Fabricius calculus 2 .pdf



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03/03/2016_(04/03/2016)

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Problème de confusion entre l'équation sur l'amplitude d'un champ vectoriel

F dans l'espace défini par sa norme

⃗ ] , et l'équation sur les
F =[ F

composantes du mème vecteur formé par 3 fonctions des 3 variables d'espace et
du temp F 1 ( x , y , z , t) , F 2 ( x , y , z ,t ) , F 3 ( x , y , z ,t ) généralement indépendante .


On a l'équation des ondes électromagnétique

⃗=
ΔE


1 ∂2 E
&
c2 ∂ t 2

Δ⃗
B=

1 ∂2 ⃗
B
2
c ∂ t2

⃗ est un vecteur a 3 dimensions formé par une somme de 3 fonctions des
E

variables d'espace et du temp E 1 ( x , y , z , t ) , E 2 ( x , y , z , t ) , E 3 ( x , y , z , t) en facteur sur
les vecteurs d'une base quelconque u⃗x , u⃗y , u⃗z c-a-d que le vecteur E s'écrit dans
cette base : E⃗ = E 1 ( x , y , z , t) u⃗x + E 2 ( x , y , z ,t ) u⃗y + E 3 ( x , y , z ,t) u⃗z
.



1 ∂2 E
on a les 3 vecteurs avec chacun
2
c ∂t2
E 1 ( x , y , z , t ), E 2 (x , y , z , t ) et E 3 ( x , y , z , t ) :

Si on développe l'équation vectoriel
une fonction scalaire inconnue

⃗=
ΔE

(j’ai mis les vecteur de base pour bien comprendre comment c’est organisé au
niveau de l’équation vectoriel mais on peut les ignorer )
2

∂ E1 ( x , y , z , t )
∂ x2
∂2 E 2 ( x , y , z , t)
∂ x2
∂2 E 3 ( x , y , z , t )
∂ x2

2

u⃗x +

u⃗y +

u⃗z +

∂ E1 ( x , y , z , t )
∂ y2
∂2 E 2 ( x , y , z , t)
∂ y2
∂ 2 E 3( x , y , z , t )
∂ y2

Une fois résolue on écrit la solution

2

u⃗x +

u⃗y +

u⃗z +

∂ E1 ( x , y , z , t )
∂ z2
∂2 E 2 ( x , y , z ,t )
∂ z2
∂2 E 3 ( x , y , z , t )
∂ z2

2

1 ∂ E 1 ( x , y , z , t)
u⃗x = 2
u⃗x
c
∂t2
u⃗y =

2
1 ∂ E 2 ( x , y , z , t)
u⃗y
c2
∂ t2

2
1 ∂ E 3( x , y , z , t )
u⃗z = 2
u⃗z
c
∂ t2

⃗ = E 1 ( x , y , z , t) u⃗x + E 2 ( x , y , z ,t ) u⃗y + E 3 ( x , y , z ,t) u⃗z
E

Se sont des équations qu’on peut confondre avec l’équation du laplacien scalaire qui
1 ∂2 [ ⃗
E]
1 ∂2 E
Δ
E=
concerne la norme du vecteur E⃗ c-a-d Δ [ ⃗E ]= 2

étant
2
2
2
c

∂t

c ∂t

donné que le développement donne une équation du même type .
2
2
2
∂2 E( x , y , z , t ) ∂ E 1 ( x , y , z , t ) ∂ E 1 ( x , y , z , t ) 1 ∂ E 1 ( x , y , z , t )
+
+
= 2
∂ x2
∂ y2
∂ z2
c
∂ t2

Cette norme E variant dans l’espace et le temp est lié a l’équation vectoriel dans la
mesure de l’amplitude du champ vectoriel ⃗E qu’on obtient en appliquant le THM
de Pythagore dans l’espace .

E=[ E]=E
(x , y , z , t)=√ [ E 1 ( x , y , z , t )2 + E 2 ( x , y , z , t )2 + E 3 ( x , y , z , t )2 ]

C’est est une fonction des variable d’espace et de temp fabriquer a partie des
fonctions qui forment les composantes du vecteur ⃗E
_______________________________

Résumé :
la norme du vecteur donne la variation de l’amplitude du champ
vectoriel en fonction des coordonnées x,y,z et du temp t et le champ vectoriel
c’est le vecteur composé par 3 fonctions du mème type que la norme mais c’est pas la
mème chose .
Compris ou non ? je m’embrouille aussi avec ses trucs donc c’est un peut pour ça que
j’ai voulue clarifié .

 La Solution général .
Quand j’écrit (2) E⃗ = f⃗E [ k E ( x + y + z−ct )]+ g⃗E [k E ( x+ y+ z +ct)]
(3)


B= f⃗B [k B ( x + y + z −ct )]+ g⃗B [ k B ( x + y + z +ct )]


E = [f xE (k ( x + y + z +ct))+g xE (k ( x+ y + z−ct ))] u⃗x

sa veut dire

+ [f Ey (k( x + y + z +ct))+g Ey (k ( x+ y+ z−ct ))] u⃗y
+ [f zE (k ( x + y + z +ct))+g zE (k ( x+ y + z−ct ))] u⃗z
et


B = [f xB (k ( x + y + z+ ct))+ g xB (k ( x+ y + z−ct))] u⃗x
+

[f By (k ( x + y + z+ ct))+ g By (k ( x + y + z−ct))] u⃗y

+

[f zB (k ( x + y + z+ ct))+ g zB (k ( x + y + z−ct))] u⃗z

ou f xE (k (x + y + z +ct )) , f Ey (k ( x+ y+ z+ct )), f zE (k ( x + y + z+ct )) sont 3 fonctions généralement
indépendante et mème chose pour

g xE (k ( x + y + z−ct)) , g Ey (k ( x + y + z−ct)) , g zE (k ( x + y + z−ct))

quand je met le facteur k c’est pour pouvoir annulé la dimenssion si le cas se présente , sinon k=1.

c’est une hypothèse , il faut vérifié en faisant le calcul .

04/03/2016
Bon ok , j’ai fait le calcul , voila la solution général ..(regardez bien parce que c’est
un peut un tour de passe passe ) .
2

⃗ 1 ∂ E
On doit trouver la solution général de l’équation Δ E=
2
2

c ∂t

On pose que F (x , y , z , t )=f ( x+ y + z−vt)+ g ( x+ y + z+ vt) est solution de l’équation
scalaire

Δ F=

1 ∂2 F
.
v2 ∂ t2

On commence par faire le calcul avec

F=f ( x+ y + z−vt) .

Sa donne :
Δ f ( x + y + z−vt)=f ' ' ( x + y + z−vt ) x ' x ' +f ' '( x + y + z−vt ) y ' y '+ f ' ' ( x+ y + z−vt) z ' z '

On va pas éliminé les facteurs x’x’ , y ‘y’ et z’z’ sous prétexte que sa fait 1,1,1 , on
va plutôt voir que sa fait le produit des composante du vecteur vitesse puisque la
dérivé de la position par rapport au temp donne le vecteur vitesse .
Soit Δ f ( x+ y + z−vt)=f ' ' ( x + y + z−vt ) x ' x ' +f ' '( x + y + z−vt ) y ' y '+ f ' ' ( x+ y + z−vt) z ' z '

=
2

2

2

2

2

2

f ' ' ( x+ y + z−vt ) v x + f ' ' ( x + y + z−vt) v y +f ' '( x + y + z−vt ) v z =( v x + v y +v z ) f ' ' ( x + y + z−vt )

On calcul le 2ieme membre :
1 ∂2 f 1
= 2 f ' '( x + y+ z−vt ) v 2
2
2
v ∂t v

On utilise le fait que la dérivation dans le premier membre ne prend pas en compte
le terme en t pour adapter la solution en élevant v au carré dans la fonction puisque
1 2 2 v4 2
(v v )= 2 =v se qui amènerait les 2 membre à égalité puisqu’on a
v2
v
(v 2x + v 2y + v 2z )=v 2 et

x ' x '=v x x '

.

La solution de départ est modifié en conséquence
F (x , y , z , t )=f (v x x +v y y +v z y−v 2 t )=f (⃗v . ⃗r −v 2 t ) ou le vecteur r est la position .

...(le prof français sympathique de la vidéo il l’a pas vue se coup la on dirait lol)...

Maintenant il suffit de comprendre que (v 2 t )' '=(−v 2 t )' '=v 4 pour comprendre que
la somme F (x , y , z ,t )=f (⃗v .⃗r −v 2 t )+ g(⃗v .⃗r + v 2 t) est aussi solution (solution la plus
général ) .
Reste a finir le travail en incorporant un facteur k pour pouvoir résoudre en parallèle
l’équation aux dimensions ...(si on a une fonction mathématique f(x)=y représentant
une équation physique il faut que la dimension physique de x et f (x) soit respecter ).
La solution s’écrit donc F (x , y , z , t )=f (k (⃗v . ⃗r −v 2 t))+ g (k (⃗v . ⃗r + v 2 t))
k= 1 si il n’y a pas de problème de dimension sinon c’est un nombre qui a
la dimension adapter et qui se calcul .
Si on considère la solution vectoriel

E = ⃗f ( x , y , z , t )+⃗
g ( x , y , z ,t ) sa donne 3 composante pour f et 3 composantes pour g

et on va rendre indépendant les 2 facteurs k pour avoir la solution la plus général
possible .
Finalement :

La solution général de l’équation
s’écrit

⃗ ( x , y , z ,t )=
ΔF

⃗ ( x , y , z ,t )
1 ∂2 F
2
v
∂ t2

2
2

F (x , y , z , t )=⃗f (k (⃗
v . ⃗r −v t ))+⃗g ( s(⃗v . ⃗r +v t ))

Avec
⃗f (k (⃗v . ⃗r −v 2 t ))=f 1 (k 1 (⃗v . ⃗r −v 2 t )) u⃗x +f 2 (k 2 (⃗v . ⃗r −v 2 t )) u⃗y +f 3 (k 3 (⃗v . ⃗r −v 2 t )) u⃗z

&
⃗g ( s(⃗v . ⃗r +v 2 t ))=g1 (s1 (⃗v . ⃗r + v 2 t)) u⃗x + g2 (s2 (⃗v .⃗r + v 2 t )) u⃗y + g 3 (s3 (⃗v .⃗r +v 2 t )) u⃗z

Le conseiller du Führer
FB



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