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Par praticité et par convention on multipliera la dimension temporelle par 𝑐
pour avoir des dimensions de même unité.
𝛾
𝑐𝑡′
𝑥′
−𝛽𝛾
( )=(
𝑦′
0
0
𝑧′

−𝛽𝛾
𝛾
0
0

0
0
1
0

𝑐𝑡
0
𝑥
0
).( )
𝑦
0
𝑧
1

On obtient donc 4 relations reliant les coordonnés du référentielle 𝑅 aux
coordonnées du référentielle 𝑅′.
𝒄𝒕′ = 𝜸(𝒄𝒕 − 𝜷𝒙)
𝒙′ = 𝜸(𝒙 − 𝑽𝒕)
et

𝒚′ = 𝒚

𝒛′ = 𝒛

On peut remplacer le quadrivecteur position 𝑂𝑀𝜇 par la quadrivecteur
variation de position ∆𝑂𝑀𝜇
Et l’on obtient des relation similaire :
𝒄∆𝒕′ = 𝜸(𝒄∆𝒕 − 𝜷∆𝒙)
∆𝒙′ = 𝜸(∆𝒙 − 𝑽∆𝒕)
et

∆𝒚′ = ∆𝒚

∆𝒛′ = ∆𝒛

4.Contraction des longueurs et dilatation des durées
Dilatation des durées :
On considère un référentiel R′ en mouvement rectiligne et uniforme par rapport
à un référentiel R définit comme au repos.
On place un corps qui est au repos dans R′ , Il est donc en mouvement
rectiligne et uniforme par rapport a R.
Puisque 𝐿 est symétrique, il suffit d’inverser le sens de la vitesse :
𝒄∆𝒕′ = 𝜸(𝒄∆𝒕 − 𝜷∆𝒙)



𝒄∆𝒕 = 𝜸(𝒄∆𝒕′ + 𝜷∆𝒙′ )

Si le corps considéré est immobile dans 𝑅′ alors ∆𝑥 ′ = 0
On as donc :
∆𝒕 = 𝜸∆𝒕′

02/2016

| Mathieu GALLO