Fonction carrée et fonction polynôme du second degrès .pdf



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Fonction carrée et fonction polynôme du second
degrès

1) La fonction carrée
Elle a pour écriture : f( ) : ²
La fonction carrée est décroissante sur l’intervalle ]l’intervalle [0 ; + [

;0] et est croissante sur

Le sommet de la fonction carrée a pour coordonnées (0 ; 0)
Cette fonction est définie sur R (les réels), c'est-à-dire qu’elle n’a pas de valeur
interdite, donc tous les nombres ont une image par f.

Représentation graphique de
la fonction carrée, qui est
representée par une parabole
tournée vers le haut avec
comme sommet (0 ; 0 )

Tableau de variations de f

On dit qu’une parabole contient deux branches paraboliques qui sont infinies.
A deux antécédents opposés, la fonction associe la même image
Ex : -2 et 2 associent la même et unique image : 4
La fonction carré est paire : f( ) = f( ). Graphiquement, cette fonction est
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Comparer deux nombres sans calcul :

A] Comparer (-3-

)² et (-6-

On sait que : (-6-

) (-3-

)² sans calcul
)

Ces 2 nombres étant sur l’intervalle décroissant ](-6-

)² (-3-



B] Comparer (7On sait que : 0 <(7-

)² et (10
) < (10

)² sans calcul
)

Ces 2 nombres étant sur l’intervalle croissant [0 ;+
donc : (7-

;0], l’ordre change, donc :

)² < (10

, l’ordre est conversé



Méthode :
On compare les valeurs numériques des 2 nombres sans les
élever au carré. On obtient donc y<t ou y>t
On regarde l’intervalle sur lequel se trouve ces 2 nombres, si
l’intervalle est croissant, c’est-à-dire [0 ;+ , alors l’ordre est
conservé lorsqu’on élève les nombres au carré. En revanche, si
l’intervalle sur lequel se situent ces nombres est décroissant,
c’est-à-dire ]- ;0], alors l’ordre s’inverse quand on élève au carré
les nombres
On conclut la question en ajoutant cette fois le ² sur les nombres
et en mettant le signe qui convient (> ou <)

Résoudre graphiquement des équations comme f(x) = 4 ou des inéquations
comme f(x)<4, allez voir le chapitre 5 + le DS fait dessus ( + la correction !) pour
réviser la méthodologie.

2) La fonction polynôme du second degrès
Soit une fonction f. f est une fonction polynôme du second degrès si et
seulement si il existe trois réels A, B et C avec A non nul (A 0) tel que
pour tout
R, f( ) :
²+ b + c. On dit que a, b et c sont les
coefficients du polynôme. Toutes ces fonctions sont définies sur R, il n’y
a aucune valeur interdite.
Exemples de fonctions polynômes :
/
A vaut
B vaut
C vaut

²+7
1
0
7

3 ²+2
3
2
7

4
4
1
0

Remarque : Si A est nul, alors la fonction est sous la forme b + c c’est-àdire a + b, alors la fonction est affine.

Tableau de variations des fonctions polynômes :
Soit f une fonction polynôme du second degrès
Si a > 0 : La représentation graphique de f sera une parabole tournée
vers le haut avec comme le sommet le point le plus bas de la courbe.
f est décroissante sur ]- ; abscisse du sommet] , et f est croissante sur
[abscisse du sommet ; Sur la représentation graphique ci-dessous,
l’abscisse du sommet est 1,5.

Si a < 0 : La représentation graphique de f sera une parabole tournée
vers le bas avec comme le sommet le point le plus haut de la courbe.
f est croissante sur ]- ; abscisse du sommet] , et f est décroissante sur
[abscisse du sommet ; Sur la représentation graphique ci-dessous,
l’abscisse du sommet est 0,5.

Désormais, on considère que l’abscisse du sommet de la parabole est
et que l’ordonnée du sommet de la parabole est . Les coordonnées du
sommet d’une fonction polynôme de degré 2 sont donc (
).

Traçons les tableaux de variations des fonctions polynômes en fonction
de A qui est positif ou négatif, ce qui détermine vers quel « sens » est
tournée la représentation graphique de f (vers le haut ou vers le bas).

a>0
Variations
De f

+

a<0

Variations
De f

+

+

Remarque : Préciser le signe de A (dire si a est < ou > a 0) avant de tracer
le tableau de variations d’une fonction polynôme est important car il
justifie la croissance ou la décroissance de la fonction sur tel ou tel
intervalle. Il ne faut donc pas l’oublier.

β

Les coordonnées du
sommet de cette
parabole sont (

Remarque : Un sommet peut avoir 3 appellations différentes :
Le minimum de la représentation graphique de f si celle-ci est tournée
vers le haut,
Le maximum de la représentation graphique de f si celle-ci est tournée
vers le bas,
L’extremum de la représentation graphique de f : l’extremum est soit un
minimum, soit un maximum.
La représentation graphique de toute fonction polynôme du second
degrès est une parabole ayant pour axe de symétrie la droite d’équation
a = (abscisse du sommet de la parabole).

La forme canonique :
Soit une fonction f. f est une fonction polynôme du second degrès
avec A non nul (A 0) tel que pour tout
R, f( ) : ²+ b + c. On
appelle forme canonique du polynôme l’écriture :
f( ) :

)²+ β

correspond à l’abscisse du sommet de la fonction
Β correspond à l’ordonnée du sommet de la fonction

=

β = f(

Trouver la forme canonique d’une fonction :
Méthode 1 : utiliser les formules pour trouver
Méthode 2 : factoriser l’expression et trouver
Application :

puis
et en même temps

Méthode 1 – Exemple :
Mettre sous forme canonique le polynôme 4 ²+2 -2
On sait que : a = 4 , b = 2 , c = -2

=

=

β = f(
f(

== 4

4

=-

(- )² +2
+2

f(

+ -2

f(

+ -2

f(

-2

-

-2

–2

f(
La forme canonique est : a (

)² + β, on a donc : 4(

)² -

Attention : lorsqu’on trouve
la forme canonique sera a (
)² + β
car deux signes négatifs donnent un signe positif. Pour mieux comprendre :

a(

)² + β = a [

)]² + β

Si

est positif, on aura [

)]² + β ce qui reviendra à a (

)² + β

Si

est négatif, on aura [

)]² + β ce qui reviendra à a (

)² + β

Méthode 2 – Exemple :
Mettre sous forme canonique le polynôme
f( =
f(

=(

² -6
-9+5

-6

f(
Le sommet de cette fonction est (3; 4) car

= 3 (et non -3)

Parfois la forme canonique permet de factoriser le polynôme.

____________________________________

A retenir :
La fonction carrée : f( ) : ² . C’est une parabole tournée vers le haut. Son
sommet est à l’origine. Elle est décroissante jusqu’à =0 et est croissante à
partir de =0. Elle est définie sur R (pas de valeur interdite). Elle n’a aucune
aaa
valeur négative et 2 images opposées associent le même antécédent.
Quand on compare les carrés de 2 nombres, s’ils sont sur un intervalle
croissant, on garde l’ordre établit. Si l’intervalle est décroissant, on inverse.
aaa
 f est une fonction polynôme du second degrès si et seulement s’ill
existe trois réels A, B et C avec A non nul (A 0) tel que pour tout
R, f( ) : ²+ b + c.
Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut et le sommet est (
(voir
tableau de variations plus haut). Si a < 0, la parabole est tournée vers le
haut, et le minimum est (
(voir tableau de variations plus haut).
correspond à l’abscisse du sommet, et à son ordonnée.
 On appelle forme canonique du polynôme l’écriture :

f( ) :

)²+ β

=

et avec

Pour trouver la forme canonique, soit on utilise les formules cidessus, soit on factorise le polynôme (voir pages précédentes)
 Pour démontrer une égalité, on part d’une expression pour
arriver à une autre.
 Pour simplifier une expression et réduire au même
dénominateur, on regarde si les dénominateurs sont multiples
entre eux. Si non, on les multiplie entre eux ainsi que le
numérateur On simplifie ensuite avec des parenthèses pour
Numérateur.
s’aider.Attention
Attention: :ililne
ne faut jamais développer le dénominateur.
S’aider.

____________________________________

Compétences attendues :
- Connaître la fonction carrée et ses sens de variations
- Trouver graphiquement un antécédent / une image d’une fonction
- Savoir reconnaître une fonction du second degrès
- Trouver la forme canonique d’une fonction (méthode au choix)
- Trouver un sommet graphiquement et par le calcul
- Comparer 2 nombres en utilisant leur intervalle
- Tracer une parabole
- Démontrer une égalité
- Trouver le signe de f( )
- Réduire au même dénominateur une expression




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