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2.Définition
Invariant relativiste : Un invariant relativiste est une quantité qui ne dépend
pas du référentielle. Par définition les quadrivecteurs et tenseurs de la
relativité sont des invariant relativiste (ne pas confondre avec conservation,
qui signifie une quantité conservé au cours du temps)
Quadrivecteur : Objet mathématique , semblable au vecteur mais avec une
dimension supplémentaire. On distingue 2 types de quadrivecteur :



Les quadrivecteur contra-variant : Sont des quadrivecteur qui se
transforme via la matrice de Lorentz. Il seront noté : 𝑉𝜇
Les quadrivecteur covariant : Sont des quadrivecteur qui se transforme
via la matrice de Lorentz « inverse » . il seront noté : 𝑉𝜇

Tenseur : Un tenseur est une composition de quadrivecteurs. Un tenseur de
rang 𝑛 est un tenseur composé de 𝑛 quadrivecteur.
exemple : 𝑇𝜇𝜈 = 𝑉𝜇 𝑈𝜈

;

𝑇𝜇𝜈 est un tenseur de rang 2.

Les quadrivecteurs sont des tenseur de rang 1.
Attention : les matrice sont noté de la même façons en écriture matricielle,
mais elle ne sont pas des invariants relativiste.
Scalaire : Quantité n’ayant qu’une seul composante (pas d’indice 𝜈, 𝜇…), et
qui ne dépendent pas du référentielle.(Aussi appeler tenseur de rang 0)
Produit scalaire des quadrivecteur :
𝐴𝑡
𝐵𝑡
𝐴𝑥
𝐵𝑥
Soit 2 quadrivecteurs 𝐴𝜇 = (𝐴 ) et 𝐵 𝜇 = (𝐵 )
𝑦
𝑦
𝐵𝑧
𝐴𝑧
‖𝐴 . 𝐵‖ = 𝐴𝑡 𝐵𝑡 − 𝐴𝑥 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦 𝐵𝑦 − 𝐴𝑧 𝐵𝑧
Ou en notation matricielle (plus utilisé en relativité générale) :
3

‖𝐴 . 𝐵‖ = ∑ 𝜂𝜈𝜇 𝐴𝜈 𝐵 𝜇
𝜈=𝜇=0

Avec 𝜂𝜈𝜇

02/2016

1
0
=(
0
0

0
0
0
−1 0
0
)
0 −1 0
0
0 −1

| Mathieu GALLO