

:

1. Soit y 2 R: Déterminer, en fonction de y, les solutions de l’équation
f (x) = y:
2. f est-elle surjective?
3. f est-elle injective?



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