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Deux corps .pdf


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ÉTUDE DU SYSTÈME SOLEIL - LUNE.
Nous nous limitons au système soleil - terre : les in uences des autres planètes du système solaire et de la lune
sont négligées. On note O le centre du soleil de masse MS et T le centre de la terre de masse MT . Ce système
étant supposé isolé dans l'espace, son centre d'inertie G est, d'après le principe d'inertie, animé d'un mouvement
d'accélération nulle par rapport à un repère lié à un système d'étoiles xes très éloignées et considéré comme
galiléen. Un repère (R) d'origine G dont les trois axes sont orientés vers trois étoiles su samment éloignées pour
être considérées comme xes est donc lui aussi galiléen.
30

Données : MS =1,99.10

24

kg ; MT =5,97.10

kg. On note a la distance de O à T et r = GO ; r'=GT avec a = r

+ r'.

FST

U

T

r’
FTS
O

r

G
OT=a=r+r’

(R)

Les forces gravitationnelles exercées par la soleil sur la terre et par la terre sur le soleil véri ent la loi de Newton
sur la gravitation :

MS MT →
−−→
−−→
FST = −FT S = −G ·
·−
u
a2
−→

avec : →
u : vecteur unitaire colinéaire au vecteur OT ; G = 6,67.10-11 U.S.I. : constante universelle de la gravitation.
Seconde loi de Newton appliquée à la terre dans le repère (R) :

−−→
−→
d2 GT
FST
=
dt2
MT
Seconde loi de Newton appliquée au soleil dans le repère (R) :

−−→
−−→
−−→
d2 GO
FT S
FST
=
=

2
dt
MS
MS

Par soustraction membre à membre , on obtient :

−→
2−

2 −→

d GO
d GT

=
dt2
dt2
On appelle masse réduite

µ



−−→ −→
d2 OG + GT
dt2



−→
d2 OT
1
1
−−→
=
= FST ·
+
dt2
MS
MT

du système terre - soleil la grandeur véri ant :

1
1
1
=
+
µ
MS
MT

soit :

µ=

M S · MT
MS + MT

Cela conduit à :

−→
d2 OT
−−→
= FST
µ·
dt2
Conséquences de ce résultat : pour étudier le mouvement des centres T et O de la terre et du soleil dans le
repère (R), on commence par étudier le mouvement dans (R) d'une particule ctive P de masse
instant :

−−→ −→

GP = OT = a · →
u

soumise à la seule force de vecteur

−−→
FST = −G ·

MS MT
a2


·→
u.

µ

telle qu'à chaque

−−→
d2 GP
MS MT →
−−→
µ·
= FST = −G ·
·−
u
dt2
a2
On revient ensuite aux mouvements respectifs de T et de O dans R en considérant que G est le barycentre des
points O et T.
Cela nous ramène à étudier le mouvement de la particule ctive P soumise à une force centrale. Cette étude est
faite de façon détaillée sur la che n° 8. Le mouvement a lieu dans un plan xe de (R) appelé plan de l'écliptique
que nous noterons (Pe) par la suite. Les mesures astronomiques montrent que P est animé d'un mouvement elliptique
de très faible excentricité : e = 0,0167. Nous ferons donc ici l'approximation d'un mouvement circulaire uniforme
de rayon a égal à la distance moyenne OT : a = 1,50.10

11

m.

Dans ce cas simple, l'accélération est radiale centripète :

−−→
d2 GP

= −a · Ω2 · →
u
dt2




désigne la vitesse angulaire de P. On obtient :



MS · MT
MS MT →

·−
u
· a · Ω2 · →
u = −G ·
MS + MT
a2

Soit après simpli cation :

r
Ω=

G (MS + MT )
a3

soit :

Ω ≈ 1, 99.10−7 rad/s

Ayant ainsi obtenu le mouvement de P dans (R) : un mouvement circulaire uniforme de centre G, de rayon a,
de vitesse angulaire

Ω,

on obtient les positions de T et O par les relations classiques concernant le barycentre :

−→ −−→
GT = GP ·

MS
MS + MT

−−→
−−→
GO = −GP ·

;

MT
MS + MT

Remarque sur les ordres de grandeurs : j'ai tenu à traiter le problème dans le cas général mais ici : MT MS .
−−→ − −→ −−→ −→
Il en résulte : GO ≈ →
0 ; GT ≈ GP = OT . Le centre de gravité est pratiquement confondu avec le centre O du
soleil. Ce qui revient à considérer le soleil comme xe dans le repère (R) et à confondre le mouvement du point P
et le mouvement du centre T de la terre.

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