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Equation d'Alembert 24.02.2016 .pdf



Nom original: Equation d'Alembert 24.02.2016.pdf
Titre: Equation d'Alembert 24.02.2016
Auteur: info

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02/02/2007

L’intelligence
Je te site et je te récite
Quelques récits extraits de
Mes écrits et mes dires
Pour conquérir l'inconnu
Et communiquer avec l'infini
Pour apprécier et contempler
L'élégance et l'ordonnance de
Cet infiniment compliqué
Pour composer la symphonie
De la sagesse et du savoir
Pour écouter la musique
De la l'équation quantique
Pour brancher mon réseau neuronal
Sur la fréquence du contenu et
Du contenant de cette équation
De l'existence et de la résistance
Pour vivre l'exploit permanant
De cette énergie grise en exercice
Pour engager l'équation et l'expression

Je plonge souvent ma réflexion
Dans cet espace infini et
Totalement abstrait
Où l'intelligence est roi
Où l'intelligence est loi
Où l'intelligence est joie
Où l'intelligence est toit
Où l'intelligence est poids
Où l'intelligence est emploi

Où l'intelligence est voie
Où l'intelligence est foi
Où l'intelligence est moi
Pour protéger la liberté de choisir
Pour mettre en application le concept
Personne ne peut m'empêcher de penser
Pour mettre en mouvement les nombres
Qui gouvernent l'univers et quantifient le continu
Pour renforcer et consolider ma culture
Pour m'immuniser de l'incohérence
Et du syndrome de l'ignorance
Pour vaincre l'inobservable et l'inaccessible
Je voyage en permanence à travers
Le mouvement de ma pensée
Dans l'immensité de ce cosmos:
Où la science est conscience
Où la science est synthèse
Où la science est sagesse
Où la science est solution
Où la science est signification
Où la science est sélection
Où la science est savoir
Où la science est secours
Où la science est salut
Où la science est issue
Où la science est valeur
Où la science est validité
Où la science est volonté
Où la science est vêtement
Où la science est visibilité
Où la science est vérité
Où la science est vertu
Où la science est vitalité
Pour dessiner le portrait de la sagesse
Pour épouser la raison et l'objectivité

Pour embrasser la vertu et la morale
Pour accéder à la foi pure et dure
Je me réfère toujours à l'interrogation
Où la question est référence
Où la question est réalité
Où la question est réflexion
Où la question est résolution
Où la question est réponse
Où la question est relation
Où la question est recours
Où la question est rattrapage
Où la question est responsabilité
Où la question est résistance
Où la question est existence.

Le discours scientifique en citation

C’est par la contemplation que je pénètre à l’intérieur de ce temple de
l’équation où la réflexion habillé de l’intelligence, brille et transcende à
travers le produit.
C’est sous la lumière neuronale que se réchauffent les esprits
scientifiques pour produire davantage les outils nécessaires à la
matérialisation du mouvement de la pensée à travers la communication
entre la particule pensante et la nature.
La participation à la construction de l’édifice du savoir fait appel surtout
au sentiment de compréhension pour mettre en mouvement la réflexion
et en opération l’intelligence.
Je soulage mon stress à travers l’interaction de la plume avec la réflexion
pour exprimer mon sentiment à l’égard du savoir afin de satisfaire ma
curiosité d’apprendre et de comprendre d’où l’émergence du
mouvement du verbe « aimer ».
Je demeure obsédé et fasciné par le mot « Mathématiques » qui met en
valeur la distinction imposée par l’éminence et la sublimité de cette
fertilité cérébrale douée de ce talent productif des grandeurs abstraites
capables d’expliquer et d’exprimer le relationnisme scientifique,
expression de la communication qui compose l’ordre matériel.
Libéré de mes obligations après avoir accompli avec succès mes devoirs ,
je rejoints l’expression écrite pour mettre en observation par l’encre et
la plume la concentration, l’imagination grise, la magie, l’évocation, la
densité cérébrale, la convergence neuronale, la focalisation, la
pénétration, la finesse, la compréhension, le génie, la perspicacité, la
faculté, la capacité, l’art, la lucidité, le savoir, le rapport, l’ingéniosité,
l’abstraction, le compliqué, la virtuosité, l’habilité, la méthode, la raison,

la sagesse, et surtout la vertu scientifique, afin de célébrer l’exploit et le
triomphe du mouvement et de la liberté de la pensée.

L’équation d’Alembert ou l’équation
de la corde vibrante.
Rappelons brièvement comment a été établie mathématiquement cette
équation physique.

Soit une portion de corde de longueur l, fixée par ses deux extrémités
horizontales.

l
*si on écarte la corde de sa position initiale (au repos) puis on la lâche
exécuter librement son mouvement, ou si on anime ses points d’une
certaine vitesse à l’instant initial, la portion de la corde commence à
osciller ou vibrer.
* nous ne considérons que les petits écarts des points de la corde par
rapport à leur position initiale.
*on admet que le mouvement des points de la corde, s’effectue
perpendiculairement à l’axe ou et dans le même plan.
*Dans cette hypothèse, le mouvement vibratoire de la corde est décrit par
une seule fonction u(x , t) qui donne le déplacement d’un point de la
corde d’abscisse x à l’instant t.
A l’instant t, la corde est déformée comme le montre le graphe cidessous.

Considérons l’élément MM’ de la corde à l’instant, nous remarquons
qu’il est soumis aux deux forces T et T’ dues à la tension de la corde.
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à cet élément ∆l
(MM’) de masse m et écrivons l’équation vectorielle qui l’exprime.

2 r
r r v
∂ om ∂2x r ∂2 y r ∂2z r
ΣFext = Τ+ Τ′ = m 2 = 2 i + 2 j + 2 k
∂t
∂t
∂t
∂t

En projetons l’équation vectorielle précédente sur
l’axe ou’ , puisque le vecteur accélération est nul
sur l’axe ox, on obtient :

∂ 2u
T sin(ϕ + ∆ϕ ) − T sinϕ = m 2
∂t
or puisque ϕ et ∆ϕ sont deux entités infiniment petit, nous pourrons donc écrire :

sinϕ=sin(ϕ+∆ϕ)=tgϕ=tg(ϕ+∆ϕ)

 ∂U ( x + ∆x, t ) ∂U (x, t ) 



∂ 2U ( x, t )
 ∂U (x + ∆x, t ) ∂U ( x, t ) 
x
x
Ttg(ϕ + ∆ϕ) − Ttgϕ = T 

⇒T 
 =T

x
x

X
∂x 2







∂ U(x, t)
 ∂U(x + ∆x, t ∂U( x, t ) 

=T
T
∆x
2

x
x 
∂x

2

en projetant le deuxième membre de l’équation
vectorielle précédente on obtient :

∂ U ( x, t )
∂ x
∂ x
T
∆x = m 2 = µ∆x 2
2
∂x
∂t
∂t
2

2

2

avec m = µ.∆x ⇒ µ étant la masse linéaire

∂ 2U ( x , t )
∂2x
T
=µ 2
2
∂x
∂t
la vitesse de propagation v de l’onde à travers la
corde est donné par l’équation suivante.

v=

T

µ

⇒v =
2

T

µ

∂ U( x,t ) µ ∂ x 1 ∂ x
=
=
2
2
2
2
∂x
Τ ∂t ν ∂t
2

2

généralisation :
Le vecteur opérateur nabla ∇ est exprimé par
l’équation suivante :

r
∂ r
∂ r
∂ r
∇ =
i +
j +
k
∂x
∂y
∂z

2

l’opérateur Laplacien a pour expression l’équation
suivante :

2
2
2



∆ = ∇2 = 2 + 2 + 2
∂x ∂y ∂z

Opérateur Laplacien

D’où l’équation d’Alembert
équation générale de la corde vibrante

∂2U( x, y, z,t) ∂2U ∂2U 1 ∂2U
1 ∂2U
+ 2 + 2 = 2 2 ⇒∆U = 2 2
2
∂x
∂y ∂z v ∂t
v ∂t


1 ∂ 
∆ − v2 ∂t 2 U ( x, y, z, t ) = 0


2


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