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Pendant l’étude on utilisera la convention de la sommation implicite, ou
convention d’Einstein, qui consiste à enlever le symbole de la somme, et faire
une somme sur tous les indices qui sont répéter. On obtient donc la relation :
‖𝐴 . 𝐵‖ = 𝜂𝜈𝜇 𝐴𝜈 𝐵 𝜇 = 𝐴𝑡 𝐵𝑡 − 𝐴𝑥 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦 𝐵𝑦 − 𝐴𝑧 𝐵𝑧
Contraction des indices :
𝐴𝜈 𝐵𝜈 = 𝐶
Le faite d’avoir un indice contra-variant et le même en covariant, rend la
quantité global scalaire.

3.Transformation de Lorentz
On définit les transformation de Lorentz comme les transformation de
coordonnée qui relie un référentiel Galiléen 𝑅 par son quadrivecteur position
𝑂𝑀𝜇 (𝑡 ; 𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) a un autre référentiel Galiléen 𝑅 ′ par son quadrivecteur
position 𝑂𝑀′𝜇 (𝑡 ′ ; 𝑥 ′ ; 𝑦 ′ ; 𝑧 ′ ). (Elle viennent remplacer les transformations de
Galilée) On se place dans un espace a 4 dimension plus précisément dans
l’espace-temps.
On utilise pour ça la matrice de Lorentz que l’on notera dans le cas d’un
mouvement rectiligne et uniforme selon l’axe croissant des 𝑥 :
𝛾
−𝛽𝛾
𝐿𝜈𝜇 = (
0
0

−𝛽𝛾
𝛾
0
0

0
0
1
0

0
0
)
0
1
-

𝛾=

1
√1−𝛽 2

(facteur de Lorentz)
-

𝛽=

𝑉
𝑐

M

-

𝑉 = la vitesse relative entre 𝑅 et 𝑅′

-

𝑐 = la vitesse de la lumière

On définit la transformation de Lorentz par :
𝑂𝑀′𝜈 = 𝐿𝜈𝜇 ∙ 𝑂𝑀𝜇
02/2016

| Mathieu GALLO