Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils Recherche Aide Contact



p PrincCosmo .pdf



Nom original: p_PrincCosmo.pdf
Titre: JRPB.dvi

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par dvips(k) 5.86d Copyright 1999 Radical Eye Software / Acrobat Distiller 5.0.5 pour Macintos, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 16/04/2016 à 21:51, depuis l'adresse IP 41.140.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 325 fois.
Taille du document: 4.2 Mo (400 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Principes de la cosmologie
James Rich

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Adaptation française : Jean-Louis Basdevant

ÉDITION
ES

NIQ E
U

H

LE

S

D E L'É C O

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

•L

ÉC

E
L
O

P O LY T E C

H
C
TE

U
Q
I
N

E

ÉC

E
L
O

ÉC

E
U
IQ

Ce logo a pour objet d’alerter le lecteur sur la menace que représente
pour l’avenir de l’écrit, tout particulièrement dans le domaine universitaire, le développement massif du «photocopillage».
Cette pratique qui s’est généralisée, notamment dans les établissements
d’enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au
point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. Nous
rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi
que le recel, sont passibles de poursuites.
Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à
l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie :
20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70.

T
Y
L
PO

E
L
O

ÉC

N
H
EC

T
Y
L
PO

E
L
O

N
H
EC

Y
L
PO

E
U
IQ

H
C
TE

© Éditions de l’École polytechnique - Septembre 2004
91128 Palaiseau Cedex

U
Q
I
N

E

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

C
ÉPréface

Ce livre est destiné aux étudiants et chercheurs qui souhaitent comprendre la
physique de la cosmologie standard du « big-bang » ainsi que l’interprétation des
observations les plus récentes. Il repose sur des cours que j’ai donnés depuis huit ans
à des étudiants de DEA de l’Université de Paris et à des élèves de troisième année de
l’École polytechnique. Comme la plupart de ces étudiants n’avaient pas l’intention de
devenir des cosmologistes professionnels, j’ai mis l’accent sur des sujets qui devraient
être d’un intérêt assez général.

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Dans les dix dernières années, la cosmologie observationnelle a enregistré des progrès stupéfiants, et l’existence d’un nouvel ouvrage sur le sujet pourrait se justifier
simplement par le fait de rendre compte de toutes ces avancées. Les succès traditionnels de la cosmologie moderne sont bien connus. Les plus importants sont la
compréhension dynamique de l’expansion universelle, la prévision et l’observation du
rayonnement de fond cosmologique et le calcul des abondances des éléments légers.
À cela, on doit ajouter les nouvelles observations qui laissent à penser que nous entrons dans une ère de « cosmologie de précision ». L’observation la plus spectaculaire
a peut-être eu lieu cette année avec la mise en évidence du premier pic acoustique
dans le spectre des anisotropies du rayonnement de fond cosmologique par les collaborations Boomerang et Maxima. Ces très belles mesures ont convaincu beaucoup de
physiciens que l’univers a une densité d’énergie proche de la valeur critique et qu’une
compréhension complète de la formation des structures est peut-être à portée de main.

ÉC

E
L
O

Si beaucoup de cosmologistes s’attendaient à une densité critique, l’observation
qu’elle se scinde en des composantes différentes a des implications révolutionnaires.
Les observations faites au cours de la dernière décennie ont confirmé que la plupart
de la matière qui est liée dans les galaxies ou dans les amas de galaxies est d’une
espèce inconnue. Beaucoup de cosmologistes pensent que ces observations indiquent
qu’il existe de la « matière noire froide », probablement sous la forme de gaz d’une
particule massive interagissant faiblement, restée jusqu’ici non détectée directement.
La matière noire froide fait partie des meubles dans le circuit des conférences depuis
une vingtaine d’années, et l’on a tendance à oublier combien cette prévision est hardie.

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

Encore plus révolutionnaire est la conclusion, reposant sur les flux observés provenant de supernovae de grand redshift, que l’expansion de l’univers est en train de
s’accélérer. Dans le cadre de la théorie gravitationnelle standard, cela implique que

ÉC

3

E

4

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Préface

le contenu en énergie de l’univers est dominé par une énergie effective du vide ou, de
façon équivalente, par une constante cosmologique. Comme il s’agit d’une nouvelle
forme d’énergie qui n’est pas associée à une particule élémentaire, cette découverte, si
elle se confirme, serait sur le même plan, du point de vue de son importance théorique,
que la découverte des champs électromagnétiques, par exemple.

ÉC

E
L
O

Les observations de la décennie à venir vont procurer des tests de précision de
cette représentation d’un univers dominé par de la matière noire froide et de l’énergie
du vide. Un problème plus difficile sera de déterminer si ces deux substances sont des
« éléments de la réalité » ou simplement des éléments de théories. Même si l’Univers se comporte comme un univers régi par la relativité générale avec un mélange
de matière noire froide et d’énergie du vide, il se peut fort bien que la Nature nous
ait joué un tour à cause de notre ignorance sur un ingrédient clé. Il se pourrait par
exemple, qu’un modèle utilisant seulement de la matière ordinaire mais avec une sorte
de « gravitation modifiée » qui agirait aux échelles cosmologiques, reproduise également les observations. Certains auteurs ont mis en avant que cette idée provient
de ce que les modèles qui utilisent la forme la plus simple de particules de matière
noire froide ne prévoient pas correctement la structure des cœurs galactiques, ni le
nombre de petites galaxies. Le temps dira si ces objections au modèle standard se
maintiennent. Si elles le font, la situation risque de se compliquer. Nous devrons alors
nous reposer sur les observations cosmologiques pour déterminer les véritables lois de
la gravitation. Il serait certainement plus reposant que quelqu’un règle la question
directement en détectant les particules de matière noire.

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Étant donné les questions fascinantes que soulève la cosmologie et l’intérêt suscité
par d’ambitieux programmes observationnels, on n’est pas surpris que certains étudiant souhaitent étudier le sujet avant de maîtriser complètement les fondements de
l’astronomie et de l’astrophysique observationnelles, de la physique des particules, de
la physique nucléaire et de la relativité générale. Ce livre tente de faire ainsi.
La relativité générale est sans nul doute l’aspect le plus difficile de la théorie de la
cosmologie, et elle représente un formidable défi pédagogique dans un cours d’introduction. Initialement, j’avais utilisé les démonstrations newtoniennes habituelles de
l’équation de Friedmann, mais c’est au bout du compte très insatisfaisant. J’ai fini
par adopter la stratégie de présenter la gravitation relativiste nécessaire au problème
considéré en n’utilisant que les outils mathématiques indispensables à la cosmologie
dans son état présent. C’est faisable en raison de l’extrême simplicité de la cosmologie homogène. Nous obtiendrons tous les résultats intéressants sans faire appel aux
connexions affines ou aux dérivées covariantes.

H
C
TE

U
Q
I
N

Tout en essayant d’être « correct » au plan relativiste, j’ai adopté un point de vue
complètement phénoménologique sur la relativité générale, où la mathématique ne
s’éloigne jamais des observations faites avec des horloges et des radars. Par exemple,
les coordonnées comobiles sont définies de façon opérationnelle avant que l’on ne
découvre la métrique de Robertson–Walker à partir de considérations de symétrie
générales. Cette stratégie s’attaque à ce qui apparaît, à tort ou à raison, comme l’une

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

E

Préface

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

5

des grandes difficultés de la pédagogie de la relativité générale, c’est-à-dire faire le
rapport entre tous les symboles et les mesures.
Dans le même esprit phénoménologique, dans un chapitre, on abandonne les coordonnées comobiles habituelles pour utiliser un système simple qui peut être construit
de façon opérationnelle par un observateur en chute libre. Dans un tel système de coordonnées, la métrique est localement Lorentzienne, et bien des choses qui sont obscures
ou mystérieuses dans les coordonnées comobiles deviennent relativement claires. Il est
notamment facile de démontrer l’équation de Friedmann, et la nature de la mystérieuse énergie du vide devient au moins plausible.

ÉC

E
L
O

Pour ce qui concerne la physique des particules et la physique nucléaire, j’ai surtout adopté le point de vue que ces disciplines existent principalement pour fournir au
cosmologiste une liste de particules connues ou hypothétiques, avec leurs interactions
et la valeur de leurs sections efficaces. Par conséquent je n’ai pas tenté de faire la
moindre introduction à ces deux sujets fascinants. Des questions spéculatives comme
la matière noire supersymétrique et les champs scalaires inflationnaires ou de quintessence ne sont traités que phénoménologiquement, et je ne mentionne que brièvement
la difficulté que l’on peut rencontrer pour les intégrer dans une théorie cohérente des
particules élémentaires.

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Enfin, pour ce qui est de l’astronomie et de l’astrophysique, j’ai essayé de fournir
les éléments minimaux pour pouvoir comprendre les observations. Les mesures sont
souvent présentées sous une forme assez non-digérée de façon que les étudiants puissent ressentir la qualité des données et la difficulté de les analyser. Je mets souvent
l’accent sur l’importance des hypothèses utilisées dans l’interprétation des données
astrophysiques, souvent ambiguës.

ÉC

E
L
O

Je ne suis pas remonté des données aux moyens observationnels. Cela signifie que
je n’ai pas présenté dans le détail mérité les progrès technologiques importants qui ont
rendu ces observations possibles. Parmi ceux-ci, mentionnons la nouvelle génération
des télescopes de classe 10 m et le Hubble Space Telescope qui ont fourni une vision
tellement plus claire des objets lointains. Les télescopes spatiaux à rayons X ont permis d’étudier en détail les amas de galaxies, les plus gros objets liés de l’univers. Tous
ces télescopes ont fourni des quantités considérables de données de haute qualité en
raison des progrès dans la technologie de détection des photons. Les plus évidents sont
les nouvelles caméras CCD qui ont peu à peu remplacé les plaques photographiques.
Les grandes mosaïques de CCD ont permis de découvrir les supernovae de grand redshift, elles ont permis d’effectuer des explorations de redshifts considérables, ainsi que
la cartographie des distributions de masse par effet de lentille gravitationnelle. Mentionnons également les nouveaux bolomètres cryogéniques qui ont été utilisés dans les
mesures de Boomerang et de Maxima, et qui pourront peut-être un jour permettre la
détection des particules de matière noire.

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

Je n’ai pas pu, non plus, parler des techniques de simulation numérique qui sont
si importantes dans la compréhension de la formation des structures. La discussion
de ce type de processus sera donc assez qualitative.

ÉC

E

6

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Préface

Je n’ai pas abordé le problème non-résolu de comment est initiée la formation
d’étoiles, qui crée ainsi l’univers visible des galaxies. Jusqu’à ce que les astronomes
parviennent à déterminer complètement la distribution de matière dans l’Univers à
l’aide de l’effet de lentille gravitationnelle, ce problème continuera de troubler l’étude
des structures qui repose sur le comptage des galaxies visibles.

ÉC

E
L
O

En fin de compte, je n’ai pas fait de revue de l’historique de la cosmologie moderne. Cette histoire commence avec la découverte par Hubble de l’expansion universelle et son interprétation par Lemaître. Elle a été suivie par la théorie de Gamow de
la nucléosynthèse primordiale et la prévision de l’existence du fond de rayonnement
cosmologique, confirmé expérimentalement par Penzias et Wilson en 1965. Cette histoire est maintenant bien connue et je n’y ferai plus allusion. Une conséquence est que
les travaux des pionniers ont été un peu négligés par rapport aux travaux plus récents.

E
U
IQ

Plusieurs personnes ont contribué à ce travail. Les plus importantes sont mes étudiants au DEA de Champs, Matière et Particules et au DEA de Physique Théorique.
Les questions qu’ils m’ont posées aussi bien que les questions que je pensais qu’ils
pourraient poser ont été pour moi une constante stimulation. Je remercie particulièrement l’étudiante (anonyme) qui m’a lancé un regard furieux lorsque je lui ai dit que
si elle voulait comprendre l’origine de l’équation de Friedmann, elle devait suivre un
cours de relativité générale. Les chapitres 3 et 4 de ce livre son nés de ce moment tendu.

T
Y
L
PO

N
H
EC

Ce livre n’existerait pas sans les encouragements, les conseils et l’aide de JeanLouis Basdevant. Il m’a suggéré d’essayer mon cours de DEA sur les élèves de l’École
polytechnique, dans un enseignement optionnel de second cycle de « Majeure ». Cette
expérience m’a forcé à clarifier une bonne partie de la physique de base. Il m’a ensuite poussé à transformer mon cours en un livre. Par ailleurs, je lui dois cette version
française de l’ouvrage original : « Fundamentals of Cosmology » paru chez SpringerVerlag en mai 2001. J’épargne au lecteur les merveilleuses discussions linguistiques
(et autres) que nous avons eues. Il me dit qu’il apprend beaucoup sur la physique
et sur l’anglais en parlant avec moi, c’est réciproque (de toute façon, nous sommes
incapables de dire dans quelle langue, anglais ou français, nous nous parlons ; nos
élèves en sont témoins).

ÉC

E
L
O

Les personnes suivantes ont lu tout ou partie du manuscrit et m’ont fait d’importantes suggestions : Alexis Amadon, Jean-Louis Basdevant, Guillaume Blanc, Alain
Blanchard, Jean-Francois Glicenstein, David Langlois, Thierry Lasserre, Alain Milsztajn, David Lloyd Owen, Charling Tao Dominique Yvon, et particulièrement Jacques
Haissinski. Ils ont trouvé de nombreuses erreurs (pas toutes !) et m’ont très aimablement fait remarquer certains passages par suffisamment clairs.

H
C
TE

U
Q
I
N

J’ai bénéficié de discussions avec de nombreux collègues sur l’état de la recherche
récente. J’adresse des remerciements tout particuliers à Monique Arnaud, Christophe
Balland, Marc Besancon, Pierre Binétruy, Alain Blanchard, Jim Bartlett, Nathalie
Deruelle, Ken Ganga, Andy Gould, David Graff, Michael Joyce, Boris Kayser, David
Langlois, Christophe Magneville, Alain Milsztajn, Yannick Mellier, Robert Mochkovitch, Reynald Pain, Marguerite Pierre, Joe Silk, Alfred Vidal-Madjar, Michel Spiro,

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

E

Préface

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

7

Elizabeth Vangioni-Flan, et tous ceux que j’oublie dans cette liste.
Des figures non encore publiées m’ont été données par Monique Arnaud, Ken
Ganga, Thierry Lasserre, et Elizabeth Flan-Vangioni. Merci à Albert Bosma pour
avoir fait ressusciter la figure 2.25. J’ai reçu l’aimable autorisation de reproduire des
figures provenant du web par l’European Southern Observatory, la NASA et le COBE
working group, l’Agence Spatiale Européenne et le Supernova Cosmology Project.

ÉC

E
L
O

James Rich
Gif-sur-Yvette, Avril, 2002

ÉC

E
L
O

ÉC

T
Y
L
PO

E
L
O

N
H
EC

Y
L
PO

E
U
IQ

H
C
TE

U
Q
I
N

E

ÉC

E
L
O

ÉC

T
Y
L
PO

E
L
O

ÉC

N
H
EC

T
Y
L
PO

E
L
O

E
U
IQ

N
H
EC

Y
L
PO

E
U
IQ

H
C
TE

U
Q
I
N

E

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

C
des matières
ÉTable
1 Introduction
1
Composition de l’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
L’univers visible : les galaxies . . . . . . . . . . .
1.2
Baryons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Matière noire froide (CDM) . . . . . . . . . . . .
1.4
Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6
Le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
L’évolution de l’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Le paramètre d’échelle a(t) . . . . . . . . . . . .
2.2
La gravitation et l’équation de Friedmann . . . .
2.3
Univers ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . .
2.4
Évolution de la température . . . . . . . . . . . .
2.5
Une équation de Friedmann améliorée . . . . . .
2.6
L’Évolution des Ω et la Formation des Structures
2.7
Le scénario standard . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Questions en suspens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

13
14
14
24
25
27
27
31
32
32
33
37
39
44
46
49
51
56

2 Cosmologie observationnelle
1
Étoiles et quasi-étoiles . . . . . . .
2
Galaxies . . . . . . . . . . . . . . .
3
Amas de galaxies . . . . . . . . . .
4
La matière noire . . . . . . . . . .
4.1
Les wimps . . . . . . . . . .
4.2
Les axions . . . . . . . . . .
4.3
Matière noire baryonique .
5
Les paramètres cosmologiques . . .
5.1
H0 . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Les diverses densités ρ et Ω
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

57
57
72
76
81
81
85
85
91
91
94
99

ÉC

E
L
O

ÉC

T
Y
L
PO

E
L
O

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

N
H
EC

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Y
L
PO
9

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

E
U
IQ

H
C
TE

U
Q
I
N

E

10

E
U
IQ

Table des matières

T
Y
L
PO

N
H
EC

3 Coordonnées et métriques
1
Relativité et gravitation . . . . . . . . . . .
2
Coordonnées comobiles . . . . . . . . . . . .
3
La métrique I : surtout l’isotropie . . . . . .
4
La métrique II : surtout l’homogénéité . . .
5
Propagation des photons . . . . . . . . . . .
6
Distance de luminosité et distance angulaire
7
L’équation des géodésiques . . . . . . . . .
8
Effet de lentille gravitationnelle . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

113
116
123
126
130
134
137
140
143
151

4 Les équations du champ gravitationnel
1
Nos coordonnées en chute libre . . . . .
2
Le tenseur énergie-impulsion . . . . . . .
3
L’équation de Friedmann . . . . . . . .
4
Les paramètres cosmologiques . . . . . .
5
Champs scalaires . . . . . . . . . . . . .
6
Le tenseur de Riemann . . . . . . . . . .
7
Un univers avec ρ = 0 . . . . . . . . . .
8
Le tenseur d’Einstein . . . . . . . . . . .
9
L’équation d’Einstein générale . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

159
160
164
169
171
173
175
179
180
181
185

5 Applications de l’équation de Friedmann
1
L’âge de l’univers . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Distances de luminosité et distances angulaires
3
Le problème de l’horizon . . . . . . . . . . . . .
4
Le problème des Ω . . . . . . . . . . . . . . . .
5
L’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Diffusion et absorption intergalactique . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

189
191
195
202
210
212
214
216

ÉC

E
L
O

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

6 L’histoire thermique de l’univers
1
Distributions à l’équilibre . . . .
2
L’équation de Boltzmann . . . .
3
Électrons et positrons . . . . . .
4
Neutrinos . . . . . . . . . . . . .
5
La nucléosynthèse primordiale . .
6
Wimps . . . . . . . . . . . . . . .
7
Baryogénèse . . . . . . . . . . . .
8
L’irréversibilité . . . . . . . . . .
9
Le futur . . . . . . . . . . . . . .

ÉC

E
L
O

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

N
H
EC

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

Y
L
PO

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

E
U
IQ

.
.
.
.
.
.
.
.
.

U
Q
I
N

.
.
.
.
.
.
.
.
.

H
C
TE

221
224
229
234
241
243
252
255
256
258

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

E

Table des matières

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

11

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7 La formation des structures
1
Un modèle d’effondrement sphérique .
1.1
La métrique . . . . . . . . . . .
1.2
Expansion et effondrement . .
1.3
Le régime linéaire . . . . . . .
2
Le spectre des fluctuations de densité .
3
Évolution newtonienne . . . . . . . . .
4
Entrée et sortie du rayon de Hubble .
5
Le spectre primordial . . . . . . . . . .
6
Modèles de matière noire froide . . . .
7
Neutrinos et baryons . . . . . . . . . .
8
Propagation des photons . . . . . . . .
9
Anisotropies du CBR . . . . . . . . . .
9.1
Les sources d’anisotropies . . .
9.2
∆θ > θH . . . . . . . . . . . .
9.3
∆θ < θH . . . . . . . . . . . .
9.4
Les paramètres cosmologiques .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÉC

E
L
O

E
L
O

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

T
Y
L
PO

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

N
H
EC

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

267
273
274
275
280
282
289
294
298
303
306
308
312
314
317
318
321
323

E
U
IQ

A Vecteurs et tenseurs de Lorentz

329

B Unités naturelles

333

C Particules élémentaires

337

D Magnitudes

343

E Solutions des exercices

347

F Formules et nombres utiles

383

ÉC

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

ÉC

E
L
O

ÉC

T
Y
L
PO

E
L
O

ÉC

N
H
EC

T
Y
L
PO

E
L
O

E
U
IQ

N
H
EC

Y
L
PO

E
U
IQ

H
C
TE

U
Q
I
N

E

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

E
L
1
CO
ÉChapitre

Introduction

N
H
EC

E
U
IQ

La cosmologie est l’étude globale des caractéristiques de l’univers. Dans ses détails, le cosmos est complexe. Il comporte une multitude d’objets étonnants depuis les
molécules de fullerènes C60 jusqu’aux quasars. Les cosmologistes aiment à moyenner
sur ces objets et à considérer l’univers comme un endroit simple caractérisé par

T
Y
L
PO

– Une densité très faible, ρ ∼ 10−26 kg m−3 , et une émission lumineuse de J ∼
10−39 W m−3 ;

ÉC

E
L
O

– Une composition « chimique » curieuse (voir le Tableau 1.1). La plupart des
particules sont des photons ou des neutrinos froids alors que la majeure partie de
l’énergie est sous forme de matière ordinaire « baryonique » (protons, noyaux
et électrons), de matière noire et, selon toute apparence, une énergie effective
du vide, que l’on nomme également constante cosmologique.
– Un état thermique hors d’équilibre caractérisé par des températures différentes
pour les photons et les neutrinos et un déficit en noyaux fortement liés.
– Une hiérarchie de structures gravitationnellement liées, depuis les planètes et
les étoiles jusqu’aux galaxies et amas de galaxies.
Relevons enfin l’observation qui est à la base de la cosmologie moderne :

U
Q
I
N

– L’univers est en « expansion » en ce sens que la distance entre les galaxies
augmente avec le temps.

H
C
TE

Cette dernière observation implique que l’univers était plus dense dans le passé que
maintenant. Les faits observationnels ainsi que les lois de la physique qu’on ne peut
remettre en cause permettent d’affirmer que l’expansion de l’univers se déroule depuis
une époque où la densité était supérieure de 40 ordres de grandeur à celle que nous
connaissons, avec une température de kT > 10 MeV. En remontant dans le temps,
nous pourrions voir les étoiles et les galaxies se fondre dans un plasma uniforme de
particules élémentaires.

ÉC

E
L
O

Y
L
PO
13

E

14

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

T
Y
L
PO

N
H
EC

L’ambition première de la cosmologie est de déterminer l’état actuel, thermique,
chimique et structurel, de l’univers à partir des conditions qui régnaient dans l’univers
« primordial ».
Nous verrons dans le chapitre 6 que la composition chimique du tableau 1.1 ainsi
que le non-équilibre thermique s’expliquent en grande partie par les réactions qui
ont eu lieu à des températures voisines de 1 MeV. En particulier, nous calculerons
le rapport neutrino-photon nν /nγ avec grande précision, et nous verrons comment
le rapport hélium-hydrogène nHe /nH est directement lié au rapport baryon/photon
η = nb /nγ . Les autres rapports, parmi lesquels η lui-même, restent encore à expliquer.
La formation de structures, galaxies et amas de galaxies, dans l’univers n’est pas
encore bien comprise. Nous verrons toutefois dans le chapitre 7, le scénario standard
dans lequel les structures observées résultent de la croissance gravitationnelle de petites inhomogénéités dans l’univers primordial. L’incertitude dans ce secteur provient
actuellement de l’ignorance que nous avons sur la nature de la matière noire et sur
l’origine des inhomogénéités primordiales. Les idées les plus ambitieuses nous font
concevoir une époque « inflationnaire » qui s’est achevée lorsque l’univers était plus
dense d’un facteur ∼ 10120 que maintenant. Pendant la période inflationnaire, les inhomogénéités de densité seraient provenues des fluctuations quantiques d’un champ
scalaire.

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Dans ce chapitre d’introduction, nous allons commencer par faire une description
qualitative, dans la section 1, des divers composants du tableau 1.1. Dans la section 2,
nous introduirons le modèle cosmologique standard dans lequel l’évolution de l’univers
est déterminée par la gravitation au travers de l’équation de Friedmann, et par la
physique statistique au travers de l’équation de Boltzmann.
Les fondements observationnels du modèle standard seront présentés plus en détail au chapitre 2. Les aspects gravitationnels seront exposés au chapitres 3 et 4, ce
qui nous permettra, au chapitre 5, de comprendre comment l’on mesure les densités
cosmologiques. Les éléments de mécanique statistique nécessaires pour comprendre
l’évolution chimique de l’univers seront exposés au chapitre 6. Enfin, les éléments de
la théorie de la formation des structures seront introduits au chapitre 7. Tous ces
sujets sont exposés en plus grand détail dans les nombreux ouvrages sur l’astronomie
et l’astrophysique [2, 3], sur la relativité générale [7, 8], la physique des particules
élémentaires [9] et la cosmologie [13, 14, 15, 16, 17].

ÉC

1
1.1

E
L
O

Composition de l’univers
L’univers visible : les galaxies

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

Les « briques » de l’univers visible sont des galaxies (Figures 1.1 et 1.2) qui sont
elles-mêmes formées d’étoiles, de gaz interstellaire, et de matière noire non-identifiée.
Les galaxies sont de forme très variée (spirale, elliptique, irrégulière) tout comme le
sont leur masse et leur luminosité. Néanmoins, la majorité de la lumière produite dans
l’univers provient de galaxies comportant de 1010 à 1011 étoiles, ce qui produit une

ÉC

E
L
O

E

Composition de l’univers

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

15

Tab. 1.1: Les occupants recensés ou soupçonnés de l’univers. Pour chaque espèce, i, ce tableau donne la densité estimée des particules, ni , ainsi que l’estimation de la densité d’énergie
ou de masse, Ωi = ρi /ρc , normalisée à la « densité critique » ρc = 0.92 h270 × 10−26 kg m−3 .
Certaines des estimations dépendent de la valeur de la constante de Hubble H0 ce qui se
traduit par la présence de facteurs du type h70 = H0 /(70 km s−1 Mpc−1 ) ∼ 1. Sauf pour
la densité des photons, que l’on observe directement, tous les nombres dans ce tableau sont
évalués par des méthodes plus ou moins indirectes et doivent être maniés avec une certaine
précaution. Pour cette même raison, les barres d’erreurs ne doivent pas être prises comme
trop contraignantes.

ni (m−3 )

espèce

O
P
E
L
ÉCO

LY T

N
H
EC

E
U
IQ

Ωi = ρi /ρc

Référence

−5
Ωγ = 5.06 h−2
70 × 10

[21, 22]

−4
Ων > 4 h−2
70 × 10

[23]

photons du CBR

nγ = (4.11 ± 0.02) × 108

νe , νµ , ντ

nν = (3/11)nγ
(par espèce)

baryons
(+électrons)

nb ∼ 0.2 ± 0.05
(nHe /nH ∼ 0.08)

Ωb ∼ (0.04 ± 0.01) h−2
70

[24, 25]

matière noire
froide

?

ΩCDM ∼ 0.3 ± 0.1

[21]

« vide »

0

ΩΛ ∼ 0.7 ± 0.1

[26, 27, 25]

ΩT ∼ 1.1 ± 0.1

total

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N
[25]

E

16

ÉC

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

E
L
O

ÉC

T
Y
L
PO

E
L
O

N
H
EC

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Fig. 1.1: La galaxie spirale NGC1232 vue par le VLT de l’ESO. Avec la permission de
l’European Southern Observatory [28].

luminosité galactique de
Lgal ∼ 2 × 1010 L ,

(1.1)

où L est la luminosité du soleil, L = 2.4 × 1045 eV s−1 .
Les masses des galaxies ne sont pas bien définies car l’étude des vitesses de rotation
des nuages galactiques (voir section 2) montre que la plupart de la masse est contenue
dans des halos sombres, grosso modo sphériques, d’extension inconnue (figure 1.3). La
masse des régions visibles Mvis se trouve principalement dans les étoiles. On observe
qu’elle est à peu près proportionnelle à la luminosité galactique L. Le rapport « masseluminosité » typique est 4M par L

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

Mvis /L ∼ 4 (M /L ) ,

ÉC

U
Q
I
N
(1.2)

où M = 1.988 × 1030 kg est la masse solaire. Cela entraîne une « masse visible »

E

Composition de l’univers

ÉC

E
L
O

ÉC

T
Y
L
PO

E
L
O

N
H
EC

T
Y
L
PO

E
U
IQ

N
H
EC

17

E
U
IQ

Fig. 1.2: La Voie lactée vue de la Terre à 8 kpc du centre galactique. La figure est un image
de l’ensemble du ciel obtenue à partir de données provenant du Diffuse Infrared Background
Experiment (DIRBE) monté sur le Cosmic Background Explorer (COBE) dans les bandes
de longueur d’onde de 1.25, 2.2, et 3.5 micron. La plupart de l’émission à ces longueurs
d’onde provient d’étoiles K, comparativement froides et de faible masse, dans le disque et
dans le noyau de la Voie lactée. La poussière interstellaire n’obscurcit pas appréciablement
l’émission à ces longueurs d’onde ; les cartes représentent l’émission jusqu’aux extrémités de
la galaxie. Avec la permission de NASA Goddard Space Flight Center et du COBE Science
Working Group [29].

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

18

ÉC

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

dark halo
>50 kpc

10 kpc

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

100 pc

disk

ÉC

E
L
O

bulge

Fig. 1.3: Une galaxie spirale typique vue par la tranche. La région visible a la forme d’un
disque de rayon ∼ 10 kpc et d’épaisseur ∼ 100 pc. On pense que la plus grande partie de la
masse est sous forme d’un « halo » sphérique dont on ignore l’étendue. La densité du halo
varie comme ρ ∝ R−2 si bien que la masse totale est proportionnelle au rayon R que l’on ne
connaît pas.

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

Composition de l’univers

T
Y
L
PO

typique par galaxie de

N
H
EC

E
U
IQ

Mvis ∼ 8 × 1010 M .

E
L
O

19

(1.3)

Le rayon des régions visibles des galaxies spirales est typiquement

ÉC

Rvis ∼ 10 kpc ,

(1.4)

où nous utilisons le « parsec », unité de distance communément employée en cosmologie : 1 pc = 3.26 années-lumière = 3.086 × 1016 m.
Les galaxies ne sont pas distribuées uniformément dans l’espace, ce qui provient de
leur interaction gravitationnelle. Les galaxies sont fréquemment regroupées dans des
amas liés, dont les plus grands contiennent des milliers de galaxies. En dépit de cette
inhomogénéité à « petite échelle », l’univers à grande échelle > 100 Mpc apparaît
comme uniforme avec un nombre volumique de galaxies visibles de
ngal ∼ 0.005 Mpc−3

N
H
EC

E
U
IQ
(1.5)

ce qui correspond à une distance typique intergalactique de ∼ 6 Mpc. Insistons sur
le fait que cette densité correspond à celle des galaxies « brillantes ». De fait, il
semble que le nombre volumique de galaxies diverge pour de faibles luminosités. Par
conséquent, le nombre total de galaxies est mal défini. Ces petites galaxies contribuent
peu à la luminosité totale de l’univers :

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

J ∼ Lgal ngal ∼ 108 L Mpc−3 .

(1.6)

La densité de masse totale correspondant à la partie visible des galaxies est
ρvis = J M/L ∼ 4 × 108 M Mpc−3

(1.7)

pour un rapport masse-luminosité de 4M /L .
La cosmologie moderne est née avec l’observation par Hubble que les galaxies
s’éloignent de nous avec une vitesse de récession dR/dt proportionnelle à leur distance
R (figure 1.4) :
dR
= H0 R + vp .
dt

U
Q
I
N
(1.8)

H
C
TE

Le facteur de proportionnalité H0 est appelé « constante de Hubble ». son inverse,
H0−1 , est le temps caractéristique pour que des changements appréciables de R se
produisent, et on peut considérer H0 comme le « taux d’expansion » actuel de l’univers local. La constante de Hubble ne doit pas être confondue avec le « paramètre de
Hubble » H(t) qui détermine l’évolution dans le temps du taux d’expansion1

E
L
O

Y
L
PO

1 La convention usuelle consiste à attribuer l’indice 0 à la valeur actuelle d’une grandeur cosmologique.

ÉC

E

20

ÉC

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

E
L
O

ÉC

T
Y
L
PO

E
L
O

N
H
EC

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Fig. 1.4: Le « diagramme de Hubble » des vitesses de récession galactiques en fonction de
leur distance pour un ensemble d’amas de galaxies mesuré par le Hubble Key Project [30]. Les
vitesses sont déterminées par le redshift galactique et les distances sont évaluées par une série
de méthodes décrites au chapitre 2 en section 5.1. La pente de la droite donne la constante
de Hubble H0 .

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

Composition de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

21

Comme indiqué en (1.8),, en plus de la « vitesse de Hubble » H0 R, les galaxies
possèdent des vitesses propres quasi-aléatoires que nous appelons vitesses « particulières » vp typiquement de l’ordre de vp ∼ 10−3 c ∼ 300 km s−1 .
La loi de Hubble (1.8) s’applique aux galaxies suffisammment « proches » pour
que v c. Dans ce cas, le temps de vol d’un photon entre la galaxie et nous est
suffisamment court pour que l’on puisse négliger la variation de R pendant le trajet.
Pour trouver la généralisation « relativiste » (3.59) de la loi de Hubble, applicable à
des galaxies plus lointaines, on doit être plus précis dans la définition de ce que l’on
nomme « distance », comme nous le verrons au chapitre 3.
Il est difficile de mesurer la distance des galaxies. Pour cette raison, les estimations
de H0 ont varié de plus d’un ordre de grandeur depuis les travaux originaux de Hubble.
Les mesures les plus récentes [21] donnent des valeurs compatibles avec

ÉC

E
L
O

H0 = 70 ± 10 km s−1 Mpc−1 .

E
U
IQ
(1.9)

Dans la section 5.1 du chapitre 2 nous donnerons un aperçu des techniques qui mènent
à ces valeurs.
Puisque H0 est omniprésent dans les formules cosmologiques, il est utile de présenter les résultats numériques en introduisant le paramètre h = H0 /(100 km s−1 Mpc−1 ),
c’est-à-dire :

T
Y
L
PO

H0 = 100 h km s−1 Mpc−1

E
L
O

N
H
EC
h = 0.7 ± 0.1 .

(1.10)

Bien que h soit très largement utilisé dans la littérature nous préférons utiliser dans
ce livre h70 = H0 /(70 km s−1 Mpc−1 ) :

ÉC

H0 = 70 h70 km s−1 Mpc−1

h70 = 1.0 ± 0.15 ,

(1.11)

ce qui nolus permettra de donner des facteurs numériques correspondant directement
aux estimations actuelles de H0 .
Pour mesurer H0 , il est nécessaire de connaître les distances galactiques et les
vitesses de récession. Ces dernières sont aisément accessibles à partir du déplacement
vers le rouge, que nous nommerons dorénavant « redshift », des raies spectrales
galactiques
z ≡

λ0
−1,
λ1

U
Q
I
N
(1.12)

H
C
TE

où λ1 est la longueur d’onde du photon mesurée par un observateur au repos par
rapport à l’émetteur et λ0 est celle que nous observons. On peut interpréter le redshift
comme provenant de l’effet Doppler2 de la vitesse de récession. Pour les galaxies

Y
L
PO

2 Le lecteur n’aimant pas l’interprétation Doppler ne doit pas s’inquiéter – ce n’est qu’une interprétation. Ce sont les relations entre quantités observables, les redshifts et les flux de photons, qui
importent véritablement. En particulier, on observe que les galaxies peu lumineuses (car lointaines)
sont déplacées vers le rouge. C’est la relation entre le redshift et la luminosité apparente qui est
véritablement significative. Nous établirons cette relation dans la section 5.

ÉC

E
L
O

E

22

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

T
Y
L
PO

N
H
EC

proches, la vitesse de récession est nettement inférieure à la vitesse de la lumière, et
la formule de déplacement Doppler non relativiste (λ0 − λ1 )/λ1 = v/c signifie

ÉC

E
L
O

z ∼ v/c

(v/c 1) .

(1.13)

En divisant (1.8) par c on voit que la loi de Hubble peut s’écrire
z =

H0
R
R + vp /c =
+ vp /c
c
dH

z 1,

(1.14)

où dH est la « distance de Hubble » :
dH = cH0−1 = 3000h−1 Mpc = 4300 h−1
70 Mpc .

(1.15)

E
U
IQ

Il s’ensuit que z 1 si R dH . L’équation (1.14) permet d’estimer la distance d’une
galaxie à partir de son redshift, R ∼ zdH (z 1). Bien entendu, cette estimation
n’est valable que si la vitesse particulière est négligeable.
Dans ce livre, nous omettrons souvent d’écrire les facteurs « c » :

T
Y
L
PO

dH = H0−1 .

N
H
EC

(1.16)

C’est là le premier cas où nous faisons usage des « unités naturelles », système
d’unités où c, , et k sont « choisies » comme égales à 1. Comme nous le montrons
dans l’appendice B, on ne perd aucune information en négligeant les facteurs c et
car on les retrouve aisément par analyse dimensionnelle.

ÉC

E
L
O

Il y a trois premières conséquences importantes de la loi de Hubble :
– L’univers est dynamique. Dans le passé, il était plus dense et, nous le verrons,
plus chaud. Des commentateurs imprudents aiment à extrapoler jusqu’à un point
de densité infinie, appelé « big bang » ou « singularité primordiale ». Ce qui
est certain est que puisque nous ne connaissons pas les lois de la physique à
une densité supérieure à celle qu’avait l’univers avant 10−44 s , cette extrapolation ne peut pas être mise sous forme quantitative 3 . Notons cependant qu’en
extrapolant à partir des valeurs actuelles des vitesses de récession, un temps
de l’ordre de H0−1 s’est écoulé depuis cette singularité putative. Ce temps est
appelé « temps de Hubble » :
tH =

H0−1

10 −1

= 10 h

h−1
70

H
C
TE

an = 1.4 × 10

10

an .

U
Q
I
N
(1.17)

Dans le chapitre 5 nous verrons que le temps de Hubble est l’ordre de grandeur du temps écoulé depuis l’époque où s’appliquent « les lois de la physique
connues », c’est-à-dire depuis que la température était de l’ordre de ∼ 1 GeV.

E
L
O

Y
L
PO

3 Nous verrons que pour extrapoler, on doit connaître, entre autres, la pression en fonction de
la densité d’énergie. Nous ne possédons sur ce sujet aucun point de repère pour des températures
supérieures à ∼ 1 GeV.

ÉC

E

Composition de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

23

Notons également qu’en un temps de Hubble, la lumière peut parcourir une
distance ctH = dH , la distance de Hubble. On peut donc s’attendre à ce qu’il y
ait un « horizon » à la distance de Hubble. Au-delà de cet horizon, les objets
ne nous sont pas visibles car la lumière n’a pas eu le temps de nous parvenir.
Tout cela sera mis en forme au chapitre 5.

ÉC

E
L
O

– Comme on peut le constater sur la figure 1.5, la linéarité de la loi de Hubble
signifie qu’un observateur dans une galaxie voisine voit une expansion universelle
avec la même constante H0 . Cela n’est vrai que si la relation entre vitesse de
récession et distance est linéaire. Toute autre loi impliquerait que nous occupons
une position privilégiée au « centre » de l’univers. Cela tend à faire penser que
l’univers est homogène dans notre voisinage dans le sens où tous les observateurs
dans diverses galaxies voient la même loi de Hubble et, très probablement, la
même densité de matière moyennée sur des volumes suffisamment grands. Que
cette homogénéité persiste au delà de l’horizon est une question intéressante
qui demeurera sans réponse pendant quelque temps encore. (L’horizon croît
avec un temps caratéristique tH .) Les cosmologistes ont, par tradition, souvent
supposé que l’univers tout entier est homogène, hypothèse élevée au rang de
« Principe cosmologique ». À l’heure actuelle, ce principe est peu-être démodé
car dans plusieurs théories, comme celle de l’inflation chaotique, l’univers est
très inhomogène à des échelles supérieures à l’horizon.

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

– À partir de H0 et de la constante de Newton G = GN , on peut former une
grandeur ayant la dimension d’une masse (ou d’une énergie) volumique appelée
« densité critique » :

ÉC

ρc =

3H02
= 0.92 h270 × 10−26 kg m−3
8πG

= 1.4 h270 × 1011 M Mpc−3 = 0.51 h270 × 1010 eV m−3 .

(1.18)

(1.19)

La seconde ligne montre que la densité critique correspond à une galaxie par
Mpc3 ou encore 5 protons/m3. S’il n’y a pas d’énergie du vide, l’expansion d’un
univers homogène super-critique s’arrête à un certain stade et se transforme en
une période de contraction qui se termine (si l’on ose extrapoler à une densité
infinie) par un « big crunch». Dans le chapitre 4, nous verrons qu’un univers
homogène de densité super-critique a un volume fini. S’il existe une énergie du
vide, cette corrélation entre la géométrie et le destin de l’univers est rompue,
mais ρc joue toujours le rôle d’unité « naturelle » de densité.

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

Il est commode de rapporter les densités cosmologiques à la densité critique et de
former des « Ω ». Par exemple, la densité totale moyenne ρT divisée par ρc est ΩT :

ÉC

E
L
O

ΩT ≡

ρT
.
ρc

(1.20)

E

24

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

LY T
1

dR1
= H 0R1
dt

O
P
E
L
ÉCO

N
H
EC

d ( R1 - R2 )
= H 0 ( R1 - R2 )
dt

R1 - R2

R1

2

0
R2
dR2
= H 0 R2
dt

E
U
IQ

Fig. 1.5: Si un observateur dans la galaxie 0 voit une expansion universelle avec un taux

N
H
EC

H0 , un observateur dans la galaxie 1 ou 2 verra une expansion avec le même taux H0 . Cela
i
i /dt = H0 R
provient de ce qu’en négligeant les vitesse particulières, la loi de Hubble est dR





pour la position Ri de toute galaxie i. Cela entraîne que d(Ri − Rj )/dt = H0 (Ri − Rj ) pour
toute paire de galaxies i et j, ce qui signifie que n’importe quelle galaxie peut être choisie
comme étant au « centre de l’univers ».

E
L
O

T
Y
L
PO

La densité de la matière visible (1.7) divisée par ρc donne

ÉC

Ωvis =

ρvis
∼ 0.003
ρc

(vis = ”visible” ∼ ´etoiles) .

(1.21)

On voit que s’il n’y avait que de la matière visible, l’univers serait sous-critique avec
ΩT ∼ 0.003.
Insistons sur le fait que les quantités notées « ρT », « ΩT » représentent les valeurs
actuelles. Les valeurs à d’autre époques seront notées « ρT (t) » et « ΩT (t) ». La densité critique dépend également du temps. Afin d’éviter toute confusion, nous l’écrirons
explicitement 3H02 /8πG à l’époque actuelle et 3H(t)2 /8πG à d’autres époques.

1.2

Baryons

U
Q
I
N

On estime que la densité des baryons est supérieure d’un ordre de grandeur à celle
des baryons visibles (1.21) :

H
C
TE

Ωb = (0.04 ± 0.01) h−2
70 .

Y
L
PO

(1.22)

Cette estimation provient de la théorie de la nucléosynthèse des éléments légers [24]
qui permet de calculer correctement les abondances relatives des éléments légers si
Ωb est proche de cette valeur. En résumant brièvement les résultats du chapitre 6, la
composition nucléaire de l’univers change avec le temps au fur et à mesure que les

ÉC

E
L
O

E

Composition de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

25

étoiles transforment leur hydrogène en hélium, puis en éléments plus lourds. Néanmoins, il apparaît qu’il existe un mélange « primordial » de noyaux légers formé d’à
peu près 75% d’hydrogène (en masse) et de 25% 4 He accompagnés de traces de 2 H,
3
He, et 7 Li. Ce mélange est observé dans des régions qui n’ont pas été polluées par
la nucléosynthèse stellaire. Les abondances primordiales ont été déterminées par des
réactions nucléaires qui se sont produites lorsque la température de l’univers était de
∼ 60 keV. Les calculs de nucléosynthèse primordiale prévoient les abondances en fonction de la densité baryonique totale à T ∼ 60 keV, puisque cette densité détermine les
taux de réaction nucléaires. Nous verrons au chapitre 6 que les abondances calculées
correspondent aux abondances observées si la densité baryonique actuelle a la valeur
(1.22).
Puisque Ωb > Ωvis , on peut se poser la question de savoir où se trouvent les
baryons manquants, « noirs ». On pense que la plupart se trouvent dans le milieu
intergalactique sous forme d’un gaz ionisé [31]. Une fraction peut se trouver dans
des objets sombres compacts comme des étoiles mortes (étoiles à neutrons ou naines
blanches) ou dans des étoiles trop légères pour s’être allumées (des naines brunes).
Il a aussi été envisagé [32] qu’une fraction appréciable de baryons puisse se trouver
dans des nuages moléculaires froids.
En fin de compte, mentionnons qu’il y a apparemment très peu d’antibaryons
dans l’univers visible [33]. Toute antimatière formée d’antibrayons et de positrons
s’annihilerait rapidement par collision avec de la matière ordinaire. Même si l’antimatière était séparée, d’une manière ou d’une autre, de la matière, les annihilations
dans l’espace integalactique à la frontière entre des domaines de matière et d’antimatière produirait un flux de photons d’annihilation de haute énergie supérieur aux
flus observé en provenance d’autres sources. Il semble probable par conséquent que la
densité d’antimatière est exponentiellement faible dans notre horizon (voir l’exercice
6.7).

ÉC

E
L
O

ÉC

1.3

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Matière noire froide (CDM)

Les galaxies et les amas de galaxies ont été formées par effondrement gravitationnel de matière non-relativiste. La théorie de ce processus sera évoquée au chapitre 7.
Un résultat central est qu’il est difficile de comprendre comment une quantité (1.22)
de baryons pourrait avoir créé les structures observées. Le principal problème provient
de ce que les photons d’origine cosmologique (section 1.4) ont un spectre en énergie
pratiquement indépendant de la direction d’observation. Nous verrons que cela implique que la distribution des baryons était très homogène à des époques précoces.
Passer de cet état homogène à l’état inhomogène que nous connaissons à présent est
« difficile » s’il n’y a que des baryons en raison de leur couplage étroit aux photons
qui, eux, ont une répartition très homogène.
Les modèles actuellement en vogue supposent qu’il existe de la matière noire sous
une forme qui n’a eu que des interactions faibles et qui a été non-relativiste depuis
l’époque où T était de l’ordre du MeV. Cette matière est appelée de façon générique
« matière noire froide ». Pour faciliter la lecture, nous conservons l’abbréviation

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

26

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

T
Y
L
PO

N
H
EC

anglaise CDM (cold dark matter). On suppose fréquemment que cette matière est
formée de particules massives non-baryoniques interagissant faiblement, appelées génériquement des « wimps » (weakly interacting massive particles). Le fait qu’elles
aient des interactions faibles leur permet de graviter librement sans être contraintes
par l’interaction avec d’autres particules (baryons et photons).

ÉC

E
L
O

La densité actuelle de CDM est estimée être supérieure d’un ordre de grandeur à
celle des baryons, tout en restant en deçà de la densité critique
ΩCDM ∼ 0.3 .

(1.23)

On pense que la matière noire constitue la majeure partie de la masse des halos
galactiques et des amas de galaxies.

E
U
IQ

Malheureusement, il n’existe pas de wimp connu dans le zoo actuel des particules
élémentaires (Appendix C) et leur existence est une prévision hardie de la cosmologie.
Certaines extensions du modèle standard de la physique des particules élémentaires
prévoient l’existence de wimps suffisamment lourds pour ne pas avoir encore été détectés dans les accélérateurs. On a pu penser au début qu’un nouveau neutrino lourd
de masse mν > 1 GeV pouvait constituer la CDM, mais cette idée a été écartée [34]
au vu de la combinaison de résultats dans les accélérateurs et de recherches directes
(section 4).

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

Une classe de modèles plus hypothétiques qui prévoit l’existence de wimps est
constituée par les modèles « supersymétriques ». Dans ces modèles, chaque fermion
(resp. chaque boson) est apparié avec un partenaire supersymétrique qui est un boson
(resp. un fermion). Le partenaire supersymétrique le plus léger (LSP) est stable et ne
peut avoir que des interactions faibles, ce qui en fait un candidat idéal pour un wimp.
Au chapitre 6 nous verrons que les partenaires du modèle supersymétrique peuvent
être choisis de façon que le wimp ait la densité requise aujourd’hui (1.24). On estime
que la masse doit être comprise entre 10 GeV et 10 TeV. Des tentatives sont en cours
pour détecter les particules supersymétriques dans les accélérateurs aussi bien que
dans la galaxie (section 4).
D’autres candidats pour la matière noire non-baryonique sont des neutrinos légers et des trous noirs primordiaux. [35]. Nous verrons que des neutrinos de densité
(1.24) devraient avoir des masses de l’ordre de 10 eV. Comme nous le verrons dans
le chapitre 7, de telles particules légères auraient des difficultés à former les structures observées. En effet, elles auraient été relativistes lorsque la température était de
T ∼ MeV et formeraient ce qu’on appelle de la « matière noire chaude ». Les trous
noirs primordiaux conviennent bien pour ce qui concerne la formation de structures
mais il manque aux cosmologistes un scénario convaincant pour que ces trous noirs
soient produits en abondance dans l’univers primordial. [35].

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

La densité totale de matière non-relativiste est la somme des densités de CDM, de
baryons et de neutrinos massifs. Si les théories et estimations actuelles sont justes, la

ÉC

E

Composition de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

masse totale est dominée par la CDM, d’où
ΩM ∼ ΩCDM ∼ 0.3

E
L
O

4

E
U
IQ

27

:

(M = mati`ere non − relativiste.)

(1.24)

Hormis les cas où la distinction est importante, nous ne nous préoccuperons pas de
différencier ΩCDM et ΩM .

É1.4C Photons

Les particules les plus abondantes dans l’univers sont les photons du fond cosmique, que nous notons CBR (cosmic background radiation) (également appelé « CMB »
dans la littérature : cosmic microwave background). Ces photons ont un spectre thermique presque parfait comme on peut le constater sur la figure 1.6. La température
des photons est Tγ = 2.725 Kelvin = 2.35 × 10−4 eV ce qui correspond à un nombre
volumique de nγ = 411cm−3 . Ce nombre est considérablement plus élevé que celui des
photons émis par les étoiles (exercice 2.2). En dépit de leur grande abondance, la faible
température des photons du fond cosmique résulte en une faible densité d’énergie :

N
H
EC

−5
.
Ωγ = 5.06 h−2
70 × 10

T
Y
L
PO

E
U
IQ
(1.25)

L’univers d’aujourd’hui est pratiquement transparent aux photons (exercice 2.3).
Au chapitre 6, nous verrons que les photons du CBR ont été thermalisés lorsque la
température était supérieure à 0.26 eV et que la matière baryonique était complètement ionisée. À T ∼ 0.26 eV, la matière baryonique s’est « recombinée » pour former
des atomes, et la décroissance correspondante de la section efficace photon-matière a
rendu l’univers transparent.
La température du CBR n’est pas complètement isotrope. On constate des variations relatives de l’ordre de 10−5 d’une direction d’observation à l’autre. On pense que
ces petites variations proviennent des inhomogénéités de densité présentes au moment
de la recombinaison. Ces anisotropies de température fournissent des informations sur
les « conditions initiales » de la formation des structures. Comme nous le verrons au
chapitre 7, le spectre des anisotropies, interprété dans le cadre des modèles en vogue,
procure des informations qui, elles aussi, contraignent ΩT à être proche de 1.

ÉC

1.5

E
L
O

Neutrinos

U
Q
I
N

En sus des photons thermiques, on pense que l’univers est rempli de neutrinos,
νe , νµ et ντ ainsi que des anti-neutrinos correspondants. Les trois « saveurs » de
neutrinos correspondent aux neutrinos produits dans les interactions avec les leptons
chargés correspondants e, µ et τ . Par exemple, le νe est produit dans la désintégration
β en association avec un électron ou un positron :

Y
L
PO

H
C
TE

νe ) .
(A, Z) → (A, Z ∓ 1) e± νe (¯

E
L
O

(1.26)

4 Malheureusement, il n’existe pas dans la littérature de notation standard pour les Ω, et « Ω »
0
est utilisé pour noter tantôt ΩM tantôt ΩT .

ÉC

E

28

ÉC

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

E
L
O

T
Y
L
PO
10

10−17

N
H
EC

Wavelength (cm)
1.0

0.1

Iν (W m−2 sr−1 Hz−1)

10−18

10−19

2.73 K blackbody

10−20

ÉC
10−21
10−22

N
H
EC

E
U
IQ

E
L
O

T
Y
L
PO

1

FIRAS
DMR
UBC
LBL-Italy
Princeton
Cyanogen

COBE satellite
COBE satellite
sounding rocket
White Mt. & South Pole
ground & balloon
optical

10
100
Frequency (GHz)

1000

Fig. 1.6: Spectre observé du rayonnement cosmique (CBR) [21]. Les points aux longueurs
d’onde < 1 cm proviennent d’observations terrestres. Aux longueurs d’onde plus courtes,
l’atmosphère terrestre est opaque et les mesures doivent être effectuées en ballons, dans des
fusées ou dans des satellites. Les points de haute précision autour du pic du spectre ont été
obtenu avec le détecteur FIRAS du satellite COBE (1989-1995) [22]. Compilation due à The
Particle Data Group.

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

Composition de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

29

Le νµ est produit dans la désintégration du méson π en association avec un muon :
π ± → µ± νµ (¯
νµ ) .

E
L
O

(1.27)

Le ντ est produit dans la désintégration du τ :

ÉC

τ ± → π ± ν¯τ (ντ ) .

(1.28)

On pense que les neutrinos de « saveur » bien définie, νe , νµ et ντ , sont, en fait, des
combinaisons linéaires (au sens quantique) de neutrinos de masse bien définie ν1 , ν2
et ν3 :
νf =

3


αf i νi

(1.29)

i=1

E
U
IQ

pour f = e, µ, τ .
Les neutrinos interagissent encore plus faiblement que les photons du CBR mais
leur taux d’interaction à T > 1 MeV est suffisamment élevé pour qu’ils aient été
thermalisés. Au chapitre 6 nous verrons que pour des températures T < me , les
neutrinos relativistes ont une température légèrement inférieure à celle des photons :

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

Tν = (4/11)1/3 Tγ .

(1.30)

Cela correspond à une densité d’énergie par espèce de neutrino (+ antineutrino)
relativiste de
ρν = (7/8) × (4/11)4/3 ργ = 0.227 ργ

par esp`ece relativiste

(1.31)

et à un nombre volumique de neutrinos (+ antineutrinos) de
nν = (3/11)nγ

par esp`ece.

(1.32)

Cette relation est valable même si les neutrinos sont maintenant non-relativistes. Par
conséquent, on s’attend à nν = 112 cm−3 par espèce aujourd’hui.
Pour une espèce de neutrino de masse effectivement nulle, mν Tν , la somme des
contributions des neutrinos et des antineutrinos de cette espèce à la densité d’énergie
est encore plus faible que celle des photons du CBR :
−5
Ων = 1.15 h−2
70 × 10

H
C
E

si mν 10−4 eV .

T
Y
POL

U
Q
I
N
(1.33)

Pour une espèce dont la masse est plus grande que la température calculée, les neutrinos sont maintenant non relativistes, et la somme des densités de neutrinos et
d’antineutrinos est
Ων =

E
L
O


mν n ν
= 0.2 h−2
70
ρc
10 eV

ÉC

si mν 10−4 eV .

(1.34)

E

30

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

T
Y
L
PO

N
H
EC

Si une espèce de neutrino possède une masse de l’ordre de quelques eV, elle doit
contribuer notablement à la densité d’énergie universelle. On peut aussi remarquer
que toute espèce de neutrino telle que nν ∼ nγ doit avoir une masse mν < 30 eV si
l’on veut éviter une densité cosmologique plus grande que celle que l’on observe.
Les limites sur les masses des neutrinos proviennent d’études cinématiques des
désintégrations (1.26), (1.27) et (1.28). Les limites actuelles [21] ne sont pas très
contraignantes : m1 < 10 eV, m2 < 170 keV et, m3 < 18.2 MeV, où i = 1, 2, 3 correspondent aux neutrinos de masses bien définie les plus proches, quantiquement, des
νe , νµ et ντ .
L’indication expérimentale de l’existence d’une masse non-nulle pour les neutrinos
provient de l’étude des « oscillations de neutrinos » c’est-à-dire la transformation
d’un neutrino de saveur donnée en un neutrino d’une autre saveur, par exemple

ÉC

E
L
O

π + → µ+ νµ ,

(1.35)

E
U
IQ

suivie d’une interaction dans laquelle ce neutrino agit comme ayant une saveur différente

N
H
EC

ν p → τ − (!) pπ + .

T
Y
L
PO

(1.36)

Ces expériences ne sont malheureusement sensibles qu’aux différences des carrés des
masses des neutrinos 5 . L’observation récente d’oscillations de neutrinos produits par
des interactions de rayons cosmiques dans l’atmosphère [23] a donnée des résultats
dont l’interprétation simple est

ÉC

E
L
O

m23 − m22 ∼ 10−3 eV 2 .

(1.37)

Des anomalies dans le spectre des neutrinos solaires [36] peuvent s’expliquer par
m22 − m21 ∼ 10−5 eV2 .

(1.38)

Si ces résultats sont confirmés, ils impliquent qu’il existe au moins deux
neutrinos non-relativistes. Les différences de masses ne donnent que des
férieures sur les masses elles-mêmes, en supposant que celles-ci sont très
les unes des autres m3 m2 m1 . Dans ce cas, on obtient m3 >
m2 > 0.002eV . Cela implique :
Ων > 0.0004 h−2
70 .

espèces de
limites indifférentes
0.02eV et
(1.39)

U
Q
I
N

On pense généralement que les neutrinos ont une hiérarchie de masses semblable à
celle des leptons chargés. Si c’est le cas, les inégalités ci-dessus deviennent en bonne approximation des égalités. Il n’est pas possible actuellement de vérifier cette hypothèse,
si bien qu’il est possible qu’un neutrino soit important du point de vue cosmologique
si les espèces de neutrinos ont des masses voisines.
Notons enfin qu’en raison de leurs très faibles interactions, il y a peu d’espoir de
détecter le fond cosmique des neutrinos [37].

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

5 Cette différence détermine la « longueur d’oscillation », c’est-à-dire la distance caractéristique
parcourue par un neutrino avant qu’il n’interagisse comme un neutrino d’une autre saveur.

ÉC

E

Composition de l’univers

1.6

Le vide

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

31

La découverte récente qui est probablement la plus surprenante est que l’univers
semble dominé par une « énergie du vide » ou encore «constante cosmologique» Λ :

ÉC

E
L
O

ΩΛ =

Λ
∼ 0.7
3H02

(1.40)

Par définition, l’énergie du vide est une énergie qui n’est pas associée à des particules
et qui n’est donc pas diluée par l’expansion de l’univers. Cela implique que la densité
d’énergie du vide est indépendante du temps, sauf si le vide n’est que métastable. La
valeur qu’implique ΩΛ = 0.7 est
ρV (t) ∼ 3 h270 × 109 eV m−3 .

(1.41)

E
U
IQ

Nous discuterons au chapitre 5 les arguments observationnels en faveur d’une telle
forme d’énergie. Ces observations concernent la luminosité apparente d’objets de
grand redshift qui indique si l’expansion universelle est en accélération ou en décélération (ce qu’on attendrait de la part de la gravitation usuelle). On constate que
l’expansion s’accélère et cela peut s’expliquer, comme nous le verrons au chapitre 4,
par une densité d’énergie du vide positive.
On ne peut pas utiliser la physique fondamentale actuelle pour calculer la valeur
de l’énergie du vide, bien que ce concept soit couramment utilisé dans les théories
de jauge modernes des particules élémentaires. On s’attend à ce que cette quantité
change avec la température d’une façon que l’on sait calculer lors de transitions de
phase, par exemple la transition de phase électro-faible à T ∼ 300 GeV lorsque les
bosons intermédiaires W ± et Z 0 deviennent massifs. Alors que l’énergie du vide ne
change pas dans la collisions de particules, et peut donc être ignorée dans les expériences habituelles, elle mène à des effets observables comme l’effet Casimir entre
conducteurs neutres. Malheureusement, toutes les grandeurs calculables qui font intervenir l’énergie du vide ne concernent que des différences de densités d’énergie et
nous n’avons pas de moyen sûr actuellement pour calculer les densités elles-mêmes.
Malgré le manque d’idées, l’existence d’une énergie du vide d’une valeur donnée
par (1.41) est particulièrement surprenante. En unités naturelles, une densité d’énergie
a la dimension de la quatrième puissance d’une masse. Par conséquent, une densité
d’énergie du vide peut être associée avec une échelle de masse M

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

ρV ∼

N
H
EC

M4
.
( c)3

U
Q
I
N
(1.42)

H
C
TE

On peut être tenté d’utiliser comme échelle fondamentale la masse de Planck mpl =
( c5 /G)1/2 ∼ 1019 GeV ce qui donne ρV ∼ 3 × 10123 GeV m−3 . Ce nombre est trop
grand de 122 ordres de grandeur, ce qui doit constituer le record de la plus mauvaise
prévision qualitative de l’histoire de la physique. En fait, la densité (1.41) peut être
reliée à une échelle de masse de ∼ 10−3 eV qui n’est reliée à aucune autre échelle
connue en physique des particules, même si elle est proche de l’estimation des masses
des neutrinos.

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

E

32

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

T
Y
L
PO

N
H
EC

Le deuxième problème que pose une densité d’énergie (1.40) est qu’elle est comparable à la densité de matière ΩM ∼ 0.3. Or la densité de matière change lors de
l’expansion de l’univers alors que l’énergie du vide ne change pas. Ainsi, nous semblons
vivre à une époque particulière où les deux énergies sont comparables. Ce problème
sera discuté plus avant dans la section 3.
Notons enfin que du point de vue observationnel, il est parfaitement possible que
l’énergie du vide varie lentement avec le temps au lieu d’être strictement constante. Ce
type de composante pourrait être associé à un champ scalaire hypothétique. Les modèles de «Quintessence» qui font intervenir ce type de champ font l’objet de multiples
discussions dans la littérature [38]. Ils reposent sur les problèmes mentionnés ci-dessus
concernant une énergie du vide pure, mais aucun modèle complètement satisfaisant
n’existe à l’heure actuelle.

ÉC

E
L
O

2
2.1

L’évolution de l’univers
Le paramètre d’échelle a(t)

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Il est commode de paramétriser l’expansion de l’univers par une fonction du temps
proportionnelle à la distance entre les galaxies. Cette fonction est appelée le «paramètre d’échelle» a(t) :

E
L
O

a(t) ∝ distances intergalactiques .

ÉC

(1.43)

La loi de Hubble dit que la dérivée logarithmique de a(t) est, à l’heure actuelle, égale
à H0 :
ï ò

= H0
t0 ≡ aujourd hui .
(1.44)
a t0
Le nombre volumique de galaxies ngal est proportionnel à une distance −3 . Par
conséquent, si le nombre de galaxies ne change pas au cours du temps, la définition
(1.43) peut être remplacée par
Å
ã
ngal (t0 ) 1/3
a0 ≡ a(t0 ) .
(1.45)
a(t) ≡ a0
ngal (t)

U
Q
I
N

Alors que le nombre de galaxies n’est pas strictement constant (il n’y en avait
aucune au début) les limites actuelles sur la durée de vie du proton (τp > 1032 an)
font que le nombre baryonique est conservé avec grande précision. Il est donc encore
plus significatif de définir a(t) à partir du nombre volumique moyen de baryons :
Å
ã1/3
nb (t0 )
.
(1.46)
a(t) ≡ a0
nb (t)

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

À l’époque actuelle, il y a peu d’antibaryons dans l’univers observable et on peut
considérer que nb est le nombre volumique de baryons. Dans l’univers primordial, à des

ÉC

E

L’évolution de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

33

températures T > GeV, des antibaryons étaient présents sous forme d’un plasma de
quarks et d’antiquarks. À cette époque, nb est le nombre volumique baryonique, c’està-dire le nombre volumique de baryons moins le nombre volumique d’antibaryons.
La valeur actuelle du paramètre d’échelle a0 est, dans la plupart des applications,
une constante arbitraire qui a la dimension d’une longueur. Pour cette raison, nous
utiliserons le «paramètre d’échelle réduit» sans dimension

ÉC

E
L
O

a
ˆ(t) ≡

a(t)
a0

(1.47)

Cependant, dans certains calculs concernant des objets de grand redshift, nous
aurons besoin du paramètre d’échelle dimensionné. Au chapitre 4 nous utiliserons une
définition à partir de la distance de Hubble dH = H0−1 :
dH
H −1
=
.
a0 = 0
|1 − ΩT |
|1 − ΩT |

N
H
EC

E
U
IQ
(1.48)

Nous verrons au chapitre 3 que la singularité à ΩT = 1 ne pose pas de problème.
Le paramètre d’échelle jouera un rôle essentiel au chapitre 3 lorsque nous définirons
des coordonnées « comobiles ». Comme on peut le voir sur la figure 1.7, si l’on néglige
les vitesses particulières, la distance Ri (t) entre nous et la galaxie i est proportionnelle
à a(t) :

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO
Ri = a(t) χi .

(1.49)

La constante de proportionnalité χi est indépendante du temps. on l’appelle la coordonnée radiale « comobile » de la galaxie.
L’évolution temporelle des densités d’énergie dans l’univers s’exprime simplement
à partir du paramètre d’échelle. La densité ρM (t) associée à des particules nonrelativistes est proportionnelle au nombre volumique de particules. Il s’ensuit que
Å
ã
a0 3
ρM (t) = ρM (t0 )
= ρM (t0 ) a
ˆ−3 .
(1.50)
a(t)
La dépendance en temps des densités d’autres types d’énergie sera donnée dans les
sections suivantes.

2.2

La gravitation et l’équation de Friedmann

H
C
TE

U
Q
I
N

En l’absence de gravitation, la vitesse de récession des galaxies serait constante,
ce qui impliquerait que a
¨ = 0. En présence des effets attractifs de la gravitation, on
s’attend à ce que l’expansion soit décélérée a
¨ < 0. Nous ferons usage de la relativité
générale au chapitre 4 pour établir l’équation d’évolution de a
¨. Dans cette section,
en guise d’introduction, nous allons utiliser un argument newtonien (d’une validité
discutable) pour établir une équation qui, au bout du compte, se révélera correcte
dans un univers dominé par de la matière non-relativiste.

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

E

34

ÉC

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

1

2

R 1 = a(t) χ 1

R 2 = a(t) χ 2
0

R 4 = a(t) χ 4

R3 = a(t) χ 3

E
U
IQ
4

3

T
Y
L
PO

N
H
EC

Fig. 1.7: Si l’on néglige les vitesses particulières, la distance Ri entre nous (galaxie 0) et la
galaxie i est donnée par Ri = a(t) χi où χi est indépendant du temps. La quantité χi est la
coordonnée radiale « comobile » de la galaxie i.

ÉC

E
L
O

Considérons la situation de la figure 1.8, on place une galaxie de masse m à une
distance R = χa(t) du « centre » d’un univers de densité uniforme ρ. Puisque la
distribution de masse est à symétrie sphérique, le théorème de Gauss « suggère » que
la galaxie subit une force dirigée vers l’origine et proportionnelle à la masse totale
contenue dans une sphère de rayon < χa(t) autour de l’origine :
|F | =

GM (χ)m
,
χ2 a 2

(1.51)


M (χ) = 4π(χa)3 ρ/3 .

(1.52)

U
Q
I
N

(Nous ne nous préoccupons pas du fait que le théorème de Gauss s’applique ou non
¨ = mχ¨
dans un milieu infini.) En utilisant |F | = mR
a on trouve l’équation de décélération de l’univers :
a
¨
−4πGρ
=
a
3

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

si ρ ∼ ρM .

(1.53)

C’est la bonne équation si ρ est dominé par de la matière non-relativiste. (En généralisant cela au cas relativiste, nous verrons au chapitre 4 que le paramètre ρ dans
(1.53) est remplacé par ρ + 3p où p est la pression.)

ÉC

E

L’évolution de l’univers

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

35

.

|v| = χ a
F =

GM( χ)m
(χ a(t))2

.

T = m( χ a)2/2

E
U
IQ

U = −GmM( χ )/ χ a

HN

3

M( χ) = ρ 4π( χ a) /3

O
P
E
L
ÉCO

C
E
T
LY
χ a(t)

Fig. 1.8: Traitement newtonien de l’expansion de l’univers. Une galaxie de masse m est
placée dans un univers de densité uniforme ρ à une distance χa(t) du « centre de l’univers ».
La symétrie sphérique suggère que la force newtonienne exercée sur la galaxie est dirigée vers
l’origine et a une valeur F = GM (χ)m/(χa(t))2 , où M (χ) est la masse totale contenue dans
une sphère de rayon < χa(t) autour de l’origine. Pour une densité de masse uniforme ρ,
M (χ) = 4π(χa)3 ρ/3.

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

36

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

N
H
EC

Multipliant et divisant le membre de droite de (1.53) par H02 on trouve la valeur
actuelle de la décélération :
ï ò
ΩM
a
¨
si ρ ∼ ρM .
= −H02
(1.54)
a t0
2

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

(Dans la généralisation relativiste, le facteur ΩM /2 est remplacé par (ΩM /2 − ΩΛ )).
Le temps caractéristique pour qu’il se produise un changement appréciable dans la
vitesse de récession est (¨
a/a)
˙ −1 qui vaut aujourd’hui 2tH /ΩM si l’univers est dominé
par de la matière non-relativiste.
On trouve la solution a(t)
˙
de (1.53) en tenant compte de ce que, pour un univers
dominé par de la matière non-relativiste, ρa3 est indépendant du temps. Dans ce cas,
on vérifie aisément que la solution est :
ò
ï
8πGρa3
2
a−1 + const.
a˙ =
3

N
H
EC

E
U
IQ

où la quantité entre crochets est indépendante du temps. Pour évaluer la quantité
entre crochets, on utilise les valeurs actuelles a(t
˙ 0 ) = H0 a0 et 8πGρ(t0 )/3 = H02 ΩT ,
et l’on obtient


ÉC

E
L
O

2

T
Y
L
PO

8πGρa2
+ H02 a20 (1 − ΩT ) .
=
3

(1.55)

En divisant (1.55) par a2 on trouve l’ « équation de Friedmann » :
Å ã2

8πGρ
= H02 (1 − ΩT ) a

ˆ−2 .
a
3

(1.56)

Bien que (1.53) s’applique à une univers dominé par de la matière non-relativiste,
nous verrons au chapitre 4 que l’équation de Friedmann (1.56) est complètement
générale pour un univers homogène.
L’équation (1.55) peut se lire comme la conservation de l’énergie de la galaxie de
la figure 1.8 :
8πGρa2
T +U
= a˙ 2 −
= a20 H02 (1 − ΩT ) ,
2
mχ /2
3
où l’énergie cinétique T de la galaxie est
T =

Y
L
PO

et son énergie potentielle gravitationnelle U est

E
L
O

U (χ) = −

ÉC

H
C
TE

1
1 ˙2
mR = mχ2 a˙ 2 ,
2
2

8πGρa2
GmM (χ)
= −
mχ2 /2 .
χa(t)
3

(1.57)

U
Q
I
N
(1.58)

(1.59)

E

L’évolution de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

37

On voit que ΩT > 1 (ΩT < 1) correspond à une énergie totale négative (positive) par
galaxie.
Dans la section suivante, nous trouverons la solution a(t) de l’équation de Friedmann et, pour ce faire, nous aurons besoin de la forme explicite de ρ(t). Pour de la
matière non-relativiste, nous savons déjà que

ÉC

E
L
O

a−3 = ΩM
ρM (a) = ρM (a0 )ˆ

3H02 −3
a
ˆ .
8πG

Dans ce cas, l’équation de Friedmann devient
Å ã2



= H02 ΩM a
ˆ−3 + (1 − ΩT )ˆ
a−2
a

(1.60)

si ΩT ∼ ΩM .

(1.61)

Sur cette expression, on voit explicitement que l’équation de Friedmann donne le
taux d’expansion (H(t) = a/a)
˙
en fonction de sa valeur actuelle H0 . Le coefficient de
ˆ.
proportionnalité dépend de ΩM = ΩT et du paramètre d’expansion réduit a

2.3

Univers ouverts et fermés

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

La solution a(t) de l’équation de Friedmann pour un univers homogène dominé
par de la matière (1.61) dépend de la valeur de ΩT ∼ ΩM . La figure 1.9 montre
trois exemples avec ΩT = ΩM ainsi que le modèle actuellement préféré avec (ΩM =
0.3, ΩΛ = 0.7). Deux classes peuvent être distinguées pour ΩT = ΩM suivant leur
comportement aux temps longs :

ÉC

E
L
O

ˆ.
– ΩT = ΩM ≤ 1. Dans ce cas, (1.61) montre que a˙ est positif quelque soit a
Par suite, l’expansion se poursuit sans fin. Cela ne suprend pas en raison de
ce que l’énergie newtonienne d’une galaxie (1.57) est positive pour ΩT < 1.
Un univers homogène avec ΩT < 1 est appelé univers « ouvert ». On possède
des expressions simples de a(t) dans deux cas. Pour un univers « vide » ΩT =
ΩM = 0, le premier terme du membre de droite de (1.61) est nul et l’on trouve
a(t) = a0

t
H0−1

(ΩT = ΩM = 0) .

(1.62)

L’âge de l’univers (le temps écoulé entre a = 0 et a = a0 ) est le temps de Hubble.
Pour un « univers critique » , ΩT = 1, le deuxième terme du membre de droite
de (1.61)) est nul et l’on obtient
Ç
a(t) = a0

t
(2/3)H0−1

å2/3

H
C
TE

(ΩT ∼ ΩM = 1) .

Y
L
PO

U
Q
I
N
(1.63)

L’âge de l’univers est les deux tiers du temps de Hubble. L’âge est inférieur au
cas ΩT = 0 car la gravitation a décéléré l’expansion. Par conséquent, l’expansion
était plus rapide dans le passé que maintenant et il a fallu moins de temps à
l’univers pour atteindre sa « taille » actuelle.

ÉC

E
L
O

E

38

ÉC

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

E
L
O

ÉC

T
Y
L
PO

E
L
O

N
H
EC

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

U
Q
I
N

Fig. 1.9: Le paramètre d’échelle a(t) pour quatre combinaisons de (ΩM , ΩΛ ). Les quatre

H
C
TE

courbes correspondent à la même valeur de a0 et H0 . Le temps écoulé entre la singularité
initiale et aujourd’hui (t0 ) est tH pour (ΩM = ΩΛ = 0), (2/3)tH pour (ΩM = 1, ΩΛ = 0),
0.58tH pour (ΩM = 2, ΩΛ = 0), et 0.96tH pour (ΩM = 0.3, ΩΛ = 0.7). Cette dernière
combinaison correspond au modèle actuellement à la mode qui repose sur l’observation de
supernovas à grand redshift et sur celle des anisotropies du CBR (Chapitre 2, Sec. 5).

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

E

L’évolution de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

39

– ΩT = ΩM > 1. Le cas ΩT > 1 est appelé univers « fermé ». Pour ΩT = ΩM > 1
l’expansion s’arrête (a˙ = 0) lorsque a = amax :

ÉC
2.4

E
L
O

amax = a0

ΩM
ΩT − 1

(ΩT = ΩM > 1) .

(1.64)

Puisque a
¨ < 0, l’expansion actuelle sera suivie par une phase de contraction
qui s’achèvera (peut-être) par un « big crunch ». Nous verrons au chapitre 3
qu’un univers fermé a un volume spatial fini. La relation entre la géométrie
(volume fini) et le destin (big crunch) ne vaut que si l’énergie du vide s’annule.
Dans le cas contraire, un univers fermé (ΩT > 1 ⇒ volume fini) peut avoir une
expansion sans fin.

Évolution de la température

E
U
IQ

Lorsque l’univers se dilate, la densité d’énergie de matière non-relativiste diminue comme ρM ∝ a−3 . Cela provient tout simplement de la dilution des particules,
n ∝ a−3 . Dans cette section nous allons voir que la densité d’énergie de la matière relativiste (photons et neutrinos de masse nulle) décroît comme ρR ∝ a−4 . La différence
entre ces deux types de comportement provient de ce qu’un observateur comobile voit
une distribution d’énergie du CBR déplacée vers le rouge par un facteur ∝ a−1 de
sorte que l’énergie moyenne des photons 6 décroît comme a−1 . Cet effet se combine à
la dilution, nR ∝ a−3 , pour donner ρR ∝ a−4 .
Le redshift des photons du CBR photons n’est pas différent de celui des raies
spectrales qui mène à la loi de Hubble. Considérons deux galaxies distantes de dR.
Si l’univers est homogène, des observateurs dans chacune des galaxies voient la même
distribution des photons du CBR. Deux observateurs verront notamment le même
rapport entre l’énergie moyenne du CBR et l’énergie d’une transition atomique donnée produite dans des étoiles locales. Certains des photons stellaires et certains des
photons du CBR dans une galaxie se dirigent vers l’autre galaxie. Lorsque les photons stellaires d’une des galaxies rencontrent l’autre, ils sont observés avec un redshift
d’un facteur (1 − H0 dR/c). Puisqu’il n’y a pas de différence fondamentale entre les
photons stellaires et ceux du CBR, les photons du CBR doivent être déplacés vers le
rouge par le même facteur dE/E = −H0 dR/c. Puisque tous les photons sont déplacés
vers le rouge par le même facteur, les spectre garde une forme planckienne dont la
température décroît.
Le temps pour échanger des photons entre les deux galaxies est dt = dR/c si bien
que chaque observateur voit une température du CBR qui décroît avec le temps selon :

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

dT
= −H0 dt
T

E
L
O

N
H
EC

Y
L
PO


H
C
TE

T
dT
= − ,
da
a

U
Q
I
N
(1.65)

6 Nous verrons que c’est en réalité l’impulsion qui subit un redshift et qu’un fond de particules
non-relativistes subit le même redshift de son impulsion. Toutefois, s’agissant de particules nonrelativistes, l’énergie cinétique est négligeable et l’on peut ignorer l’effet dans le calcul de la densité
d’énergie.

ÉC

E

40

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

T
Y
L
PO

N
H
EC

Où dans la deuxième expression nous faisons usage de H0 = a/a
˙ à t0 . La solution de
cette équation est

ÉC

E
L
O

T (t) = T (t0 )

a0
.
a(t)

(1.66)

Il s’ensuit que dans le passé l’univers était plus chaud qu’actuellement et que dans
le futur il sera plus froid. Le fait que la distribution en impulsion est déplacée vers le
rouge de façon uniforme provient de ce qu’une distribution de Planck reste une distribution de Planck 7 . Ce fait remarquable explique pourquoi on observe aujourd’hui
une distribution thermique bien qu’il n’y ait pas de collisions thermalisantes. Comme
nous le verrons au chapitre 6, les photons ont acquis leur distribution de Planck à une
époque précoce de l’univers lorsque la densité et par conséquent le taux de collision
étaient élevés.
Puisque la densité d’énergie des photons est proportionnelle à T 4 , on a
ˆ−4
ργ (a) = ργ (a0 ) a

N
H
EC

E
U
IQ

(1.67)

La densité totale de matière relativiste doit inclure les neutrinos relativistes (et toute
autre espèce qui est relativiste aux premiers instants). En incluant seulement les
neutrinos pour le passé pas trop lointain, et en utilisant (1.31) on trouve

T
Y
L
PO

ˆ−4 [1 + 0.227NνR(a)] ,
ρR (a) = ργ (a0 ) a

E
L
O

(1.68)

où NνR (a) est le nombre d’espèces de neutrinos relativistes à l’époque a(t). La densité
actuelle de matière relativiste, normalisée à la densité critique actuelle est alors

ÉC

ΩR = Ωγ [1 + 0.227NνR(a0 )] ,

(1.69)

Puisque la densité de matière relativiste (1.60) est proportionnelle à a−3 alors
que celle de la matière non-relativiste (1.68) est proportionnelle à a−4 , la matière
relativiste doit prédominer pour a → 0. L’époque où les densités relativiste et nonrelativiste étaient égales est appelée « teq ». En supposant que tous les neutrinos
étaient relativistes à cette époque, on trouve
ˆ(teq ) =
a
ˆeq = a

1.68Ωγ
0.85 × 10−4

.
ΩM
ΩM h270

Cela donne une température à teq de
Teq = 2.8 ΩM h270 eV

T
Y
POL

H
C
E

(1.70)

U
Q
I
N
(1.71)

Si tous les neutrinos ont une masse plus faible que cette valeur Teq , la valeur de aeq
donnée par (1.70) est correcte. Nous utiliserons (1.70) comme valeur nominale de aeq .

E
L
O

7 Que la normalisation de la distribution demeure planckienne, c’est-à-dire n ∝ T 3 et ρ ∝ T 4
γ
γ
provient de la conservation du nombre de photons, nγ ∝ a−3 . Puisque T ∝ a−1 il vient que nγ ∝ T 3 ,
ce qui préserve la normalisation. Ce point délicat sera repris dans la discussion ci-dessous de l’équation
de Liouville.

ÉC

E

L’évolution de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

41

En anticipant sur le chapitre 3, notons que l’obtention du redshift de la température (1.66) s’applique également aux photons n’appartenant pas au CBR. Considérons
un photon d’énergie E1 emis à t1 par une galaxie lointaine et détectée sur Terre à t0 .
En utilisant le même raisonnement, l’énergie mesurée de ce photon est

ÉC

E
L
O

E0 = E(t1 )

a1
.
a0

(1.72)

Puisque la longueur d’onde d’un photon est inversement proportionnelle à son énergie,
on obtient une formule pour le redshift :
z+1 ≡

a0
λ0
=
.
λ1
a1

(1.73)

Cette formule élégante exprime que la longueur d’onde d’un photon se transforme par
le même facteur que l’univers lui-même8 . Nous donnerons une autre démonstration
de cette formule au chapitre 3 en utilisant des coordonnées co-mobiles.
Terminons cette section par une remarque formelle, non indispensable. La loi (1.66)
peut s’obtenir de façon plus formelle en faisant usage de « l’équation de Boltzmann »
qui régit la distribution de particules dans l’espace des phases

T
Y
L
PO
F =

E
L
O

dN
.
d3 r d3 p

N
H
EC

E
U
IQ
(1.74)

Nous considérons ici l’équation de Boltzmann pour des photons en l’absence d’interactions entre les particules, c’est-à-dire l’équation de Liouville. Cette approximation
est justifiée car l’univers est suffisamment dilué pour que les collisions entre photons
et matière soient très peu fréquentes (exercice 2.3). Au chapitre 6 nous donnerons une
démonstration de l’équation de Boltzmann avec collisions, ce qui permettra de traiter
l’univers dense primordial.
= 0) une distribution therAujourd’hui (t = t0 ) nous observons localement (R
mique de photons avec T (t0 ) = T0 ∼ 2.7 K. Cela correspond à une distribution de
t)
Planck dans l’espace des phases F (
p, R,

ÉC

= 0, t0 ) =
F (
p, R

1
1
(2π)3 exp(Ep /kT0 ) − 1

Å

1
c

ã3
.

(1.75)

U
Q
I
N

= 0) dans le
Nous voulons calculer la distribution dans l’espace des phases à (R
futur. Comme nous l’avons vu, les photons qui seront présents ici demain sont là-bas
aujourd’hui, ce qui signifie que

H
C
TE

= − vp dt, t0 ) .
= 0, t0 + dt) ∝ F (
p, R
F (
p, R

Y
L
PO

(1.76)

8 C’est pourquoi certains disent que la longueur d’un photon croît parce que l’espace est en expansion. Bien que nous ne prétendions pas comprendre le sens de cette affirmation, nous ne pouvons
affirmer qu’il soit impossible de lui trouver un sens. Insistons cependant sur le fait que l’espace n’apparaît pas comme étant en expansion uniforme car la taille d’objets comme les atomes et les galaxies
ne croît pas avec le temps.

ÉC

E
L
O

E

42

T
Y
L
PO
px

ÉC

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

E
L
O

N
H
EC

x

R

.......
.......
.dx
.
...
........................... dp
. .. . . x

....
.......
...........................
.........
.. . .

t

t+R/c

N
H
EC

E
U
IQ

Fig. 1.10: Photons dans l’espace des phases. La boîte sur la droite contient des photons avec
px < 0 et py = pz = 0 qui, au temps t, sont en (x ∼ R, y = z = 0). En suivant les trajectoires
individuelles, on voit qu’au temps t+R/c, les photons ont la même impulsion mais sont dans
une boîte située en x ∼ 0. La taille et la forme de la boîte ne changent pas car les photons
ont tous la même vitesse. Le fait que cette taille ne change pas implique que la densité dans
l’espace des phases ne change pas, c’est-à-dire que la constante de proportionnalité dans
(1.76) est égale à l’unité.

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

L’impulsion p qui apparaît dans les deux membres de cette équation est l’impulsion
dans notre référentiel galiléen. En particulier, la quantité p dans le membre de droite
n’est pas l’impulsion
p que mesurerait un observateur au repos dans une galaxie
= − vp dt. L’utilisation de référentiels galiléens sera justifiée
s’éloignant à la position R
au chapitre 4 où nous verrons que l’espace-temps peut être considéré comme plat sur
des échelles nettement inféreures à dH .
Sur la figure 1.10, on voit que la constante de proportionnalité dans (1.76) est
égale à l’unité (théorème de Liouville). Il s’ensuit que
∂F
RF .
= − vp · ∇
∂t

H
C
TE

U
Q
I
N
(1.77)

C’est là l’équation de Liouville en l’absence de forces. Les forces gravitationnelles
peuvent être négligées car le gradient du potentiel gravitationnel (1.59) s’annule à
l’origine. Une fois encore, la justification relativiste de tout cela devra attendre le
chapitre 4.
dans notre référentiel galiléen sont reliés aux
Les impulsion des photons en dR
par une
impulsions mesurées par un observateur dans une galaxie en récession en dR

transformation de Lorentz avec β = H0 dR/c 1, c’est-à-dire p → p − Ep β. Il s’ensuit

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

E

L’évolution de l’univers

px

T
Y
L
PO
x

ÉC

E
L
O

N
H
EC

E
U
IQ

px

x

t=0
dx
. .... ... .....
... . ..
.. ...
..... ............
(0,p)

43

t =0
dx [γ(1−β)]

dp x
(0, γ p (1+β) )

. .
.... .....
. .... .. .....
. . .. . .
... ... ... .

dp x [γ(1+β)]

N
H
EC

E
U
IQ

Fig. 1.11: Photons de py = pz = 0 et y = z = 0 vus dans deux référentiels reliés par une
transformation de Lorentz le long de l’axe x. Le fait que l’aire de la boîte soit la même dans
les deux référentiels entraîne que la constante de proportionnalité dans (1.79) est égale à
l’unité.
que

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

0, t0 )
t0 ) ∝ G(
p − H0 Ep dR,
F (
p, dR,

(1.78)

où G(
p) est la distribution dans l’espace des phases vue par la galaxie en récession en
(qui correspond à l’origine dans son référentiel). Une fois encore, la constante de
dR
proportionnalité est égale à un (figure 1.11) car la transformation de Lorentz préserve
la densité dans l’espace des phases.
Si l’univers est homogène, la fonction G est la même que celle que nous observons
dans notre référentiel galiléen à l’origine. En faisant usage de cela, l’équation (1.78)
devient
0, t0 ) .
t0 ) = F (
p − H0 Ep dR,
F (
p, dR,

(1.79)

R F = −H0 Ep ∇
pF .


U
Q
I
N

qui est équivalent à

En insérant cette expression dans (1.77) on obtient

Y
L
PO

H
C
TE

∂F
pF .
= H0
p·∇
∂t
En changeant de variables t → a(t) et en utilisant H0 = a/a
˙ (t0 ), on obtient

ÉC

E
L
O
a

∂F
pF .
= −
p·∇
∂a

(1.80)

(1.81)

(1.82)

E

44

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

T
Y
L
PO

La solution générale est

N
H
EC

F (
p, a) = F (pa/a0 , a0 ) ,

E
L
O

(1.83)

c’est-à-dire que l’impulsion des photons est déplacée vers le rouge d’un facteur a0 /a.
Une solution particulière est

ÉC

= 0, p
F (R
, a) =

1
1
,
(2π)3 exp(Ep /T (a)) − 1

(1.84)

avec
T (a) = T0

a0
.
a

(1.85)

L’évolution de nγ s’obtient en intégrant sur d3 p l’équation (1.82) ou sa solution
(1.83)

dnγ (r = 0, t)
= −3 nγ
dt
a

2.5



HN

nγ = nγ (a0 )

C
E
T
LY

E
U
IQ

a 3
0

a

.

(1.86)

Une équation de Friedmann améliorée

O
P
E
L
ÉCO

On doit modifier l’équation de Friedmann (1.61) afin de tenir compte de l’énergie qui n’est pas sous forme de matière non-relativiste. Deux formes d’énergie sont
concernées. La première est celle de matière relativiste dont la densité d’énergie est
donnée par (1.68). Une seconde forme est de l’énergie du vide. Cette énergie n’est pas
diluée pendant l’expansion, on s’attend donc à ce que
ρV (a) = ρV (a0 ) =

3H02
ΩΛ .
8πG

(1.87)

Au chapitre 4 nous verrons qu’il suffit d’ajouter ces autres sources d’énergie à
l’équation de Friedmann (1.61). On obtient
Å ã2



= H02 ΩM a
ˆ−3 + ΩR a
ˆ−4 + ΩΛ + (1 − ΩT )ˆ
a−2 ,
a
où ΩT est la somme des Ω respectifs :
ΩT = ΩM + ΩR + ΩΛ .

H
C
TE

(1.88)

U
Q
I
N
(1.89)

L’effet des quatre termes dans l’équation (1.88) apparaît plus clairement si l’on multiplie par a2 :


a˙ 2 = H02 a20 ΩM a
ˆ−1 + ΩR a
ˆ−2 + ΩΛ a
ˆ2 + (1 − ΩT ) .
(1.90)

E
L
O

Y
L
PO

On voit que l’effet de la matière, relativiste ou non, est de décélérer l’univers : a˙ → ∞
pour a
ˆ → 0, ce que l’on attend de la part de la gravitation habituelle. D’un autre

ÉC

E

L’évolution de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

45

côté, l’existence d’une énergie du vide positive a pour effet d’accélérer l’expansion :
a˙ → ∞ pour a
ˆ → ∞ si ΩΛ > 0. Cette observation se confirme si nous différencions
(1.90) :
Å
ã
ΩM −2
a
ˆ + ΩR a
a
¨ = −H02 a0
ˆ−3 − ΩΛ a
ˆ .
(1.91)
2

ÉC

E
L
O

Il est utile de définir le « paramètre de décélération » q0 :
ï ò

a
ΩM
− ΩΛ ,
=
q0 ≡ −
2
a˙ t0
2

(1.92)

où nous avons négligé ΩR ΩM . À partir des deux premières dérivées (1.90) et
(1.91) nous pouvons donner le développement de Taylor de a(t) qui est utile pour
(t − t0 ) tH = H0−1 .
ô
ñ
Å
ã
q0 t − t0 2
t − t0
a(t) = a0 1 +

+ .....
tH
2
tH

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Nous utiliserons cette expression au chapitre 5 dans l’analyse du flux provenant de
galaxies lointaines.
À partir de la dépendance en a
ˆ des quatre termes de (1.88), on s’aperçoit que
l’univers passe par une succession d’époques où chacun des termes est prédominant,
comme nous le résumons dans le Tableau 1.2.
Dans tous les cas, l’univers commence par une époque de « rayonnement » qui
se termine à teq et est suivie par l’époque de matière. La fin de l’époque de matière
dépend des valeurs de ΩT and ΩΛ . Si ΩT > 1 et ΩΛ ∼ 0, l’expansion atteint un
maximum à

ÉC

E
L
O

amax = a0

ΩM
ΩT − 1

ΩT > 1 , Ω Λ ∼ 0 .

(1.93)

Dans ce cas, l’expansion est suivie d’une contraction et l’époque de matière cesse avec
l’apparition d’une nouvelle époque de rayonnement.
Si ΩT < 1 et ΩΛ ≥ 0, l’expansion se poursuit indéfiniment et l’époque de matière
est suivie soit par une époque de « courbure » lorsque l’équation de Friedmann est
dominée par le terme (1−ΩT ), soit par l’époque du « vide » si l’équation de Friedmann
est dominée par le terme ΩΛ . Nous nommons le temps de la fin de l’époque de matière
tcΛ .
Pour ΩT < 1 et ΩΛ ∼ 0, l’époque de matière est suivie par l’époque de courbure
qui est caractérisée par une expansion libre
a > acΛ = a0

ΩT
1 − ΩT

E
L
O

Y
L
PO
a(t) ∝ t

H
C
TE

U
Q
I
N

´epoque de courbure

L’expansion est « libre », a(t) ∝ t parce que la densité de matière n’est pas suffisante
pour décélérer l’univers.

ÉC

E

46

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

T
Y
L
PO

N
H
EC

Tab. 1.2: Les époques d’un univers en expansion indéfinie. Pour aeq , nous supposons trois
espèces de neutrinos avec mν < 1 eV.

ÉC

E
L
O

époque

a(t)

rayonnement : a
ˆ<a
ˆeq = 1.68Ωγ /ΩM
= 0.85 × 10−4 /(ΩM h270 )

a(t) ∝ t1/2

matière :

a(t) ∝ t2/3

aeq < a < a
ˆcΛ

courbure : a > a
ˆcΛ = ΩM /(1 − ΩT )
(si ΩΛ = 0)

a(t) ∝ t

E
L
O

N
H
EC

E
U
IQ
1/2

a(t) ∝ exp(H0 ΩΛ t)

vide : a > a
ˆcΛ = (ΩM /ΩΛ )1/3
(si ΩT = 1, ΩΛ > 0)

T
Y
L
PO

Pour ΩT ∼ 1 et ΩΛ > 0, l’époque de matière est suivie par l’époque du vide qui
se caractérise par une expansion exponentielle

ÉC

Å

a
ˆ > acΛ = a0

ΩM
ΩΛ

ã1/3
1/2

a(t) ∝ exp(H0 ΩΛ t)

´epoque du vide

L’expansion a une dépendance en temps différente dans les époques de courbure
et du vide. Néanmoins, elle est comparable en pratique car, comme nous le verrons
dans la section suivante, la formation des structures s’arrête à tcΛ . Si les estimations
actuelles, ΩM ∼ 0.3 et ΩΛ ∼ 0.7, sont correctes, la formation de structures a cessé
depuis a
ˆcΛ = (0.3/0.7)1/3 ∼ 0.75. Si ces nombres sont erronés et que ΩM ∼ 0.3 et
ΩΛ = 0. alors la formation de structures a cessé depuis un certain temps puisque
a
ˆcΛ = 0.3/0.7 ∼ 0.42.

2.6

H
C
TE

U
Q
I
N

L’Évolution des Ω et la Formation des Structures

Y
L
PO

Les Ω sont définis à partir des valeurs actuelles des densités et du taux d’expansion :

E
L
O

Ωi ≡

ÉC

ρi (t0 )
3H02 /8πG

i = T, M, R, Λ..... .

(1.94)

E

L’évolution de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

47

Cette définition peut être généralisée pour donner les valeurs des Ω en fonction du
temps :
ρi (t)
Ωi (t) ≡
2 /8πG
3(a/a)
˙

ÉC

E
L
O

i = T, M, R, Λ..... .

(1.95)

L’équation de Friedmann (1.88) donne le taux d’expansion dans le dénominateur. La
dépendance en temps des composantes de l’énergie est donnée par (1.60), (1.68) et
(1.87). Pendant l’époque de matière, on obtient
ΩT (a) ∼ ΩM (a) ∼

1
1+

1−ΩT
ΩM

a
ˆ

aeq < a < acΛ .

(1.96)

On voit que ΩT (a) → 1 quand a → 0. On pouvait le prévoir directement à partir
de l’équation de Friedmann (1.88) puisque le terme de courbure proportionnel à (1 −
a−2 devient négligeable par rapport à ΩM a
ˆ−3 lorsque a → 0.
ΩT )ˆ
La finesse avec laquelle ΩT était proche de l’unité dans le passé est impressionnante. Au début de l’époque de matière, a
ˆeq ∼ 10−4 , ΩT (a) était à 10−4 de l’unité
(pour des valeurs raisonnables de (1 − ΩT )/ΩM ).
Pendant l’époque de rayonnement, ΩT continue d’être proche de l’unité pour a →
0:

E
L
O

T
Y
L
PO

ΩT (a) = ∼ 1 −

ÉC

N
H
EC

1 − ΩT (a0 ) 2
a
ˆ
ΩR (a0 )

E
U
IQ

a < aeq .

(1.97)

À l’époque de la nucléosynthèse, a
ˆ ∼ 10−9 , ΩT (a) était à 10−14 de l’unité.
Le fait que ΩT → 1 pour a → 0 est une conséquence toute simple de la conservation
de l’énergie Newtonienne (1.57). Cette relation équivaut à


U

,
ΩT =
(1.98)
E−U
où l’énergie E = constante. Que −U → ∞ pour a → 0 demande que ΩT → 1.
Ce qui est plus étonnant est que ΩT (a) ait été suffisamment proche de un pour
pouvoir le demeurer pendant une période de durée ∼ tH ∼ 1010 an. Il est facile de
montrer que, si à l’époque t1 on a |ΩT (a1 ) − 1| = 1, ΩT va différer de 1 de façon
significative après que l’univers se sera dilaté d’un facteur −1/n avec n = 2 (n = 1)
pour l’époque du rayonnement (de la matière). Si ΩT (a) avait différé significativement
de 1 dans le passé lointain, ou bien l’univers aurait rapidement atteint une expansion
maximale puis se serait recontracté, ou bien il serait rapidement devenu dominé par la
courbure ou par le vide. Le fait que ΩT ait été suffisamment proche de un apparaît de
façon naturelle dans les modèles inflationnaires comme nous le verrons au chapitre 5.
La longue durée de l’époque de matière avec ΩM (a) ∼ ΩT (a) ∼ 1 est importante
car un simple argument newtonien montre que des structures gravitationnellement
liées ne peuvent se former à partir de petites fluctuations de densités seulement lorsque
ΩM (a) ∼ ΩT (a) ∼ 1. L’argument est illustré sur la figure 1.12 où l’on voit un univers

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

48

ÉC

E
U
IQ

Chapitre 1. Introduction

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ
ρ=ρc

ρ>ρc

ÉC

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

Fig. 1.12: Formation de structures dans un univers avec ΩM = ΩT ∼ 1. Dans ce type
d’univers, une région sur-dense (ρ > ρc ) peut évoluer comme un mini-univers fermé. Cette
région se dilate jusqu’à un rayon maximum puis se détache de l’expansion universelle en se
contractant et en formant un objet lié gravitationnellement, alors que le reste de l’univers
poursuit son expansion. Dans un univers avec ΩM significativement plus petit que un, une
petite sur-densité ne suffira pas à rendre la région surcritique et cette région subira une
expansion éternelle. Dans un univers avec ΩM significativement plus grand que un, les régions
un peu sur-denses n’ont pas le temps de former des structures avant que l’univers, comme
un tout, cesse de se dilater et se recontracte.

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E

L’évolution de l’univers

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

49

de densité moyenne critique. Parce que ΩT = 1, l’énergie moyenne newtonienne (1.57)
d’une particule dans cet univers est nulle, ce qui permet une expansion sans fin.
L’univers contient une région avec une petite sur-densité ρ + δρ, δρ ρ. Dans cette
région, l’énergie potentielle d’une particule sera abaissée de telle façon que son énergie
totale devienne négative T (r) + U (r) < 0. Ainsi, des particules dans les régions surdenses ne vont participer à l’expansion que pendant une durée finie avant d’atteindre
une expansion maximale et de retomber sur elles-mêmes en formant une structure
gravitationnellement liée comme une galaxie, ou un amas de galaxies. Ce processus
sera étudié au chapitre 7.
Dans un univers sous-critique, une petite sur-densité ne suffira pas à rendre l’énergie d’une particule négative. Une région sur-dense continuera son expansion, à un
taux plus faible.
Dans un univers notablement sur-critique, une petite sur-densité n’aura pas le
temps de former une structure puisque l’univers dans son ensemble se recontracte
après quelques temps de Hubble.
Pour le futur, a → ∞, on montre facilement que ΩT (a) → 0 si ΩT < 0 et ΩΛ = 0.
D’un autre côté, en présence d’énergie du vide ΩΛ > 0 l’univers devient critique pour
les temps longs ΩT (a) = ΩΛ (a) → 1. Dans tous les cas, la formation de structures
cesse lorsque cesse la domination de la matière tcΛ . Ce n’est que si ΩM = ΩT = 1
que les structures de taille continuellement croissante vont continuer de se former.
Par exemple, si ΩM = ΩT = 1, notre groupe local de galaxies formera une structure
gravitationnellement liée à l’amas de la Vierge, notre voisin.

ÉC

2.7

E
L
O

E
L
O

T
Y
L
PO

N
H
EC

E
U
IQ

Le C
scénario standard
É

Nous avons vu que, dans le modèle cosmologique standard, l’univers traverse une
succession d’époques lorsque il est dominé successivement par le rayonnement, par
la matière non relativiste, puis soit par la courbure, soit par l’énergie du vide. La
dépendance des densités d’énergie en fonction de la température est montrée sur la
figure 1.13.
Dans le Tableau 1.3, nous énumérons quelques événements de formation qui découlent de ce scénario. La physique connue et acceptée à l’heure actuelle permet de
suivre avec confiance la succession des événements qui se sont produits à partir de
T ∼ 1 GeV lorsque l’univers était une soupe quasi homogène de quarks, de gluons et
de leptons. Au fur et à mesure du refroidissement de l’univers, une succession d’états
liés est apparue : hadrons, noyaux, atomes et, finalement, les états gravitationnellement liés que sont les étoiles et les galaxies. Les dates de formation des états liés
sont appelées des « recombinaisons ». Lors de la recombinaison de formation des
atomes, l’univers est devenu effectivement transparent aux photons. Étonnamment,
les atomes ne sont restés formés que pendant un temps relativement court, car ils ont
été « ré-ionisés » par les photons produits dans les premières étoiles et les premiers
quasars. Mais à cette date, l’univers était suffisamment dilué pour rester transparent
(exercise 2.3).

ÉC

E
L
O

Y
L
PO

H
C
TE

U
Q
I
N

E


Documents similaires


Fichier PDF le big bang 61
Fichier PDF le big bang ok
Fichier PDF les antineutrinos
Fichier PDF univers
Fichier PDF chapitre 3 ne modele ondulatoire
Fichier PDF planetologueextrait


Sur le même sujet..