Entrainment Intégrales .pdf

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I

PRIMITIVES
Exercice n°8I
Dérivée et primitives
8S Calculez la dérivée de la fonction f définie par f 7 x S � 3 x 3 −9 x � 8 I

,S DéduisezTen deux primitives de la fonction g définie par g 7 xS � 9 x , −9
3S Déterminer le sens de variation de f sur
Exercice n°2 à 11 – Primitives sans fonction logarithme
Déterminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition

Exercice n°,I Usage des tableaux de primitives usuelles
8S f 7 xS � , x � 8
5S f 7 xS �

3S f 7 x S � � x −8�� x � 3�

,S f 7 xS � 8F x 4 � 6 x3 −8

−4
3x5

6S f 7 xS � x �

8
x

4S f 7 xS �

8
−x ,
,
x

7S f 7 xS � sin x −, cos x

Exercice n°3I Primitive et constante
Soit f la fonction définie sur �F; ��

�

par f 7 xS � 3 x −8 �

Déterminer la primitive F de f sur �F; ��

�

,
I
x,

qui s5annule pour x�8I

Exercice n°4I
Trouver la primitive F de f sur I vérifiant la condition donnée
8S f 7 xS � 8 −x � x , −x 3
I=
F78S=F
,S

f 7 xS � x �

8
8
−
,
x
x

I= �F; ��

�

F78S=8

Exercices n°5 à n°8 : Déterminer une primitive des fonctions données
Exercice n°5I Forme u ′u n

8S f 7 xS � 3 � 3 x � 8�

8
8
5S f 7 xS � , 8 �
x
x
Exercice n°6I Forme
8S f 7 xS �
5S f 7 xS �
9S f 7 x S �

4

�8 � 4 x �

,

,

� 4 −3x �

,

,S f 7 xS � 86 � 4 x −8�

4

4

3S f 7 xS � � , x � 7 �

3

�

6

4S f 7 x S � � 6 x −, � 3 x , −, x � 3

6S f 7 xS � sin x cos x

u′
u,
,S f 7 xS �
6S f 7 x S �

6

� , x � 8�

�x

3S f 7 xS �

,

,x �8
,

� x � 8�

,

7S f 7 x S �

8

� 4 x � 3�

�x

4 x −8F
,

−5 x � 6 �

sin x
cos , x

Exercice n°7I
Soit la fonction f définie par f7xS =

3x � 4
I
7 x � 8S3

8S Déterminer les réels a et b tels que' pour tout x � −8 ' f7xS =
,S En déduire une primitive F de f sur �−8; �� � I
Page 8=

4S f 7 xS �

,

a
b
I
�
,
7 x � 8S 7 x � 8S3

,

8S f 7 x S �

−8

� , −x �
cos x
sin , x

,

�

5

Exercice n°8h Forme
:è f m x è �
[è f m xè �

,
,x � T
Tx �:

xT � x � :

u′
u
Tè f m x è �
]è f m xè �

Exercice n°9h
Soit g la fonction définie sur �j; ��

�

:
T −] x
x

:
T x −,
cos x
Iè f m xè �
T � sin x
,è f m x è �

x T −:

par g m xè � x x h

:è Calculez la dérivée de g sur �j; ��

�
Tè soit f la fonction définie sur �j; �� � par

f m xè � x h

Déduisez de la première question une primitive de f sur �j; ��

�

Exercice n°:jh
La courbe mCè donnée ci-dessous est la représentation graphique dans un
repère orthonormal d’une fonction f définie et dérivable sur h

:è Pour chacune des affirmations ci-dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse :
ah Toute primitive de f s’annule pour jb]h
bh Toute primitive de f est décroissante sur [j ; jb]]h
Th Parmi les courbes mC:è et mCTè données ci-dessousb l’une est la représentation graphique d’une primitive de f sur
Indiquer laquelle en précisant les raisons de votre choixh
Courbe :
Courbe T

Page T’

h

Exercice n°11 à 16 – Primitives utilisant les fonctions logarithmes et exponentielles

Exercice n°bbT
Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l7intervalle I donné :
b6
V6
56
76
96

b
f 4 x6 � x −5 x � sur I= �S; ��
x
7 5
b
f 4 x6 � �
� , I= �S; �� �
x
x x
b
f 4 x6 �
sur I= �−b; �� �
x �b
,x
f 4 x6 � ,
sur �,; �� �
x −4
x �b
f 4 x6 � ,
sur
x � ,x � ,
,

x, � x � b
,6 f 4 x6 �
sur I= �S; ��
x
4
V
46 f 4 x6 �
sur I= ; ��
V
Vx −4
b
66 f 4 x 6 �
sur I= �−� ; −b�
x �b
b
86 f 4 x6 �
sur � ,; �� �
Vx −5
x
bS6 f 4 x6 � ,
sur �−b;b�
x −b

�

�

Exercice n°b,T

, x , −Vx −4
x −,
c
b6 Trouver trois réels a,b, et c tels que f 4 x 6 � ax � b �
x −,
,6 En déduire une primitive de f sur � 4; �� �

On considère la fonction définie sur I= � 4; ��

� par

f 4 x6 �

Exercice n°bVT
Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l7intervalle I donné :

�
cos x
sur I= S;
sin x
,
b
V6 f 4 x6 �
sur �b; �� �
x ln x
b6 f 4 x 6 �

,6 f 4 x 6 �

ln x
sur I= �b; ��
x

46 f 4 x6 � tan x sur

Exercice n°b4T
Déterminez une primitive sur
de la fonction f donnée :
b x
,6 f 4 x6 � e −x
V6 f 4 x6 � e , x �V
b6 f 4 x6 � e

4

Exercice n°b5T
Soit f la fonction définie sur

Exercice n°b6T

b6 Vérifiez que pour tout x de

,

;�

46 f 4 x6 � xe x

,

ex
56 f 4 x 6 � x
e �b

par f 4 x6 � � x � , � e x

Déterminez les nombres a et b tels que la fonction FO définie sur

Soit f la fonction définie sur

�

�

V
e �b
Ve x
O on a f 4 x6 � x
e �b

par f 4 x 6 �

−x

,6 Déduisez en la primitive F de f qui s7annule pour x=S

Page Vq

O par F 4 x 6 � � ax � b � e x soit une primitive de fT



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