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revision bac Sc exp fin trim 2 .pdf



Nom original: revision bac Sc exp fin trim 2 .pdf
Titre: Lycée Médenine
Auteur: user

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Révision Maths

Bac Sc exp

Mars 2016

Exercice 1:

rr r

(

Prof : HADJ SALEM Habib

)

L'espace E étant rapporté à un repère orthonormé direct O,i, j,k .On donne les points A(0,0,
C(

1
1
, 1 , - ).
2
2

1
) ; B(1,1,-1) et
2

1. a. Vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

uur uur

b. Calculer les coordonnées de AB Ù AC .
c. En déduire l’aire du triangle ABC.
d. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P = (ABC) est : 2x+y+2z-1= 0
2. Soit D la droite dont une représentation paramétrique est :

ìx = 1 + a
ï
íy = a
ïz = 1 - a
î

où a ÎIR

Montrer que P et D sont sécants et déterminer leur point d’intersection.

{

3. Soit S= M ( x,y,z ) Î E telque x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 6y - 3 = 0

}

Montrer que S est une sphère dont on déterminera le centre Q et le rayon R.
4. Soit Pm le plan dont une équation cartésienne est : 2x + y + 2 z - m = 0 . (m Î IR )
a. Montrer qu’il existe deux valeurs de m pour lesquelles le plan Pme st tangent à la sphère S.
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de S et D .
Exercice 2

(

rr r

)

L'espace E est rapporté à un repère orthonormé direct O,i, j,k .On donne les points A(0,0,-1) ; B(2 ,0 ,- 2) ;
C ( 2 , 2 , 0 ) et D (1,2,3).
1. a. Vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires
c. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
d. Calculer la distance du point A à la droite (BC).
2. Donner une équation cartésienne du plan P = (ABC) .

{

3. Soit S = M ( x,y,z ) Î E telque x 2 + y 2 + z2 - 2x + 4y + 4z + 5 = 0

}.

a. Montrer que S est une sphère dont on déterminera le centre W et le rayon R.
b. Montrer que l'intersection de la sphère S et du plan P est un cercle C .
c. Déterminer les coordonnées du centre A’ et le rayon r du cercle C.
4. Soit M (a, b, -1) un point de la sphère S où a et b sont deux réels
et Q le plan dont une équation cartésienne est : ( a - 1 ) x + ( b + 2 ) y + z - a + 2 b + 3 = 0
a. Montrer que M appartient au plan Q.
b. Montrer que S et Q sont tangents en M.
Exercice 3

(

uur uur uur

)

Le repère A,AB, AE,AE formé sur le cube ABCDEFGH est
orthonormé direct.

uur uur

uur

1) Le vecteur AB Ù AC est égal à : a) AE
2) L’aire du triangle ABL est
a) 1

b)

1
2

c)

5
4

uur

b) EA

3) La distance du point C à la droite (AF) est égale à :
a)

3
2

b)

6
2

c) 1

uur

c) BC

Révision Maths

Exercice 4 :

Bac Sc exp

Mars 2016

Prof : HADJ SALEM Habib

(

rr r

)

L’espace est rapporté a un repère orthonormé direct O,i, j,k .

On considère l’ensemble (S) des points M(x,y,z) tels que : x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 6 = 0.
1- Montrer que (S) est une sphère dont on déterminera les coordonnées du centre et le rayon.
2- Soient les points A(3,1,2) , B(1,3,2) et C(1,-1,-2).
a- Montrer que ABC est un triangle rectangle en A et calculer son aire .

æ1 ö
uur uur
rç ÷
b- Déterminer AB Ù AC .Déduire que le vecteur n ç 1 ÷ est un vecteur normal du plan (ABC) et écrire l’équation
ç -1 ÷
è ø
cartésienne du plan (ABC).
3- Montrer que l’intersection de (S) et de (ABC) est le cercle circonscrit au triangle ABC.
4- Soit D (1+ a , 1, a ) où a est un réel.
a- Déterminer l’ensemble ( D ) des points D . Démontrer que ( D ) est incluse dans le plan (ABC).
b- Déterminer le réel a Î IR*- pour que le quadrilatère ABCD soit inscrit dans la sphère (S).
c- Pour la valeur de a trouvée, montrer que ABCD est un rectangle. En déduire son aire.
Exercice 5 :
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses
proposées est exacte .
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre
correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Dans la figure ci-contre ABCDEFGH est un cube d’arête 1.
uuur uuur uuur
On munit l’espace du repère A, AB, AD, AE

(

uuur uuur
1) Le vecteur BF Ù BC est égal à ;
uuur
a) BG

)

uuur
b) BD

uuur
c) BA

2) L’intersections des plans d’équations x=1 et y=1 est la droite
a) (CH)
b) (CF)
c) (CG)
3) Une équation du plan (ACE) est
a)x+y=0
b) x-y =0
c) x-y=1
4) L’intersection de la sphère d’équation x2 + y2 +z2=2 avec le plan d’équation z=1 est :
a) un cercle b) un point c) l’ensemble vide
Exercice 6 :
rr r
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct O,i, j,k . On considère
les points A(2,0,0), B(0,4,0) et C(0,0,4) et on désigne par I et J les milieux
respectifs des segments [AB]et [BC].
1) Déterminer les coordonnées des points I et J.
2) Soit P l'ensemble des points M de l'espace vérifiant
MI = MJ.
a/ Montrer que P est le plan d'équation
2x-4z + 3 = 0. b/ Montrer que la droite (OC) et le plan P sont sécants en un
point K que l'on précisera.

(

)

Révision Maths

Bac Sc exp

Mars 2016

Prof : HADJ SALEM Habib

3
2

3) Soit S l'ensemble des points M(x,y,z) de l'espace tels que x2 + y2+z2- z-5 = 0.
a/ Montrer que S est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.
b/ Vérifier que les points I et J appartiennent à la sphère S.
c/ Montrer que S est la seule sphère qui passe par les points I et J et dont le centre est un
point de la droite (OC).
4) Déterminer l'intersection du plan P avec la sphère S.
Exercice7 bac 2014

(

rr r

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct O,i, j,k

)

On considère l'ensemble (S) des points M(x, y, z) de l'espace tels que x2 + y2 + z2 - 2x + 2y -1 = 0.
1) Montrer que (S) est la sphère de centre le point I(1,-1,0) et de rayon

r
2) Soit D la droite passant par le point A(0,0,3) et de vecteur directeur u .

3. .

a) Donner un système d'équations paramétriques de la droite D .
b) Montrer que l'intersection de D et (S) est vide.
3) Soit B le point de coordonnées (3, 0, 0).
a) Justifier que le point B et la droite D déterminent un plan P.
b) Montrer que P a pour équation cartésienne x + y + z - 3 = 0 .
c) Prouver que le plan P est tangent à la sphère (S) et déterminer les coordonnées de leur point de contact.

Exercice 8 :

Révision Maths

Bac Sc exp

Mars 2016

Prof : HADJ SALEM Habib

1) Dans le graphique ci-contre, C et G sont les courbes
représentatives dans un repère orthonormé, des deux
fonctions u et v définies sur IR+ par u(x) = - x2 + x
et v(x) = x In x pour x > 0,
Par une lecture graphique
a) Reconnaitre la courbe de chacune des deux fonctions u et v
b) Donner le signe de u(x) - v{x).
2) Soit f la fonction définie sur IR+ par f(0) = 0 et
f(x)= f ( x ) = -

x3 3 2 1 2
+ x - x lnx si x>0
3 4
2

f est-elle dérivable à droite en 0 ?
3) a) Vérifier que pour tout

x > 0 ; f’(x) = u(x) –v(x)

b) Calculer faire de la partie du plan limitée par les courbes C et
G et les droites d'équations respectives x = 0 et x = 1
4)

rr
On désigne par Cf , la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i,j .
a) Etudier les variations de f
r
b) Montrer que la courbe Cf coupe l'axe O,i en un seul point autre que O

(

)

( )

On notera a l'abscisse de ce point Vérifier que 1.5 < a < 1.6.
c) Tracer Cf . (on précisera la demi-tangente à Cf au point O)
Exercice 9 :
Dans le graphique ci-contre : G est la courbe
représentative, dans un repère orthonormé, d'une
fonction f définie sur
l'intervalle [0,+ ¥ [ et dérivable sur ]0,+¥[
• Les points O, A et B appartiennent à G.
• La droite (AC) est la tangente à G au point A.
F admet une branche parabolique de direction l'axe
des ordonnées au voisinage de + ¥ .
1) Par une lecture graphique :
a) Déterminer f (0), f (2), f (2e), f '(2) et f ‘(2e).
f(x)
f(x)
b) Déterminer lim f(x) et lim
x®+¥
x®+¥ x
c) Justifier que la restriction g de f à l'intervalle [2,+ ¥ [
admet une fonction réciproque g-1 et préciser
l'ensemble de définition de g-1.

2) On admet que g est définie par g(x) = x( 1 + ln2 -lnx) , pour tout x ³ 2.
On désigne par C la courbe représentative de g et par C ’ celle de g-1 dans un repère

Révision Maths

Bac Sc exp

Mars 2016

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rr
orthonormé O,i,j du plan. Tracer, les courbes C et C ’

(

)

r
r
3) Soit D la partie du plan limitée par les axes O,i et O,j et les courbes C et C ’ .

( ) ( )

a) Hachurer D.
b) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que

2e

ò f ( x )dx = e

2

2

-3 .

c) Calculer l'aire de D.
Exercice 10 :

Dans le graphique ci-contre : C et G sont les courbes
représentatives, dans un repère orthogonal, d'une
fonction f dérivable sur IR et de sa fonction dérivée f-1 .
Chacune des deux courbes C et G possède :
- une branche parabolique de direction l'axe des
ordonnées au voisinage de + ¥ .
- une asymptote d'équation y = 0 au voisinage de - ¥ .
1) Par une lecture graphique :
a) Déterminer, parmi les courbes C et G , celle qui
représente la fonction f '.
b) Déterminer f(0), f'(0) et f '(1) .
c) Dresser le tableau de variation de f.
2) On admet que la fonction f est définie sur R par f(x) = f ( x ) =

ex
1 + x + x2

a) Calculer f'(x), pour x e IR .
b) Montrer que pour tout x e R on a : f (x) - f '(x) = f ( x )

ex
.
1 + x + x2

c) En déduire les coordonnées du point d'intersection des deux courbes C et
d) Montrer que pour tout x ³ -

•g'et F.

4 2x + 1
1
,on a f (x) - f '(x) ³
.
2
3 e 1 + x + x2

3) Soit t un réel supérieur ou égal à 1. On désigne par A(t) l'aire de la partie du plan limitée par les deux
1
2

courbes C et et les droites x= - et x=t
a) Montrer que A(t) ³

4
3 e

ln(1 + t + t 2 ) -

4

æ3ö
ln ç ÷
3 e è4ø

b) En déduire lim A ( t )
t ®+¥

Exercice 11 : Soit f la fonction définie sur IR par f ( x ) = f ( x ) =

e- x
1 + ex

rr

On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O,i,j) .
1) a) Calculer lim f(x)
x®+¥

b) Calculer lim f(x) et montrer que lim
x®-¥

x®-¥

f(x)
= -¥ . Interpréter graphiquement les résultats.
x

Révision Maths

Bac Sc exp

2) a) Montrer que pour tout réel x, f' ( x ) =

Mars 2016

Prof : HADJ SALEM Habib

2 + e- x

(1 + e )

x 2

b) Dresser le tableau de variation de f.
3
4

1
2

3) a) Justifier que la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse 0 a pour équation y = - x + .
b) Utiliser le tableau de signe ci-contre pour préciser la position relative de C f et (T).

c) Tracer (T) et Cf.
4) Soit l un réel strictement positif. On désigne par A l l'aire de la partie du plan limitée par la
courbe C f , les axes du repère et la droite d'équation x = l
e- x
1 + e- x
A l = l -e-l + ln(1 + e-l ) + 1 - ln2

a) Vérifier que, pour tout réel x, f ( x ) = e- x b) Montrer que

c) Calculer lim A l .
l®+¥

Exercice 12:
rr r

L'espace est rapporté à un repère orthonormé ( O,i,j,k )
On considère la sphère (S) d'équation x2 + y2 + z2 - 8 - 0 et le plan P d'équation x + 2y + z - 6 = 0 .
1) a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère (S).

b) Montrer que le plan P coupe la sphère (S) suivant un cercle ( C ) dont on précisera le centre et le
rayon.
2) On donne les points A(2, 0, 2) et B(2, 2,0).
a) Vérifier que A appartient à la sphère (S) et n'appartient pas au plan P et que B appartient au
cercle ( C ) .
b) Soit Q l'ensemble des points M(x, y, z) de l'espace tels que MA = MB.
Montrer que Q est le plan d'équation y = z.
c) Montrer que les plans P et Q se coupent suivant la droite A dont une représentation
ìx = 6 - 3a
ï
paramétrique est ; í y = a
; aÎIR
ïz = a
î

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3) Déterminer un point C du cercle (C) tel que ABC est un triangle équilatéral.
Exercice 13 :
x -1
æ x -1 ö
et g(x)= ç
÷ lnx .
x
è x ø
rr
On désigne par Cf et Cg les courbes de f et g dans un même repère orthonormé O,i,j .

Soient f et g deux fonctions définies sur ]0,+¥[ par f(x)= lnx -

(

f (x)
.Interpréter graphiquement ce résultat.
x®+¥ x

)

1) a) Déterminer lim f ( x ) et lim
x®+¥

b)Justifier que lim+ f ( x ) = +¥
x® 0

2)a) Montrer que f est dérivable sur ]0,+¥[ et que f ’(x)=

x -1
.
x2

b) Dresser le tableau de variation de f.
3) On donne, ci-contre, le tableau de variation d e la fonction g - f .
a) Préciser la position relative des courbes Cf et Cg.

b) Soit a un réel de ]1,+¥[ , M le point de l a courbe Cf d'abscisse a et N le point de la courbe Cg de même
abscisse a. Justifier que M N < 1 .
4) Dans l'annexe ci-jointe, on a tracé la courbe Cg.
a) Tracer la courbe Cf.
1 lnx
x x

b) Vérifier que pour tout réel x de ]0,+¥[ g(x)-f(x)= 1 - -

c) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par les courbes Cf, Cg et les droites d'équations x = 1 et x = e.

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Exercice 14 :bac 2013 ctr
rr

Dans l'annexe ci - jointe ( O,i,j) est un repère orthonormé du plan, Cf et Cg sont les courbes représentatives
des fonctions f et g définies sur ]0,+¥[ par

f ( x ) = ex -

1
1
et g ( x ) = lnx x
x

Cf coupe l'axe des abscisses au point A a , 0). Cg coupe l'axe des
abscisses au point B( b ,0).
1) a) Donner le signe de f(x) et celui de g(x) sur ]0,+¥[
b) Justifier que ea =

1
1
et que lnb = .
b
a

2) Soit h la fonction définie sur ]0,+¥[ par h(x) = ex - lnx et C h sa courbe représentative dans le repère
rr

(O,i,j)

a) Calculer lim h(x) .
x a0 +

b) Montrer que lim h(x) = +¥ et lim
x®+¥

c) Vérifier que h( a ) = - g ( a ) .

x®+¥

h( x )
.
x

d) Dresser le tableau de variation de la fonction h.
3) a) Vérifier que pour tout réel x de ]0,+¥[ , f (x) - h(x) = g(x).
b) Etudier la position relative des courbes Cf et C h .
rr

c) Construire Ch dans le repère ( O,i,j) .

4) Soit a > 0 .La droite D d'équation x = a coupe les courbes Cf et Cg respectivement en M et N.
Montrer que la distance MN est minimale pour a = a .

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Exercice 15
1/ Soit (un )nÎ¥ la suite géométrique de premier terme u0 =
a)
b)

1
1
et de raison .
3
3

Calculer u1.
Déterminer lim un
n®+¥

c) Pour tout entier naturel n, on pose Sn = u0 + u1 + ..... + un .
Montrer que Sn = 1 æç 1 - n1+1 ö÷


3

ø

2/ En étudiant les variations de la fonction h: x a ex - 1 - x ,
montrer que 1 + x < e x s pour tout réel x,
3/ Soit ( v n ) la suite définie, pour tout e n t i e r naturel n, par : vn=(1+u0)(1+u1)……( 1+un)
a ) Calculer v 0 et v1.
b) Montrer que la suite ( v n ) est croissante.
c) Montrer que, pour t o u t entier naturel n, vn < e
d) Montrer que la s u i t e ( v

n


1 ö
ç1÷
2 è 3n+1 ø

) est convergente.

e) Soit l la limite de (vn). Montrer que 1 <l £ e
Exercice 16 ( bac 2015 ctr) :
1/Soit la fonction g définie sur ]0,+¥[ par g ( x ) = x - lnx .
a) Etudier le sens de variation de g.
b) En déduire que pour tout réel x de ]0,+¥[ , g(x)>0
2/Soit la fonction f définie sur ]0,+¥[ par f ( x ) = 2x - (lnx ) .
2

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a) Calculer lim f(x) et montrer que lim f(x) = +¥ .
x a 0+

x®+¥

b) Montrer que f est derivable sur ]0,+¥[ et que pour tout réel x de ]0,+¥[ , f' ( x ) =
c) Dresser le tableau de variation de f.

2g(x)
x

rr

3/ Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O,i,j) . On désigne par Cf la courbe représentative de f et par
D la droite d'équation y = 2 x ,

a)
b)
c)

Vérifier que D est la tangente à Cf en son point d'abscisse 1.
Montrer que Cf admet u n e direction asymptotique q u i est celle de la droite D
Étudier la position relative de C f et D .

4/ a) Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet u n e unique solution a et que

1
1
<a< .
4
2

b) Tracer la courbe Cf .
c) Soit A l'aire de la partie d u plan limitée par la droite D , la courbe Cf et les droites d'équations x=1 et
x=e. En utilisant une intégration par parties, montrer que A = e-2.
Exercice 17 : ( Bac 2015 princ )
Soit f la fonction définie sur ]0,+¥[ f(x) = x -

(

rr

)

lnx
. . On désigne par ( C ) la courbe représentative de f dans un
x

repère orthonormé O,i,j .
1) a) Calculer lim+ f(x) , lim f(x) et lim f(x) - x .
x® 0

x®+¥

x®+¥

b) En déduire que la courbe ( C ) admet deux asymptotes que l’on précisera.
a) Etudier la position de ( C ) par rapport à la droite D : y = x .
2) a) montrer que pour tout x Î ]0, +¥[ f ( x ) =
'

(x

2

- 1 ) + lnx
x2

.

a) Montrer que (x2-1) et lnx sont de même signe sur chacun des intervalles ]0,1[ et ]1,+¥[ .
b) En déduire le signe de f’(x) sur chacun des intervalles ]0,1[ et ]1,+¥[ .
c) Montrer que 1 est l’unique solution de l’équation f’(x)=0.
d) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Montrer que la courbe ( C ) admet une unique D parallèle à la droite D .
Préciser les coordonnées du point B , point de contact de ( C ) et D.
b) Donner une équation de D.

(

rr

4) dans l’annexe ci-joint ( Figure 2), on a tracé relativement au repère orthonormé O,i,j
courbe G d’équation y =

æ1
èe

)

la droite D et la

lnx
.
x

ö
ø

a) Soit A ç ,0 ÷ , placer le point A et vérifier que A appartient à D.
b) Tracer la droite D et placer le point B.
c) Tracer la courbe ( C ) .
5) Soit A l’aire de la partie du plan limitée parla courbe ( C ) , la droite D et les droites d’équations x=
x=e. calculer A .

1
et
e

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