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lim f(x)  lim (1  ln x)2   ; car lim ln x  .

x 

x 

x 

2

f(x)
(1  ln x)2
1  2ln x  ln2 x
1
ln x  ln x 
lim
 lim
 lim
 lim  2

  0.
x  x
x 
x 
x  x
x
x
x
 x

b) lim ln x   , d’où la droite d’équation x  0 est une asymptote verticale pour la
x 0

courbe (C).
f(x)
 0 , d’où la courbe (C) de f admet une branche parabolique
x 
x  x
de direction l’axe des abscisses.
lim ln x   et lim

2)a) f(x)  (1  ln x)2 ; x  0,   .
La fonction f est dérivable sur 0,   et on a :
2
 1
f '(x)  2 (1  ln x)' (1  lnx)  2    (1  lnx)   (1  lnx).
x
 x

2
b) f '(x)  0   (1 lnx) 0
x
 1  lnx  0
 lnx  1
 x e
Le tableau de variations de f :

c) Voir figure.
3) A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites
d’équation x  1 et x  e.
a) F(x)  x (5  ln2 x  4ln x) ; x  0,   .
1
1
ln x  4 ) ; x  0,   .
x
x
2
 5  ln x  4ln x  2 ln x  4

F'(x)  5  ln2 x  4ln x  x (2

 1  2 ln x  ln2 x
 (1  ln x)2
 f(x)

D’où F est une primitive de f sur 0,   .