Exercice ballerebonds .pdf


Nom original: Exercice ballerebonds.pdf
Auteur: Charlotte

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On lance une balle à une hauteur 𝑧 du sol avec une vitesse initiale 𝑣0 et un angle 𝛼 avec
l’horizontale. La balle fait une succession de rebonds (avec tous la même inclinaison) dans le plan
et on suppose qu’à chaque rebond, sa vitesse diminue de 2 𝑚. 𝑠 −1 . Combien de rebonds fera la
balle ?
On négligera les effets de l’air.
Résolution :
On trouve les équations du mouvement classique pour une chute libre en se plaçant dans le repère
où le départ du mouvement est le centre du repère (donc le sol correspond à une ordonné de – 𝑧) :
𝑥(𝑡) = 𝑡𝑣0 cos 𝛼
1
{𝑦(𝑡) = − 𝑔𝑡 2 + 𝑡𝑣0 sin 𝛼
2
𝑧(𝑡) = 0
On cherche donc 𝑡 tel que (le moment où la balle touche le sol) :
𝑦(𝑡) = −𝑧
Ce qui donne :
𝑡=

𝑣0 sin 𝛼 + √𝑣0 sin ²𝛼 + 2𝑔𝑧
𝑔

La vitesse lors de l’impact (donc à 𝑡 =

𝑣0 sin 𝛼+√𝑣0 sin ²𝛼+2𝑔𝑧
𝑔

) s’écrit donc :

𝑣𝑓 = √𝑣𝑥 ² + 𝑣𝑦 ² = √𝑣02 + 2𝑔𝑧
On note 𝑣𝑖 (𝑛) la vitesse initiale de la balle au début du 𝑛 − 𝑖è𝑚𝑒 rebond.
La balle rebondit, donc au premier rebond la vitesse initiale de la balle est 𝑣𝑖 (0) = √𝑣02 + 2𝑔𝑧 − 2.
D’après l’énoncé, on a la relation de récurrence suivante :
𝑣𝑖 (𝑛 + 1) = 𝑣𝑓 (𝑛) − 2
Or lors du premier rebond, on se place dans le repère où l’altitude égale à zéro correspond au
niveau du sol. Donc si pour trouver l’instant où la balle touche le sol on résout :
𝑦(𝑡) = 0
Ce qui donne : 𝑡 =

2𝑣0 sin 𝛼
.
𝑔

La vitesse finale (à cet instant) est donc :
𝑣𝑓 (𝑛) = √(𝑣𝑖 (𝑛) cos 𝛼)2 + (𝑣0 sin 𝛼 − 2𝑣𝑖 (𝑛) sin 𝛼)2 = 𝑣𝑖 (𝑛)
Donc on a la relation de récurrence suivante :

𝑣𝑖 (𝑛 + 1) = 𝑣𝑖 (𝑛) − 2
Donc :
𝑣𝑖 (𝑛) = 𝑣𝑖 (0) − 2𝑛
Avec 𝑣𝑖 (0) = √𝑣02 + 2𝑔𝑧 − 2

D’où :
𝑣𝑖 (𝑛) = √𝑣02 + 2𝑔𝑧 − 2(𝑛 + 1)
On cherche donc 𝑛 tel que 𝑣𝑖 (𝑛) = 0 d’où :
√𝑣02 + 2𝑔𝑧 − 2(𝑛 + 1) = 0
Soit
√𝑣02 + 2𝑔𝑧
𝑛 = 𝐸(
− 1) + 1
2
Où 𝐸 est la partie entière.
La balle sera statique donc au bond de 𝐸 (

√𝑣02 +2𝑔𝑧
2

− 1) + 1 rebonds.


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