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RDM Torseur de cohésion .pdf



Nom original: RDM Torseur de cohésion.pdf
Titre: Torseur de cohesion_2003.doc
Auteur: mic

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PROPRIETE
GONNET_2003

C OURS DE RDM

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RESISTANCE DES MATERIAUX

RESISTANCE DES MATERIAUX
TORSEUR DE COHESION

Gravure montrant l’essai d’une poutre en flexion

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RESISTANCE DES MATERIAUX
(Extrait de « Discorsi e dimostrazioni mathematiche » de Galilée)

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RESISTANCE DES MATERIAUX

SOMMAIRE
1.

TORSEUR DE COHESION.................................................................................................................................................................4
1.1
1.2
1.3
1.4

EFFORTS INTERIEURS......................................................................................................................................................................... 4
COMPOSANTES DES EFFORTS INTERIEURS...................................................................................................................................... 5
TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS (TORSEUR DE COHESION)................................................................................................... 5
SOLLICITATIONS SIMPLES ET COMPOSEES...................................................................................................................................... 6

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RESISTANCE DES MATERIAUX
1. Torseur de cohésion
Soit une poutre en équilibre sous l’effet d’actions mécaniques extérieures (poids, actions de
contact…). En RDM, les efforts extérieurs appliqués à la poutre engendrent des efforts intérieurs à la
poutre.
En procédant à une coupure fictive de la poutre et en isolant une des deux parties (la gauche par
exemple), les actions mécaniques que la partie droite exerce sur la partie gauche sont dès lors des actions
extérieures. La partie gauche considérée étant en équilibre, l’application du Principe Fondamental de la
Statique permet de modéliser ces efforts intérieurs par un torseur, appelé ici torseur de cohésion.

1.1 Efforts intérieurs
r
F1


r
F3


G

r
F2

r
F1


G

r
F2

r
F4

S

r
R2 1

S

n r r
∑ Fi = 0
 i=1
n
r
 M Fr = 0

i
 i=1

Principe fondamental de la statique :

( )

v On isole la poutre :

La poutre est en équilibre :

r r
r
r r
 F1 + F2 + F3 + F4 = 0

r
r
r
r
r
 M G F1 + M G F2 + M G F3 + M G F4 = 0

( )

( )

( )

( )

v On isole le tronçon de gauche :

Le tronçon de gauche est en équilibre :

r r r
r
 F1 + F2 + R2 1 = 0


r
r
r
r
 M G F1 + M G F2 + M G 2 1 = 0

( )

( )

r
MG 2 1

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RESISTANCE DES MATERIAUX
Par identification :

(

) (

)

( )

( )

r
r r
r r
R2 1 = − F1 + F2 = F3 + F4

( )

( )

r
r
r
r
r
M G 2 1 = − M G F1 + M G F2  =  M G F3 + M G F4 

 


1.2 Composantes des efforts intérieurs
r
M fy

r
Tz

z

r
M fz

y

r
Ty
G

r
N

r
r
r
r
 R2 1 = N x + Ty y + Tz z
r
r
r
r
 M G 2 1 = M T x + M fy y + M fz z

r
MT
x

r
r
r
N : effort normal, porté par la ligne moyenne x ( N = RG 2 1 ⋅ x )
r r r
T = Ty + Tz : effort tranchant, perpendiculaire à la ligne moyenne
r
M T : moment de torsion, porté par la ligne moyenne x
r
r
r
M f = M fy + M fz : mo ment fléchissant, perpendiculaire à la ligne moyenne.

1.3 Torseur des efforts intérieurs (torseur de cohésion)
La liaison entre les deux tronçons est une liaison encastrement. L’action mécanique du tronçon droit sur le
tronçon gauche peut donc être modélisée par un torseur (torseur de cohésion
de moment résultant

r
M G 2 1 au point G.

Par convention, on prendra toujours pour

{ℑcoh }G

{ℑcoh }G ) de résultante

r
R2 1 et

l’action mécanique de la partie droite sur la partie gauche :

{ℑ coh }G

= {ℑ coh 2 1 }G .

(

r
r r
R2 1 = - somme des efforts à gauche de la section S = − F1 + F2

)

( )

( )

r
r
r
M G 2 1 = - moment résultant en G des efforts à gauche de S = − M G F1 + M G F2 



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RESISTANCE DES MATERIAUX
{ℑ coh }G

r
 R2 1 
= {ℑcoh 2 1}G =  r
=
M

G21

G

N

T y
T
G z

MT 

M fy 
M fz  ( x , y , z )

1.4 Sollicitations simples et composées
Si une seule composante

N,T

,

M T ou M f existe, alors que toutes les autres sont nulles, on dit

que l’on a une sollicitation simple.
Si deux composantes au moins sont non nulles, on dit que l’on a une sollicitation composée.
Le tableau page suivante résume les différents cas de sollicitations les plus courants.

Voilà, c’est tout pour aujourd’hui…

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Composantes
Cas

TRACTION

Exemple

r
−F

N T
r
F

r
−F

−M

N

0

0

0

0

T

0

0

Observations

Sollicitations
simples

M

TORSION

−M

Mf

r
F

CISAILLEMENT

FLEXION PURE

MT

y

M

x

0

0

MT

0

0

0

0

0

Ty

0

Ty

0

Ty

MT

M fz

0

0

M fz

M fz

y
x

FLEXION SIMPLE

M fz

y
x

FLEXION +TRACTION

N

M fz

y
x

FLEXION +TORSION

−M

M

r
−F
FLAMBAGE

0

r
F
N

y
x

Sollicitations
composées

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RESISTANCE DES MATERIAUX
M fz

Ty
G

FLEXION DEVIEE

0

y
x

Plan (x,y)

0

Tz

M fy


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