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Bac blanc Février 2016 (spé TS1) Corrigé .pdf


Nom original: Bac blanc - Février 2016 (spé TS1) - Corrigé.pdf
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Exercice 3 :
Pour les candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

5 points

Pour tout l’exercice, on utilisera les matrices suivantes :
𝑥1
4 1
2 −1
1 0
A=(
), B = (
), I = (
), X = (𝑥 ) et
3 2
−3 4
0 1
2

𝑦1
Y = (𝑦 ).
2

Partie A : Préliminaires
1. a. Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que :
n2 ≡ N − 1 (mod N)
Montrer que n × n3 ≡ 1 (mod N)
b. En utilisant la question précédente, déterminer un entier k1 tel que : 5k1 ≡ 1 (mod 26).
Donner le reste de la division euclidienne de k1 par 26.
Dans la suite, on admettra que l’unique entier k compris entre 0 et 25 tel que 5k ≡ 1 (mod 26) est 21.
1. a. Si n2 ≡ N − 1 (mod N), alors (n²)² ≡ (N – 1)² (mod N).
Or, (N – 1)² = N² – 2N + 1 donc (N – 1)² ≡ 1 (mod N).
Et (n²)² = n × n3.
On a donc n × n3 ≡ 1 (mod N).
b. On utilise la question précédente avec n = 5 et N = 26.
On a bien 5² ≡ 26 – 1 (mod 26), on peut donc en déduire que 5 × 53 ≡ 1 (mod 26).
On peut donc prendre k1 = 53 = 125.
125 = 4 × 26 + 21. Donc le reste de la division euclidienne de 125 par 26 est égal à 21.
2. a. Calculer la matrice 6A – A2.
b. En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A-1, peut s’écrire sous la forme
A-1 = αI + βA, où α et β sont deux réels que l’on déterminera.
c. Vérifier que : B = 5A-1.
d. Démontrer que si AX = Y, alors 5X = BY.
𝟓 𝟎
2. a. À la calculatrice, on trouve : 6A – A2 = (
).
𝟎
𝟓
b. D’après la question précédente, 6A – A2 = 5I.
𝟔
𝟏
Donc 𝟓 𝐀 − 𝟓 𝐀𝟐 = 𝐈.
𝟔

𝟏

𝐀 (𝟓 𝐈 − 𝟓 𝐀) = 𝐈
Il existe une matrice qui, multipliée à A donne la matrice identité. Donc A est inversible et
𝟔
𝟏
𝐀−𝟏 = 𝟓 𝐈 − 𝟓 𝐀
𝟐 −𝟏
c. 𝟓𝐀−𝟏 = 𝟔𝐈 − 𝐀 = (
) = 𝐁.
−𝟑 -1 𝟒
d. Si AX = Y, alors X = A Y.
Donc 5X = 5A-1Y.
D’où 5X = BY.
Partie B : Procédure de codage
On considère la procédure de codage d’un mot de deux lettres :
𝑥1
 Le mot à coder est remplacé par la matrice X = (𝑥 ), où 𝑥1 est l’entier représentant la première lettre du
2
mot et 𝑥2 l’entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous.



A
0

B
1

C
2

D
3

E
4

F
5

G
6

H
7

I
8

J
9

K
10

L
11

M
12

N
13

O
14

P
15

Q
16

R
17

S
18

T
19

U
20

V
21

W
22

X
23

Y
24

Z
25

𝑦1
La matrice X est transformée en la matrice Y = (𝑦 ) telle que : Y = AX.
2




𝑟1
La matrice Y est transformée en la matrice R = (𝑟 ), où 𝑟1 est le reste de la division euclidienne de 𝑦1 par
2

26 et 𝑟2 le reste de la division euclidienne de 𝑦2 par 26.
Les entiers 𝑟1 et 𝑟2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.

1. Vérifier que le mot « OU » est codé par le mot « YE ». Détailler les étapes.
2. Coder le mot « ET». Aucun détail n’est demandé.
𝟏𝟒
𝟕𝟔
𝟐𝟒
1. « OU » → 𝐗 = ( ) → 𝐘 = ( ) → 𝐑 = ( ) → « YE ».
𝟐𝟎
𝟖𝟐
𝟒
2. « ET » se code en « JY ».

Partie C : Procédure de décodage
On conserve les mêmes notations que pour le codage.

𝑦1
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y = (𝑦 ) telle que : Y = AX.
2
5𝑥1 = 2𝑦1 − 𝑦2
1. Démontrer que :
5𝑥2 = −3𝑦1 + 4𝑦2
𝑥1 ≡ 16𝑦1 + 5𝑦2 (mod 26)
2. En utilisant la question 1. b. de la partie A, établir que :
𝑥2 ≡ 15𝑦1 + 6𝑦2 (mod 26)
3. Décoder le mot « QP ».
1. On a Y = AX. D’après la question A.2.b, on a donc 5X = BY.
Ce qui s’écrit :
𝒙𝟏
𝟓𝒙𝟏 = 𝟐𝒚𝟏 − 𝒚𝟐
𝟐 −𝟏 𝒚𝟏
𝟓 (𝒙 ) = (
) (𝒚 ) , c’est-à-dire :
𝟓𝒙𝟐 = −𝟑𝒚𝟏 + 𝟒𝒚𝟐
−𝟑 𝟒
𝟐
𝟐
2. En multipliant chaque équation du système précédent par 21, on obtient :
𝟐𝟏 × 𝟓𝒙𝟏 = 𝟒𝟐𝒚𝟏 − 𝟐𝟏𝒚𝟐
𝟐𝟏 × 𝟓𝒙𝟐 = −𝟔𝟑𝒚𝟏 + 𝟖𝟒𝒚𝟐
D’après la question A.1.b, on sait que 5×21 ≡ 1 (mod 26).
De plus, 42 ≡ 16 (mod 26) ; - 21 ≡ 5 (mod 26) ; - 63 ≡ 15 (mod 26) et 84 ≡ 6 (mod 26).
𝒙𝟏 ≡ 𝟏𝟔𝒚𝟏 + 𝟓𝒚𝟐 (𝐦𝐨𝐝 𝟐𝟔)
On obtient donc :
𝒙𝟐 ≡ 𝟏𝟓𝒚𝟏 + 𝟔𝒚𝟐 (𝐦𝐨𝐝 𝟐𝟔)
3. Le message codé « QP » donne 𝒚𝟏 ≡ 16 (mod 26) et 𝒚𝟐 ≡ 15 (mod 26).
On en déduit, en utilisant le système de la question précédente : 𝒙𝟏 ≡ 19 (mod 26) et 𝒙𝟐 ≡ 18 (mod 26).
Donc « QP » se décode en « TS ».


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