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Révision Maths

Bac Maths

Mars 2016

Prof : HADJ SALEM Habib

Exercice 1 :
Soit f la fonction définie sur [ 0,+¥[ par f(x) = x - ln(1 + x2).

(

rr

)

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i, j .
I. 1) Montrer que pour tout x appartenant à [ 0,+¥[ , f ’(x)=

æ
è

2) a) Montrer que pour x > 0, f(x) = x - 2lnx - ln ç 1 +

1 + x2

.

1ö
÷
x2 ø

f(x)
x

b) Calculer lim f(x) et lim
x ®+¥

( x - 1)

2

x ®+¥

c) Calculer lim [f(x) - x], puis interpréter graphiquement le résultat trouvé.
x ®+¥

3)
4)

Dresser le tableau de variation de f.
a) Donner une équation de la tangente D à la courbe (C) au point O.

b) Donner la position relative de la droite D et la courbe (C).

(

rr

)

c) Tracer dans le repère O,i, j la droite D et la courbe (C).

é pé
ë
ë

II. Soit G la fonction définie sur ê 0, ê par G(x)=
2

ò

tanx

0

dt
1 + t2

é pé
ë
ë

1 ) a) Montrer que G est dérivable sur ê 0, ê et déterminer sa fonction dérivée.
2

é pé
ë
ë

b) En déduire que pour tout x appartenant ê 0, ê ; G(x)=x.
2
c) Calculer alors

ò

1

0

1
dt .
1 + t2

2) On désigne par A l'aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite D et les droites d'équations x = 0
et x = 1.
a) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
b) En déduire la valeur de A.
Exercice 2 :
Le plan est orienté.
Dans la (Figure 2), ABCD est un rectangle tel
que AB = 1 et AD=

1+ 5
2

et FCDE et BFGH sont deux carrés.
1 ) On pose q =

-1 + 5
2

.

a) Montrer que q2 = 1-q.
b) Vérifier que FG = q et que EG = q 2 .

ò

1

0

x2
dx
0 1 + x2

ln(1 + x2 )dx = ln2 - 2 ò

1

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Mars 2016

2) Soit S1 la similitude directe de centre F, d'angle

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p
et de rapport q.
2

a) Montrer que S1,(C) = G.
b) Déterminer l'image du carré FCDE par S1.
3) Soit S2 la similitude directe de centre G qui transforme H en E.
Montrer que S2 est de rapport q et d'angle -

p
.
2

4) On pose h = S2oS1 .
a) Montrer que h(D) = E.
b) Montrer que h est une homothétie de rapport qz.

uur

uur

c) Montrer que AE = q2 AD et en déduire le centre de h.
d) Montrer que les points A, G et C sont alignés.
e) Soit I = h(E) et J = h(F).
Construire les points J et I et déterminer alors l'image du carré BFGH par S2.
5) On considère la suite (an) définie sur IN par an= q2".
a) Vérifier que a0, a1 et a2 sont les aires respectives des carrés FCDE, BFGH et GEIJ.
b) On pose pour tout entier naturel n, An= a0 +a1 +………+an
Exprimer An en fonction de n et vérifier que la limite de An est égale à l'aire du rectangle ABCD

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Exercice 4:

(

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rr

)

Dans l'annexe ci-jointe (Figure 1), O,i, j est un repère
orthonormé et (C) est le cercle de centre O passant par
les points A(2r 0) et A'(- 2, 0).

r

( )

1) Soit P(x, y) un point du plan n'appartenant pas à O,i ,

r

( )

H son projeté orthogonal sur l'axe O,i et M (X,Y) le
milieu du segment [PH].
a) Exprimer X et Y à l'aide de x et y.
b) Montrer que lorsque P varie sur le cercle (C) , M varie

X2
sur l'ellipse (E) d'équation :
+ Y2 = 1
4

(

rr

)

c) Tracer l'ellipse (E) dans le même repère O,i, j .

æ
ç
è

2) Soit P0( 1, 3 ) et M0 ç 1,

3ö
÷
2 ÷ø

La tangente (T) au cercle (C) en P0 coupe l'axe des abscisses au point I.
a) Montrer que I a pour coordonnées (4, 0).
b) Montrer que la tangente à l'ellipse (E) en Mc passe par I.
Exercice 5 :
Le plan est orienté.
Dans la figure ci-contre OAB est un
triangle rectangle en B de sens direct tel que

p
;OB ) º [2p]
(OA·
3
uuur uur

A) Soit f ta similitude directe de centre O qui envoie B
en A.
1) Donner une mesure de l'angle de f et montrer
que le rapport de f est égal à 2.
2) Soit C l'image de A par f.
a) Montrer que le triangle OCA est rectangle en A de sens direct et que AC =2AB.
b) Placer le point C.
B) Soit g la similitude indirecte qui envoie B en A et A en C. On note W le centre de g.

uuur

uuur

1) a) Montrer que W vérifie la relation WC = 4WB .
b) Placer le point W .
2) Soit G le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, 2) et H son image par g.

uur

uur 1 uur
1 uur
BA et en déduire que AH = AC
3
3
uur uur uuur
b) Montrer que BG + AH = WB ;puis montrer que G est le milieu du segment [ W H].
a) Vérifier que BG =

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c) Montrer que la droite (GH) est l'axe de g.

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Exercice 6 :

I ] On considère la fonction f2 définie sur ]0,+¥[ par f2(x) = x2 -Inx et on désigne par ( G ) sa
rr
courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j .

(

)

1) a) Calculer lim+ f2 (x) et lim f2 (x)
x ®0

x ®+¥

f2 (x)
et interpréter graphiquement le résultat.
x ®+¥ x

b) Calculer lim

c) Dresser le tableau de variation de f2.

rr
2) Dans l'annexe ci-jointe on a tracé, dans le repère O,i, j , la courbe (L) de la fonction

(

)

In et la courbe (C) d'équation y = x2.
a) Soit x > 0. On considère les points M et M2 de même abscisse x et appartenant respectivement à (L) et (C).
Vérifier que MM2 = f2(x).
b) Construire alors dans l'annexe les points de la courbe ( G ) d'abscisses respectives 2 ;
rr
c) Tracer la courbe ( G ) dans le repère O,i, j de l'annexe.

(

)

1
et
e

1
2

II ] 1 ) Soit k un entier supérieur ou égal à 2.

On considère la fonction fk définie sur ]0,+¥[ par fk(x) = xk -Inx.
a) Déterminer f ’k la fonction dérivée de fk.
b) Montrer que fk admet un minimum en

k

1
1 + lnk
égal à
k
k

c) Pour tout réel x > 0, on considère les points Mk(x,xk) et M (x,ln x).
Déterminer la valeur minimale de la distance MMk.
2) Pour tout entier k ³ 2, on pose uk= k
a) Vérifier que lnuk = -

1
.
k

lnk
et en déduire la limite de (uk).
k

b) Soit A(1, 0) et Ak le point de coordonnées (uk, fk(uk)).Calculer la limite de la distance AAk lorsque k tend vers +¥ .

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Exercice 7 :

Soit g la fonction définie sur ]0,+¥[ par g(x) = 1 + x - x Inx.
a) Etudier les variations de g.

b) En déduire que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution x0 dans ]0,+¥[ .
Vérifier que 3,5 < xo < 3,6.
c) En déduire le signe de g.
2) Soit f la fonction définie sur ]0,+¥[ par f(x) =

lnx
1 + x2

(

rr

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i, j
a)

Calculer f '(x) et vérifier que f '(x) =

g(x 2 )
x(1 + x 2 )2

)

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b)
Dresser le tableau de variation de f.
c) Vérifier que f( x 0 )=

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1
2x 0

d) Tracer la courbe (C). (On prendra x0 » 3,6)
3) Soit (an) la suite définie sur IN* par an =

1
n
1

ò

f(t)dt .

a) Montrer que la suite (an) est croissante.
b) Montrer que pour tout x de l'intervalle ]0,1[, In x £ f(x) £
c) En déduire que

1 æ 1 + lnn ö
1 + lnn
ç1 ÷ £ an £ 1 2è
n ø
n

1
lnx
2

é1 ù

d) Montrer alors que la suite (an) est convergente et que sa limite l'intervalle ê ;1 ú .
ë2 û

Exercice 8 :
Dans la figure ci-contre, ABF est un triangle rectangle isocèle

(

uuur uuur

)

tel que AB $; AF º

p
[ 2 p]
2

I est le milieu de [AF]. Les droites (IB) et (AE) se coupent en
G et EGB est un triangle rectangle isocèle en G

1) Soit f la similitude directe de centre B, d'angle

p
2
et de rapport
.
4
2

Déterminer les images des points E et F par f.
2) Soit g la similitude directe qui envoie A en F et F en B.
a) Montrer que g est de rapport

2 et d'angle -

3p
4

b) Déterminer la nature de gog et préciser son rapport et son angle.

( )

· = 1 . En déduire que GB = 2 GA.
c) Montrer que tan ABI
2

d) En déduire que G est le centre de g.
3) Soit r = gof.
p
2

a) Montrer que r est la rotation de centre F et d’angle - .
b) Déterminer r(E). En déduire que EFGH est un carré, où H est le milieu de [EB].

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Exercice 9
Le plan est orienté.
Dans la figure ci -contre , le triangle OAB est rectangle isocèle
en O et de sens direct .
H est le projeté orthogonal du point O sur la droite (AB) ,A’ est
le point du segment [OH] tel que : OA’=

1
OA
2

et H’ est le projeté orthogonal du point A’ sur la droite (OB).
Soit f la similitude directe de centre O qui envoie A en A’.
1) Déterminer le rapport et l’angle de f.
2) On note B’ l’image du point B par la similitude directe de f.
a) Déterminer la nature du triangle OA’B’.
b) Construire le point B’.
c) Montrer que f(H)=H’
3) Soit I le milieu de segment [A’B] et J le milieu du segment [AA’]
a) Montrer qu’il existe un unique déplacement R qui envoie J en O et I en H.
b) Montrer que R est une rotation dont on déterminera l’angle.

(

uur uuur

)

$
c) Soit K le milieu du segment [AB’].Montrer que IJ=OH’ et JK;OH'
º-

p
[2p] .
2

d) Déterminer alors R(K).
e) En déduire que IK=HH’ et que (IK) et (HH’)sont perpendiculaires.
4) Montrer que le quadrilatère IHKH’ est un carré.

Exercice 11 :
ISoit f la fonction définie sur [0,p] , par f(x)= esinx .

rr

On désigne Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O,i,j) .
1) a) Déterminer la dérivé f’ et dresser le tableau de variation de f sur [0,p] .
b) Montrer que la droite D : x =

p
est un axe de symétrie de la courbe Cf
2

c) Soit T la tangente à Cf au point d’abscisse 0.
Justifier que ( T) a pour équation y= x+1.
2) Soit g la fonction définie sur [ 0,1] ,
par g(x)= ex 1 - x2 - 1 .
On donne ci -contre le tableau de
variation de g.
a) Justifier que l’équation : g(x)=0
admet dans l’intervalle ]0,1[ une

x
g’(x)

-1 + 5
2

0
+

0

1
-

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seule solution a .
b) En déduire le signe de g(x) sur [0,1].

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æ -1 + 5 ö
g çç
÷
2 ÷ø
è

g
0

-1

3) On se propose de déterminer la position de ( Cf) et de sa tangente ( T ) au point d’abscisse 0 sur
é pù
sinx
êë 0, 2 úû . Soit h la fonction définie par e - ( x + 1 ) .
p

a) Vérifier que pour tout x Î éê0, ùú , h’(x)=g(sinx)
ë 2û
p
b) Montrer qu’il existe un réel b dans éê 0, ùú tel que sin(b ) = a .
ë 2û
p
c) Déterminer alors l’mage par la fonction sinus de chacun des intervalles [ 0,b ] et éêb, ùú .
ë 2û

d) Dresser le tableau de variation de h.
p
e) En déduire que pour tout x de éê 0, ùú , f(x) ³ x+1. Conclure.
ë 2û

II.
1) a) montrer que pour tout réel x ³ 0 ; sinx £ x.
p

b) Déduire que pour tout rée x Î éê 0, ùú , f(x) £ ex .
ë 2û
c) Dans l’annexe ci jointe , on a tracé la courbe de la fonction x a ex .
Tracer la droite T et la courbe ( Cf).
2) a) Montrer que

ò

1

0

f(x)dx £ e - 1 et

ò

p
2

1

æp ö
f(x)dx £ e ç - 1 ÷
è2 ø

r

b) Soit A l’aire de la partie limitée par la courbe (Cf) , l’axe ( O,i) et les droites d’équations :
x=0 et x= p . Montrer que

p2
+ p £ A £ ep - 2 .
4

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Exercice 12:
1) Soit la fonction u définie sur ]0,+¥[ par u(t) = 3ln(1 + t ) -

t
.
1+t

a)Dresser le tableau de variation de la fonction u.
b)En déduire le signe de u .
3
ïìf(x) = x éëln (1 + x ) - lnx ùû si x Î ]0,1]
2) Soit la fonction f définie sur [ 0,1] par í
ïîf ( 0 ) = 0

a) Montrer que f est continue et dérivable à droite en 0 et calculer f’ d (0).
2 1
b) Vérifier que pour tout x Î ]0,1] , f’(x)= x u( x )
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
II-

On considère les fonctions g et h définies sur [0,1] par
G(x)=x 3 ln(x+1)

et

3
ïìh(x) = x lnx
í
ïîh(0) = 0

si x Î ]0,1]

On désigne respectivement par (C f ),(C g )et (C h ) les courbes des fonctions f, g et h dans un repère
rr
orthonormé O,i,j .

(

)

-

1

1)

Montrer que la courbe (C h ) admet une tangente horizontale au point d'abscisse e 3 .

2)

a) Vérifier que pour tout réel x d e [0,1] ; f ( x ) = g(x) - h(x).

b)

Donner la position relative des courbes (C f ) et(C g ).

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1
3

c) Soit T et T’ les tangentes respectives à (C f ) et (C g ) aux points d'abscisse e .
Montrer que T et T sont parallèles,
rr
3) Dans l'annexe ci-jointe ( F i g u r e 2 ), on a tracé dans le repère O,i,j les courbes (C g ) et (C h ) et leurs

(

-

)

1

tangentes a u x points d'abscisse e 3 .
a)

Construire le point de (C f ) d'abscisse e

b)

Tracer la courbe (C f ).

3)

-

1
3

et la tangente (T).

a) Justifier que h admet une unique primitive H sur l’intervalle [0,1] qui s'annule en 1 .
1

b ) S o i t aÎ[ 0,1] e t A a = ò x 3 lnxdx . E x p r i m e r A a e n f o n c t i o n d e H .
a

c) Calculer A a à l'aide d ' u n e intégration par parties.
b ) En déduire H(0).
c) Déterminer alors l’aire de la partie du plan l i m i t é e par les deux courbes (C f ) et (C g ) et les droites
d'équations x = 0 e t x = 1 .

Exercice13

rr r
Soit O,i,j,k un repère orthonormé de l'espace .

(

)

On considère les points A(-2,3,2) et B(2,3,2) et
l'ensemble S des points M(x,y,z) de l'espace
tels que x 2 + y 2 + z 2 - 6 y - 4 z + 9 = 0 .
1 1 ) a) Montrer que S est une sphère et préciser son
rayon et les coordonnées de son centre I.
b) Montrer que [AB] est un diamètre de S .
2) Soit P le plan d'équation z = 2 et soit J (-6,3,2).
a) a) Vérifier que I appartient au plan P et en déduire
que la sphère S coupe P suivant le cercle G de
diamètre [AB].

3) Soit E le point de coordonnées (4,3,0) .On considère l’homothétie h de centre E , de rapport

5
et on
2

désigne par S’ la sphère image de S par h.
a)
Déterminer le rayon de S’ et les coordonnées de son centre I’.
b)
Justifier que le plan P coupe la sphère S’ suivant le cercle G ' .
c)La droite (EA) recoupe S’ en A ' . Soit B ’ le point diamétralement opposé à A ’ sur la sphère S .
Montrer que les points E , B et B ’ sont alignés.

Exercice 14 :

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Dans la figure ci-contre, le solide de révolution (S) est obtenu en faisant tourner la portion de la courbe
d’équation y= e x , x Î [1,2] autour de l’axe ( Ox ) .
Le but de cette exercice est de calculer le volume V de cette solide.
1) Soit F la fonction définie sur [1,+¥[ par F(x) =

ò

x

1

4t

e

2) Soit G la fonction définie sur [1,+¥[ par G(x) =

ò

dt . Vérifier que V = p F(2).

4x

1

tetdt .

a) Montrer que G est dérivable sur [1,+¥[ et que G'(x) = 2 F'(x).
b) En déduire que pour tout réel x de [1,+¥[ , 2 F(x) = G(x) - G{1).
3) a) Montrer que pour tout réel x de [1,+¥[ ,
G(x)=

(

)

4x - 1 e

4x

b) Calculer alors V.

Exercice 15 :
Soit f la fonction définie sur ]0, +¥[ par f(x) =
1) a) Montrer que f'(x)=

( x - 2) ex

e x ( x 2 - 4x + 6 )

x3

rr
et Cf sa courbe représentative dans un repère O,i, j

(

x4

b) Déterminer lim+ f (x) et lim f (x) .
x ®0

x ®+¥

c) Dresser le tableau de variation de f.
2) Montrer que la tangente D à Cf au point d'abscisse 2 a pour équation y =
3) On se propose d'étudier la position relative de Cf et de sa tangente D .
ex
x3
On donne ci-dessous le tableau de variation de g.

Soit g la fonction définie sur ]0, +¥[ par g(x) =

e2
(x - 2)
8

)

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a) Montrer que l'équation g(x) =

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e2
admet dans ]3,+¥[ une solution unique a telle que4,2 < a <4,3.
8

b) Déduire la position relative de Cf et D .
4) Justifier l'existence sur ]0, +¥[ d'une primitive F de f telle que F(1) = e.
5) Dans l'annexe ci-jointe, on a tracé la courbe représentative CF de la fonction F, la droite D et le rectangle ABCD
tel que A(1, e) ; B(0, e ) ; C(0, F(2)) et D (1, F(2)).
a) Etudier les branches infinies de Cf.
b) Tracer la courbe Cf dans l'annexe ci-jointe.

r
6) Soit t Î [1, 2[ . On désigne par S(t) la partie du plan limitée par la courbe Cf , l'axe O,i

( )

et les droites d'équations x = t et x = 2. On désigne par ,A(t) l'aire de S(t).
a) Exprimer A(t) en fonction de F(t).
b) Hachurer S(1) et justifier qu'elle a la même aire que le rectangle ABCD.
1
c) Montrer qu'il existe un unique t0 Î [1, 2[ tel que A(t0)= A(1)
2
d) Construire le point de Cf d'abscisse t0.

Exercice 16 ( bac 2014)

(

rr

)

Le plan est mu ni d’un repère orthonormé O,i, j .

1) Soit ( E ) l’ellipse d’équation :

x2
+ y2 = 1
4

Déterminer les cordonnées des foyers de l'ellipse ( E ) et donner son excentricité.
b) Soit ( P ) la parabole d'équation y 2 = 2x + 4.
Déterminer les coordonnées du foyer F de la parabole ( P ) et donner une équation de sa
directrice.
2)

(

rr

)

Dans l'annexe ci-jointe (Figure 2), on a tracé dans un repère orthonormé O,i, j l'ellipse (E) et la

parabole ( P) .
Soit ( G ) la courbe d'équation : y 2 = -2|x| + 4.

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r

( )

a) Vérifier que O, j est un axe de symétrie de ( G ).

(

rr

)

b) Tracer ( G ) dans le repère O,i, j .
3)

a) Soit C le cercle d'équation x2+y2 = 4.

(

)

Vérifier que pour tout réel t de [0,2], le point M t, 4 - t2 appartient à C.

b) On pose I1 =
4)
5)

Calculer I =
2

ò

ò

2

0

2

0

4 - t2 dt . Montrer que I1 = p

-2t + 4 dt .

Soit A 'aire de la surface limitée par la courbe ( G ) et l'ellipse ( E ) .
Exprimer A en fonction de I1 et I2 puis calculer A .

Exercice 17 (bac 2014)
1) Soit f la fonction définie sur ]0,+¥[ par f (x)=

lnx
.
x

Déterminer f ’ (x)et dresser le tableau de variation de f.
2)

ìg(x) = ef(x) si x > 0

Soit g la fonction définie sur [ 0,+¥[ par í

îg(0) = 0

a) Montrer que g est continue à droite en 0.
b) Montrer que g est dérivable à droite en 0.
c) Dresser le tableau de variation de g.

(

rr

3) Dans l'annexe ci-jointe ( Figure 3), on a représenté dans le repère O,i, j
la courbe de la fonction f et la courbe de la fonction exponentielle.
a) Construire le point A de coordonnées (e,g(e)).

)

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b) Déterminer et tracer la tangente à la courbe Cg de g au point d'abscisse 1

(

rr

)

c) Tracer la courbe C g dans le repère O,i, j .
3)

On considère la suite (Un) définie sur ¥ par
*

ìU1 = 1
í
îUn+1 = g(Un ) si n ³ 2

a) Donner la limite de (un)
b) Déterminer l'entier naturel n pour lequel

n

n est maximal.

15