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Test Correction .pdf



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`
1iere
MI S2 Algèbre2

Responsable : S. M. Bahri
Test du 15 mars 2016. Durée : 1heure.

- Correction -

Dans tout le texte, E est un K-espace vectoriel et K = R, C.
Cours. (10 points)

1- Donner la définition d’un sous-espace vectoriel F de E.

Réponse F est un sev de E s’il est stable pour la loi interne et la loi externe de E,
c’est à dire stable par combinaisons linéaires de tous ses éléments : 8 x, y 2
F, 8λ, µ 2 K : λx + µy 2 F.

2- On

note

F

( x, y, z) 2 R3 = x

( x, y, z) 2 R3 = x + y + z = 0

=

et

G

=

y + z = 0 . Montrer que F \ G est une droite vectorielle

et en déterminer une partie génératrice.
Réponse
F\G =

=

(

(

3

( x, y, z) 2 R =
( x, y, z) 2 R3 =

(
(

x+y+z = 0
y+z = 0
)
x+z = 0
x

)

y=0

= f( x, 0, x) = x 2 Rg
8 0
9
1
>
>
1
>
>
< B
=
C
B
C
=
x @ 0 A =x 2 R
>
>
>
>
:
;
1
0

1

1

B
C
C
= Vect fug avec u = B
@ 0 A.
1

Donc F \ G est engendré par le vecteur u de R3 , c’est à dire une droite
linéaire de R3 .

3- Soient Fet G deux sous-espaces vectoriels de E.
i. Donner la définition et la caractérisation de F + G.
Réponse Définition : F + G = Vect( F [ G )
Caractéristique : F + G = f x + y= x 2 F, y 2 G g
ii. Donner la définition et la caractérisation de F
Réponse Définition : F

G.

G=F + G avec F \ G = ;.

Caractérisation : F + G = fu 2 E=9!x 2 F et 9!y 2 G tel que u = x + yg .
iii. Quand dit-on que F et G sont supplémentaires dans E ?
1

Réponse Si F et G sont E tels que E = F

G.

iv. À voir que F \ G est un sous-espace vectoriel de E.
Réponse F \ G 6= ; car 0 2 F et 0 2 G, donc 0 2 F \ G.
Soient x, y 2 F \ G i.e. x, y 2 F et x, y 2 G. Alors x + y 2 F et x + y 2 G

car F et G sont des sev ; d’où x + y 2 F \ G. Soit λ 2 K et x 2 F \ G.
Alors λx 2 F et λx 2 G car F et G sev de E, donc λx 2 F \ G.

v. À voir que F [ G n’est pas en général un sous-espace vectoriel de E.
Réponse Contre-exemple Dans R2 avec les lois classiques. Soit F =
!
1
et G =
f( x, 0) : x 2 Rg l’axe des abscisses engendré par e1 =
0
!
0
. Alors
f(0, y) : y 2 Rg l’axe des ordonnées engendré par e2 =
1
F [ G est représenté par les deux axes de coordonnées mais e1 + e2 2
=
F [ G car il engendre la première diagonale

= f( x, x) : x 2 Rg.

vi. À voir que F + G est un sous-espace vectoriel de E.
Réponse - 0 = 0 + 0 2 F + G
- Soient x1 , x2 2 F + G. Alors il existe y1 , y2 2 F et z1 , z2 2 G tels que
x1 = y1 + z1 et x2 = y2 + z2 . Alors x1 + x2 = ( y1 + y2 ) + ( z1 + z2 ) 2
F + G.(car F et G sont deux sev)

- Soit λ 2 K et x = y + z 2 F + G . Alors λx = λy + λz 2 F + G (car F et
G sont deux sev de E).

QCM. (10 points) Répondre par OUI ou par NON aux questions suivantes et justifier la réponse par
une démonstration ou un contre-exemple, selon le cas.
1- Soient u et v deux vecteurs de Rn . Alors Vect(u, v) = Vect(u + v, u
OUI En effet, il suffit de remarquer que : λ (u + v) + µ (u



v ).

v) = (λ + µ ) u +

µ ) v.

2- Les nombres complexes 1 + i et 1

i engendrent C comme espace vectoriel

sur R.
OUI En effet, il suffit de voir que : λ (1 + i ) + µ (1
x + iy avec λ =

x+ y
2

et µ =

i ) = (λ + µ ) + (λ

µ) i =

x y
2 .

3- Il existe un vecteur u 2 R2 tel que Vect(u) = R2 .
NON Il faut deux vecteurs pour engendrer le plan R2 .
4- Kn [ X ] est un espace vectoriel de dimension n.
NON Kn [ X ] est l’espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égale à
n donc une base de Kn [ X ] doit comporter n + 1 éléments.
5- Si F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E, alors F + ( F ) =

f0g, où

F := f x= x 2 F g.
2

OUI C’est la propriété de l’élément symétrique de la loi interne : 8 x 2 F, x +

( x) = 0, c’est à dire :F + ( F ) = f0g.

6-

= fλ ( X 2 + i), λ 2 Rg est un sous-espace vectoriel du C-espace vectoriel

C[ X ].

NON Au fait, cet ensemble n’est pas stable pour la loi externe. En effet, soit a 2

C, c0 est a` dire a = b + ic. Alors a( X 2 + i) = (b + ic) ( X 2 + i) 2
= .

7- F = (1, 0, 0) + Vectf(1, 1, 1), (1, 0, 0)g est un sous-espace vectoriel de R3 .
NON La condition nécessaire n’est pas vérifiée : 0R3 2
= R3 . Au fait F est le plan
affine translaté du plan vectoriel Vectf(1, 1, 1), (1, 0, 0)g.

8- B = X 2 , X (1

X ), (1

X )2 est une base de C2 [ X ].

OUI Au
famille
80 fait
1 0 la 1
0
>
1
1
1
>
<B C B
C B
B 0 C,B 1 C,B 2
@ A @
A @
>
>
: 0
0
1

B19 correspont à la famille
>
>
C=
C qui est une base de R3 .
A>
>
;

9- f0R3 g et ; sont des sous-espaces vectoriels de R3 .

OUI et NON f0R3 g est un sous-espace vectoriel de R3 mais ; ne l’est pas.
10- f(1, 1), (1, 0), (0, 1)g est une partie libre de R2 .
NON Au fait, il ya plus de vecteurs qu’il en faut.

3

C

=


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