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Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

PROBLEMES DE REVISION
PROBLEME 1 ©
Thèmes a bordées :
·

fonctions exponentielles.

·

Courbe représentative et calcul d’aire.

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

A°/ Soit φ la fonction définie sur [ 0, +¥ [ par : φ (x ) = 1- e - x .
1°­ Etudier les variations de φ et tracer sa courbe ξ dans un repère
orthonormé (O, i , j ) , unité graphique 2 cm.
2°­ Montrer que φ réalise une bijection de IR sur un intervalle E que
l’on déterminera . Tracer la courbe ξ ’ de φ ­1 dans le même repère.
3°­ Soit D la droite d’équation : y = ­ x + 2 .
a) Montrer que D coupe ξ en un seul point A d’abscisse α et que α > 1
b ) Soit D la domaine du plan limité par ξ , ξ ’et D . Calculer l’aire de D
en fonction de α et vérifier que l’aire de D est égale à : ( 2 ­ α ²) 4 cm².
B°/On considère la fonction f de IR vers IR définie par f(x) =

1
1 ­x e­ x

1

et soit I =

òf(x) dx .
0

1°/ Montrer que pour tout xÎ IR on a : x e – x £ 1 .
e
2°/ Dresser le tableau de variation de f.
3°/ Montrer que pour tout x ³ 0 on a : 1 £ f (x) £

e .
e­1

En déduire un encadrement de I.
1

C°/ soit n Î IN * et on pose Jn =

òx

n

e ­ n x dx .

0

1°/a) Calculer J1.
b) En utilisant deux intégrations par parties successives, montrer

­ 240 ­ 

Amor Etteyeb
que :

Problèmes de révision 
J2 = 1 ( 1 ­ 5 ) .
4


2°/Pour n Î IN*, on pose un = 1 + J1 + J2+ …. + Jn.
a) Montrer que pour tout x Î IR on a :
1+xe

­x

+…. + x n e

–nx

1 - ( x e - x ) n + 1

=

1- x e -x

1

b) En déduire que : I – un =

òx

n +1

e -( n +1) x f (x) dx .

0

c) Montrer que pour tout x

³ 0 on a :

.
1
en (e - 1 )

0 £ x n +1 e -(n +1) x f (x) £

d) En déduire un encadrement de (I – un ).
Etudier alors la convergence de la suite (un)
D°/ Soit g la fonction définie sur IR+ par :

g(t) = f (Log t) si t > 0.
g (0)= 0

x

et F la fonction définie par : F(x) =

ò

g (t) dt .

1

1°/ Justifier l’existence de F(x) sur [0, + ¥ [.
2°/ Montrer que F est dérivable sur IR+ et calculer F’(x) .
3°/a) Montrer que pour tout t > 0 on a : Log t – t + 1 < 0.
En déduire que

t
£t .
t - Log t

b) Montrer que pour tout x Î ]0,1[ on a :

x² - 1
£ F (x) £ 0 .
2

4°/ Montrer que pour tout tÎ [1, + ¥ [ on a :
1+

Log t
t

£

t
£ 1 + Log t
t - Log t

Encadrer alors F(x) pour x ³ 1 et calculer lim F (x) .
x ® +¥

PROBLEME 2 ©
Thèmes abordées :
·

fonctions logarithmes .

·

Courbes représentatives et calcul d’aire.

­ 241 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

Soit n Î IN* et fn la fonction définie sue IR+ par :
fn(x) = x (Log x )n

si x > 0.

fn(0) = 0.
On pose ξ n sa courbe dans un repère orthonormé ( O, i , j ) ; unité
graphique 2 cm.
A°­ 1°/a) Montrer que fn est continue à droite en 0 .
b) Etudier la dérivabilité de fn à droite en 0 .
c) Montrer que fn est dérivable sur ]0,+ ¥ [ et calculer f ’(x)
2°/a) Dresser le tableau de variation de fn suivant la parité de n.
(on distinguera les cas où n = 1 et n ³ 3)
b) Montrer que toutes les courbes ξ n passent par trois points
fixes : l’origine du repère et deux autres points A et B tels
que xA et xB vérifiant : 0 < xA < xB .
3°/a) Etudier la position relative de ξ 1 et ξ 2 puis construire ξ 1 et
ξ 2 dans le même repère.

b) Calculer, en cm², l’aire de la partie du plan limitée par ξ 1 et
ξ 2 eles droites d’équations : x = 1 et x = e .
1

B°­ On pose Fn ( α ) =

ò

fn (x) dx , avec n > 0 et α Î ]0, 1[ .

α

1°/ a) Sans calculer Fn( α ), prouver que Fn( α ) admet une limite finie
notée un lorsque α tend vers 0+ .
b) Calculer F1( α ) , en déduire que u1 = ­ 1 .
4

2°/a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout
α Î ]0, 1[ et pour tout n > 0 on a :
F n+1 ( α) = -

α²
n+1
( Log α )n + 1 ­
Fn (α ).
2
2
­ 242 ­

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

b) En déduire que pour tout n > 0 on a : u n+1 = ­

n +1
un .
2

3°/ Soit An ,l’aire en cm² , de la partie du plan limitée par ξ n , l’axe des
abscisses et les droites : x = 0 et x = 1.
a) Montrer que : An = 4 u n cm² .
b) Montrer que pour tout n > 0 on a : An =

n!
2n ­ 1

.

c) Montrer que pour n ³ 3 , on a : An+1 ³ 2 An .

lim A n .

En déduire

n ® +¥
e x

C°/ On pose G(x) =

ò

t Log t dt

pour tout x Î IR.

1

1°/ a) Sans calculer G (x) ; Montrer que G est dérivable sur IR et
calculer G’ (x) .
b) Déterminer le sens de variation de G .
2°/ a) Calculer G (x) en fonction de x.
b) Dresser le tableau de variation de G .

PROBLEME 3 ©
Thèmes abordées :
·

fonctions exponentielles.

·

Bijections

·

Solutions de g(x) = 0 et signe de g(x)

·

Nombres complexes et ensemble des points .

A°­ Soit f la fonction définie par f (x) = x .

e

2
x

-1

.

1°/ Déterminer le domaine de définition de f .
2°/ Soit g la fonction définie sur [0, + ¥ [ par : g (x) = 1 – x – e – 2 x .
a) Dresser le tableau de variation de g .

­ 243 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

b) En déduire que la courbe de g coupe l’axe des abscisses en
Log 2
<α < 1.
2

un seul point d’abscisse α tel que :
c) Etudier le signe de g (x) sur [0, + ¥ [.
3°/ Montrer que pour x > 0 on a :

2

­
Log [ f (x) ] = 1 [ 1 + x Log x ] + 1 Log ( 1 ­ e x ) .
x
2

En déduire

lim f(x).

x ® 0+

4°/ a) Montrer que f ( 1 ) =
α

1
.
α ­α²

b) Exprimer f’ (x) en fonction de g ( 1 ) .
x
c) Dresser le tableau de variation de f.
d) Etudier la position relative de
e) Tracer

ξ

f

et D : y = x .

ξ  , D et dans le même repère orthonormé (O, i ,j ) .


B°­ 1°/ Montrer que la restriction h de f à ] 1 ,+¥ [ est une bijection
α
de] 1 ,+¥ [ sur un intervalle J que l’on précisera.
α
2°/ a) Etudier la dérivabilité de h­1 sur J.
b) Tracer la courbe ξ ’ de h­1 dans le même repère .
3°/ Soit (un) la suite définie sur IN par :

u0 = 4
un+1 = f (un)

a) Montrer que pour tout n Î IN on a :

Log 2
£ un £ 4
2

.

b) Etudier la monotonie de (un) . En déduire qu’elle est
convergente et calculer sa limite.
C°/­ Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé
( O , u  , v ) .

Soit ψ l’application de P dans P qui à tout point M d’affixe tel que
z Î { z Î C / z ¹ 1 } , on associe le point M’ d’affixe z’ =

z
.
Log z

1°/Déterminer les coordonnées X et Y du point M’ en fonction des
coordonnées x et y du point M.
­ 244 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

2°/On pose E l’ensemble des points M’= ψ (M) lorsque M décrit la
droite d’équation x = 1 privée du point d’affixe 1.

ξ

Montrer que E est la réunion de la courbe
ζ obtenue à partir de

ξ

f

f

et d’une autre courbe

par une transformation simple que l’on

précisera.

PROBLEME 4 ©
Thèmes abordées :
·

fonctions exponentielles et Logarithmes.

·

Courbe représentative et calcul d’aire.

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

Soit f n la fonction définie sur [­1,+ ¥ [ par f n(x) =
On note

ξ

n

ex
;n³0.
(1 + x)n

sa courbe dans un repère orthonormé (O,i , j ) ; unité

graphique 2cm.
A°­1°/a) Etudier les variations de f 1 et f2 .
b) Etudier la position relative de
Construire

ξ

1

et

ξ

2

ξ

1

et

ξ

2

.

dans le même repère.

c) Calculer , en cm², l’aire de la partie du plan limitée par

ξ,ξ
1

2

et les droites d’équations : x = 0 et x = 1.

2°/ Soit u n la valeur minimale de f n sur [­1,+ ¥ [.
a) Montrer que : u n = f n(n­1) .
b) Pour x ³ 0 , comparer fn+1 (x) et fn (x).En déduire que la
suite (u n) est décroissante et qu’elle est convergente.
c) Calculer lim Log(un ). En déduire lim un . .
n ® + ¥

n ® +¥

1
B°/ Pour x Î] , + ¥ [ , on pose F (x) =
e

­ 245 ­ 

Log x

ò

0

f2 (t ) dt .

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

1°/ Justifier l’existence de F(x) pour x Î]
2°/ Montrer que pour tout x Î]
En déduire

1
, +¥[ .
e

1
1
, +¥[ on a : F(x) £  x (1 ).
e
Log x + 1

lim F (x) .

x ® ( 1 )+
e

3°/ a) Montrer que pour tout x >


on a :
e
Log x

x
F(x) =
- 1 +2
(Log x + 1)²

ò f (t ) dt
3

0

b) En déduire que pour tout x ³ 1 on a : F(x) ³

x
-1 .
( Log x + 1 )²

En déduire lim F (x)
x ® +¥

4°/ Montrer que la fonction F est une bijection de ]

1
, +¥[ sur IR.
e

1

C°/Pour n ³ 1  on pose In =

ò f ( x ) dx .
n

0

1°/ Montrer que la suite (I n) est décroissante et qu’elle est
convergente.
2°/ a) Montrer que pour tout n > 2 on a :
1
1
e
1
( 1 - n - 1 ) £ In £
( 1 - n -1 ) .
n -1
n -1
2
2

b) Déterminer lim In .
n ® +¥

3°/ a) Exprimer f‘n(x) à l’aide de f n(x) et f n+1(x).
b) En déduire une relation entre In et I n+1 et montrer
que : lim n I n+1 = 1
n ® +¥

PROBLEME 5 :
Thèmes abordées :

­ 246 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

·

Etude de fonctions.

·

Courbe représentative et calcul d’aire.

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

A°­ Soit f une fonction continue sur IR. On considère la fonction F
x

définie sur IR par : F(x) =

ò

-x

f (t)
dt
1 + t²

1°/ a) Montrer que F est dérivable sur IR et que :
F’ (x) =

f (x) + f ( - x)
.
1 + x²

b) Calculer F(0). En déduire que si f est impaire alors F est
nulle.
c) Montrer que si f est paire alors pour tout réel x on a :
x

F(x) = 2

ò

0

f (t)
dt
1+t²

2°/ Soit g la fonction définie par g (x) = 3 x² + 2 x + 3 .
1 + x²
a) Etudier g et tracer sa courbe ξ dans un repère orthonormé
( O , i  , j ) .
x

b) En utilisant 1°/ montrer que :

ò g (t) dt

= 6 x.

­x

c) Calculer , en cm², l’aire de la partie du plan limitée par ξ ,
l’axe des abscisses et Les droites d’équations : x = ­1 et x = 1.
B°­ Soit G la fonction définie sur ]­

π π
, [ par : G (x) =
4 4

tg x

ò

0

dt
.
1 + t²

1°/ a) Montrer que G est dérivable sur ] ­ π , π [ et calculer G’ (x).
4 4
b) Calculer G (0) et déduire G(

π
).
8
1

2°/ On définie la suite ( un) par : u0 =

ò
0

­ 247 ­

dx et pour tout n ³ 1 :
1 + x²

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 
1

un =

ò

0

x2 n
1 + x²

dx

a) Montrer que pour tout n Î IN* on a :
0 £ un £

1
. En déduire lim un .
n ® +¥
2n +1

b) Montrer que : un +1 - un =

1
pour tout n ³ 1 .
2n + 1

c) Calculer alors : u 1, u 2 et u 3.


3°/ Soit ( v

n

) la suite définie sur IN par : vn =

å

k = 0

( - 1 )k
2 k + 1

.

a) Montrer que pour tout n Î IN on a :
n

å

( - 1 )2 k x

2k

=

1 + ( - 1 )n +1 x2n
1 + x²

k=0
1

b) En déduire que : vn =

ò

1 + ( - 1 )n x2n + 2
1 + x²

0

dx .

c) Exprimer alors vn en fonction de un+1 et u0 et en déduire que
(v n) est convergente et calculer sa limite.

PROBLEME 6 :
Thèmes abordées :
·

fonctions Logarithmes.

·

Courbe représentative et calcul d’aire.

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

A°­ soit f la fonction définie sur IR par :

f (x) = ­ x Log x si x ¹ 0
f (0) = 0

1°/Etudier les variations de f et tracer sa courbe ξ dans un repère
orthonormé (O, i , j ) . Etudier la position relative de ξ et D : y = x.

­ 248 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 
1

2°/Calculer

ò f (x) dx .Déduire l’aire du domaine du plan limité par
1
e

la courbe ξ , la droite D et l’axe des abscisses .
cos x

ò f (t) dt .

3°/ Pour tout réel x on pose : G(x) =

1

a) Montrer que G est dérivable sur IR et calculer G’(x) .
b) Déterminer l’expression de G (x) pour x ¹ 

ò

c) Déduire la valeur de I =

1
2

3
2

f (t) dt .

B°­Pour n Î IN , on considère la fonction h
x2 n + 1 Log x

h n (x) =
h

n

x² - 1

(0) = 0 et h

1°/ a) Montrer que h

n

n

π
+ k π où k Î Z .
2

n

définie sur [0,1] par :

si x Î ]0,1[

(1 ) = 1 .
2

est continue sur [0,1] .

b) Soit g n la fonction définie sur [0,1] par :
g n(x) = x2 n+1 Log x

si x Î ] 0,1[

g n(0) = 0.
Montrer que : h n+1(x) – h n (x) = g

n

(x) pour tout x Î[0,1]
1

2°/ Soit ( u n(x) ) la fonction définie sur [0,1] par u n(x) =

òg
x

1

On note u n(0) =

òg

n  (t) dt

0

= lim un ( x ) .
n ®0 +

a) Calculer u n(x) pour x Î ]0,1[ .
b) Montrer que u n(0) =
c) Calculer G (

­1 .
4 ( n+ 1)²

π
+ k π ) ; pour k Î Z.
2

­ 249 ­ 

n

(t) dt

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

1

3°/ Soit I n =

ò h  ( x ) dx .
n

0

a) Démontrer que pour tout n Î IN on a : I

–I

n+1

n

= u n(0) .

b) Etudier les variations de la fonction φ définie sur ] 0,1[ par :
1
-x.
x

φ(x) = 2 Log x +

c) En déduire que si 0 < x < 1 alors : 0 <

x Log x 1
< .
x² - 1
2

d) Montrer alors que pour tout x Π[0,1] on a : 0 £ hn ( x ) £
e) Montrer que pour tout n > 0 on a : I 0 =
n

En déduire : lim 

n ® +¥

å
k =1

1
(
4

1
en fonction de I


n

å

k =1

0

1 2n
x .
2

1
) + In .


.

PROBLEME 7
Thèmes abordées :
·

Fonctions Logarithmes.

·

Courbe représentative et calcul d’aire.

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

Soit n un entier naturel tel que n ³ 1.On considère la fonction f n
définie sur [ 1, + ¥ [ par : f

ξ

n

n

(x) =

n
1 ( Log x )
.
n!


sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i  , j ) .

A°­1°/ Etudier les variations de f 1 et déterminer lim f1 (x)
x® +¥

2°/Tracer la courbe

ξ

1

ainsi que la tangente à

d’abscisse 1.
B°­1°/ Calculer lim fn(x) .
x ® +¥

n

2°/a) Calculer f n’(x) et vérifier que f n’( e 2 ) = 0.
b) Dresser le tableau de variation de f n.
­ 250 ­ 

ξ

1

au point

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

c) Vérifier que la valeur maximale de f n sur [1,+ ¥ [ est :
y

n

1 n n
(
) .
n! 2e

=

3°/a) Soit x Î [1,+¥[ . Etudier le signe de f2(x) – f1(x).
b) Préciser la position de

ξ

4°/ a) Soit n ³ 1 . Calculer

b) Montrer que : yn+1 =

1

et

ξ

2

.

fn+ 1(x)
pour x > 1.
fn(x)
1
fn ( e
2

c ) En déduire que : yn+1 £

n +1
2 )

1
e . 2n

et que yn +1 £

1
yn .
2

et déterminer

lim yn .

n ® +¥
x

C°­Pour tout n ³ 1 et " x Î [1,+¥[ , on pose : Fn (x ) =

òf

n ( x ) dx

.

1

1°/ a) Soit k ³ 1 un entier . En utilisant une intégration par parties,
montrer que : F

k+1(x)

= F k(x) ­

( Log x )k +1
x (k + 1)!

.
( Log x)k
x k!
k =1
n

b) En déduire que pour " n ³ 2 on a : Fn(x) = 1 ­

å

2°/ Soit α ³ 1 un nombre réel fixé .
a) Montrer que : 0 £ F n(α) £ ( α ­ 1 ) yn .
b) En déduire : lim F n(α) .
n ® +¥

n

3°/ Pour n ³ 1 et x ³ 1 on pose : Vn(x) = 1 +

å

k=1

( Log x )k
.
k!

a) Exprimer Vn(x) en fonction de Fn(x) .
b) Déterminer : lim Vn( α ) ;
n ® +¥

α ³ 1 fixé .

c) En déduire la limite , lorsque n tend vers + ¥ , de la suite
n

(Un) définie par : U n = 1 +

å

k =1

­ 251 ­ 

1 .
k!

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

PROBLEME 8
Thèmes abordées :
·

fonctions exponentielles et Logarithmes.

·

Courbe représentative et calcul d’aire.

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

Soit n Î IN* et fn la fonction définie sur [0, + ¥ [ par :
fn(x) = x e

­ 1
nx

si x > 0.

f n(0) = 0
On note

ξ

n

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O, i , j ) ; unité graphique 4 cm.

A°­1°/ a) Montrer que f n est continue sur [0,+ ¥[ .
b) Etudier la dérivabilité de f n en 0 .
c) Calculer fn’(x) pour x > 0 et justifier que f n est strictement
croissante sur ]0,+ ¥ [ .
2°/a) Déterminer lim fn(x) .
x ®+¥

b) Soit g la fonction définie sur [0,+ ¥ [ par : g(t) = e – t – ( 1 – t) .
Dresser le tableau de variation de g .
En déduire que pour tout t ³ 0 on a : 0 £ 1 - e - t £ t .
c) Soit t ³ 0 ; En intégrant par parties sur [o,x], deduire que pour
tout x positif on a :

0 £ e- x - ( 1 - x ) £


.
2

3°/a) Démontrer que pour tout x > 0, on a :
1
1
0 £ fn ( x ) - ( x - ) £
.
n
2 n² x

En déduire que la droite Dn : y = x­ 1 est une asymptote à
n
b) Préciser la position relative de
Tracer

ξ

n

ξ

n

et Dn .

et Dn pour n = 3.

4°/Dresser le tableau de variation de f n .
­ 252 ­ 

ξ

n

.

Amor Etteyeb
5°/a) Tracer

Problèmes de révision 

ξ

1

et son asymptote D1, préciser la tangente en O

b) Montrer que pour n > 0 on a

ξ

n

est l’image de

ξ

1

par une

homothétie de centre O et de rapport 1 .
n
c) Construire

ξ

2

sur le même graphique que

ξ

1

.
1

6°/Pour tout n > 0 et pour tout x Î [0,1] on pose : In =

ò f (x) dx .
n

0

a) Montrer que pour tout x Π [0,1] on a : fn(x ) £ x .
b) En déduire que pour tout n > 0 on a : In £

1
2

1 1
1
c) Etablir que pour tout n > 0 on a : - £ e
2 n
2

-

2
n

d) Déterminer la limite de In quand n tend vers + ¥
B°­1°/ Démontrer que pour tout n > 0 l’équation : x e

­ 1
nx

= 1 admet

une seule solution notée : α n telle que α n > 0.
2°/ Démontrer que α n est une solution de l’équation : x Log x = 1 .
n
3°/ Soit h la fonction définie sur [0,+ ¥ [ par : h (x) = x Log x.
a) Etudier les variations de h .
b) Prouver que : 1,76 < α n < 1 ,77 pour n ³ 1 .
c) Montrer que la suite ( α n ) est décroissante.
d) En déduire qu’elle est convergente et vérifier que sa limite
α est telle que α ³ 1
e) Montrer que h ( α ) = 0 et en déduire la valeur de α .

­ 253 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

PROBLEME 9 :
Thèmes abordées :
·

fonctions exponentielles.

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

On considère la fonction F définie sur IR par : F(x) =

ò


0

e - t ² dt .

A°/1°/ Justifier l’existence de F(x) sur IR .
2°/ Etudier le sens de variation de F et montrer que F est impaire.
3°/ a) Vérifier que pour tout t Î [2,+¥[ on a : e –t² £ e - 2 t .
En déduire que pour tout x ³ 2 on a :
F(x) £

1 - e 4 - 2 x
4

2e 

+

ò

2
0

e - t²dt .

b) Prouver que pour tout x ³ 2 on a : F(x) £ 1 4 +
2e

ò

2
0

e ­ t² dt .

4°/ Montrer que F est majorée sur IR et que F possède une limite
finie L en + ¥ . (On ne demande pas de calculer cette limite )
B°/ Soit f la fonction définie sur IR par f(x) =

ò

π
4
0

e

­

x
cos² t

dt.

1°/ Montrer que pour tout x ³  0 on  a : 0 £ f(x) £ e - x
et calculer lim f(x) .
x ® +¥

2°/ On pose, pour tout x
Î IR et pour tout t Î ] -

π π
, [ : g(t) = F (x tg t) .
2 2

a) Montrer que g est dérivable sur ] g’(x) =

π π
, [ et que :
2 2

x
e - x ² tg ²t .
cos ²t

b) En déduire que pour tout x  Î IR on a : F (x) = x .

­ 254 ­ 

ò

π
4
0

e

- x² tg² t

cos²t

dt .

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

3°/En admettant que f est dérivable sur ] π

f’(x)  = -

ò

4
0

e

-

π π
, [ et que :
2 2

x
cos² t

cos²t

dt  ;

Prouver que pour tout x Î IR on a : [ f(x²) ]’ = ­ 2 e­ x² F(x).
4°/ soit h(x) = f(x²) + [F(x)]²; pour tout x Î IR.
a) Montrer que h est une constante et calculer cette constante.
b) En déduire que lim F ( x ) =
x ® +¥

π
.
2

c) Dresser le tableau de variation de F et donner l’allure de la
courbe de F .
C°/ On pose pour tout n Î IN et x ³ 0 : Un(x) =



ò 

0

tn e - t² dt

Vn = lim Un ( x ) .

et

x ® +¥

1°/ Vérifier que V0 =

π
.
2

2°/ a) Montrer que pour tout n ³ 2 on a : Vn =
b) En déduire que : Vn.Vn+1 =

n ! π
2n + 1

n -1
V .
2 n -2

.

c) Déterminer alors les termes V3 et V4 de la suite (Vn).

PROBLEME 10
Thèmes abordées :
·

fonctions exponentielles . Famille des fonctions.

·

Fonctions définie par intégrales.

·

Suites intégrales.

A°/ Soit f la fonction définie sur IR+ par :
f(x) = x (1­Log x )

si x > 0

f(0) = 0.
On désigne par ξ sa courbe représentative dans un repère
orthonormé (O, i, j ) .

­ 255 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

1°/ a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 0.
b) Dresser le tableau de variation de f .
c) Préciser la tangente T à ξ au point d’abscisse e , et construire
ξ et T .
2°/ Soit (un) la suite définie sur IN par :

u0 = e ,
un . f’(un+1) = f(un) .

a) Montrer que la suite u est géométrique et calculer un en
fonction de n.
n

å u

b) Calculer Sn =

k

k =1

, puis  lim Sn .
n ® +¥

3°/ Pour tout entier naturel k , on pose Mk et MK+1 les points de ξ
d’abscisses uk et uk+1.
On note A k l’aire du triangle OMkMk+1.
a) Montrer que Ak = 2 [uk f(uk+1) – uk+1 f(uk) ] cm². Puis calculer

A k en fonction de k
n

b) Calculer Bn = 

åA

k

k =0

, puis lim Bn  .
n ® +¥

B°/ Soit p un entier naturel non nul et gp la fonction définie sur IR
par :
gp(x) = xp (1 ­ Log x ) si x ¹ 0
gp(0) = 0.
On désigne par ξ p sa courbe représentative dans un repère
orthonormé (O, i, j ) .
1°/a) Etudier la parité de gp.
b) dresser, suivant la parité de p , le tableau de variation de gp.
2°/a) Montrer que toutes les courbes ξ p passent par quatre points
fixes.
b) Construire dans le même repère les courbes ξ 1 et ξ 2 .
3°/ On note Ip(x) =



ò  g  ( t ) dt
1



; pour tout x Î ]0,1] et p Î IN* .

a) Calculer Ip(x).
­ 256 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

b) Calculer lim Ip ( x ) , et interpréter graphiquement cette limite
x ® 0 +

notée Ip.
c) Calculer, en cm² , l’aire de la partie du plan limitée par ξ 1 et ξ 2
et les droites d’équation : x = 0 et x = 1.
C°/ Soit G la fonction définie sur ]­ ¥, 0] par G(x) =

ò

1

g1 ( t )

e x

1 + t ²

dt .

1°/ a) Montrer que G est dérivable sur ]­ ¥, 0 ] et que :
G’(x) =

e 2 x (x - 1 )
1 + e2 x

.

b) En déduire le sens de variation de G sur ]­ ¥, 0 ]
2°/ a) Montrer que pour tout x Î ]­ ¥, 0 ] on a :
1
2

I1 ( x ) £ G(x) £

1
1 + e2 x

I1 (e x ).

c) On admet que la limite de G(x) en ­ ¥ existe et finie et est
notée l .
d) Montrer qu’on a alors 3 £ l £ 3 .
8
4

PROBLEME 11
Le but de ce problème d’étudier la convergence de la suite
n

Un (a,q) =

å
k = 1

cosk  θ
α



; Pour 0 £ a et q Î [0,

Partie I :
Soit f

α (x)

= 1 α pour a > 0 et x Î IR*+


1) étudier fa
2) tracer la courbe représentative Ca de fa

Partie II
Dans cette partie on suppose que q = 0
A°/ Montrer que Un (0,0) est divergente

­ 257 ­ 

π
]
2

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

B°/ On suppose que a = 1 .
1) Montrer que

1
£
k + 1

ò

k + 1

x

dx  1
£
x  k

2) En déduire que Un (1, 0) divergente
C°/ Supposons que 0 < a < 1
1) Montrer que Un(1,0) £ Un (a, 0)
2) Montrer que Un(a,0) est divergente
D°/ Supposons que a > 1
1) Montrer que Un(a,0) – 1 £

1 [ 1 -1]
1 - α n α - 1

2) Montrer que Un(a,0) convergente et que sa limite l vérifie :
0£ l £ α
α-1

Partie III
Dans cette partie on suppose que q Î ]0, π ].
2
A°/ si q = π , montrer que Un (a,q) convergente
2
B°/ 1) supposons que q ¹ π . Calculer Sn =
2
Montrer que |Sn| £

n

å cos



θ

k = 1

cos θ
θ
sin
2


2) Montrer que Un(a,q) =

å

(S n  - S n -1 )
k α

k =2

n -1

3) En déduire que Un (a,q) =

1

å S  ( k


k = 2

4) Montrer que | Un (a,q) | £

+ cos q

α

-

1
(k + 1)

α

)+

Sn
n

α

+

cos θ
2

cos θ
1
[
+ sin(2θ)]
θ 2 α -1
2sin
2

5) En déduire après l’étude de monotonie de Un(a,q) que cette
suite converge

­ 258 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

Partie VI (facultatif)
1) Montrer que gn : ]0, π ] à IR
2
qà Un (a,q)
est dérivable sin ]0,

π
] et montrer que g’n(q) = tg q . Un(a­1, q)
2

2) en déduire que g’n(q) converge pour a ³ 1 et calculer sa limite
pour a = 1
3) pour quelle valeur de a la suite ( gn(p) (q) ) est convergente
si p ³ 1.
n

Finalement on peut amuser avec la suite Vn (b, q) =

å sin θ
k - 1

PROBLEME 12
Le but de ce problème est de calculer la limite L de la suite (Sn)n³1
définie par :
n

Sn =



å n ² + k ² , puis la limite de la suite n a n(S

n

– L)

k =1

x
. Montrez que pour tout naturel n ³ 1
1 + x ²
n
1
æ k ö
f ç ÷
Sn =
n  k =1 è n ø

1°/ Soit f la fonction x a

å

2°/ Soit j une fonction continue et croissante sur [0, 1].
a) Prouvez que pour tous les naturels k et n tels que 1 £ k £ n – 1 :
k +1

1 ækö
φç ÷ £
n ènø

n

ò φ(x ) dx
k
n

b) Prouvez que pour tus les naturels k et n tels que 1 £ k £ n :
k
n

ò

φ(x ) dx £

k -1
n

­ 259 ­ 

1
ækö
φç ÷
n
ènø

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

c) Déduisez du 2.a) un encadrement de Sn =

1
n

n

ækö

å φçè n ÷ø , puis
k -1

1

prouvez que :

lim Sn =

n ® +¥

ò

φ(x ) dx

d

Montrez que ce dernier résultat est encore valable si j est
décroissante sur [0, 1] au lieu d’être croissante en considérant la
fonction (­ j) .
1) Prouvez que (Sn)n³ 1 est convergente et explicitez sa limite L.
2) Démontrez que :

n

1

Sn –  f ( x ) dx  =

ò

0



k -1


åò
k =1

æ æ k ö
çç f ç ÷ - f ( x )
è è n ø

ö
÷÷ dx 
ø

c) En appliquant l’inégalité des accroissements finis, prouvez

æk
ö
ækö
ækö
æk
ö
æ k - 1ö
que : ç ­ x ÷ f ' ç ÷ £ f ç ÷ - f (x ) £ ç ­ x ÷ f ' ç
÷
n
n
n
n
è
ø
è ø
è ø
è
ø
è n ø
où k et n sont des naturels tels que 1 £ k £ n et x un réel
de [

k -1 k
, ].
n
n

c) Prouvez, grâce aux résultats des deux précédentes questions,
que :

1
2n²

n

1

å

ò

ækö
f ' ç ÷ £ Sn ènø
k =1

d) Détèrminer alors

f (x ) dx £

0

1
2n²

n

æ k -1ö
÷
n ø

å f ' çè
k =1

lim [n(Sn – L)].

n ® +¥

PROBLEME 13
Soit n un entier naturel non nul et fn la fonction définie ]­ ¥, 1[ par :
æ 1 ö
æ 1 ö
fn (x) = xn Log ç
÷ et f0(x) = Log ç
÷ . On désigne par (Cn) sa
1
- x 
è
ø
è 1 - x ø

courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j ) .
A°/ 1°/ on pose, pour tout x de ]­ ¥, 1[ ; hn(x) =

x  ­ n Log(1­x).
x - 1

a) Etudier le sens de variations de hn.
b) Calculer hn(0) et en déduire le signe de hn(x).
2°/a) Dresser, suivant la parité de n, le tableau de variation de fn.

­ 260 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

b) Tracer dans le même repère R, les courbes (C1) et (C2), en
précisant la position relative de deux courbes.
3°/ On pose pour tout x de ]­ ¥, 1[, Fn(x) = 

ò



0

f n ( t ) dt 

a­ Montrer que pour tout n de IN* on a :
Fn(x) = 

x n +1
n + 1

Log (

1
1
)+
1 - x  n + 1

ò

n + 1
x  t 

0

t - 1

dt  .

b­ Vérifier que pour tout t de ]­ ¥, 1[ on a : 
t n +1
t - 1

= 1 + t +

3
t ² t 
1
+ + ..... + t n  2 3
1 - t 

c­ En déduire que pour tout n de IN*, et pour tout x de ]­ ¥, 1[
on a :
(n+1) Fn(x) =

xn+2

x n +1

æ 1 ö
Log ç
+ .... +
+ Log(1­x)
÷+ x +
2
n +1
è1 - x ø

4°/a­ Calculer F2( 1 ) et F1( 1 ).
2
2
b­ En déduire l’aire du domaine limité par les courbes (C1) et (C2)
et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1
2
B°/ 1°/ Pour tout x Î [0, 1[, on pose, F0(x) =



ò  f  (t )dt 
0

0

a) En remarquant que pour tout x de ]­ ¥, 1[ on a : f0(x) = ­Log(1 –x)
Etudier les variations de f0 et Tracer C0
b) Montrer que pour tout x de [0, 1[ on a : F0(x) = (1­x) Log(1­x) + x.
c) Donner une interprétation géométrique du réel F0(a) pour
a Î [0, 1[.
2°/ Soit f une fonction deux fois dérivables sur [a, b] ; (a < b) et
vérifiant pour tout t de [a,b] ; f’’(t) < 0.
Pour tout x de [a,b], on pose F(x) =



1

ò f (t )dt  - 2 (x ­ a) [ f(a)+ f(x) ]


a­ Calculer F’(x) et F’’(x) pour x Î [a ,b].
b­ Etudier le sens de variation de F’ sur [a,b].
c­ En déduire le signe de F’(x).
d­ Montrer alors que



1

ò f (t ) dt  < 2 (b ­ a) [ f(a) + f(b) ].


­ 261 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

C°/ Dans cette partie on se propose d’étudier la suite (vn) définie par :
Vn = 




n !

; pour tout n ³ 2.

1°/ a­ Vérifier que pour tout n ³ 2 on a : vn = 



n n -1
( n - 1)!

b­ En déduire que pour tout n ³ 2 on a : Log(vn) =

1


n -1



å f  ( n )


k =1

2°/a­ Montrer que pour tout n ³ 2 et pour tout entier k vérifiant
0 £ k £ n­2 on a :

1
k
f0 ( ) £
n
n

k +1

ò

k
n

n

f0 (t ) dt £

1 é
k
k +1 ù
f0 ( ) + f0 (

ê
2n ë
n
n
û

(on pourra utiliser les résultats de la partie B/2) )
b­ En déduire que pour tout entier n ³ 2 on a :

1
1
Log(vn) +
Log( ) £
n
n

1-

ò

1
n

0

f0 (t ) dt £ Log(v n ) +

1
1
Log( )
2n
n

3) a­ Montrer que pour tout n ³ 2 on a :

1
1
1
Log ( ) + 1 £ Log (v n )
2n
n
n

£1-

1
n

b­ Montrer que la suite (vn) est convergente et calculer sa
limite lorsque n tend vers + ¥

PROBLEME 14
A°/ Pour tout x Î IR*+ ;

F(x) =

3x  cos

ò 


t

t

dt 

Le but de cet problème est de dégager quelques propriétés de la
fonction F définie par une intégrale que l’on ne cherchera pas à
calculer.
1) Déterminer
æπö
a) le signe de F ç ÷
è6ø
æπö
b) le signe de F ç ÷
è2ø

­ 262 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

2) Montrer que pour tout t Î IR*+ on a : 
Et que pour tout x Î IR*+ ;

cos( t )
1
£



|F(x)| £ Log 3.

3) Démontrer que pour tout t Î IR*+ :

Log 3­ F(x) = 2

ò

3x

sin ²
t

x

t
2 dt et que : 0 £ Log 3 ­ f(x) £ 2 x²

En déduire que F admet une limite à droite au point O.
4) Soit m la fonction définie sur IR*+ par :

m(x) = 

Log 3 - f ( x )


Etudier la limite de m à droite au point O.
B°/ Soit G la fonction réelle telle que pour tout x Î IR*+ :
G(x) = F(x)
G(0) = Log 3
1) Démontrer que G est continue sur IR+.
2) En exploitant la méthode d’intégration par parties, établir que
pour tout
x Î IR*+ on a : 

G ( x ) -

sin 3x - 3 sin x
3x 

£

2
3x 

En déduire que pour tout x Î IR*+ ; |G(x)| £ 2 et étudier la
x
limite de G en + ¥
3) Démontrer que F est dérivable sur IR+ et que pour tout
x Î IR*+ on a :
G’(x) =

- 4 cos x. sin²x
x

4) Déterminer l’ensemble des réels pour lesquels la fonction G
présente un extremum.

Déterminer les intervalles sur lesquelles G est :
a­ croissante ;
b­ décroissante

­ 263 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

5) On désigne par G1 la restriction de G à l’intervalle [0, 2p].
Donner le tableau de variations de G1 sans préciser les
valeurs des extremums et en déduire que, sur ]

π π
, [,
6 2

G1 admet une solution.

PROBLEME 15
Soient x un réel strictement supérieur à ε ( ε > 0 ), n Î IN* et f une
fonction numérique de la variable réelle définie et deux fois dérivable
sur l’intervalle [0, 1].
Soit (Un)n³1 la suite réelle donnée par :
n

1





å f ( n  ) = f ( n  ) + ... + f ( n  )

" n ³ 1, Un=

α 

α

α

p =1

1) Vérifier que la suite (Un)n³1 est bien définie.

2) a­ Montrer que pour tout n Î IN* et pour tout p Î {1, …, n} il
existe C(n,p) Î ]0, 1[ tel que :
f(


n α

) =  f ( 0) +


n α

f'(0) +


2n2α

f’’(C(n,p))

b­ En déduire que pour tout n Î IN* :
Un – n f(0)­

n ( n  + 1)
2n α

f' (0) =

n

1
2n2α

å p ²f ''(C 

( n , p )

)

p=1

n

3) a­ Montrer par récurrence que "Î IN* ,

å p ² =
p = 1

n(n + 1)(2n + 1)
6

b­ En posant M = sup|f’’(x)|, montrer que "Î IN* , x Î [0, 1].
On a :

Un – n f(0)

­

n ( n + 1)
α

2n 

f' (0)

£

n(n + 1)(2n + 1)
12n2α

π

c­Déduire que la suite (vn) n³1 , définie par :
n( n  + 1)
" n ³ 1, : vn = Un – n f(0) ­
f'(0) ; converge vers 0
2n α 
4)

On suppose que f(0) = f’(0) = 0. Montrer que

­ 264 ­ 

lim Un = 0

n ® +¥

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

PROBLEME 16
Soit n Î IN et fn la fonction définie sur ] 0, +¥[ par fn (x) = 

1 + Log x


On désigne par zn la courbe représentative de fn dans un repère

(

orthonormé o , i, j

)

A°/ On suppose dans cette partie que n = 0 et on pose :
F(x) =



ò  f  (t )dt 
1

pour tout x > 0.

0

1) a­ Montrer que " x Î [1, +¥[ , F(x) = x Log x
b­ Montrer que F réalise une bijection de [1, +¥[ sur un
intervalle J que l’on précisera.
2) Soit k Î IN. Montrer que l’équation F(x) = k admet dans
[1, +¥[ une solution unique ak. Calculer a0
3) * Montrer que la suite ( α k )

k Î IN

est strictement croissante et

qu’elle diverge vers +¥.

ò

* Montrer que " k Î IN :

α
k + 1

α

f 0 ( t ) dt  = 1



* En utilisant le théorème de la moyenne, montrer qu’il existe
bk Tel que f0( β k ) = 

1
αk +1 - αk 

(

.

En déduire que lim αk + 1 - αk
k ® +¥

) = 0.

PROBLEME 17
A°/ 1) Soit j la fonction définie sur ]0, + ¥[ pour j(t) = et + t Log t­1.
Calculer j’(t) et montrer que l’équation j’(t) = 0 admet dans ]0,1]
une solution unique α .
Etudier les variations de j . déduire qu’il existé un réel unique
b Î]0, 1[ tel que j (b) = 0. Préciser le signe de j (t) sur ] 0, +¥[.
2) Soit f la fonction définie sur [0, +¥[ par :
f(t) = (1­ e­t) Log t si t > 0
f(0) = 0
a­ Montrer que f est continue sur [0, +¥[.

­ 265 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

b­ Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter le
résultat .
c­ Montrer que " t > 0 :

f’(t) = 

e - t


j(t).

d­ Etudier les variations de f et tracer sa courbe z dans un

(

repère orthonormé o , i, j

) (on prendra b = 0.3).

B°/ On définie sur I = [0, 1] les fonctions :


g0(t) = 1 et " n Î

IN*


t ² 
; gn(t) = 1­t+ +…+(­1)n .
n ! 
2!

1)

Montrer que " n Î IN* on a : g’n (t) = ­ gn­1 (t).

2)

Montrer que " t Î I on a : g1 (t) £ e­ t £ go (t).

3)

Soit un réel de l’intervalle ]0, 1]; on pose pour n Î IN :
In(7) =

ò

1

7

t n Log t dt

Calculer In (7) et lim+ In(7).
7 ®0

4)

a­ Prouver que pour tout t Î ]0, 1] :
(1­g2n+1(t) ) Log t £ f(t) £ (1­g2n (t) ) Log t

(-1)k t k Log t

2n +1

b­ Déduire que : ­

å

k!

k =1

c­ Montrer alors que : -

k =1

5)

k!

Pour x Î [0,1] ; on pose F(x) =

£ f(t) £ ­

k

å (-1)

t kLogt
k!

k =1

2 n +1 ( -1) k 

å

2n

Ik (7 ) £

ò

2n 

1

f ( t )dt  £ -

7

å

( -1) k 

k =1

k !

I k (7 )

1

ò f ( t )dt 


a­ Montrer que F est continue sur [0, 1].
2 n +1

b­ Déduire que :

( -1) k 

å (k  + 1)²k !
k =1

6)

2n

£ F(0) £

( -1) k 

å ( k  + 1)²k !
k =1

On prend n = 2 ; donner un encadrement de l’aire de la partie
du plan limitée par la courbe z, l’axe des abscisses et les
droites d’équations x = 0 et x = 1.

­ 266 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

PROBLEME 18 :
A°/ Soit f la fonction définie sur IR par :
f(x) = (x+ 3 ) e­ x ­ 1
si x £ 0
2
2
Log(1 + x )
f(x) = 
si x > 0

On désigne par z la courbe représentative de f dans un repère
orthonormé ( o , i, j ) unité graphique 2 cm.
1) a­ Montrer que f est continue sur IR .
b­ Montrer que f est dérivable sur chacun des intervalles ]­¥, 0]
et ] 0, +¥[ et calculer pour chaque cas f’(x).
2) a­ Vérifier que " tÎ IR+ on a : 1­t £ 
" tÎ IR+ on a : x ­

1
£ 1 – t + t² et que :
1+ t

x² 
x ² 
£ Log (1+x) £ x­
2
2

b­ Montrer alors que f est dérivable en 0 et que f’(0) = ­ 1 .
2
3) Soit j la fonction définie sur IR+ par j(x) = 

x
­ Log(1+x).
1 + x 

a­ Etudier les variations de j. En déduire le signe de j(x).
b­ Dresser le tableau de variation de f.
Construire z et la tangente à z en A(0, 1).
4) Pour tout x Î IR+ on pose F(x) =

x +1

ò f ( t )dt .


a­ Montrer que F est dérivable sur IR+ et que " x Î IR+ :
F(x) = f(x +1) ­ f(x).
b­ En déduire le sens de variation de F.
c­ Montrer que " xÎ IR+ il existe c Î [x, x+1] tel que F(x) = f(c)
En déduire lim F(x).
x ® +¥

B°/ Dans cette partie g désigne la restriction de f à l’intervalle [0, 1].
1
n  g ( x )
0

Pour tout n Î IN* ­ {1} on note : an =

ò 

bn =

ò

1

1 g ( x )


­ 267 ­ 

dx  ;

dx  et I =

1

ò g( x ) dx 
0

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

1°/ Déterminer que "tÎ [0, 1] et "nÎ IN*­{1} ; 
n -2
1 = 1­t+t²­t3+…+(­1)n­2tn­2+ ( -1)
1+ t
1 + t 

avec Pn­1(x) = x­

3
x n -1
x ² x 
+
+ .... + ( -1) n - 2
2
3
n - 1

2°/ a) Vérifier que " x Î [0,1] ; Log2 £ 1 ; en déduire que 
Log 2
1
£ a n  £



b) Calculer alors lim  . En dédire que (bn) converge vers le réel I.
n ® +¥

3°/ a­ Montrer que "xÎ [0, 1] on a : 

et que :

x  t n -1



0

0

0 £ 

x  t n -1

dt 

1

ò 1 + t  dt £ n 

b­ En déduire que "xÎ [0, 1] on a :  g ( x ) -

4°/ On pose Dn(x) = x­

n -1

ò 1 + t  dt  £ ò t 
0

P n -1 ( x )

£



1
nx 

3
x n -1
x² x
+ 2 + ... + (-1)n -2
2² 3
(n - 1)²

avec x Î[0,1] et n Î IN*­{1}

a) Montrer que " n Î IN*­{1} ;
bn + Sn(  1 ) ­ 
n

Logn
1
Logn 
£ Sn(1) £ bn + Sn(  ) + 




b) Vérifier que " x Î [0, 1] et " p Î IN* on a :

x p 
p ²

³

x p + 1
(p + 1)²

En déduire "nÎ IN*­{1} et x Î [0, 1] on a : 0 £ Sn (x) £ x
( on distinguera deux cas n paire et n impaire ).
1
c) Déterminer alors lim  S n ( ) . Déduire que  lim Sn (1) = I 
n ® +¥
n ® +¥


­ 268 ­ 

.

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

PROBLEME 19
A°­Soit g la fonction définie sur ]0,1] par g(x) =

Log 1 .
x

1°/a) Montrer que g est dérivable sur )0,1[.
g est – elle dérivable à gauche en 1 ?
b) Dresser le tableau de variation de g et tracer sa courbe ξ dans
un repère orthonormé (O,i , j )
2°/a) Montrer que g réalise une bijection de ]0,1] sur un intervalle J
que l’on précisera.
b) Soit h la fonction réciproque de g. Expliciter h(x) pour tout x Î J
c) Tracer la courbe de h dans le même repère (O,i , j )
B°­ On considère la fonction F définie sur IR par : F(x) =

x

ò 0 e - t² dt .

1°/ Montrer que F est dérivable sur IR et calculer F’ (x) .
2°/ Etudier le sens de variation de F et montrer que F est impaire.
3°/ a) Vérifier que pour tout t Î [2,+¥[ on a : e – t ² £ e­ 2 t.
En déduire que pour tout x ³ 2 on a :
1 ­ e4 ­ 2 x

F(x) £

2e 4

+

2

ò 0 e­ t²dt .

b) Prouver que pour tout x ³ 2 on a : F(x) £

1 + 2 e­ t²dt .
0
2 e4

ò

4°/ Montrer que F est majorée sur IR et que F possède une limite
finie l en + ¥ .
(On ne demande pas de calculer cette limite )
C°­1°/ Soit G la fonction définie sur [0,+ ¥[ par :
G(x) = F( x

n ) ; pour tout n Î IN*.

a) Montrer que G est dérivable sur [0,+ ¥[ et calculer G’ (x) pour
x Î [0,+ ¥[ .
b) En déduire que

1

ò 0 e ­ n x² dx =

1
n

­ 269 ­ 

ò0

n

e­ t² dt

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

2°/a) Montrer que pour tout réel t on a :

e t ³ 1 + t et que pour tout t ³ 0 on a : e­ t £

1
.
1+ t

b) En déduire que pour tout n Î IN* on a :

ò

n
0

e ­ t² dt ³

et que :

ò

1
0

n

ò

1
0

( 1 ­ x ² )n dx

e ­ n x² dx £

ò

1
0

1
dx .
( 1 + x² )n

D°­ On pose pour tout n Î IN* : un =

ò

π
2
0

sinn t dt et vn = (n+1)unun+1.

1°/ a) Calculer u1 et u2.
b) Montrer que pour tout n Î IN* on a : un+2 = n + 1 un.

n+2

En déduire que la suite (vn) est constante.
c) Montrer que la suite (un) est décroissante.
2°/ Montrer que pour tout n Î IN* on a :

n + 1 £ un +1 £ 1 et calculer lim un+1 .
n ® +¥ u
n+2
un
n
3°/ a) Vérifier que pour tout n Î IN* on a :

n un =

b) En déduire que lim

n ® +¥

4°/Montrer que u2n+1 =

ò

1
0

1

ò 0 ( 1 ­ x² )n

1
dx =
( 1 + x² )n

ò

π
2
π
4

dx et que

sin2n ­2 x dx .

n u 2n­2 .

6°/ Montrer alors que lim G(1) = l =
n ® +¥

­ 270 ­ 

un
u

.v n ­1 .

n­1

π et que lim un = 0.
n ® +¥
2

5°/ En déduire que pour tout n Î IN*on a :

n u 2n +1 £ G(1) £

n un =

π.
2

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

CORRECTION
PROBLEME 1
A/ φ (x) = 1 – e­x pour x Î[ 0 , + ¥ [.
1°/ La fonction φ est dérivable sur [ 0 , + ¥ [ et φ ’ (x) = e­ x > 0
pour x ³ 0 donc φ est strictement croissante sur [ 0 , + ¥ [ .
lim φ (x) = lim ( 1 – e­x ) = lim ( 1 ­ 1x ) = 1 .
x ® +¥
x ® +¥
e

x ® +¥

Tableau de variation de φ :
x
0
φ ’(x)

φ (0) = 0


+
1

φ (x)

0

la droite d’équation y = 1 est une asymptote horizontale à la courbe
de φ en + ¥
on remarque que : φ (x) – x < 0 donc ξ est au­dissous de la droite
d’équation y = x.
2°/la fonction φ est strictement croissante sur [ 0,+ ¥ [ donc φ est
une bijection de [ 0 , + ¥ [ dans φ ([ 0 ,+ ¥ [ ) = [ 0, 1 [.
La courbe ξ ’ de la fonction réciproque φ ­1 est la symétrique de ξ par
rapport la droite d’équation y = x .
3°/ D : y = ­ x + 2
a) soit h (x) = φ (x) – ( ­x + 2 ) = φ (x) + x ­ 2
on a : h’(x) = φ ’(x) + 1 = e­x + 1 > 0 car e­x > 0 et on a :
lim  h(x) = lim ( φ (x) +x–2) = + ¥

x ® + ¥

x ® +¥

­ 271 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

soit le tableau de variation de h :
x
0
α
h’(x)



+


h(x)

­2

0

Ainsi on a : h est continue et strictement croissante sur [ 0 ,+ ¥ [
donc elle réalise une bijection de [ 0 ,+ ¥ [ sur [ ­ 2 ,+ ¥ [.
Or 0 Î [ ­ 2,+ ¥ [ donc 0 admet un seul antécédent α par h , donc
il existe un seul réel α > 0 tel que h ( α ) = 0. Cela signifie que
l’équation φ (x) = ­ x + 2 possède une seule solution α ou bien que la
droite D : y = ­ x + 2 coupe ξ en un seul point d’abscisse α > 0 .
Vérifions que α > 1 :
On a : α = h­1 (0) car h ( α ) = 0 et h est une bijection de [ 0,+ ¥ [
sur [ ­2, + ¥ [.
h (1) = 1 – e­1 + 1 – 2 = ­ e­1 = ­ 1 donc h (1) < 0
e
donc h­1 ( h (1) ) < h­1 (0) car h­1 est croissante puisque h est
croissante ,donc, et comme
h­1oh = IdIR , on a : 1 < α .
B°/ D est la partie du plan limitée par ; ξ , ξ ’ et D .
On pose D1 la partie du plan limitée par ξ , l’axe des abscisses et les
droites d’équations x = 0 et x = α , et soit D2 = S D' (D1) où D ’: y = x
donc А(D1)= [2–2A (D1)– 2 f( α ) ( 2-α )]x4 cm²
2
c’est à dire A(D1) = ( 2 – 2 A(D1) – (2 ­ α )²) 4 cm² .
on a : A (D1)

ò

α
0

(1 – e­x ) dx = ( α + e -α – 1 ) 4 cm².

donc A (D) = [ 2 – 2 α ­ 2 e - α + 2­ (2­ α )² ] x 4 cm, et on a : e - α = α ­1
car h ( α ) = 0 donc A( D1 ) = [2­ 2 α – 2 ( α ­1)+2– 4 ­ α ² +4 α ] 4 cm²
donc A (D) = (2 ­ α ²) x 4 cm².

­ 272 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

y = x 


C' 


y = 1 


­3 

­2 






­1 







x = 1
­1 

y = ­ x + 2 

­2 

B°/f (x) =

1
1 ­ x e­x

pour x Î IR

et I =

ò

1

0

f (x) dx.

1°/ Montrons que pour tout x Î IR on a : x e­x £ 1
e
Soit g (x) = x e

­x

­ 1 ; on a g est dérivable sur IR et g’(x) = e­ x (1– x) ;
e

on a g’(x) = 0 Û x = 1
soit le tableau de variation de g :
x
g’(x)

­¥
+

1
0


­

0
g(x)

g admet un maximum absolu en 0 égale à ­ 1 < 0 donc pour tout
e
x Î IR ; on a : g (x) < 0 . Donc x e­x ­ 1 £ 0 d’où x e­x £
e

­ 273 ­ 

1.
e

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

2°/ la fonction f est dérivable sur IR et on a : f’(x) =

f’(x) = 0 Û x = 1.

lim f (x) = lim

x® +¥

x ® ­¥

lim f (x) = lim

x ® +¥

x ® +¥

e - x (1 ­ x)
.
( 1 ­ x e ­ x)²

1
= = 1 et :
1 ­ x e­x

1
(­ x e ­ x ) = +¥
­ x = 0 car xlim
® ­¥
1­xe

soit le tableau de variation de f :
x
f’(x)

­¥
+

1
0


­

e
e -1

f(x)
0
f (1) =

1

1 = 1 = e .
­1
e­1
1­e
1­ 1
e

3°/ D’après la tableau de variation de f on a :
f est décroissante sur [ 1 ,+ ¥ [ et lim f (x) = 1 donc :
x® +¥

f (x) ³ 1 ; pour x ³ 1.
Comme f (0) = 1 on a : f (x) ³ 1 pour x ³ 0.
On a de plus f admet un maximum absolu en 1 égale à f (1) .
Donc f (x) £

e ; pour x Î IR et donc pour x ³ 0.
e­1

Conclusion : pour x ³ 0 on a : 1 £ f (x) £
On a : 1 £ f (x) £
Donc

e .
e­1

1

1

1

0

0

0

ò1 dx £ ò f(x)dx £ ò

C°/ n Î IN* et Jn =
1°) a) J1 =

ò

1

e .
e­1

ò

1

e dx. D’où : 1 £ I £
e­1

xn e­nx dx.

0

x e­x dx.

0

On intègre par parties:
­ 274 ­ 


e - 1

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

u (x) = x ® u’(x) = 1 et v’(x) = e­x ® v (x) = ­ e­x
1

d’où J1 = [ ­ x e­x ] 0 +

ò

1

1

1

e­x dx = [ ­ x e­x ] 0 + [ ­ e­x ] 0

0

donc J1 = ­ e­1 ­ e­1 + 1 soit encore : J1 = 1 – 2 e­1 = 1 – 2 .
e

ò

b) J2 =

1

x² e­2x dx ;

0

on intègre paries , on pose :
u (x) = x ² ® u’(x) = 2 x
® v (x) = ­ 1 e­2x
2

v’(x) = e­2x

1
d’où J2 = [­ 1 x² e­2x ] 0 +
2

Pour l’intégrale

ò

1

ò

1

0

x e­2x dx = ­ 1 e­2 +
2

ò

1

x e­2xdx .

0

x e­2x dx on intègre par parties , on pose :

0

on pose M(x) = x ® M’(x) = 1 et m’(x) = e­2x ® m(x) =­ 1 e­2x
2
donc

ò

1

0

1

é 1
ù
x e­2x dx = ê - x² e - 2 X ú + 1
2
ë 2
û0

ò

1

0

e­2x dx

é 1
ù
= ­ 1 e­2 + 1 ê- e - 2 x ú
2
2 ë 2
û

donc

ò

1

0

1
0

x e­2x dx = ­ 1 e­2 ­ 1 e­2 + 1 = ­ 3 e­2 + 1
2
4
4
4
4

donc J2 = ­ 1 e­2 ­ 3 e­2 + 1
2
4
4
on a alors J2 = 1 ­ 5 e­2 = 1 (1 ­ 5 ).
4
4
4

2°/ Pour n Î IN * , on a un = 1 + J1+ J2 + J3+…+ Jn .
n

a) Pour x Î IR on a : 1 + x e­ x +x² e­x² +…+ xn e­ nx =

å ( xe

­ x )k

:

k =0

Somme de (n+1) termes d’une suite géométrique de raison q = x e­ x
n

et de premier terme 1. Donc

å ( xe

­ x) k

k =0

=

1 ­ (x e ­ x) n +1
.
1 - x e­ x

b) On intègre les deux membres de l’égalité précédente entre 0 et 1 ,
on obtient :

­ 275 ­ 

Amor Etteyeb
1

ò (1 +
0

ò

1
0

x e­x

1 dx +

ò

donc un =

+ x²

1

Problèmes de révision 

e ­ x²

+¼+

xn

x e -x dx + ... +

0

ò

1
0

donc un = I ­

ò

e ­ nx) dx
1
0

=

ò

1

0

d’ ou I ­ un =

ò

0

xn e - nx dx =

f(x) ( 1 ­ xn +1 e ­(n+1) ) dx =

ò

1

1 - xn +1e -(n +1)
dx
1 ­ x e­ x

ò

ò

1

1

0

1 - x e -x

1
0

; d’ou :

( 1 - xn +1 e -(n +1) ) dx

f(x) dx -

ò

1

f(x) xn +1 e -(n +1) dx

0

f(x) xn +1 e -(n +1) dx
1
0

f(x) xn +1 e -(n +1) dx .

c) D’après B°/­1°/ on a pour tout réel x :
x e­ x £ 1 donc pour tout x ³ 0 on a :
e
0 £ ( x e - x ) n +1 £

1
e

n +1

et on a d’après B°/­3°/ : 0 £ 1 £ f(x) £
0 £ f(x) xn +1 e - (n +1) x £

d’ ou pour tout x ³ 0 on a :

d ) On a donc :

0 £

donc : 0 £ I ­ u n
et lim

n ® +¥

1
en (e - 1)

£

ò

1
0

f(x) xn +1 e - (n +1) x dx £

ò

1
n

e (e - 1)

1
0

1
n

e (e - 1)

e
e­1

.

dx

1
£ un £ I
. On a alors I ­ n 1
e n (e ­1)
e (e­1)

= 0 ; car [

1
en (e - 1)

] est une suite géométrique de raison

q = 1 Î ]0,1 [ .
e
Conclusion : la suite (un) est convergente et on a lim u n = I.
n ® +¥

D°/ Pour t ³ 0 , on pose :
et F(x) =

ò

x
1

g(t) = f ( Logt )
g(0) = 0

si t > 0

g(t) dt .

1°/ La fonction g est la composée de t a f(t) et t a Log t .
f est continue sur ] 0,+ ¥ [ et t a Log t est aussi continue sur ]0,+ ¥ [
donc g l’est aussi .De plus on a :

lim g(t ) = lim f(Log t ) = lim f (x ) = 0 = g(0)

t ®0 +

t ®0 +

x ® ­¥

­ 276 ­

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

donc g est continue en o+.
Conclusion : g est continue sur [0, + ¥ [ ; d’ou F(x) est bien définie
sur [0,+ ¥ [ .
2°/ La fonction g est continue sur [0,+ ¥ [ , soit G une primitive de g
sur[0,+ ¥ [ .
On a donc F(x) = G(x) – G(1) et par suite F est dérivable sur
[0, + ¥ [ car G l’est aussi puisque c’est une primitive de g et on a :
F’(x) G’(x) = g(x) = f(Log x ) =

x
pour tout x Î ]0, + ¥ [ .
x-Logx

3°/ a) Soit k(x) = Log t – t + 1 . on étudie les variation de k et en
déduire le signe de k(x) sur ]0, + ¥ [ , on obtient Log t – t +1 < 0 pour
tout t > 0. Donc 1 < t –Log t

et par suite

t
1
< 1 Þ
< t car t > 0.
t ­ Log t
t ­ Log t

b ) Pour x Î ]0,1[ on a F(x) =
Or on a :

t
< t Þ
t ­ Log t

ò

1
x

ò

1
x

F'(t) dt =

t
dt £
t ­ Log t

ò

1
x

t
dt .
t ­ Log t

1

ò t dt = 1 ­2x²
x

alors : F(1) – F(x) £ 1 ­ x²
2
Donc

x² ­1 £ F(x) £ 0 pour tout x Î ]0,1[ .
2

4°/ a) · t ³ 1 alors Log t ³ 0 car t a Log t est croissante ; donc ( Log t )² ³ 0
et donc

– ( Log t )² £ 0 Þ t² ­ (Log t )² £ t² Þ ( t ­ Log t ) ( t + Log t) £ t² et

par suite on a :
Donc :

1 +

t + Log t
t
£
(car t­Log t > 0 et t > 0).
t
t ­ Log t
Log t
t
£
.
t
t ­ Log t

· D’autre part on a : Log t

³ 0 pour t ³ 1 et Log t - t + 1 £ 0 pour tout > 0

donc :
­ Log t ( Log t­ t + 1 ) ³ 0

donc

­ ( Log t )² + t Log t–Log t +t ³ t
( t­ Log t ) ( 1 + Log t ) ³ t d'ou

alors :
t
£ 1 + Log t .
t ­ Log t

Conclusion : Pour tout t ³ 1 on a : 1 +
­ 277 ­ 

Log t
t
£
£ 1 + Log t .
t
t ­ Log t

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

ò

D’ou pour x > 1 on a :
Et donc : ( x­1) +

x
1

( 1+

[ 21 ( Log t)² ]

x
1

Log t
) dt £
t

ò

x
1

t
dt £
t ­ Log t

x

ò ( 1 + Log t ) dt
1

£ F(x) £ (x-1) + [ t Log t ­ t ] 1x .

Donc : x – 1 + 1 ( Log x )² £ F(x) £ x Log x .
2
lim [ x ­1 + 1 ( Logx )² ] = +¥ donc d’après le théorème de comparaison
2

x ®+¥

des limites on a : lim F(x) = +¥ .
x ®+¥

PROBLEME 2
n Î IN* ,

fn(x) = x (Logx)n si x > 0
fn (0) = 0

A°/1°/ a) lim fn(x) = lim x(Logx)n.
x ®0 +

x ®0 +

On pose x = tn on a alors : si x ® 0+ alors : t ® 0+.
Donc lim fn(x) = lim tn ( Log tn)n = lim (n t Logt)n = 0
x ®0 +

t ®0 +

t ®0 +

Car lim tLog t = 0
t ®0 +

Donc lim fn(x) = 0 = fn(0) ; d’où fn est continue à droite en 0
x ®0 +

b) lim

x ®0 +

f n ( x ) - f n (0)
= lim (Log x)n =
x ®0 +
x  - 0


­¥

si n pair
si n impair

car lim Log x = ­ ¥.
x ®0 +

Dans les deux cas on a f n’est pas dérivable en 0 à droite.
b) Pour tout x Î ]0, +¥[, fn est dérivable et on a :
fn’(x) = (Log x)n + n x (Log x)n­1 1 = (Log x)n­1 [Log x + n]
x
2°/ a) cas où n impair :
Pour n = 1 on a f1’(x) = Log x + 1.
f1’(x) = 0

Û Logx = ­1

Û x = e­1

­ 278 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

lim f1(x) = lim x Log x = +¥

x ®0 +

x ®0 +

pour n ³ 3 on a fn’(x) = 0 Û (Log x)
donc x = 1

n­1

= 0 ou Log x + n = 0

ou x = e­n

fn(e­n) = e­n(Log e­n)n = e­n (­n)n = (­1)n ( n )n
e
Si n impair donc n­1 est impair

pour n impair on a (­1)n = ­1

donc (Log x)n­1 > 0 "x > 0

donc fn(e­n) = ­( n )n
e

et on a : Log x + n > 0 pour x > e­n
cas ou n pair :
fn’(x) = 0 pour x = 1 ou x = e­n .
On a n pair donc (n – 1) impair et (Log x)n­1 > 0 pour x > 1
et (Log x)n­1 < 0 pour x < 1 et on a : fn(e­n) = ( n )n
e
b) Soit M(x, y) un point fixe de xn on a donc :
pour x = 1 on a y = 0 Þ A(1, 0)
pour x = e on a y = e Þ B(e,e)
les points O, A, B sont des points de xn indépendantes de n, donc
pour tout n Î IN*, les courbes xn passent par A, B et C
3°/a) f2(x) – f1(x) = x Log x [Log x – 1]. f2(x) – f1(x) = 0
Û x = 0 ou x = 1 ou x = 2

On a donc : * f2(x) –f1(x) > 0 si x Î ]0,1[ È ]e,+¥[
alors ξ 2 est au dessus de ξ 1
* f2(x) – f1(x) < 0 si x Î ]1, e[
alors ξ 2 est au dessous de ξ 1
* f2(x) – f1(x) = 0 pour x = 1 ou x = e
alors ξ 2 Ç ξ 1 = { A,B}.
b) A =

e

ò -xLogx [Log x – 1] dx

x 4 cm²

1

=[

e

e

1

1

ò xLogx dx ­ ò x(Logx)²

dx ] x 4 cm²

­ 279 ­

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

e

ò xLogx dx ; on intègre par parties ; on pose :
1

u(x) = Logx Þ

u’(x) = 1
x

v’(x) = x

v(x) = x²
2

donc

Þ

e

ò xLogx dx = [
1

e

ò x(Logx)²

x² Log x
2

]e1

­ 1
2

[


2

] e1 = ­ e2²

+ 1
4

dx ; on intègre par parties :

1

u(x) = (Logx)² Þ u’(x) = 2 1 Log x.
x
Þ v(x) = x² .
2

v’(x) = x

ò

e

x(Logx)² dx

1

=

[

x² (Log x)²
2

]e1 ­

e

ò xLogx dx
1

e -2
donc A = ­ e² +2 ( 1 + 
) x 4 cm²
2
4
4

donc A = 2 cm². 


6





­4 

­3 

­2 

­1 









­2 

­4 

­ 280 ­













Amor Etteyeb
B°) Fn(x) =
1°/a) lim

α ®0 +

Problèmes de révision 

1

ò f ( x )dx 

avec n Î IN* et α Î ]0, 1[

1

1



α

1

ò f (x)dx = ò f (x)dx et ò f (x)dx existe et finie car f
α

n

0

n

0

n

n

est

continue sur [0,1]

ò

b) Fn( α ) =

1

α

fn(x)dx =

ò xLogx dx
α

x² Log x
2

[

donc F1( α ) =

1

­ 1 [ x²
4

] 1α

] α1 = ­

α² Log α ­ 1 ( 1 ­ α² )
2
4

u1 = lim F1( α ) = lim α² Log α ­ 1 ( 1 ­ α² ) = ­ 1 ;
2
4
4
α ®0 +
x ®0
Car lim x Log x = 0
x ®0

2°/ α Î ]0, 1[ et nÎ IN*
1

1

x + 1dx

ò f (x)dx = ò x(Logx)

a) Fn+1 ( α ) =

α

n

On pose : u(x) = (Log x)
v’(x) = x

α

n+1

. On intègre par parties :

Þ u’(x) = (n+1)

(Logx)n
x

Þ v(x) = x²
2

Donc Fn+1( α ) = [ x² (Log x)n+1
2

] α1 ­

n+1
2

1

n

ò x(Logx) dx
α

Fn+1( α ) = ­ α² (Log α )n+1 ­ n+1 Fn ( α )
2
2
b) lim Fn+1( α ) = lim [­ α² (Log α )n+1 ­ n+1 Fn ( α ) ]
2
2
α ®0 +
x ®0 +
un+1 = lim Fn+1( α ) = lim ­ α² (Log α )n+1 ­ n+1 un
2
2
α ®0 +
α ®0 +
Or lim α² (Log( α ))n+1 = lim [ n+1 (x Log x)]n+1 0 ; Avec α = x
2
x ®0 +
x ®0 +
Donc un+1 = ­ ( n+1 )un
2
3°/ a­ An =

ò

on a : In(x) =

1

0

fn(x) dx x 4 cm²
1

ò f (x)dx
x

n

­ 281 ­ 

n +1
2

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

donc An = 4 I n cm²

, or |un+1| = n+1
2

un

donc

4|un+1| = 2(n+1) |In|
par itération :
4 |u2| = 2(2) |u1|
4 |u3| = 2x 3|u2|
M

4 |un| = 2 n|un­1|
le produit membre à membre donne :
or |u1| = 1
4

4n­1 |un| = 2n­1 n ! |u1|
donc 22n­2 |un| = 2n­1 n ! x 1
4
donc 4 |un| =

n ! 2 n -1
2² (n -1)

=

n!
2 n -1

donc An =

n!
2 n -1

c) n ³ 3 Montrons que : An+1 ³ 2An
n ³ 3 donc n +1 ³ 4 d’où n+1 un ³ 4 un
2
2
donc n+1 |un| ³ 2 |un|
2
car |un+1| ³ 2 |un| donc 4|un+1| ³ 2.4|un| d’où An+1 ³ 2 An
Par itération on obtient pour n ³ 3 A4 ³ 2 A3
A5 ³ 2 A4
M

An ³ 2An­1
On obtient après simplification: An ³ 2n ­ 3 A3
Or lim 2n­3 A3 = + ¥ car (2n ­ 3 )suite géométrique de raison q = 2 > 1
n ®+¥

et A3 > 0 .Donc lim An = + ¥
n ®+¥

C°/ F(x) =

ò

ex

1

tLogtdt ; x Î IR.

1°) a) ­ la fonction t a t Log t est continue sur ]0, + ¥ [donc soit G
une primitive de t a t Log t , donc F(x) existe et est dérivable et on a :
F(x) = G(ex) – G(1).
Donc F’(x) = ex . G’(ex) = ex. ex Log ex = x e2x pour tout xÎ IR
­ 282 ­ 

Amor Etteyeb
b) F’(x) = xe
pour

Problèmes de révision 

2x

x ³ 0 on a F’(x) ³ 0 donc f est croissante sur [0, +¥ [
x < 0 on a F’(x) < 0 donc f est décroissante sur ]­¥, 0]

ò

2°/ a) F(x) =

ex

1

tLogt dt

on intègre par parties : u(t) = Log t

Þ v(t) = t²
2

v’(t) = t
x

e
donc F(x) = [ t² Log t ] 1 ­ 1
2
2

(e x )²

=

2

Þ u’(t) = 1
t

e x 

ò  t dt
1

x ­ 1 (e x )² + 1
4
4

= x (e x )² - 1 (e x )² + 1
2
4
4
F(x) =

(e x)²
[2x­ 1]+ 1
4
4

b) lim F(x) = ­ ¥

car

x ® +¥

lim F(x) = lim (

x ® -¥

car

x ® -¥

; "x Î IR
lim ex = + ¥ et lim (2x ­ 1) = + ¥
x ® +¥

x ® +¥

e x 
)² (2x – 1) + 1

4

lim (x ex)² = 0 et lim

x ® -¥

x ® -¥

1 = 0 et
2x

lim (ex)² = 0

x ® -¥

tableau de variation :
x
­¥
F’(x)
1
4
F(x)

0
0


+


0

­ 283 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

PROBLEME 3


A°/ f(x) = x. e x  ­ 1
2

1) Df = {x Î IR* tel que : e x  ­ 1 ³ 0 }
2

2

2

On a : e x  ­ 1 ³ 0 Û e x  ³ 1 Û Log ( e x ) ³  Log 1 ;Car x a Log x est
croissante. Donc 2 ³ 0
x

d’ou x > 0 . Donc Df = ]0, +¥[

2) g(x) = 1 – x – e­2x

pour x Î [0, +¥[

a­ la fonction g est dérivable sur [0, +¥[ et g’(x) = ­1 + 2e­2 x
Log 2 
g’(x) = 0 Û e­2x = 1 donc ­2x = Log 1 d’où x =
2
2
2
lim g(x) = lim (1­ x­ e­2x) = ­ ¥ car lim e­2x = 0
x ® +¥

x ® +¥

x ® +¥

* g(0) = 0
* g(

Log2
Log2
)=
2
2

x

e Log² -1 =

Log2
2
0

0

g’(x)

Log2
2

+




Log2
2

g(x)
0

­ ¥

b) On a : g est une bijection de [

Log 2 
Log 2 
,+¥[ sur ]­ ¥,
] car g
2
2

est continue et strictement décroissante sur [
a:

O Î]­ ¥,

Log 2 
] donc l’équation g(x) = 0 admet une
2

seule solution α Î [

Log 2 
,+ ¥[ cela signifie que la courbe xg
2

coupe (x’ x) en un seul point d’abscisse α .
g(

Log 2 
,+¥[ et on
2

Log 2 
Log 2 
)=
>0
2
2

g(1) = 1 – 1 – e­2x = ­ e­2 < 0

­ 284 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

d’après le théorème des valeurs intermédiaires on a : α Î ]
c) d’après les variation de g on a :
x Î [0, α [

g(x) ³0

x Î ] α , +¥[

g(x) < 0

x= α

g(x) = 0
2

2

3°) Log (f(x) ) = Log (x. e x  - 1 ) = Log x + 1 Log( e x  ­ 1)
2
2

2

= Log x + 1 Log ( e x  (1­ e x  ) )
2
2

2

= Log x + 1 Log  e x  + 1 Log(1­ e x  )
2
2
2

= Log x +  1 + 1 Log (1­ e x  )
x
2
2

Donc Log (f(x) ) =  1 [1 + x Log x] + 1 Log (1 –  e x  )
x
2
2

lim  Log (f(x) ) = lim+  [  1 (1+x Log x) + 1 Log (1 –  e x  ) ]
2
x ®0 +
x ®0  x
2

on a lim + 1 = + ¥ et lim + x Log x = 0 et lim + e x  = 0
x ®0 x
x ®0
x ®0

donc lim + Log (1­  e
x ®0

-2
x  )

= 0 donc lim + Log (f(x) ) = +¥
x ®0

donc lim+  f(x) = lim ex = + ¥

or f(x) = eLog(f(x) )

x ®0 

x ® +¥

finalement lim + f(x) = +¥
x ®0

4°/a­ f( 1 ) = 1
α
α

e ² α - 1

or g( α ) = 0 <=> 1 – α – e - 2α = 0
d’où e 2 α =

1
1-α

d’où f( 1 ) = 1
α
α
donc

c’est à dire e - 2α = 1­ α

f( 1 ) =
α

1 - 1 = 1 . 1 - (1 - α) car α > 0.
1-α
α²
1-α
1
α - α²

­ 285 ­ 

Log 2 
, 1[
2

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 
2

b­ f’(x) =

2
e x  - 1

2

­ 2 e x 
+ x x²
2

2

=

2
e x  - 1

2


e x [1 - 1 - e  x ]

d’où f’(x) =
=
2
e x  - 1

2
e x  - 1

2

2

2

e x  - 1

e x  - 1

2

2

ex

e x 

2
ex

2

- 1 e x  e x - 1 - 1 e x 

+ x 
=

g( 1 ) donc f’(x) =
x

-1

2
e x  - 1

g( 1 ) ;
x

pour tout x > 0.
2

c) on a f’(x) = 0 <==> g(  1 ) = 0 car
x

donc  1 = α
x

e x 
2
e x  - 1

¹0

Log 2 
d’où x = 1 et pour x Î [
, 1] on a g est
α
2

décroissante
donc : si x ³ 1 on a  1 £ α
x
α

c’est à dire g(  1 ) ³ 0
x

si x £ 1 on a  1 ³ α
x
α
2

d) f(x) – x = x

donc g(  1 ) £ 0.
x
2

e x  - 1 ­ x = x [ e x  - 1 ­ 1]
2

or x > 0 alors  2 > 0 et e  x  > 1 donc
x

2

e x  - 1 > 0

2

<=> x = 0 ou  e x  – 1 = 1

f(x) – x = 0

2


Log 2

<=> x = 0 ou  e x  = 2 donc x =
car : on a x ³


Log 2

==>  2 £ Log 2
x

2

==> 

e x  – 2 £ 0

2

2

==> e x  – 1 £ 1 ==>

e x  - 1 £ 1 et donc f(x) – x £ 0

donc pour x Î ]0,

2  ] on a xf au­dessus de D
Log 2

pour x Î ]

2  , +¥[ on a xf au­dessous de D
Log 2

­ 286 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

B°/ h : ]  1 , +¥[ à IR
x
x a f(x)
1) on a h est décroissante, continue sur ] 1 , +¥[ donc elle
α
réalise une bijection de ]  1 ,+¥[ dans h<] 1 ,+¥[> =]­ ¥,
x
α

1 [
α - α²

2) a­ h est dérivable sur ] 1 , +¥[ et h’(x) ¹ 0 pour tout
α
x Î ] 1 , +¥[ donc h­1 est dérivable sur ]
α

1 , +¥[
α - α²

b­ la courbe x’ de h­1 est symétrique de xh par rapport à y = x
3) u0 = 4
un+1 = f(un)

"n Î IN

a) Montrons que pour tout n Î IN on a : 2/Log2 £ un £ 4
* Pour n = 0
Supposons qu’on a

on a u0 = 4 Î [2/Log2, 4]

2  £ un £ 4 pour un certain n Î IN et
Log 2

montrons qu’on a :
2  £ un+1 £ 4
Log 2

On a sur [

2  , 4] ; f est décroissante donc : f(4) £ f(un) £ f( 2  )
Log 2
Log 2

Donc 4 e² - 1 £ un+1 £

et


Log²

4


Log 2

e Log 2 - 1 Or 4 e ² - 1 >

4

e Log 2 - 1 < 4 . Donc


Log ²

2  £ un+1 £ 4
Log 2

Conclusion : Pour tout n Î IN

on a

2  £ un £ 4
Log²

un+1 – un = f(un) ­ un
on a f(x) – x £ 0 pour x Î [

2  , 4] donc un+1 – un £ 0 d’où (un) est
Log 2

décroissante
Conclusion : (un) décroissante
(un) minorée par


Log 2

donc (un) convergente
­ 287 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

soit l sa limite on a donc l = f( l )
donc l =

Log 2 
Log 2 
Log 2 
(car f(
)=
2
2
2

C°/ j : P ® P
M(z) a M’(z’) tel que : z’ = 


Log z 

Avec z Î C*\{|z| = 1}
1) M(x, y) et M’(X, Y)
On a X + i Y =

Donc

X=

Y=

x - iy 
-y
x
=
+i
1 Log (x ² + y ²
1 Log (x ² + y ²)
Log  x ² + y ²
2
2

x
1 Log (x ² + y ²
2
-y
1 Log (x ² + y ²)
2

2) x ¹ 1 et M distinct de A (1,0)
donc :

X=

Y=


1 Log(1 + y ²)
2
-y
1 Log (1 + y ²)
2

(1)

(2)

(1) ==>  1  Log (1+y²) =  1 





==> donc  2 = Log(1+y²) d’où e2/x = 1+ y²
x
2

à y = m e x  - 1

donc y² = e2/x­1
2

donc Y = ­ 

m e x - 1
1


2

= m x  e x  - 1

2

donc

Y = x  e x  - 1
ou
2

Y = ­ x  e x  - 1
Donc E = x f È x 1 avec x1 = S(x’ x) (xf).
­ 288 ­ 

Amor Etteyeb

Problèmes de révision 

10



­6 

­4 

­2 













10 

12 

­5 

PROBLEME 4
A°/
1°/ a) f1 (x) =

ex
x+1

; " x Î ] ­1; +¥ [

La fonction f1 est dérivable sur ] ­1; +¥ [ ( quotient de deux fonctions
dérivables), et on a :

f1 ' (x) =

e x(1 + x) ­ e x
x ex
=
.Soit donc le
(x + 1)²
(1 + x)²

tableau de variations de f1 :
x
f’(x)

­1


0
0




+


f(x)
1

­ 289 ­ 


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