Notes de Cours 17 04 2016 .pdf



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Chapitre 3
Numérisation des
signaux

1. Introduction
La conversion d’un signal analogique

sous forme numérique implique une double

approximation, d’une part dans l’espace des temps, le signal continu s
valeurs

à des instants multiples d’une durée

(c’est l’opération d’échantillonnage).
est approchée par un multiple

D’autre part dans l’espace des amplitudes, chaque valeur
entier d’une quantité

est remplacé par ses

(c’est l’opération de quantification). La valeur ainsi obtenue est ensuite

associe à un nombre binaire (c’est l’opération de codage) [BEL, 7].
2. Echantillonnage
L’échantillonnage d’un signal à temps continu
une suite discrète de valeurs

est l’opération qui transforme ce signal en

prises à des instants multiples d’une durée

appelée

période d’échantillonnage. Une telle opération s’analyse de façon simple et concise en utilisant
la théorie des distributions.
Le signal échantillonné est défini par :

Avec

.

la distribution peigne de Dirac de période égale à la période d’échantillonnage
.

En utilisant la formule de poisson


,



1/

C’est-à-dire

La transformée de Fourier du signal échantillonné s’écrit :




La transformée de Fourier du signal échantillonné
période

appelée fréquence d’échantillonnage.

est celle de

périodisée avec une

Fig. 3.1 Périodisation du spectre du signal échantillonné

Si la transformée de Fourier de
périodique du spectre

est nulle pour | |

avec

, la répétition

ne déforme pas le motif Fondamental du spectre

conditions on peut retrouver

. Dans ces

et par transformée de Fourier inverse on retrouve

également, ceci constitue le théorème d’échantillonnage.
2.1

Théorème de Shannon :

On peut reconstruire un signal continu

échantillonné avec un pas

à partir du signal

si
1) Le signal à temps continu est de bande passante limitée.
0

| |

2) Et si la fréquence d’échantillonnage vérifie.
2


est

la plus grande fréquence continue dans le signal

.

2.2

Formule de reconstruction de Shannon :

Lorsque les conditions du théorème d’échantillonnage sont remplies, on peut isoler le spectre
du signal original en appliquant un fenêtrage fréquentiel par

sur le spectre du signal

échantillonné
.
Avec


1

En appliquant la transformée de Fourier inverse sur
original

on peut reconstruire le signal

. Par la suite le signal reconstruit sera noté par
.






Pour

on a



En appliquant la propriété du changement d’échelle


1
| |

On trouve
1



/
.
/

/





/

.



.

ne dépend pas de t donc la convolution se fait entre
On peut écrire donc
.
Cette formule s’appelle formule de reconstruction de Shannon.



Fig. 3.2 : Reconstruction du signal après échantillonnage
 



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