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Probabilités

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Chapitre IV :
Lois de probabilité
usuelles

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

1

Loi uniforme discrète :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

1

Loi uniforme discrète :
Soit n ∈ N∗ . On dit que la v.a X suit la loi uniforme
discrète sur l’ensemble {k1 , k2 , · · · , kn } si les ki sont
équiprobables.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

1

Loi uniforme discrète :
Soit n ∈ N∗ . On dit que la v.a X suit la loi uniforme
discrète sur l’ensemble {k1 , k2 , · · · , kn } si les ki sont
équiprobables.
c.à.d :
X(Ω) = {k1 , k2 , · · · , kn } et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = ki ) =

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

1
.
n

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

1

Loi uniforme discrète :
Soit n ∈ N∗ . On dit que la v.a X suit la loi uniforme
discrète sur l’ensemble {k1 , k2 , · · · , kn } si les ki sont
équiprobables.
c.à.d :
X(Ω) = {k1 , k2 , · · · , kn } et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = ki ) =
On note X ; U{k1 , k2 , · · · , kn } .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

1
.
n

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes
Propriétés :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes
Propriétés :
1

si X ; U{a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =

a+b
2

et

KARA-ZAÏTRI L.

Var (X) =

(b − a)(b − a + 2)

Probabilités et statistique

12

.

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes
Propriétés :
1

si X ; U{a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =

2

a+b
2

et

Var (X) =

(b − a)(b − a + 2)

si X ; U{1, 2, 3, · · · , n}, alors :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

12

.

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes
Propriétés :
1

si X ; U{a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =

2

a+b

et

2

Var (X) =

(b − a)(b − a + 2)

si X ; U{1, 2, 3, · · · , n}, alors :
E(X) =

n+1
2

KARA-ZAÏTRI L.

et

Var =

Probabilités et statistique

12

.

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes
Propriétés :
1

si X ; U{a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =

2

a+b

et

2

Var (X) =

(b − a)(b − a + 2)
12

si X ; U{1, 2, 3, · · · , n}, alors :
E(X) =

n+1
2

KARA-ZAÏTRI L.

et

Var =

n2 − 1
12

Probabilités et statistique

.

.

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

2

Loi de Bernoulli de paramètre p :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

2

Loi de Bernoulli de paramètre p :
Soit p ∈ [0, 1].
On dit que la v.a X suit la loi de Bernoulli de paramètre p,
si elle n’admet que deux résultats possibles :
le succés qui prend la valeur 1 avec une probabilité p,
l’échec qui prend la valeur 0 avec une probabilité
q=1−p.

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Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k ) = pk (1 − p)1−k .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k ) = pk (1 − p)1−k .
On note X ; B(p) .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k ) = pk (1 − p)1−k .
On note X ; B(p) .
Propriétés :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k ) = pk (1 − p)1−k .
On note X ; B(p) .
Propriétés :
si X ; B(p), alors :
E(X) = p

KARA-ZAÏTRI L.

et

Var = pq.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

3

Loi Binomiale de paramètres n et p :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

3

Loi Binomiale de paramètres n et p :
Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1].
On dit que la v.a X suit la loi Binomiale de paramètres n et
p, si elle donne le nombre de succés quand on répète n
fois une expérience de Bernoulli de paramètre p de
manières indépendantes.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

3

Loi Binomiale de paramètres n et p :
Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1].
On dit que la v.a X suit la loi Binomiale de paramètres n et
p, si elle donne le nombre de succés quand on répète n
fois une expérience de Bernoulli de paramètre p de
manières indépendantes.
On note X ; B(n, p) .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},

∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k ,

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},

∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k ,
E(X) = n p,

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; B(n, p), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},

∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k ,
E(X) = n p,
Var(X) = n p q.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

4

Loi de Poisson de paramètre λ :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

4

Loi de Poisson de paramètre λ :
Soit λ > 0.
On dit que la v.a X suit la loi de Poisson de paramètre λ, si
elle donne le nombre de fois qu’un événement se produit
sur une periode donnée ( une surface, un volume),
sachant que cet événement se produit λ fois en moyenne
sur cette même période ( surface, volume).

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

4

Loi de Poisson de paramètre λ :
Soit λ > 0.
On dit que la v.a X suit la loi de Poisson de paramètre λ, si
elle donne le nombre de fois qu’un événement se produit
sur une periode donnée ( une surface, un volume),
sachant que cet événement se produit λ fois en moyenne
sur cette même période ( surface, volume).
On note X ; P(λ)

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,

∀k ∈ N : P(X = k) = e−λ

KARA-ZAÏTRI L.

λk
,
k!

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,

∀k ∈ N : P(X = k) = e−λ

λk
,
k!

E(X) = λ ,

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

Propriétés :
Si X ; P(λ), alors :
X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,

∀k ∈ N : P(X = k) = e−λ

λk
,
k!

E(X) = λ ,
Var(X) = λ.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes
Exemple 1 :
Sur une autoroute on a enregistré en moyenne 4 accidents
par semaine.
Quelle est la probabilité que la semaine prochaine il y ait
trois accidents ?
Quelle est la probabilité qu’il y ait un accident
aujourd’hui ?

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles discrètes

Lois usuelles discrètes
Exemple 1 :
Sur une autoroute on a enregistré en moyenne 4 accidents
par semaine.
Quelle est la probabilité que la semaine prochaine il y ait
trois accidents ?
Quelle est la probabilité qu’il y ait un accident
aujourd’hui ?
Exemple 2 :
Un réservoir d’eau de 2000 litres contient en moyenne 3
bactéries par litre. Si vous buvez un litre de ce réservoir,
quelle est la probabilité que vous avaliez 8 bactéries ?
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Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles continues

Lois usuelles continues

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles continues

Lois usuelles continues

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Lois de probabilité usuelles

Lois usuelles continues

Lois usuelles continues

1

Loi uniforme continue :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique


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