rattrapage master optimisation 2014+corrige .pdf



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OPTIMISATION SANS CONTRAINTES
MASTER 1
EXAMEN RATTRAPAGE- 12Juin 2014. Durée 2 heures
Exercice1(5points)
1.1 (3points)Soit f : R2 ! R telle que f 2 C 2 (R2 ) et (b
x; yb) 2 R2 : On
T
suppose que rf (b
x; yb) = (0; 0) et H ((b
x; yb)) est dé…nie positive. Montrez que
(b
x; yb) est une solution minimale locale stricte.
1.2 (2points)Montrez que si on suppose que H ((b
x; yb)) est seulement semi
dé…nie positive, le résultat 1.1) devient faux, c’est à dire qu’il faut trouver une
fonction f : R2 ! R et un point (b
x; yb) 2 R2 telle que rf (b
x; yb)T = (0; 0) et
H ((b
x; yb)) est semi dé…nie positive, mais (b
x; yb) n’est pas une solution minimale
locale.
Corrigé Exercice1(5points)
1.1 (3points)
f 2 C 2 (R2 ): Donc



8 (x; y) 2 R2 : f (x; y) = f (b
x; yb) + rf (b
x; yb)T (x x
b; y
1
T
b; y yb) H ((b
x; yb)) (x x
b; y yb)
+ (x x
2
2
+ k(x x
b; y yb)k " (x x
b; y yb) avec
" (x

x
b; y

yb)

(1)

yb) tend vers 0 lorsque (x; y) tend vers (b
x; yb)

On va démontrer 1.1 par l’absurde. Supposons le contraire. Alors on aura en
utilisant la négation de: (b
x; yb) est une solution minimale locale stricte, c’est à
dire (b
x; yb) n’est pas une solution minimale locale stricte:
8V ((b
x; yb)) ; 9 (e
x; ye) 2 V ((b
x; yb)) tel que : f (e
x; ye)

f (b
x; yb)

(2)

Puisque (2) est vraie pour tout voisinage V ((b
x; yb)) du point (b
x; yb) ; (2) sera
vraie aussi pour tout voisinage du type D (b
x; yb) ; n1 où


D (b
x; yb) ;

1
n

k(x

=

x
b; y

(x; y) 2 R2 : k(x
2

yb)k = (x

x
b) + (y

On aura donc en prenant en considération (2)
8n : 9(xn ; yn ) 2 D (b
x; yb) ;

1
n

2

x
b; y

2

yb)k <

1
n2

2

yb)

tel que f (xn ; yn )

f (b
x; yb)

(3)

Ainsi, il existe une suite fxn ; yn gn2N véri…ant les conditions suivantes
xn ! x
b; (n ! 1); yn ! yb; (n ! 1) et 8n : f (xn ; yn )
1

f (b
x; yb)

(4)

Considérons maintenant la suite fdn gn2N dé…nie comme suit:
x
b; yn
x
b; yn

(xn
k(xn

dn =
On a

8n : kdn k = 1:

yb)
yb)k

(5)

(6)

(6) implique que fdn gn2N est bornée. D’après le théorème de Bolzano Weistrass,
il existe une sous suite fdn gn2N1 ; N1 N de la suite fdn gn2N convergente vers un
élément de R2 qu’on note de . On a donc
lim

n!1; n2N1

(6) et (7) impliquent

D’autre part, puisque rf (b
x; yb) =
x
b; yn

(7)

de = 1

Par conséquent

1
(xn
2

e
dn = d,

T

yb) H ((b
x; yb)) (xn

soit en divisant par k(xn
(10), on obtient

x
b; yn

(8)

de 6= 0

0
0

(9)

: Donc (1) et (3) impliquent

x
b; yn

yb)+k(xn

x
b; yn

2

yb)k " (xn

x
b; yn

(10)
2
yb)k et en prenant en considération (5) et

dTn H ((b
x; yb)) dn + " (xn

x
b; yn

yb)

0

Quand n tend vers l’in…ni, alors xn ! x
b et yn ! yb: Par conséquent
T
" (xn x
b; yn yb) ! 0 et d H ((b
x; yb)) dn ! deT H ((b
x; yb)) de
n

(11)

(12)

(11) et (12) donnent

deT H ((b
x; yb)) de

0

(13)

En conclusion, si on suppose que (b
x; yb) n’est pas une solution minimale locale
stricte, alors il existe de 6= 0 telle que deT H ((b
x; yb)) de 0: Ceci est en contradiction
avec le fait que H ((b
x; yb)) est dé…nie positive.
1.2 (2points)
Contre exemple
On a

f (x; y) = x3 + y 3 ; (b
x; yb) = (0; 0)

@f
@f
(x; y) = 3x2 ;
(x; y) = 3y 2
@x
@y
@2f
@2f
(x;
y)
=
6x;
(x; y) = 6y
@x2
@y 2
@2f
@2f
(x; y) =
(x; y) = 0
@x@y
@y@x
2

yb)

0

donc
@f
@f
(0; 0) = 0;
(0; 0) = 0
@x
@x
@2f
@2f
(0;
0)
=
0;
(0; 0) = 0
@x2
@y 2
@2f
@2f
(0; 0) =
(0; 0) = 0
@x@y
@y@x
Par conséquent
H((0; 0)) =

0
0

0
0

qui est semi dé…nie positive. Mais (0; 0) n’est pas une solution optimale locale.
Exercice2(9points)
Soit f : R2 ! R telle que f 2 C 2 (R2 ) et (b
x; yb) 2 R2 :
T
2.1(3points) On suppose que rf (b
x; yb) = (0; 0) et
@2f
@2f
(b
x; yb): 2 (b
x; yb)
2
@x
@y

@2f
(b
x; yb)
@x@y

2

@2f
@2f
(b
x
;
y
b
):
(b
x; yb)
@x2
@y 2

@2f
(b
x; yb)
@x@y

2

>0

et

Montrez que (b
x; yb) est une solution minimale locale stricte.
2.2(3points) On suppose que rf (b
x; yb)T = (0; 0) et
>0

et

@2f
(b
x; yb) > 0:
@x2

@2f
(b
x; yb) < 0:
@x2

Montrez que (b
x; yb) est une solution maximale locale stricte.
2.3 (3points)On suppose que rf (b
x; yb)T = (0; 0) et
@2f
@2f
(b
x; yb): 2 (b
x; yb)
2
@x
@y

@2f
(b
x; yb)
@x@y

2

< 0:

Montrez que (b
x; yb) n’est pas une solution minimale locale stricte et (b
x; yb) n’est
pas une solution maximale locale stricte.

Corrigé Exercice2(9points)
Dans tout cet exercice, on applique la condition su¢ sante d’optimalité suivante:
Si rf (b
x; yb)T = (0; 0) et H ((b
x; yb)) est dé…nie positive, alors (b
x; yb) est une
solution minimale locale stricte.

3

rattarpagemaster2014p1

1 :jpg

4

rattarpagemaster2014p2

2 :jpg

5

Exercice3(6points)
Soit
f (x; y) = x3 + y 3

3xy

3.1(2points) Trouvez tous les points (b
x; yb) 2 R2 tels que rf (b
x; yb)T = (0; 0):
2
T
3.2(4points) Parmi les points (b
x; yb) 2 R tels que rf (b
x; yb) = (0; 0); trouvez
ceux qui sont des solutions optimales locales strictes et celles qui ne sont pas
des solutions optimales locales strictes. Justi…ez votre réponse.

6

Solution Exercice3(6points)
C’est une application directe de l’exercice 2
rattarpagemaster2014p3

3 :jpg

7

rattarpagemaster2014p4

4 :jpg

8



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