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1.15 6 1 .pdf



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Math´ematiques pour les Sciences de la vie

6-1**
Correction
1. f (x) = x4 − 2x2 = x2 (x2 − 2) = x2 (x −

2)(x +



2)

Domaine de d´efinition : f est un polynˆome de degr´e 4. Le domaine de d´efinition de f est Df = R.
Parit´e : ∀x ∈ Df , −x ∈ Df et f (−x) = (−x)4 − 2(−x)2 = x4 − 2x2 = f (x), donc f est paire.
D´eriv´ee : ∀x ∈ Df , f 0 (x) = 4x3 − 4x = 4x(x2 − 1) = 4x(x + 1)(x − 1)
Limites : f est un polynˆ
ome, les limites en ±∞ sont d´etermin´ees par le signe du coefficient du
terme de plus haut degr´e.
lim f (x) = lim x4 = +∞
x→+∞

x

et repr´esentation graphique sur

0

1



0

R:

+∞

+
y

2
0

f (x) = x4 − 2x2

0 8
+∞
C
88

88


88

88


88



−1

4

6

f 0 (x) = 4x3 − 4x

R

x→+∞

8

– Tableau de variation sur

+

10








−2

−1

0

1

x

2. f (x) = ln (1 − 2 cos x)
– Domaine de d´efinition : f est d´efinie si 1 − 2 cos x > 0 ⇔ cos x < 21 . Le domaine de d´efinition de
f est donc :
!
i
[h π
π
Df = R \
− + 2kπ; 2kπ
3
3
k∈Z
– Parit´e : ∀x ∈ Df , −x ∈ Df et f (−x) = ln (1 − 2 cos(−x)) = ln (1 − 2 cos x) = f (x) donc f est
paire.
– P´eriodicit´e : ∀x ∈ Df , x+2π ∈ Df et f (x+2π) = ln (1 − 2 cos(x + 2π)) = ln (1 − 2 cos x) = f (x),
donc f est p´eriodique de p´eriode 2π.


Du fait de la p´eriodicit´e et de la parit´e de f , il suffit de l’´etudier sur l’intervalle π3 , π .
– Limites :
lim
(1 − 2 cos x) = 0+ ⇒ lim
f (x) = −∞
π+
π+
x→ 3

x→ 3

– D´eriv´ee :
∀x ∈ Df , f 0 (x) =

Version: 27 janvier 2012

1

2 sin x
1 − 2 cos x

ex:etufonction-b-6-1

2

Math´ematiques pour les Sciences de la vie
– Tableau de variation sur l’intervalle

3,π



et repr´esentation graphique sur l’intervalle [−π, π] :

π
3

1

π

+

0
y

−1

2 sin x
1−2 cos x

0

x
f 0 (x) =

π

−∞

−2
−3
−4

f (x) = ln (1 − 2 cos(−x))

Cln 3








−3

−2

−1

0

1

2

3

x

3. f (x) = xe−x
– Domaine de d´efinition : Df = R.
– D´eriv´ee : ∀x ∈ Df , f 0 (x) = e−x + x(−e−x ) = e−x (1 − x).
– Limites en ±∞ :
limx→−∞ = −∞ limx→+∞ = 0
– Tableau de variation et repr´esentation graphique sur Df :
−∞

1

+∞
0.0

x

−∞

−2.0
−2.5

f (x) = xe−x

−1
77
Ce

77

77


77


77


7


−1.5

y

−0.5



0

−1.0

+

f 0 (x) = e−x (1 − x)

0

−2

−1

0

1

2

3

4

x

x3 − x2 + 4
4. f (x) =
x2
– Domaine de d´efinition : Df = R∗
– Limites : Les limites d’une fraction rationnelle d´ependent des degr´es des polynˆomes au num´erateur
et au d´enominateur. On a ici :
lim f (x) = −∞

x→−∞

3

2

lim f (x) = +∞

x→0
3

lim f (x) = +∞

x→+∞

4

+4
– D´eriv´ee : ∀x ∈ Df , f (x) = x −x
= x x+4
− 1. D’o`
u ∀x ∈ Df , f 0 (x) = x x−8x
= 1 − x83 .
2
4
x2
3
2
+4
– Asymptotes en ±∞ : f (x) = x −x
= x − 1 + x42 . On voit imm´ediatement que la droite
x2
d’´equation y = x − 1 est asymptote `a la courbe repr´esentative de f en ±∞.
– Tableau de variation et repr´esentation graphique sur Df :

Version: 27 janvier 2012

2

ex:etufonction-b-6-1

5

Math´ematiques pour les Sciences de la vie

0

10

+

5



+

8
x3

+∞

y

f 0 (x) = 1 −

2

0

x3 −x2 +4
x2

−5
−10

f (x) =

+∞
+∞ :
+∞
C
C
::


:


:


::


::




::




−∞
2

0

−∞

x

−10

−5

0

5

10

x

cos x
sin2 x
– Domaine de d´efinition : f (x) est d´efinie pour sin2 x 6= 0 ⇔ x 6= 0[π]. Le domaine de d´efinition est
donc Df = R \ {0 + kπ}, k ∈ Z.
cos(−x)
cos x
cos x
– Parit´e : ∀x ∈ Df , (−x) ∈ Df et f (−x) = sin
2 (−x) = (− sin x)2 = sin2 x = f (x). f est donc paire.

5. f (x) =

cos(x+2π)
– P´eriodicit´e : ∀x ∈ Df , f (x + 2π) = sin
eriodique de p´eriode 2π.
2 (x+2π) = f (x). f est donc p´
Comme f est paire, on peut se contenter de l’´etudier sur l’intervalle ]0, π[.
– D´eriv´ee :

− sin x(sin2 x) − cos x(2 cos x sin x)
sin4 x
3
− sin x − 2 cos2 x sin x
=
sin4 x
2 cos2 x
1

=−
sin x
sin3 x

f 0 (x) =

∀x ∈ [0; π[, sin x > 0 ⇒
– Limites en 0 et en π :

−1
sin x



2 cos2 x
sin3 x

< 0 ⇒ f est d´ecroissante sur ]0; π[.

cos x
= +∞
sin2 x
cos x
lim
= −∞
x→π sin2 x
– Tableau de variation sur ]0; π[ et repr´esentation graphique sur ] − π; π[ :
lim

x→0

y

5



f (x) =

cos x
sin2 x

+∞ 7
77
77
77
77
77

−∞

0

2 cos2 x
sin3 x

−5

f 0 (x) = − sin1 x −

π

10

0

−10

x

−3

−2

−1

0

1

2

x

Version: 27 janvier 2012

3

ex:etufonction-b-6-1

3

Math´ematiques pour les Sciences de la vie
6. f (x) = 8x3 − 12x2
– Domaine de d´efinition : f est d´efinie sur R.
– D´eriv´ee : f 0 (x) = 24x2 − 24x = 24x(x − 1)
– Limites : f est un polynˆ
ome de degr´e 3, ses limites d´ependent du coefficient de plus fort degr´e :
lim f (x) = −∞

lim f (x) = +∞

x→−∞

x→+∞

– Tableau de variation et repr´esentation graphique :
−∞

0

1

+∞
4

x

0

+
y

2



0

−2
−4

f (x) = 8x3 − 12x2

0B 8
+∞
C
88


8


8


88


88




88





−4
−∞

0

+

f 0 (x) = 24x(x − 1)

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

3x − x2 − 2
7. f (x) =
x2
– Domaine de d´efinition : f est d´efinie pour x 6= 0, le domaine de d´efinition est donc Df = R∗ .
2
−2
– Limites : f (x) = 3x−x
= 3x−2
u
x2
x2 − 1 d’o`
lim f (x) = −1−

lim f (x) = −∞

x→−∞

x→0

lim f (x) = −1+

x→+∞

– D´eriv´ee : f 0 (x) = −3x+4
x3
– Tableau de variation et repr´esentation graphique :

−3x+4
x3



+

0

1

+∞



−3

3x−x2 −2
x2

−4

f (x) =

4
−1− 7
Cf ( 3 ) 77
77

77

77
77

77

77

77

77

77

7


−1+
−∞ −∞

−2

y

−1

f 0 (x) =

4
3

0

0

−∞

x

−15

−10

−5

0

5

10

x

8. f (x) = sin2 x
– Domaine de d´efinition : f est d´efinie sur R
– Parit´e : ∀x ∈ R, f (−x) = sin2 x(−x) = (− sin x)2 = sin2 x = f (x), donc f est paire.
– P´eriodicit´e : ∀x ∈ R, f (x + π) = (sin(x + π))2 = (− sin x)2 = sin2 x = f (x). Donc f est p´eriodique
de p´eriode π. Du fait de la parit´e et de la p´eriodicit´e de f , il suffit de l’´etudier sur [0, π2 ].
– D´eriv´ee : f 0 (x) = 2 cos x sin x. Sur [0, π2 ], f 0 (x) est positive.
Version: 27 janvier 2012

4

ex:etufonction-b-6-1

15

Math´ematiques pour les Sciences de la vie
– Tableau de variation sur [0, π2 ] et repr´esentation graphique sur [− π2 , π2 ] :

f 0 (x) = 2 cos x sin x

+

f (x) = sin2 x

B1








1.0

π
2

0

0.8

x

0

0.0

0.2

0.4

y

0.6

0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

x

ex − 1
ex + 1
– Domaine de d´efinition : f est d´efinie sur R.

9. f (x) =

– Parit´e : ∀x ∈ R, f (−x) =

e−x −1
e−x +1

=

1−ex
ex
1+ex
ex

=

1−ex
1+ex

= −f (x), donc f est impaire. Il suffit donc de

l’´etudier sur R . x
e −1
2
– Limite : f (x) = x
=1− x
d’o`
u lim f (x) = 1
x→+∞
e +1
e +1
x
2e
, donc f 0 est positive sur R.
– D´eriv´ee : f 0 (x) = x
(e + 1)2
– Tableau de variation sur R+ et repr´esentation graphique :
+

0

+∞
1.0

x

0
y

0.5

+

2ex
(ex +1)2

ex −1
ex +1

0

−0.5
−1.0

f (x) =

C 1








0.0

f 0 (x) =

−5

0

5

x

Version: 27 janvier 2012

5

ex:etufonction-b-6-1

1.5


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