2014 france metropolitaine exo1 enonce .pdf


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France métropolitaine B;Oj+ Enseignement spécifique
E X E R C IC E O bS pointsv bcommun à tous les candidatsv
P artie A
Dans le plan muni d’un repère orthonorméx on désigne par CO la courbe représentative de la fonction f O définie sur R
par :
f O bxv = x : e−x +
Ov Justifier que CO passe par le point A de coordonnées b;;Ov+
Bv Déterminer le tableau de variation de la fonction f O + On précisera les limites de f O en :∞ et en −∞+
P artie B
L’objet de cette partie est d’étudier la suite bIn v définie sur N par :
In =

O

x : e−n x dx+

;


− →

Ov Dans le plan muni d’un repère orthonormé Ox i x j pour tout entier naturel nx on note Cn la courbe
représentative de la fonction f n définie sur R par
f n bxv = x : e−n x +
Sur le graphique ci=dessous on a tracé la courbe Cn pour plusieurs valeurs de l’entier n et la droite D
d’équation x = O+
CO

O
A

CB
CL
Cj



j

CS

D

CON
CS;


i

O

O

av Interpréter géométriquement l’intégrale In +
bv En utilisant cette interprétationx formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite bIn v et sa
limite éventuelle+ On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer+
Bv Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à Ox
In :O − In =

O
;

e−bn :Ovx bO− ex vdx+

En déduire le signe de In :O − In puis démontrer que la suite bIn v est convergente+
Lv Déterminer l’expression de In en fonction de n et déterminer la limite de la suite bIn v+

O
+


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