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Nom original: relativité restreinte.pdfTitre: THEORIE DE LA RELATIVITE RESTREINTEAuteur: Mathieu Gallo

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02/2016

| Mathieu GALLO

Théorie de la relativité restreinte

SOMMAIRE
1……………………….........................……Principes fondateurs
2…………………………………………………………...Définitions
3…………….………………………...Transformation de Lorentz
4………Contraction des longueurs et dilatation des durées
5…………………..…….…Composition des vitesses relativistes
6.……..………………………………..Intervalle et temps propre
7…….…Quadrivecteurs vitesse et quantité de mouvements
8….………………………………………………...Choc relativiste
9…………...……………………………………..Energie relativiste
10………………………………………………….…Quadri-force
11.……………………….Tenseur Champs électromagnétique

02/2016

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1.Principes fondateurs
La relativité restreinte rentre dans l’histoire des sciences en 1905, après la
parution de l’article : « De l’électrodynamique des corps en
mouvements », A. Einstein.
Dans le quelle A. Einstein s’appuies sur les travaux novateur de H.A.
Lorentz, de H. Poincaré, de J.C. Maxwell et d’autre pour formuler une
nouvelle théorie de l’espace et du temps.
𝑿𝑽𝑰𝑰𝒆 𝒆𝒕 𝑿𝑽𝑰𝑰𝑰𝒆 𝒔𝒊è𝒄𝒍𝒆𝒔
La théorie de la gravitation universelle de Isaac Newton, comprenait déjà une
hypothèse sur l’espace et le temps qu’il est aisé d’admettre.
Pour Newton, le temps et l’espace sont deux entité différente et absolue, il ne
dépende que d’eux même, et sont donc équivalent dans tous les référentiels.
De plus Newton, bâtis sa théorie sur un principe introduit par G. Bruno et repris
par Galilée : le principe de relativité.
Ce principe est fondamentale car il exprime qu’il n’existe pas de référentielles
particulier qui puisse être considéré comme au repos absolue, et que les lois
de la physique sont rigoureusement identique pour tous les « référentielle
Galiléen », c’est-à-dire pour les référentielle sur lesquelles aucune force ne
s’applique, ou alors ou la somme des forces qui s’applique s’annule. Pour être
simple et précis, un référentielle Galiléen est un référentielle qui est soit « au
repos », soit en mouvement rectiligne et uniforme. Un référentiel au repos est
donc équivalent à un référentiel en mouvement rectiligne et uniforme.
Conséquence : une personne en mouvement rectiligne et uniforme ne peut
pas prouvé qu’il est plus en mouvement qu’au repos .
𝑿𝑰𝑿𝒆 𝒔𝒊è𝒄𝒍𝒆
J.C Maxwell , unifie électricité et magnétisme pour crée l’électromagnétisme,
les aboutissements de sa théorie vont l’amené à la conclusion que la vitesse
des ondes électromagnétique dans le « vide » est une constante, qui se trouve
être la vitesse de la lumière, il en déduit que la lumière est une onde
électromagnétique et que sa vitesse est constante par rapport à un
référentielle qui a première vu semble privilégié, ou absolue, de plus à cette
époque chaque phénomène ondulatoire était associé à la vibration d’un
milieu (par ex les vague , sont les vibration de l’eau). Ce qui va amener les
scientifique a créé un milieu qui servirai de support pour transporter la lumière,
il l’appellerons « l’éther luminifère ». Ce milieu semblait nécessaire au bon
fonctionnement de cette théorie. De la vient une contradiction formelle avec
le principe de relativité. Car l’Ether doit être absolument immobile.

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Des expériences seront mis en place , dans un premier temps par Michelson ,
puis 6 ans plus tard par Michelson et Morley, pour étudié le mouvement de la
terre et des grandes structure de l’univers par rapport à l’ « éther » . C’est une
expérience qui a souvent été considérer comme la plus grandes expérience
dite négative, (ou l’on trouvait un résultat totalement inattendu). Puisque leur
donné semblé indiqué que la lumière se déplaçait dans toute les direction a la
même vitesses, indépendamment du mouvement de la terre.
Le principe de relativité va être re-remise en cause après une découverte de
Heaviside au XIXe siècle, il remarque que les champs électromagnétiques,
conformément aux équations de Maxwell devraient se contracter dans le sens
du mouvement. Ce qui va à l’encontre du principe de relativité qui stipule que
tous les référentiels Galiléens sont identique. Car si un corps qui serai en
mouvement rectiligne et uniforme aurais son champs électromagnétique
contracter dans le sens de son mouvement, il pourrait connaitre sa vitesse et
sa direction par rapport à un référentiel, qui serait donc « absolue », hors
d’après le principe de relativité, il n’est pas censé savoir qu’il est en
mouvement (dès lors qu’il est en mouvement rectiligne et uniforme).
𝒇𝒊𝒏 𝑿𝑰𝑿𝒆 𝒔𝒊è𝒄𝒍𝒆, 𝒅é𝒃𝒖𝒕 𝑿𝑿𝒆 𝒔𝒊è𝒄𝒍𝒆
Des Scientifique vont comprendre et vouloir résoudre ces contradictions entre
la théorie de Newton et l’électromagnétisme de Maxwell. Notamment Fitz
Gérald va proposer une hypothèse sur la contraction des champs
électromagnétiques, il va postulé que la matière elle-même est contracté dans
le sens du mouvement du même facteur que son champs électromagnétique.
H.A. Lorentz va formalisé ce postulat sous forme de transformation qui porte
son nom. Ces transformation permettent de passer d’un référentielle Galiléen
a un autre. Lorentz va beaucoup communiquer avec Poincaré qui va affiné
les transformation de Lorentz et y rajouté une contrainte : rien ne peut aller plus
vite que les ondes électromagnétique dans l’éther. C’est transformation vont
permettre d’expliquer les résultat de Michelson et Morley, sur le mouvement de
la terre par rapport à l’éther
Tous sa est un avancement considérable dans l’histoire de la compréhension
de l’espace et du temps, mais ne résous toujours pas la contradiction entre le
principe de relativité et ce référentielle absolue, l’éther, qui nous vient de
l’électromagnétisme.
𝑿𝑿𝒆 𝒔𝒊è𝒄𝒍𝒆
Einstein en 1905 publie un papier dans le quelle il exploite les travaux laisser à
l’abandon par M. Planck en 1900 sur les échange d’énergie entre lumière et
la matière. Qu’il utilise pour résoudre « l’effet de seuil du phénomène
photoélectrique », avec une interprétation corpusculaire de la lumière. Ce qui
sera très moyennement admis par les scientifique de l’époque (Mais ce qui lui
vaudra aussi un prix Nobel de physique en 1921 ). Quelque mois plus tard A.
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Einstein publie un nouveau papier : « De l’électrodynamique des corps en
mouvements ». Dans ce document il remet en cause le temps et l’espace
absolue, il postule un espace-temps relatif, pour associé le principe de relativité
avec la constance de la vitesse de la lumière dans le vide pour n’importe
quelle observateur. Einstein bouleverse tout le monde scientifique en fessant
l’hypothèse que la lumière se déplace dans le vide et non dans « l’éther ». Et il
se permet ce postulat grâce à son première article qui décrit la lumière sous
forme de corpuscule. Il va au passage remette en cause la simultanéité
absolue, en montrant qu’il n’y as pas une simultanéité globale, mais une
simultanéité relative à l’observateur.

…le moment des citations…

« Toutes choses qui se trouvent sur la Terre se meuvent avec la Terre. La pierre jetée du haut du
mât reviendra en bas, de quelque façon que le navire se meuve. » Giordano Bruno
« La mathématique est une science dangereuse: elle dévoile les supercheries et les erreurs de
calcul. » Galileo Galilée
“Ne tenez pour certain que ce qui est démontré.” Isaac Newton
« On se sert de mouvements périodiques pour mesurer le temps mais dire d’un mouvement qu’il
est périodique, c’est supposer que l’on sait mesurer le temps. » Henri Poincaré
« Moi, on m'acclame parce que tout le monde me comprend et vous, on vous acclame parce que
personne ne vous comprend .» Charlie Chaplin à Albert Einstein
« Par exemple, si nous disons qu'un train arrive ici à 7 heures , cela signifie  que la petite
aiguille de ma montre qui pointe exactement le 7 et que l'arrivée du train sont des évènements
simultanés  » Extrait d’une traduction « De l’électrodynamique des corps en mouvement »
Albert Einstein

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2.Définition
Invariant relativiste : Un invariant relativiste est une quantité qui ne dépend
pas du référentielle. Par définition les quadrivecteurs et tenseurs de la
relativité sont des invariant relativiste (ne pas confondre avec conservation,
qui signifie une quantité conservé au cours du temps)
Quadrivecteur : Objet mathématique , semblable au vecteur mais avec une
dimension supplémentaire. On distingue 2 types de quadrivecteur :



Les quadrivecteur contra-variant : Sont des quadrivecteur qui se
transforme via la matrice de Lorentz. Il seront noté : 𝑉𝜇
Les quadrivecteur covariant : Sont des quadrivecteur qui se transforme
via la matrice de Lorentz « inverse » . il seront noté : 𝑉𝜇

Tenseur : Un tenseur est une composition de quadrivecteurs. Un tenseur de
rang 𝑛 est un tenseur composé de 𝑛 quadrivecteur.
exemple : 𝑇𝜇𝜈 = 𝑉𝜇 𝑈𝜈

;

𝑇𝜇𝜈 est un tenseur de rang 2.

Les quadrivecteurs sont des tenseur de rang 1.
Attention : les matrice sont noté de la même façons en écriture matricielle,
mais elle ne sont pas des invariants relativiste.
Scalaire : Quantité n’ayant qu’une seul composante (pas d’indice 𝜈, 𝜇…), et
qui ne dépendent pas du référentielle.(Aussi appeler tenseur de rang 0)
Produit scalaire des quadrivecteur :
𝐴𝑡
𝐵𝑡
𝐴𝑥
𝐵𝑥
Soit 2 quadrivecteurs 𝐴𝜇 = (𝐴 ) et 𝐵 𝜇 = (𝐵 )
𝑦
𝑦
𝐵𝑧
𝐴𝑧
‖𝐴 . 𝐵‖ = 𝐴𝑡 𝐵𝑡 − 𝐴𝑥 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦 𝐵𝑦 − 𝐴𝑧 𝐵𝑧
Ou en notation matricielle (plus utilisé en relativité générale) :
3

‖𝐴 . 𝐵‖ = ∑ 𝜂𝜈𝜇 𝐴𝜈 𝐵 𝜇
𝜈=𝜇=0

Avec 𝜂𝜈𝜇

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1
0
=(
0
0

0
0
0
−1 0
0
)
0 −1 0
0
0 −1

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Pendant l’étude on utilisera la convention de la sommation implicite, ou
convention d’Einstein, qui consiste à enlever le symbole de la somme, et faire
une somme sur tous les indices qui sont répéter. On obtient donc la relation :
‖𝐴 . 𝐵‖ = 𝜂𝜈𝜇 𝐴𝜈 𝐵 𝜇 = 𝐴𝑡 𝐵𝑡 − 𝐴𝑥 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦 𝐵𝑦 − 𝐴𝑧 𝐵𝑧
Contraction des indices :
𝐴𝜈 𝐵𝜈 = 𝐶
Le faite d’avoir un indice contra-variant et le même en covariant, rend la
quantité global scalaire.

3.Transformation de Lorentz
On définit les transformation de Lorentz comme les transformation de
coordonnée qui relie un référentiel Galiléen 𝑅 par son quadrivecteur position
𝑂𝑀𝜇 (𝑡 ; 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) a un autre référentiel Galiléen 𝑅 ′ par son quadrivecteur
position 𝑂𝑀′𝜇 (𝑡 ′ ; 𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ; 𝑧 ′ ). (Elle viennent remplacer les transformations de
Galilée) On se place dans un espace a 4 dimension plus précisément dans
l’espace-temps.
On utilise pour ça la matrice de Lorentz que l’on notera dans le cas d’un
mouvement rectiligne et uniforme selon l’axe croissant des 𝑥 :
𝛾
−𝛽𝛾
𝐿𝜈𝜇 = (
0
0

−𝛽𝛾
𝛾
0
0

0
0
1
0

0
0
)
0
1
-

𝛾=

1
√1−𝛽 2

(facteur de Lorentz)
-

𝛽=

𝑉
𝑐

M

-

𝑉 = la vitesse relative entre 𝑅 et 𝑅′

-

𝑐 = la vitesse de la lumière

On définit la transformation de Lorentz par :
𝑂𝑀′𝜈 = 𝐿𝜈𝜇 ∙ 𝑂𝑀𝜇
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Par praticité et par convention on multipliera la dimension temporelle par 𝑐
pour avoir des dimensions de même unité.
𝛾
𝑐𝑡′
𝑥′
−𝛽𝛾
( )=(
𝑦′
0
0
𝑧′

−𝛽𝛾
𝛾
0
0

0
0
1
0

𝑐𝑡
0
𝑥
0
).( )
𝑦
0
𝑧
1

On obtient donc 4 relations reliant les coordonnés du référentielle 𝑅 aux
coordonnées du référentielle 𝑅′.
𝒄𝒕′ = 𝜸(𝒄𝒕 − 𝜷𝒙)
𝒙′ = 𝜸(𝒙 − 𝑽𝒕)
et

𝒚′ = 𝒚

𝒛′ = 𝒛

On peut remplacer le quadrivecteur position 𝑂𝑀𝜇 par la quadrivecteur
variation de position ∆𝑂𝑀𝜇
Et l’on obtient des relation similaire :
𝒄∆𝒕′ = 𝜸(𝒄∆𝒕 − 𝜷∆𝒙)
∆𝒙′ = 𝜸(∆𝒙 − 𝑽∆𝒕)
et

∆𝒚′ = ∆𝒚

∆𝒛′ = ∆𝒛

4.Contraction des longueurs et dilatation des durées
Dilatation des durées :
On considère un référentiel R′ en mouvement rectiligne et uniforme par rapport
à un référentiel R définit comme au repos.
On place un corps qui est au repos dans R′ , Il est donc en mouvement
rectiligne et uniforme par rapport a R.
Puisque 𝐿 est symétrique, il suffit d’inverser le sens de la vitesse :
𝒄∆𝒕′ = 𝜸(𝒄∆𝒕 − 𝜷∆𝒙)



𝒄∆𝒕 = 𝜸(𝒄∆𝒕′ + 𝜷∆𝒙′ )

Si le corps considéré est immobile dans 𝑅′ alors ∆𝑥 ′ = 0
On as donc :
∆𝒕 = 𝜸∆𝒕′

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Le pas de temps utilisé dans 𝑅 pour un évènement est différent d’un facteur
gamma du même pas de temps utilisé dans 𝑅′.
Autrement dit , si l’on regarde de 𝑅 une horloge immobile dans 𝑅′, alors les
secondes de l’horloge paraitront passer moins vite que les secondes de votre
montre, telle que si vous calculer que l’horloge dans 𝑅′ met 𝛼 seconde(dans 𝑅)
pour passer une graduation d’une seconde(dans 𝑅′), Vous trouverez :
𝛼
=𝛾
1
Contraction des longueurs :
On considère un référentiel R′ en mouvement rectiligne et uniforme par rapport
à un référentiel R définit comme au repos.

De la même façon que pour ∆𝑡 :
∆𝒙′ = 𝜸(∆𝒙 − 𝑽∆𝒕)



∆𝒙 = 𝜸(∆𝒙′ + 𝑽∆𝒕′ )

Dire que l’on veut calculer la taille d’un corps revient à calculer ∆𝑥′ à un instant
précis du temps, c’est-à-dire a ∆𝑡 ′ = 0
Donc :
∆𝒙 = 𝜸∆𝒙′
On remarque donc que le corps observé sera « 𝛾 fois moins » grand dans 𝑅 que
dans 𝑅′.

5.Composition des vitesses relativistes

On considère un corps animé d’une vitesse 𝑣’(dirigés sur l’axe croissant des 𝑥)
par rapport au référentielle 𝑅′, qui lui est en mouvement rectiligne et uniforme
(dirigés sur l’axe croissant des 𝑥) par rapport à un référentielle 𝑅 à une vitesse
𝑉. La vitesse 𝑣 est la vitesse du corps par rapport a 𝑅.

Composition des vitesse de Galilée :
D’après Galilée : 𝑣 = 𝑉 + 𝑣′
Exemple : si un train va a 100 km/h , et que a l’intérieur un homme cour a 10
km/h vers l’avant du train, alors par rapport au sol l’homme va a 110 km/h.

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Composition des vitesse relativiste :
Si l’on divise ∆𝒙 par ∆𝒕, par définition on obtient : 𝑣
Et si l’on divise∆𝒙′ par ∆𝒕′, par définition on obtient : 𝑣′
Donc :
∆𝑥
𝑣
𝛾(∆𝑥 ′ + 𝑉∆𝑡 ′ )
= =
𝑐∆𝑡
𝑐 𝛾(𝑐∆𝑡 ′ + 𝛽∆𝑥 ′ )
∆𝑥 ′ + 𝑉∆𝑡 ′
𝑣=(
)𝑐
𝑐∆𝑡 ′ + 𝛽∆𝑥 ′
On divise par ∆𝑡 ′ le haut et le bas de l’expression de droite et on transforme le
𝑐 à droite par

1
1
𝑐

𝑣′ + 𝑉
𝑣=(
)
𝛽𝑣 ′
1+ 𝑐
𝑣=

𝑣′ + 𝑉
𝑉𝑣 ′
1+ 2
𝑐

On remarque que quand 𝑉𝑣′ est très petit devant 𝑐 2 alors 1 +

𝑉𝑣 ′
𝑐2

≈ 1 et donc

dans la limites des faibles vitesses devant 𝑐, la composition des vitesses de
Galilée devient équivalente à la composition des vitesses relativistes.
Exemple concret :
Limites des vitesses faibles
Un homme marche a 10km/h (vers l’avant) dans un train qui va à 100km/h,
quelle est sa vitesse par rapport au sol ?
𝑣 ′ = 10 𝑘𝑚/𝑠
𝑉 = 100 𝑘𝑚/𝑠
𝑐 = 300 000 𝑘𝑚/𝑠
𝑣=

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10 + 100
≈ 109,99 𝑘𝑚/𝑠
1000
1+
300 0002

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Grandes vitesses
Un projectile se déplace à la vitesse

2𝑐
3

(dirigés sur l’axe croissant des 𝑥), soit la

moitié de la vitesse de la lumière, par rapport au référentielle 𝑅′, qui se déplace
2𝑐
à une vitesse de 3 (dirigés sur l’axe croissant des 𝑥 ), par rapport a 𝑅.
𝑣′ =

2𝑐
3

𝑉=

2𝑐

𝑐 = 300 000

3

2𝑐 2𝑐
+ 3
𝑣= 3
≈ 276 900 𝑘𝑚/𝑠
4𝑐 2
1+ 2
9𝑐
Dans cette situation les vitesses ne sont pas négligeable devant 𝑐, le projectile
vu du référentielle 𝑅 aura une vitesse inférieur a 𝑣 ′ + 𝑉
On remarque que d’après la composition Galiléen, on aurai eu 𝑣 =

3𝑐
2

, se qui

est impossible en R.R. . La compositions des vitesses relativiste est tel, que quand
𝑣 ′ et 𝑉 sont inférieur a 𝑐, alors 𝑣 sera aussi inférieur a 𝑐.
La vitesse 𝑐
Un photon se déplace à la vitesse 𝑐 par rapport a un référentiel 𝑅 ′ en
mouvement rectiligne et uniforme par rapport à 𝑅 a une vitesse quel
qu’onques 𝑘. quelle est la vitesse du photon par rapport à 𝑅 ?
𝑣′ = 𝑐
𝑉=𝑘
𝑐 = 300 000 𝑘𝑚/𝑠
𝑣=

𝑐+𝑘
𝑘
1+𝑐

𝑣=

𝑐+𝑘
𝑐+𝑘
𝑐

𝑣 = (𝑐 + 𝑘) (

𝑐
)
𝑐+𝑘

𝑣=𝑐
On remarque que conformément au postulat de la R.R. la vitesse d’un photon
ne dépend pas de son référentielle d’étude. (𝑣 = 𝑣 ′ = 𝑐)

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Référentielle du photon
D’après la R.R. on ne peut pas se placé dans un référentiel allant à la vitesse 𝑐,
1
car sinon 𝛾 = 0. Mais par interprétation des limites, on peut en déduire que plus
un corps s’approche de la vitesse 𝑐 plus sont 𝛾 tend vers l’infinie.

Et donc quand 𝛾 tend vers l’infinie le pas de temps devient infiniment grand (Le
temps pour un observateur extérieur ne s’écoule presque plus)

6.Intervalle et temps propre
Intervalle :
On définit l’intervalle par :
𝑑𝑠 2 = 𝑐²∆𝑡 2 − ∆𝑥 2 − ∆𝑦 2 − ∆𝑧 2
On se place donc dans un espace non-euclidien, car la composante
temporelle a un signe différent des composantes spatiales.
Analyse sur l’intervalle
Attention 𝑑𝑠 2 peut être négatif par convention.
Si 𝑑𝑠 2 > 0 alors 𝑐 2 ∆𝑡 2 > ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 + ∆𝑧 2
Alors les 2 évènements considéré par l’intervalle peuvent être reliée
causalement
Si 𝑑𝑠 2 = 0 alors 𝑐 2 ∆𝑡 2 = ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 + ∆𝑧 2
Alors les 2 événement ne peuvent être reliée causalement que par une onde
électromagnétique
Si 𝑑𝑠 2 < 0 alors 𝑐 2 ∆𝑡 2 < ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 + ∆𝑧 2
Alors les 2 évènement ne peuvent pas être reliée causalement.

Invariance de l’intervalle par changements de référentiel :
Si on remplace les coordonnées dans 𝑅 par les coordonnée dans 𝑅′
On obtient : 𝑑𝑠 2 = 𝛾 2 ((𝑐∆𝑡 ′ + 𝛽∆𝑥 ′ )2 − (∆𝑥 ′ + 𝑉∆𝑡 ′ )2 ) − (∆𝑦 ′ ) − (∆𝑧 ′ )
𝑑𝑠 2 = 𝛾 2 (𝑐 2 ∆𝑡 ′2 + 2∆𝑡 ′ 𝑉∆𝑥 ′ + 𝛽²∆𝑥 ′2 − ∆𝑥 ′2 − 2∆𝑥 ′ 𝑉∆𝑡 ′ − 𝑉 2 ∆𝑡 ′2 ) − (∆𝑦 ′ )2 − (∆𝑧 ′ )2
2
𝑑𝑠 2 = 𝛾 2 𝑐 2 ∆𝑡 ′2 (1 − 𝛽 2 ) − 𝛾 2 ∆𝑥 ′ (1 − 𝛽 2 ) − (∆𝑦 ′ )² − (∆𝑧 ′ )²

Avec : (1 − 𝛽 2 )𝛾 2 = 1
𝑑𝑠 2 = 𝑐 2 ∆𝑡 ′2 − ∆𝑥 ′2 − ∆𝑦 ′2 − ∆𝑧 ′

2

Ce qui montre que le 𝑑𝑠 est un invariant relativiste.

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Temps propre :
Le temps propre est le temps attaché à un référentiel tel que son mouvement
dans ce référentiel est nul. C’est-à-dire :
∆𝑥 = ∆𝑦 = ∆𝑧 = 0
L’intervalle d’un tel corps est donc donné par :
𝑑𝑠 = 𝑐∆𝑡
Dans ce genre de cas on notera τ a la place de t, car dans ses cas on
considère le temps propre du corps, donc :∆τ =

ds
c

(avec τ le temps propre)

On en conclue que ∆τ est aussi un invariant relativiste.
Dans le cas où le corps est considéré en mouvement
𝑐 2 ∆𝜏 2 = 𝑐 2 ∆𝑡 2 − ∆𝑥 2 − ∆𝑦 2 − ∆𝑧 2
On peut aussi retombé sur l’expression obtenu plus haut dans la partie : dilation
des durées, en fessant les manipulation suivante :
∆𝜏 2 = ∆𝑡 2 (1 −

∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 + ∆𝑧 2
)
∆𝑡 2 𝑐 2

∆𝜏 2 = ∆𝑡 2 (1 −

𝑣2
)
𝑐2

∆𝑡 = 𝛾∆𝜏
Avec :

∆𝑥 2 +∆𝑦 2 +∆𝑧 2
∆𝑡 2

= 𝑣 2 (la norme au carré de la vitesse)

7.Quadrivecteurs vitesse et quantité de mouvement
Le but de cette partie va être de construire les quadrivecteurs : vitesse et
quantité de mouvement à partir du quadrivecteur position.

Quadri-vitesse :
𝑑𝑂𝑀𝜇

Il se trouve quand appliquant la formule dite classique de la vitesse (

𝑑𝑡

) nous

n’arrivons pas au quadrivecteur-vitesses, car on peut montrer que le résultat ne
sera pas un invariant relativiste, puisque la variable 𝑡 est relative par
transformation de Lorentz. Il faudra pour obtenir notre quadrivecteur vitesse
dérivé par une quantité qui ne dépend pas du référentielle. Et quelle meilleur
candidat que le temps propre !?

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| Mathieu GALLO

On notera donc le quadrivecteurs vitesse (𝑢𝜇 ) :
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝛾
𝑑𝑂𝑀𝜇
𝑑𝑂𝑀𝜇
𝑑𝑡 = ( 𝛾𝑐 )
𝑢𝜇 =
=𝛾
=
𝛾𝑣⃗
𝑑𝑦
𝑑𝜏
𝑑𝑡
𝛾
𝑑𝑡
𝑑𝑧
( 𝛾 𝑑𝑡 )
𝑣𝑥
𝑣
Avec 𝑣⃗ = ( 𝑦 )
et ∆𝑡 = 𝛾∆𝜏
𝑣𝑧
𝑐𝛾

Attention le 𝛾 ici n’est plus celui du référentielle, mais celui de la particule.

Quadri-quantité de mouvement :
La quantité de mouvement est définit par :
𝛾𝑚𝑐
𝑝𝜇 = 𝑚𝑢𝜇 = ( 𝑝⃗ )
Avec 𝑝⃗ ≡ 𝛾𝑚𝑣⃗
On définit l’énergie 𝐸 du système par la partie temporelle de sa quantité de
mouvement, on note :
𝐸
≡ 𝑝𝑡
𝑐
𝐸 = 𝛾𝑚𝑐 2
Cas particulier de masse nul :
𝑝𝑡 = 𝛾𝑚𝑐
Si 𝑚 = 0 alors on peut montrer que 𝑣 = 𝑐 et donc que 𝛾 tend vers l’infinie, on se
retrouve dans l’expression avec : ∞ × 0 .
Pour pallier ce problème , vu que l’on sait que les particules non massive
transporte de l’énergie , nous allons exprimer la quantité de mouvement avec
l’énergie.
Dans le cas de masse nul, on peut écrire l’expression de la quantité de
mouvement sous une autre forme :
Avec

𝐸
𝑐

= 𝑝𝑡 = 𝛾𝑚𝑐

𝐸
= 𝛾𝑚
𝑐2
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On pourra noté :
𝐸
𝑐

𝑝𝜇 = (
)
𝐸
𝑣⃗ × 2
𝑐
Conservation de la quadri-quantité de mouvement :
La quadri-quantité de mouvement est une quantité conservé au cours du
temps pour un système définit, tel que :
∑ 𝑝𝜇 𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡 = ∑ 𝑝𝜇 𝑎𝑝𝑟è𝑠
∑ 𝑝′𝜇 𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡 = ∑ 𝑝′𝜇 𝑎𝑝𝑟è𝑠

8.Choc relativiste

Référentiel du centre de masse(𝑅 ∗ ) :

On définit le référentiel du centre de masse comme celui dont : ∑ ⃗⃗⃗⃗
𝑝𝑖 = 0

Conservation de la masse :
Choc mou :

On considère le cas ci-dessus de deux particules de masse m , animé d’une
vitesse v constante (Donc de masse et de norme de vitesse égale). Leurs
vitesses sont dirigé sur le même axe avec un sens opposé.
On se place dans le référentiel du centre de masse. (qui dans cette situation
se trouve être le centre entre les deux particules, ou encore l’endroit du choc)

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∑ 𝑝𝜇 𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡

2𝛾𝑚𝑐
2𝛾𝑚𝑐
𝛾𝑚𝑣 − 𝛾𝑚𝑣
0
=(
)=(
)
0
0
0
0

Au moment du choc on obtient une particule de masse M :

En s’appuyant sur la conservation de la quantité de mouvement et vu
qu’il n’y as qu’une particule issue du choc et que les vitesses initiale on
les même norme mais de sens opposé, alors la vitesse de la particule
créé est nul. Donc γM = 1
Donc :
∑ 𝑝𝜇 𝑎𝑝𝑟è𝑠

𝑀𝑐
0
=( )
0
0

D’après la conservation de la quantité de mouvement :
∑ 𝑝𝜇 𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡 = ∑ 𝑝𝜇 𝑎𝑝𝑟è𝑠
2𝛾𝑚𝑐
𝑀𝑐
0
0
(
)=( )
0
0
0
0
𝑀𝑐 = 2𝛾𝑚𝑐
𝑀 = 2𝛾𝑚
Autrement dit :
𝑀 ≠ 2𝑚
La masse n’est donc pas conservé en relativité restreinte, ceci est dû au
faite que la quadri-quantité de mouvement est conservé. Lors d’un choc
entre 2 particules de masse 𝑚, la masse final 𝑀 sera forcément supérieur
a 2𝑚. On explique ce phénomène en disant que l’énergie cinétique de
la particule peut se transformé en matière.

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9.Energie relativiste
Dans la partie 7 nous avons définit l’énergie comme étant la composante
temporelle de la quadri-quantité de mouvement multipliée par 𝑐, nous avons
donc obtenue l’expression suivante :
𝐸 = 𝛾𝑚𝑐 2
Vitesse nul :
Dans le cas où la vitesse est nul : 𝛾 = 1
Donc dans cette situation on auras : 𝐸 = 𝑚𝑐 2
Si l’on se place dans le référentielle attaché à un corps son énergie dans ce
référentiel est 𝑚𝑐 2 .
Vitesse faible :
𝑣2
𝐸 = 𝛾𝑚𝑐 2 = 𝑚𝑐 2 (1 − 2 )
𝑐



1
2

Si on applique un développement limité à l’ordre le plus bas à cette équation
sur la limite des faibles vitesses devant c.
On obtient :
1 𝑣2
𝐸 = 𝑚𝑐 (1 +
) + 𝜀(𝑉) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜀(𝑉) 𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑢 𝑑é𝑣𝑒𝑙𝑙𝑜𝑝𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
2 𝑐2
2

1
𝐸 = 𝑚𝑐 2 + 𝑚𝑣 2 + 𝜀(𝑉)
2
On remarque que dans cette équation, il y a l’expression de l’énergie
1
cinétique ( mv 2 ) ajouté à un terme constant (mc 2 ).
2

On définit 𝐸0 l’énergie d’un corps au repos. 𝐸0 = 𝑚𝑐 2
L’énergie cinétique 𝐸𝑐 d’un corps est donné dans la limite des faibles vitesses
1
par : 𝐸𝑐 = 2 𝑚𝑣 2
On peut réécrire dans le cas des faible vitesse l’expression de l’énergie sous
cette forme :
𝐸 = 𝐸0 + 𝐸𝑐 (𝑣) + 𝜀(𝑣)

02/2016

| Mathieu GALLO

Grandes vitesses :
Voilà la fonction 𝐸(𝑣) = 𝛾(𝑣)𝑚𝑐²

Pour l’exemple on a pris 𝑚 = 1

𝐸 = 𝑚𝑐²

On voit que quand 𝑣 tend vers 𝑐 l’énergie 𝐸 du corps temps vers +∞.
Conservation de l’énergie :
Si l’on accepte la conservation de la quadri-quantité de mouvement alors :
𝐸 ⁄𝑐
𝜇
𝑝𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡 = ( 1
)
𝛾1 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣1

𝜇

&
𝜇

𝑝𝑎𝑝𝑟è𝑠 = (

𝐸2 ⁄𝑐
)
𝛾2 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2

𝜇

𝑝𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡 = 𝑝𝑎𝑝𝑟è𝑠
𝐸 ⁄𝑐
𝐸 ⁄𝑐
( 1
)=( 2
)
𝛾1 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣1
𝛾2 𝑚2 𝑣⃗2
𝐸1 𝐸2
=
𝑐
𝑐
𝐸1 = 𝐸2
L’énergie est donc conservé.

02/2016

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10.Quadri-force
Vu que la masse n’est pas conservé en relativité il faudra mieux retenir comme
définition de la quadri-force :
𝐸
𝑑 (𝑐 )
𝜇
𝑑𝑝
𝑓𝜇 =
= (𝛾 𝑑𝑡 )
𝑑𝜏
𝛾𝑓⃗
𝑑𝑝⃗
𝑑𝑡

≡ 𝑓⃗

(attention 𝑝⃗ = 𝛾𝑚𝑣⃗)

Théorème de l’énergie cinétique :

𝑝𝜇 . 𝑝𝜈 = 𝛾 2 𝑚2 𝑐 2 − 𝛾²𝑚²𝑣⃗²
𝑝𝜇 . 𝑝𝜈 = 𝛾 2 𝑚2 (𝑐 2 − 𝑣 2 )
𝑝𝜇 . 𝑝𝜈 = 𝛾 2 𝑚2 𝑐 2 (1 − 𝛽 2 )
𝑝𝜇 . 𝑝𝜈 = 𝛾 2 𝑚2 𝑐 2 (1 − 𝛽 2 )
𝑝𝜇 . 𝑝𝜈 = 𝑚2 𝑐 2
𝑑(𝑝𝜇 . 𝑝𝜈 )
=0
𝑑𝜏
2(𝑝𝜇 . 𝑓 𝜈 ) = 0
𝑝𝜇 . 𝑓 𝜈 = 0
𝛾𝑚𝑐
).
𝛾𝑚𝑣⃗

(

𝛾

𝐸
𝑑 (𝑐 )

𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 𝛾 2𝑚
− 𝛾 2 𝑚(𝑣⃗ ∙ 𝑓⃗) = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑝⃗
𝛾
𝑑𝑡 )
(
𝑑𝐸
= 𝑣⃗ ∙ 𝑓⃗
𝑑𝑡

On appelle cette grandeur : « la puissance exercé par la force », on la note :
℘≡

𝑑𝐸
= 𝑣⃗ ∙ 𝑓⃗
𝑑𝑡

On peut donc réécrire la quadri-force :
𝛾℘
𝑓𝜇 = ( ⃗ )
𝛾𝑓

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11.Tenseur Champs Electromagnétique
La grande force de la relativité restreinte est qu’elle est compatible avec les
équations de maxwell qui décrive l’électromagnétisme, et les lois de la
dynamique de Newton dans la limite des faibles vitesses. Dans cette partie
nous allons voir que le champ électrique 𝐸 et le champ magnétique 𝐵 , son en
relativité les composante d’un même tenseur, nommé champs
électromagnétique.
On définit le tenseur champs électromagnétique par :

𝐹𝜇𝜈 =
(

0
−𝐸𝑥
−𝐸𝑦
−𝐸𝑧

𝐸𝑥
0
−𝑐𝐵𝑧
𝑐𝐵𝑦

𝐸𝑦
𝑐𝐵𝑧
0
−𝑐𝐵𝑥

𝐸𝑧
−𝑐𝐵𝑦
𝑐𝐵𝑥
0

)

Cas statique :
On sait que le champs électrostatique est donné par :
𝑓⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗
On va chercher à reconstruire cette expression avec des quadrivecteurs.
Si on remplace bêtement le champs électrique par le tenseur champs
électromagnétique, il manque un indice, il faut donc ajouté un quadrivecteur
covariant pour que l’équation sois correct, mais lequel ?
𝛾𝑐
Il se trouve que c’est le quadrivecteur vitesse covariant : 𝑢𝜈 = (−𝛾𝑣⃗).
Dans le cadre de l’électrostatique 𝑣𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑣𝑧 = 0 et 𝛾 = 1
𝑓𝜇 =
0
𝑐
−𝐸𝑥
𝑞 0
𝑓 𝜇 = (0) ∙
−𝐸𝑦
𝑐
0
−𝐸
( 𝑧

𝑓0 =

𝑞
𝑢 𝐹 𝜈𝜇
𝑐 𝜈
𝐸𝑥
0
−𝑐𝐵𝑧
𝑐𝐵𝑦

𝐸𝑦
𝑐𝐵𝑧
0
−𝑐𝐵𝑥

𝐸𝑧
−𝑐𝐵𝑦
𝑐𝐵𝑥
0

)

𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑢0 𝐹 00 + 𝑢1 𝐹10 + 𝑢2 𝐹 20 + 𝑢3 𝐹 30
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
𝑓𝑡 = 0

𝑓1 =

02/2016

𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑢0 𝐹 01 + 𝑢1 𝐹11 + 𝑢2 𝐹 21 + 𝑢3 𝐹 31
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐

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𝑓 𝑥 = 𝑞𝐸𝑥
De la même façon :
𝑓 2 = 𝑞𝐸𝑦
𝑓 3 = 𝑞𝐸𝑧
Dans les cas statique on obtient donc une relation équivalente à
l’électrostatique, Puisqu’on peut réécrire sous une forme tensorielle :
0
𝑓𝜇 = 𝑞 ( )
𝐸⃗⃗
𝐸𝑥
Avec 𝐸⃗⃗ = (𝐸𝑦 )
𝐸𝑧
Charges en mouvements :
Si on se place maintenant dans le cadre ou les charges sont en mouvement :
0
𝐸𝑥
𝐸𝑦
𝐸𝑧
𝛾𝑐
−𝐸𝑥
0
𝑐𝐵𝑧 −𝑐𝐵𝑦
𝑞 −𝛾𝑣
𝑓 𝜇 = (−𝛾𝑣𝑥 ) ∙
𝑦
−𝐸𝑦 −𝑐𝐵𝑧
0
𝑐𝐵𝑥
𝑐
−𝛾𝑣𝑧
−𝐸
𝑐𝐵𝑦 −𝑐𝐵𝑥
0
( 𝑧
)
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑓 0 = 𝑢0 𝐹 00 + 𝑢1 𝐹10 + 𝑢2 𝐹 20 + 𝑢3 𝐹 30
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
𝑓 0 = 𝛾𝑞𝑣𝑥 𝐸𝑥 + 𝛾𝑞𝑣𝑦 𝐸𝑦 + 𝛾𝑞𝑣𝑧 𝐸𝑧 = −= 𝛾𝑞(𝑣⃗ ∙ 𝐸⃗⃗ )
𝑓1 =

𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑢0 𝐹 01 + 𝑢1 𝐹11 + 𝑢2 𝐹 21 + 𝑢3 𝐹 31
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
𝑓 1 = 𝛾𝑞𝐸𝑥 + 𝛾𝑞𝑣𝑦 𝐵𝑧 − 𝛾𝑞𝑣𝑧 𝐵𝑦
𝑓 1 = 𝛾𝑞(𝐸𝑥 + 𝑣𝑦 𝐵𝑧 − 𝑣𝑧 𝐵𝑦 )

𝑓2 =

𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑢0 𝐹 02 + 𝑢1 𝐹12 + 𝑢2 𝐹 22 + 𝑢3 𝐹 32
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
𝑓 2 = 𝛾𝑞𝐸𝑦 − 𝛾𝑞𝑣𝑥 𝐵𝑧 + 𝛾𝑞𝑣𝑧 𝐵𝑥
𝑓 2 = 𝛾𝑞(𝐸𝑦 + 𝑣𝑧 𝐵𝑥 − 𝑣𝑥 𝐵𝑧 )

𝑓3 =

𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑢0 𝐹 03 + 𝑢1 𝐹13 + 𝑢2 𝐹 23 + 𝑢3 𝐹 33
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
𝑓 3 = 𝛾𝑞(𝐸𝑧 + 𝑣𝑥 𝐵𝑦 − 𝑣𝑦 𝐵𝑥 )

02/2016

| Mathieu GALLO

En analysant les composante spatial on se rend compte qu’on peut réécrire la
force dans le cas des charges en mouvement :
−𝛾𝑞(𝑣⃗ ∙ 𝐸⃗⃗ )
𝑓𝜇 = (
)
⃗⃗ )
𝛾𝑞(𝐸⃗⃗ + (𝑣⃗ ∧ 𝐵
𝐵𝑥
⃗⃗ = (𝐵𝑦 )
Avec 𝐵
𝐵𝑧
Si on égalise avec la définition de la quadri-force :
𝐸
𝑑 (𝑐 )
⃗⃗ )
−𝛾𝑞(𝑣


𝐸
𝑓𝜇 = (
) = (𝛾 𝑑𝑡 )
⃗⃗ )
𝛾𝑞(𝐸⃗⃗ + (𝑣⃗ ∧ 𝐵
𝛾𝑓⃗
On s’intéresse a la partie spatial :
⃗⃗ )
𝛾𝑓⃗ = 𝛾𝑞(𝐸⃗⃗ + (𝑣⃗ ∧ 𝐵
On retrouve une force
électromagnétisme :

très

semblable

à

celle

de

Lorentz

en

⃗⃗ )
𝑓⃗ = 𝑞(𝐸⃗⃗ + (𝑣⃗ ∧ 𝐵
Mais attention :

02/2016

𝑑𝑝⃗
𝑓⃗ = avec 𝑝⃗ = 𝜸𝑚𝑣⃗
𝑑𝑡

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