244 2 .pdf



Nom original: 244_2.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par TeX output 2012.02.08:1536 / MiKTeX-dvipdfmx (20100328), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 28/04/2016 à 16:55, depuis l'adresse IP 41.108.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1548 fois.
Taille du document: 389 Ko (26 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


49
Égalités et inégalités
Le choix est vaste, mais je pense que les inégalités suivantes sont incontournables : CauchySchwarz ; convexité ; Bessel ; accroissements nis ; Beynaymé-Tchebychev.

49.1 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
E est un espace préhilbertien.

Théorème 49.1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tous x, y dans E on a :
|⟨x | y⟩| ≤ ∥x∥ ∥y∥

l'égalité étant réalisée si, et seulement si, x et y sont liés.

Démonstration. Voir le théorème 42.1

Sur Rn muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz prend la forme
suivante :

2 (
)
)( n
n
n




∀ (x, y) ∈ Rn × Rn ,
xk yk ≤





k=1

x2k



yk2

k=1

k=1

On peut déduire de cette inégalité quelques inégalités intéressantes sur les réels.

Exercice 49.1
1. On se donne un entier n ≥ 1 et des réels x1 , · · · , xn . Montrer que :
(

n


)2

≤n

xk

n


k=1

x2k

k=1

Dans quel cas a-t'on égalité ?
2. En déduire une condition nécessaire et su sante, sur les réels a et b, pour que l'application
n


φ : (x, y) 7→ a xi yi + b
xi yj dé nissent un produit scalaire sur Rn , où n ≥ 2.
i=1

1≤i̸=j≤n

Solution 49.1
1. L'inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne :
( n

k=1

)2

xk · 1

(



n


2

1

k=1

)(

n

k=1

)
x2k

=n

n

k=1

l'égalité étant réalisée si, et seulement si, tous les xk sont égaux.
1197

x2k

Égalités et inégalités

1198

2. L'application φ est bilinéaire et symétrique. Pour x ∈ Rn , on a :
q (x) = φ (x, x) = a

n




x2i + 2b

i=1

xi xj

1≤i<j≤n

(

)2
n
n
n



=a
x2i + b 
xi −
x2i 
i=1

= (a − b)

i=1
n


(

x2i

+b

i=1

i=1

)2

n


xi

i=1

Si(φ est)un produit scalaire, on a alors a = q (e1 ) > 0, a − b = q (e1 − e2 ) > 0 et
q

n


ei

= n (a + (n − 1) b) > 0.

i=1

Réciproquement si a > 0, a − b > 0 et a + (n − 1) b > 0, on a alors pour x ∈ Rn \ {0}
ayant au moins deux composantes distinctes :
q (x) = (a − b)

n


x2i

+b

i=1

1
> (a − b)
n

(

n


)2
xi

i=1
)2

xi

i=1

1
(a + (n − 1) b)
n

=

( n


+b
( n


( n


)2
xi

i=1

)2
xi

≥0

i=1

et q (x) > 0. Si x ∈ Rn \ {0} a toutes ses composantes égales à λ ̸= 0, on a alors :
(

q (x) = q λ

n


)

ei

= nλ2 (a + (n − 1) b) > 0

i=1

Donc φ est un produit scalaire.

Exercice 49.2 Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a :
n


n (n + 1) √

k k≤
2n + 1
2 3
k=1

Solution 49.2 L'inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne :

v
v
u n
u n
n


u∑ u∑
2
t
k k≤
k t
k
k=1

avec

n

k=1

k=

k=1

k=1

n

n (n + 1) (2n + 1)
n (n + 1)
et
k2 =
, ce qui donne :
2
6
k=1

n


n (n + 1) √
n2 (n + 1)2 (2n + 1)

k k≤
=
2n + 1
12
2
3
k=1

Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

1199

Exercice 49.3 On se donne un entier n ≥ 1 et des réels x1 , · · · , xn strictement positifs.
1. Montrer que :

(

n


)(
xk

k=1

Dans quel cas a-t'on égalité ?
2. Montrer que :

n

1
xk
k=1

)
≥ n2

n

6n
1

2
k
(n + 1) (2n + 1)
k=1

Solution 49.3
1. L'inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne :
n=

n


k=1

v
v
u n
u n

u
u∑ 1
1
xk √ ≤ t
xk t
xk
xk
k=1
k=1

encore équivalent à l'inégalité proposée.
1

L'égalité est réalisée si, et seulement si, il existe un réel λ tel que xk = λ √ pour tout

xk
k compris entre 1 et n, ce qui équivaut à xk = λ pour tout k compris entre 1 et n, où λ

est un réel strictement positif.
2. Prenant xk = k 2 pour tout k compris entre 1 et n, on en déduit que :
(

n


)(

k2

k=1

et avec

n

k=1

k2 =

n

1
k2
k=1

)

≥ n2

n (n + 1) (2n + 1)
, on en déduit que :
6
n

1
6n

.
2
k
(n
+
1)
(2n
+
1)
k=1

Exercice 49.4
1. Montrer que pour tous réels a, b et λ, on a :
(2λ − 1) a2 − 2λab = λ (a − b)2 − λb2 + (λ − 1) a2

2. Soit q la forme quadratique dé nie sur E = Rn par :
q (x) =

n

k=1

(2k −

1) x2k

−2

n−1


kxk xk+1

k=1

(a) E ectuer une réduction de q en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires
indépendantes.
(b) Préciser le rang le noyau et la signature de q.

Égalités et inégalités

1200

3. On note (x, y) = (x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yn ) un vecteur de H = R2n et Q la forme quadratique
dé nie sur H par :
Q (x, y) =

n

(

)
yk2 − 2xk yk .

k=1

(a) E ectuer une réduction de Q en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires
indépendantes.
(b) Préciser le rang le noyau et la signature de Q.
4. Pour n ≥ 1 et x = (x1 , · · · , xn ) dans Rn , on dé nit y = (y1 , · · · , yn ) par :
1∑
xj .
yk =
k j=1
k

(a) Montrer que :

{

(b) Montrer que :

x1 = y1
∀k ∈ {2, · · · , n} , xk = kyk − (k − 1) yk−1
Q (x, y) = −q (y) .

(c) En déduire :

n


yk2 ≤

n

k=1

2xk yk .

k=1

k=1

puis montrer que :

n


yk2

≤4

n


x2k .

k=1

(d) En déduire que si (xn )n≥1 est une suite de réels telle que la série



x2n soit convern
1 ∑
xj
gente et si (yn )n≥1 est la suite des moyennes de Cesàro dé nie par yn =
n j=1
+∞
+∞


∑ 2
2
pour tout n ≥ 1, alors la série yn est convergente et
yn ≤ 4 x2n .
n=1

Solution 49.4
1. On a :
(
)
(2λ − 1) a2 − 2λab = λ a2 − 2ab + (λ − 1) a2
(
)
= λ (a − b)2 − b2 + (λ − 1) a2
= λ (a − b)2 − λb2 + (λ − 1) a2

2.

n=1

Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

1201

(a) En utilisant le résultat précédent, on a :
q (x) = (2n −
= (2n −

1) x2n
1) x2n

+

+

= (2n − 1) x2n +
= (2n − 1) x2n +

n−1

(
k=1
n−1


(2k − 1) x2k − 2kxk xk+1

k (xk − xk+1 ) −
2

n−1


)

kx2k+1

+

n−1


k=1

k=1

k=1

n−1


n−2


n−1


k=1
n−1


k (xk − xk+1 )2 +

kx2k+1 −

(k − 1) x2k
kx2k+1

k=1

k=1

k (xk − xk+1 )2 − (n − 1) x2n

k=1

=

n−1


k (xk − xk+1 )2 + nx2n .

k=1

soit :
q (x) =

n


kℓ2k (x)

k=1

où les formes linéaires ℓk sont dé nies par :
{

ℓk (x) = xk − xk+1 (1 ≤ k ≤ n − 1)
ℓn (x) = xn

Il est facile de véri er que ces formes linéaires sont indépendantes.
(b) On en déduit que rg (q) = n, ker (q) = {0} et sgn (q) = (n, 0) .
3.
(a) On a :
Q (x, y) =

n


(yk − xk )2 −

Q (x, y) =

n


L2k

x2k

k=1

k=1

soit

n


(x, y) −

k=1

2n


L2k (x, y)

k=n+1

où les formes linéaires Lk sont dé nies par :
{

Lk (x, y) = yk − xk (1 ≤ k ≤ n)
Lk (x, y) = xk (n + 1 ≤ k ≤ 2n)

Il est facile de véri er que ces formes linéaires sont indépendantes.
(b) On en déduit que rg (Q) = 2n, ker (Q) = {0} et sgn (Q) = (n, n) .
4.
(a) On a x1 = y1 et pour k ≥ 2, de kyk =

k


xj , on déduit que :

j=1

xk = kyk − (k − 1) yk−1 .

Égalités et inégalités

1202

(b) En posant y0 = 0, on a :
Q (x, y) =
=

n

k=1
n


(yk − 2xk ) yk
(yk − 2 (kyk − (k − 1) yk−1 )) yk

k=1

=

n


((1 − 2k) yk + 2 (k − 1) yk−1 ) yk

k=1

=

n


(1 −

2k) yk2

+2

k=1

soit :
Q (x, y) =

n


n


(k − 1) yk−1 yk

k=1

(1 − 2k) yk2 + 2

n−1


k=1

kyk yk+1 = −q (y) .

k=1

(c) Comme q est positive, on a :
Q (x, y) =

n

(

)
yk2 − 2xk yk = −q (y) ≤ 0

k=1

soit :

n


yk2



n


2xk yk .

k=1

k=1

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans Rn , on a :
n


yk2 ≤ 2

k=1

n


v
v
u n
u n
u∑ u∑
xk yk ≤ 2t
x2k t
yk2

k=1

k=1

et :

n


yk2 ≤ 4

n


k=1

x2k .

k=1

k=1

(d) Résulte de ce qui précède.
On peut montrer que l'égalité est réalisée si, et seulement si, (xn )n≥1 est la suite
nulle (voir RMS, Mai-Juin 1996, page 973).
Dans l'espace ∫E = C 0 ([a, b] , R) des fonctions continues de [a, b] dans R muni du produit
b
scalaire (f, g) 7→ f (t) g (t) dt, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :
a

(∫

∀ (f, g) ∈ E ,
2

)2

b

f (t) g (t) dt





b


a

a

De cette inégalité, on peut déduire des inégalités intéressantes.
(∫

)2

b

f (t) dt
a

Dans quel cas a-t'on égalité ?

g 2 (t) dt.

f (t) dt

a

Exercice 49.5 Soit f ∈ C 0 ([a, b] , R) . Montrer que :

b

2



≤ (b − a)

b

f 2 (t) dt
a

Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

1203

Solution 49.5 L'inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne :
(∫

)2

b



f (t) · 1dt



b



b

1dt = (b − a)

f (t) dt

a



b

2

a

f 2 (t) dt

a

a

l'égalité étant réalisée si, et seulement si, la fonction f est constante.

Exercice 49.6 Soit f

∈C

0

(

[a, b] , R∗+

)

. Montrer que

(∫

b

a

Dans quel cas a-t'on égalité ?

1
dt
f (t)

) (∫

)

b

≥ (b − a)2 .

f (t) dt
a

Solution 49.6 L'inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne :
(∫ b
)2 ∫ b
∫ b

1
1
(b − a) =
f (t) · √
dt ≤
f (t) dt
dt
f (t)
a
a
a f (t)
2

l'égalité étant réalisée si, et seulement si, il existe un réel λ tel que
à dire que f est constante.


1
f = λ √ , ce qui équivaut
f

Exercice 49.7 Soit f ∈ C 1 ([a, b] , R) telle que f (a) = 0. Montrer que :


b

(b − a)2
|f (t)| dt ≤
2



b

2

a

|f ′ (t)| dt.
2

a

Solution 49.7 Pour tout t ∈ ]a, b] , on a :
(∫

)2

t

|f (t)| =
2






f (x) dx



t

t

a


2

|f (x)| dx ≤ (t − a)

1dx

a



a

b

|f ′ (t)| dt
2

a

et en intégrant :




b

b

|f (t)| dt ≤
a




2

|f (t)| dt

2

a

a

b

(b − a)2
(t − a) dt =
2



b

|f ′ (t)| dt.
2

a

Pour f ∈ C 1 ([a, b] , R) sans hypothèse sur f (a) , la fonction g dé nie par g (x) = f (x) − f (a)
véri e les hypothèses de l'exercice et avec g (a) = 0, g ′ = f ′ , on obtient l'inégalité :


b

(b − a)2
|f (t) − f (a)| dt ≤
2



2

a

b

|f ′ (t)| dt
2

a

L'exercice qui suit est une application intéressante.

Exercice 49.8 Soit

f (z) =

+∞

n=0

αn z n une fonction développable en série entière sur D (0, R)

avec 0 < R ≤ +∞. Montrer que si |f | admet un maximum local en 0, elle est alors constante
(principe du maximum).

Égalités et inégalités

1204

Solution 49.8 Si |f | admet un maximum local en 0, il existe alors un réel r0 ∈ ]0, R[ tel que
|f (0)| = sup |f (z)| . On a alors, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
|z|≤r0



∫ 2π
( it )
1
1 2π ( it )
f r0 e · 1dt
f
r
e
dt

|f (0)| =
0

2π 0
0
(∫ 2π
) 12 (∫ 2π ) 21
(∫ 2π
) 21
( it ) 2
( it ) 2
1
1
f r0 e dt
f r0 e dt

dt
=√


0
0
0
(∫ 2π
) 12
1
≤√
|f (0)|2 dt
= |f (0)|

0
(∫ 2π
) 12
1
2
it
donc |α0 | = |f (0)| = √
|f (r0 e )| dt , soit :

0
∫ 2π
+∞

( it ) 2
1
2


|α0 | =
f r0 e
dt =
|αn |2 r02n
2π 0
n=0

et αn = 0 pour tout n ≥ 1, ce qui signi e que f est constante.
Une conséquence importante de l'inégalité de Cauchy-Schwarz est l'inégalité triangulaire de
Minkowski.

Théorème 49.2 (Inégalité de Minkowski) Pour tous x, y dans E on a :
∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ ,

l'égalité étant réalisée si, et seulement si, x = 0 ou x ̸= 0 et y = λx avec λ ≥ 0 (on dit que x
et y sont positivement liés).

Démonstration. Voir le théorème 42.2.

L'inégalité de Minkowski ajoutée aux propriétés de positivité (∥x∥ > 0 pour tout x ̸= 0)
et d'homogénéité (∥λx∥ =
√|λ| ∥x∥ pour tout réel λ et tout vecteur x) se traduit en disant que
l'application x 7→ ∥x∥ = ⟨x|x⟩ dé nit une norme sur E.
De cette inégalité, on déduit l'inégalité suivante :
∀ (x, y) ∈ E 2 , |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x + y∥

Par récurrence, on montre facilement que pour tous vecteurs x1 , · · · , xp , on a :
∥x1 + · · · + xp ∥ ≤ ∥x1 ∥ + · · · + ∥xp ∥

Sur Rn muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Minkowski prend la forme suivante :
v
v
v
u n
u n
u n


u
u
u∑
2
∀ (x, y) ∈ Rn × Rn , t
(xk + yk ) ≤ t
x2k + t
yk2
k=1

k=1

k=1

Dans l'espace ∫E = C 0 ([a, b] , R) des fonctions continues de [a, b] dans R muni du produit
b
scalaire (f, g) 7→ f (t) g (t) dt, l'inégalité de Minkowski s'écrit :
a







b

(f (t) + g (t)) dt ≤

∀ (f, g) ∈ E ,

2

2

a



b

f2
a



b

g 2 (t) dt.

(t) dt +
a

L'identité du parallélogramme

1205

49.2 L'identité du parallélogramme
Dans un espace préhilbertien E, on a l'égalité du parallélogramme :
(
)
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2 ∥x∥2 + ∥y∥2 .

Elle est caractéristique des normes déduites d'un produit scalaire. Précisément, on a le
résultat suivant.

Théorème 49.3 Soit (E, ∥·∥) un espace vectoriel normé réel. On note :
µ (E) =

∥x + y∥2 + ∥x − y∥2
(
) .
2 ∥x∥2 + ∥y∥2
(x,y)̸=(0,0)
sup

Les assertions suivantes sont équivalentes :
1.
2.
3.
4.

(
)
∀ (x, y) ∈ E 2 , ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2 ∥x∥2 + ∥y∥2 ;

la norme ∥·∥ dérive d'un produit scalaire sur E ;
µ (E) = 1 ;
pour x, y xés dans E, ∥x + ty∥2 est un trinôme en t.

Démonstration. 1. ⇒ 2. On dé nit la fonction ⟨· | ·⟩ sur E × E par :
(x, y) 7→ ⟨x | y⟩ =

)
1(
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 .
4

Il est facile de véri er que cette application est symétrique (⟨x | y⟩ = ⟨y | x⟩) et dé nie positive
(⟨x | x⟩ = ∥x∥2 ≥ 0 avec égalité si, et seulement si, x = 0).
En utilisant l'identité du parallélogramme on va montrer que cette application est bilinéaire.
C'est donc un produit scalaire et la norme ∥·∥ en dérive.
Avec l'identité du parallélogramme on a, pour (x, y, z) dans E 3 :
=
=
=
=

4 (⟨x + z | y⟩ + ⟨x − z | y⟩)
2
2
2
2
(∥x + z + y∥ 2− ∥x + z − y∥ 2+
) ∥x(− z + y∥ −2∥x − z − y∥ 2 )
∥x
+y−
( + y + 2z∥ + ∥x
( z∥ − 2 ∥x − y2 )+ z∥ + ∥x − y − z∥
2)
2 ∥x + y∥ + ∥z∥ − 2 ∥x − y∥ + ∥z∥
8 ⟨x | y⟩ .

Soit :

⟨x + z | y⟩ + ⟨x − z | y⟩ = 2 ⟨x | y⟩ .

Ce qui donne pour z = x :
∀ (x, y) ∈ E 2 , ⟨2x | y⟩ = 2 ⟨x | y⟩ .

En posant u = 12 (x + y), v = 12 (x − y), on a alors :
⟨x + y | z⟩ = ⟨2u | z⟩ = 2 ⟨u | z⟩ = ⟨u + v | z⟩ + ⟨u − v | z⟩
= ⟨x | z⟩ + ⟨y | z⟩ .

On a donc, pour tout (x, y, z) dans E 3 :
⟨x + y | z⟩ = ⟨x | z⟩ + ⟨y | z⟩ .

Égalités et inégalités

1206
Par récurrence on déduit alors que :

(49.1)

∀ (x, y) ∈ E 2 , ∀n ∈ N − {0} , ⟨nx | y⟩ = n ⟨x | y⟩ .

Avec ⟨0 | y⟩ = 0 et ⟨−x | y⟩ =
⟨ − ⟨x |⟩y⟩ , on déduit que (49.1) est valable pour tout entier n
dans Z. Puis avec ⟨x | y⟩ = n

1
x|y
n

pour tout entier n > 0, on déduit que (49.1) est valable

pour tout r ∈ Q. En n avec la densité de Q dans R et la continuité de l'application :
(x, y) 7−→ ⟨x | y⟩ =

)
1(
∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 ,
4

on déduit que (??) est valable pour tout r ∈ R. Ce qui achève de prouver que l'application
⟨· | ·⟩ est bilinéaire.
2. ⇒ 3. Si la norme dérive d'un produit scalaire on véri e facilement qu'on a l'identité du
parallélogramme et l'égalité µ (E) = 1.
3. ⇒ 1. Si µ (E) = 1, on a alors :
(
)
∀ (x, y) ∈ E 2 , ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 ≤ 2 ∥x∥2 + ∥y∥2 .

En posant u = x + y , v = x − y, on a :
∥2x∥2 + ∥2y∥2 = ∥u + v∥2 + ∥u − v∥2
(
)
(
)
≤ 2 ∥u∥2 + ∥v∥2 = 2 ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 ,
(

)

soit 2 ∥x∥2 + ∥y∥2 ≤ ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 et l'égalité.
On a donc les équivalences 1. ⇔ 2. ⇔ 3.
L'implication 2. ⇒ 4. est évidente. Pour conclure on va montrer que 4. ⇒ 1.
Pour x, y xés dans E on peut écrire, pour tout réel t :
P (t) = ∥x + ty∥2 = at2 + 2bt + c.

Le coe cient c est donné en faisant t = 0, soit c = ∥x∥2 et le coe cient a est donné par :

2
1

P (t)
x + y = ∥y∥2 .
a = lim
=
lim

t→+∞ t2
t→+∞ t

On déduit alors que :
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = P (1) + P (−1) = 2 (a + c)
(
)
= 2 ∥x∥2 + ∥y∥2

c'est-à-dire l'identité du parallélogramme.

49.3 Égalité et inégalité des accroissements nis
Théorème 49.4 (Rolle) Soient

K un compact d'un espace vectoriel normé (E, ∥·∥) d'intérieur non vide, f une fonction continue de K dans R di érentiable sur l'intérieur de K et




constante sur la frontière de K, Fr (K) = K \ K. Il existe alors un élément c ∈ K tel que
df (c) = 0.

Égalité et inégalité des accroissements nis

1207

Démonstration. Si f est constante, alors sa di érentielle est nulle. On suppose donc f
non constante. La fonction f étant continue sur le compact K est bornée et atteint ses bornes,
c'est-à-dire qu'il existe a, b dans K tels que f (a) = inf f (x) et f (b) = sup f (x) . Si a, b sont
x∈K

x∈K

dans Fr (K) alors f (a) = f (b) et f est constante contrairement à l'hypothèse de départ, on a


donc a ∈ K ou b ∈ K, ce qui entraîne df (a) = 0 ou df (b) = 0.
La version réelle de ce théorème est la suivante.

Théorème 49.5 (Rolle) Si f est une fonction à valeurs réelles dé nie sur un intervalle com-

pact [a, b] non réduit à un point, continue sur cet intervalle et dérivable sur l'intervalle ouvert
]a, b[ avec f (a) = f (b) , alors il existe un point c ∈ ]a, b[ tel que f ′ (c) = 0.

Théorème 49.6 (Accroissements nis) Si

f est une fonction à valeurs réelles dé nie sur
un intervalle compact [a, b] non réduit à un point, continue sur cet intervalle et dérivable sur
l'intervalle ouvert ]a, b[ , alors il existe un point c ∈ ]a, b[ tel que f (b) − f (a) = f ′ (c) (b − a) .

Démonstration. On se ramène aux hypothèses du théorème de Rolle en considérant la
fonction g dé nie sur [a, b] par :
g (x) = f (x) − f (a) − λ (x − a)
f (b) − f (a)

où la constante réelle λ est telle que g (b) = g (a) (soit λ =
). Le théorème de Rolle
b−a
appliqué à la fonction g nous assure de l'existence d'un réel c ∈ ]a, b[ tel que g ′ (c) = 0, ce qui
équivaut à f (b) − f (a) = f ′ (c) (b − a) .
De manière plus générale ce résultat est valable pour les fonctions de plusieurs variables à
valeurs réelles. Précisément, on a le résultat suivant.

Théorème 49.7 Soit f une fonction à valeurs réelles dé nie et di érentiable sur un ouvert O
de Rn . Si a, b sont deux points distincts de O tels que le segment [a, b] soit contenu dans O,
alors il existe un point c ∈ ]a, b[ tel que :
n

∂f
f (b) − f (a) = df (c) (b − a) =
(c) (bk − ak ) .
∂xk
k=1

Démonstration. Voir le théorème 43.17.

L'égalité des accroissements nis n'est plus vraie pour les fonctions à valeurs dans C (ou
dans Rn avec n ≥ 2) comme le montre l'exemple de la fonction x 7→ eix sur [0, 2π] .
Toutefois on a le résultat suivant.

Théorème 49.8 (Inégalité des accroissements nis) Si f est une fonction à valeurs dans
Rn (ou plus généralement dans un espace préhilbertien) dé nie sur un intervalle compact [a, b]
non réduit à un point, continue sur cet intervalle et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[ , alors
il existe un point c ∈ ]a, b[ tel que ∥f (b) − f (a)∥ ≤ ∥f ′ (c)∥ (b − a) où ∥·∥ désigne la norme
euclidienne usuelle sur Rn .

Démonstration. On se ramène au cas des fonctions à valeurs réelles en introduisant la

fonction g dé nie sur [a, b] par g (x) = ⟨f (x) | f (b) − f (a)⟩ , où ⟨· | ·⟩ désigne le produit scalaire
euclidien usuel sur Rn . Cette fonction est continue sur [a, b] , dérivable sur ]a, b[ avec g ′ (x) =

Égalités et inégalités

1208

⟨f ′ (x) | f (b) − f (a)⟩ . Le théorème des accroissements nis nous assure de l'existence d'un réel
c ∈ ]a, b[ tel que :
∥f (b) − f (a)∥2 = g (b) − g (a) = (b − a) ⟨f ′ (c) | f (b) − f (a)⟩ .

Puis avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on déduit que :
∥f (b) − f (a)∥2 ≤ (b − a) ∥f ′ (c)∥ ∥f (b) − f (a)∥ ,

ce qui entraîne ∥f (b) − f (a)∥ ≤ ∥f ′ (c)∥ (b − a) .
Le théorème des accroissements nis est important pour ses nombreuses applications.

49.3.1 Sens de variation d'une fonction
Théorème 49.9 Si f est une fonction à valeurs réelles dérivable sur un intervalle réel I, alors
f est croissante sur I si, et seulement si, f ′ (x) ≥ 0 pour tout x dans I.
Démonstration. Si f est croissante sur I alors pour x ̸= y dans I le taux d'accroissement
f (y) − f (x)
est positif ou nul et en passant à la limite quand y tend vers x, on déduit que
y−x
f ′ (x) ≥ 0.
Réciproquement si f ′ (x) ≥ 0 pour tout x dans I, en utilisant le théorème des accroissements
nis on déduit alors que pour tout y > x dans I on a f (y) − f (x) = f ′ (z) (y − x) ≥ 0.
Du théorème précédent, on déduit les résultats classiques suivants.

Corollaire 49.1 Soient f, g deux fonctions dérivables sur un intervalle réel I.
1. La fonction f est décroissante sur I si, et seulement si, f ′ (x) ≤ 0 pour tout x dans I.
2. La fonction f est constante sur I si, et seulement si, f ′ (x) = 0 pour tout x dans I.
3. Si f ′ (x) > 0 [resp. f ′ (x) < 0] pour tout x dans I, alors la fonction f est strictement
croissante [resp. strictement décroissante] sur I.
4. Si f ′ (x) ≤ g ′ (x) pour tout x dans I = [a, b] , alors :
∀x ∈ [a, b] ,

f (x) − f (a) ≤ g (x) − g (a) .

5. Si m ≤ f ′ (x) ≤ M pour tout x dans I = [a, b] , alors :
∀x ∈ [a, b] ,

m (x − a) ≤ f (x) − f (a) ≤ M (x − a) .

Démonstration.
1. On applique le théorème précédent à la fonction −f.
2. Si f ′ = 0, alors la fonction f est à la fois croissante et décroissante, donc constante. La
réciproque est évidente.
3. Si f ′ (x) > 0 pour tout x dans I, on sait déjà que la fonction f est croissante. Si il existe
a < b dans I tels f (a) = f (b) , on a alors :
∀x ∈ [a, b] ,

f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) = f (a)

et la fonction f est constante sur [a, b] d'intérieur non vide ce qui entraîne f ′ = 0 sur [a, b]
en contradiction avec f ′ > 0.
4. Résulte de la croissance de la fonction h = g − f.
5. On applique ce qui précède à (mx, f ) et (f, M x) .

Égalité et inégalité des accroissements nis

1209

49.3.2 Limites et dérivation
Théorème 49.10 Soit

f une fonction à valeurs réelles continue sur [a, b] et dérivable sur
]a, b[ \ {c} où c est un point de ]a, b[ . Si la fonction dérivée f ′ a une limite ℓ en c, alors f est
dérivable en c avec f ′ (c) = ℓ.

Démonstration. Le point c étant intérieur à [a, b] il existe un réel δ > 0 tel que ]c − δ, c + δ[ ⊂

]a, b[ . Pour tout x ∈ ]c − δ, c + δ[ \ {c} il existe un réel dx strictement compris entre c et x tel
f (x) − f (c)
f (x) − f (c)
que
= f ′ (dx ) et avec lim dx = c, lim f ′ (t) = ℓ, on déduit que lim
=
x→c
t→c
x→c
x−c
x−c
lim f ′ (dx ) = ℓ, c'est-à-dire que f est dérivable en c avec f ′ (c) = ℓ.
x→c

On peut remarquer que la fonction f ′ est également continue en c.
On peut utiliser ce résultat pour montrer que la fonction f dé nie par f (0) = 0 et f (x) =
− 12
e x pour x ̸= 0 est indé niment dérivable sur R avec f (n) (0) = 0 pour tout entier naturel n.
On dispose ainsi d'une fonction de classe C ∞ qui n'est pas développable en série entière au
voisinage de 0.

49.3.3 Intégration et dérivation
Le résultat qui suit est souvent utilisé pour montrer la dérivabilité d'une fonction dé nie par
une intégrale sur un segment.

Théorème 49.11 Soient I est un intervalle réel non réduit à un point, a < b dans R et f une

∂f
(x, t)
∂x
∂f
existe en tout point de I × [a, b] , la fonction
étant continue sur I × [a, b] . La fonction φ
∂x
dé nie sur I par :
∫ b
∀x ∈ I, φ (x) =
f (x, t) dt

fonction à valeurs réelles dé nie et continue sur I × [a, b] telle que la dérivée partielle

a

est continûment dérivable sur I de dérivée :




φ (x) =
a

b

∂f
(x, t) dt.
∂x

Démonstration. On se xe un réel x0 dans I et un réel r > 0 tel que l'intervalle [x0 − r, x0 + r]

soit contenu dans I.
Pour tout réel h tel que 0 < |h| < r, on a :

∫ b
φ (x0 + h) − φ (x0 )
∂f
τ (h) =

(x0 , t) dt
h
a ∂x
)
∫ b(
f (x0 + h, t) − f (x0 , t) ∂f
=

(x0 , t) dt.
h
∂x
a

En utilisant le théorème des accroissements nis, on peut écrire pour tout t ∈ [a, b] :
∂f
∂f
f (x0 + h, t) − f (x0 , t) ∂f

(x0 , t) =
(x0 + θh,t , t) −
(x0 , t)
h
∂x
∂x
∂x
∂f

où θh,t ∈ ]0, 1[ . La fonction
qui est continue sur le compact K = [x0 − r, x0 + r] × [a, b]
∂x
y est uniformément continue, donc pour tout réel ε > 0 on peut trouver un réel η ∈ ]0, r[ tel

Égalités et inégalités

1210



∂f

∂f

que (x, t) −
(u, v) < ε pour tous (x, t) et (u, v) dans K tels que ∥(x, t) − (u, v)∥∞ < η.
∂x
∂x
Pour tout réel h tel que 0 < |h| < η, on a ∥(x0 + θh,t h, t) − (x0 , t)∥∞ = |θh,t h| < |h| < η pour
tout t ∈ [a, b] , ce qui entraîne :


∂f

∂f

<ε
(x
+
θ
h,
t)

(x
,
t)
0
h,t
0
∂x

∂x

et en conséquence :


∫ b
f (x0 + h, t) − f (x0 , t) ∂f


dt ≤ (b − a) ε.
|τ (h)| ≤

(x
,
t)
0


h
∂x
a

Ce qui prouve la dérivabilité de φ en x0 et donne la valeur de φ′ (x0 ) .
En n le théorème ??, page ??, appliqué à

∂f
nous assure de la continuité de φ′ .
∂x

49.3.4 Points xes attractifs et répulsifs
I désigne un intervalle fermé de R (non nécessairement borné) et f une fonction dé nie sur
I à valeurs réelles telle que f (I) ⊂ I.


Du théorème des accroissements nis on déduit que si f est dérivable sur I avec sup |f ′ (x)| =


x∈I

λ < 1 elle est alors λ-contractante et avec le théorème du point xe, on en déduit le résultat

suivant.

Théorème 49.12 Si f



: I −→ I est dérivable sur I avec sup |f ′ (x)| = λ < 1 alors f admet


x∈I

un unique point xe α ∈ I et ce point xe est limite de toute suite d'approximations successives
de valeur initiale x0 ∈ I.


Théorème 49.13 Soit f ∈ C 1 (I) admettant un unique point xe α ∈ I.
1. Si |f ′ (α)| < 1 alors il existe un réel η > 0 tel que l'intervalle [α − η, α + η] soit stable par
f et pour tout x0 ∈ [α − η, α + η] la suite (xn )n∈N dé nie par xn+1 = f (xn ) converge vers
α.

2. Si |f ′ (α)| > 1 et f (I) ⊂ I alors pour tout x0 ∈ I la suite (xn )n∈N dé nie par xn+1 = f (xn )
est soit stationnaire (sur α) à partir d'un certain rang soit divergente.

Démonstration.
1. Si on suppose que |f ′ (α)| < 1, de la continuité de f ′ on déduit qu'il existe un réel η > 0
tel que [α − η, α + η] ⊂ I (α est dans l'intérieur de I ) et :
∀x ∈ [α − η, α + η] ,

|f ′ (x)| < 1.

On a alors λ = sup |f ′ (x)| < 1 (la borne supérieure d'une fonction continue sur un
x∈I

compact est atteinte) et en utilisant le théorème des accroissements nis :
|f (x) − α| = |f (x) − f (α)| ≤ λ |x − α| < |x − α| ≤ η

pour tout x ∈ [α − η, α + η], c'est-à-dire que f (x) ∈ [α − η, α + η] .
L'intervalle [α − η, α + η] est donc stable par f . La fonction f étant strictement contractante sur cet intervalle, on a le résultat annoncé.

Égalité et inégalité des accroissements nis

1211

2. On suppose que |f ′ (α)| > 1. Avec la continuité de f ′ on déduit qu'il existe un réel η > 0
et un réel λ > 1 tels que [α − η, α + η] ⊂ I et :
∀x ∈ [α − η, α + η] ,

|f ′ (x)| ≥ λ > 1.

Si on suppose de plus que I est stable par f on peut alors dé nir la suite d'approximations
successives (xn )n∈N de premier terme x0 ∈ I .
S'il existe n0 ∈ N tel que xn0 = α alors xn = α pour tout n ≥ n0 et la suite est stationnaire
à partir du rang n0 .
On suppose donc que xn ̸= α pour tout n ∈ N et dans ce cas la suite (xn )n∈N est
divergente. En e et si lim xn = β alors f (β) = β puisque f est continue et β = α
n→+∞
puisque α est l'unique point xe de f dans I . Mais on peut alors trouver un entier n1 ∈ N
tel que xn ∈ [α − η, α + η] pour tout n ≥ n1 et avec le théorème des accroissements nis
on déduit que :
∀n ≥ n1 ,

|xn+1 − α| = |f (xn ) − f (α)| ≥ λ |xn − α|

et par récurrence sur n ≥ n1 :
∀n ≥ n1 ,

|xn − α| ≥ λn−n1 |xn1 − α| ,

ce qui entraîne lim |xn − α| = +∞ (λ > 1) et contredit lim xn = α.
n→+∞

n→+∞

49.3.5 Majoration de l'erreur dans la méthode de Simpson
Théorème 49.14 Soit

f une fonction à valeurs réelles de classe C 4 sur un intervalle [a, b] .
On a :
∫ b
(
(
)
)


a
+
b
b

a
≤ M4 (b − a)5 ,

f
(a)
+
4f
+
f
(b)
f
(x)
dx

2880

6
2
a
(4)

où M4 = sup f (x) .
x∈[a,b]

Démonstration. On se ramène à l'intervalle [−1, 1] en utilisant le changement de variable

a+b b−a
+
t avec t ∈ [−1, 1] , ce qui conduit à introduire la fonction g dé nie sur [−1, 1]
2
par : 2
(
)
a+b b−a
g (t) = f
+
t .
2
2
x=

L'erreur dans la méthode de Simpson sur [a, b] :

E (f ) =
a

s'écrit alors :

b

b−a
f (x) dx −
6

b−a
E (f ) =
2

(∫

(
(
)
)
a+b
f (a) + 4f
+ f (b)
2

)
1
g (t) dt − (g (−1) + 4g (0) + g (1)) .
3
−1
1

On désigne par φ la fonction dé nie sur [0, 1] par :


∀x ∈ [0, 1] ,

x

φ (x) =
−x

g (t) dt −

x
(g (−x) + 4g (0) + g (x))
3

Égalités et inégalités

1212

(erreur dans la méthode de Simpson sur [−x, x]). Cette fonction est de classe C 4 sur [0, 1] avec :

4
x
2

φ′ (x) = (g (−x) + g (x)) − g (0) − (g ′ (x) − g ′ (−x)) ,



3
3
3

1
x
φ′′ (x) = (g ′ (x) − g ′ (−x)) − (g ′′ (x) + g ′′ (−x))

3
3



 φ′′′ (x) = − x (g ′′′ (x) − g ′′′ (−x)) .
3

Avec le théorème des accroissements nis on peut écrire, pour x > 0 :
φ′′′ (x) = −2

x2 (4)
g (cx )
3

x2
L4 , où :
3
(
)4
(4)

b−a


L4 = sup g (x) =
M4 .
2
x∈[−1,1]

où cx ∈ ]−x, x[ , ce qui donne |φ′′′ (x)| ≤ 2

On en déduit, tenant compte de φ (0) = φ′ (0) = φ′′ (0) = 0, que :


∫ x

∫ x

2
x3

′′
′′′
2




(x)|
=
φ
(t)
dt

L
L4 ,
t
dt
=
2

4


3

9
0
0




∫ x


x ′′
2
x4



|φ (x)| = φ (t) dt ≤ L4 t3 dt = L4 ,

9
18

∫ 0x


∫0 x




x5
1


 |φ (x)| = φ′ (t) dt ≤ L4 t4 dt = L4 .
18
90
0
0

Et pour x = 1, on obtient :



|φ (1)| =



1
g (t) dt − (g (−1) + 4g (0) + g (1))
3
−1
(
)4
1 b−a
1
≤ L4 =
M4 ,
90
90
2
1

ce qui donne :
1
|E (f )| ≤
90

(

b−a
2

)5
M4 =

(b − a)5
M4 .
2880

49.3.6 Suites de fonctions dérivables
Théorème 49.15 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions continues de [a, b] dans R, dérivables sur

]a, b[ , qui converge simplement vers une fonction f. S'il existe une constante M > 0 telle que
|fn′ (x)| ≤ M pour tout n et tout x dans ]a, b[ , alors la suite (fn )n∈N converge uniformément et
f est continue.

Démonstration. En utilisant le théorème des accroissements nis, on voit que les fonctions

fn et f sont M -lipschitzienne. En e et, on a :
∀n ∈ N,

∀ (x, y) ∈ [a, b]2 ,

|fn (x) − fn (y)| ≤ M |x − y|

Égalité et inégalité des accroissements nis

1213

et en passant à la limite quand n tend vers l'in ni, on obtient :
∀ (x, y) ∈ R2 ,

|f (x) − f (y)| ≤ M |x − y| .

Ce qui entraîne déjà la continuité de f.
Pour tout ε > 0 il existe une subdivision a = x0 < x1 < · · · < xp = b telle que xk+1 − xk < ε
et de la convergence de chacune des suites (fn (xk ))n∈N vers f (xk ) , on déduit qu'il existe un
entier n0 tel que :
∀k ∈ {0, 1, · · · , p} ,

∀n ≥ n0 ,

|fn (xk ) − f (xk )| < ε.

Pour tout x ∈ [a, b] , il existe un entier k compris entre 0 et p − 1 tel que x soit dans [xk , xk+1 ]
et pour n ≥ n0 , on a :
|fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fn (xk )| + |fn (xk ) − f (xk )| + |f (xk ) − f (x)|
≤ M |x − xk | + ε + M |x − xk | ≤ (2M + 1) ε,

ce qui permet de conclure à la convergence uniforme de (fn )n∈N vers f sur [a, b] .

Théorème 49.16 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions dérivables de [a, b] dans R telle que la
suite (fn′ )n∈N converge uniformément sur [a, b] vers une fonction g. S'il existe x0 ∈ [a, b] tel que
la suite (fn (x0 ))n∈N soit convergente alors la suite (fn )n∈N converge uniformément vers une
fonction dérivable f et f ′ = g.
Démonstration. Avec le théorème des accroissements nis, on peut écrire pour n, m entiers

naturels et x ∈ [a, b] :

|fn (x) − fm (x)| ≤ |(fn − fm ) (x) − (fn − fm ) (x0 )| + |fn (x0 ) − fm (x0 )|

≤ ∥fn′ − fm
∥∞ |x − x0 | + |fn (x0 ) − fm (x0 )| ,

où on note pour toute fonction h continue sur [a, b] , ∥h∥∞ = sup |h (x)| . Il en résulte que :
x∈[a,b]


∥fn − fm ∥∞ ≤ (b − a) ∥fn′ − fm
∥∞ + |fn (x0 ) − fm (x0 )| ,

ce qui permet, d'après les hypothèses, de conclure que la suite (fn )n∈N véri e le critère de
Cauchy uniforme sur [a, b] et donc qu'elle converge uniformément vers une fonction f.
Pour x, y dans [a, b] et n ∈ N on peut écrire :
|f (x) − f (y) − (x − y) g (x)| ≤ |f (x) − f (y) − (fn (x) − fn (y))|
+ |fn (x) − fn (y) − (x − y) fn′ (x)|
+ |(x − y) (fn′ (x) − g (x))| .

avec :
|f (x) − f (y) − (fn (x) − fn (y))| = lim |(fm − fn ) (x) − (fm − fn ) (y)|
m→+∞


− fn′ ∥∞ |x − y|
≤ lim ∥fm
m→+∞

≤ ∥g − fn′ ∥∞ |x − y|

et :

|(x − y) (fn′ (x) − g (x))| ≤ ∥g − fn′ ∥∞ |x − y| .

Égalités et inégalités

1214
Ce qui donne, pour x ̸= y :





f (x) − f (y)

fn (x) − fn (y)






.

g
(x)

2
∥g

f

+

f
(x)
n
n ∞




x−y
x−y

Pour ε > 0 donné, on peut trouver un entier n tel que ∥g − fn′ ∥∞ < ε et pour cet entier, par
dé nition du nombre
dérivé, on peut trouver un réel η > 0 tel que
pour x ̸= y dans [a, b] véri ant

fn (x) − fn (y)

f (x) − f (y)

|x − y| < η on ait
− fn′ (x) < ε. On a donc
− g (x) ≤ 3ε pour
x−y
x−y
x ̸= y dans [a, b] tels que |x − y| < η, ce qui signi e que f est dérivable en x avec f ′ (x) = g (x) .

49.3.7 Dérivées partielles
On sait que si f est une fonction di érentiable sur un ouvert O de Rn , alors elle est continue
et admet des dérivées partielles en tout point de O. Mais réciproquement une fonction peut très
bien admettre des dérivées partielles en tout point de O sans être di érentiable. Par exemple
xy
la fonction f dé nie sur R2 par f (0, 0) = 0 et f (x, y) = 2
pour (x, y) ̸= (0, 0) admet
2
x +y

des dérivées partielles en tout point de R2 (pour (x, y) ̸= (0, 0) c'est clair avec les opérations
f (x, 0) − f (0, 0)

∂f

= 0 pour tout x ̸= 0 qui entraîne
(0, 0) = 0
classiques, en (0, 0) on a
x
∂x
et pour la dérivée en y on conclut par symétrie) et n'est pas di érentiable en (0, 0) car non
1

continue en ce point (f (x, x) = ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0).
2
On a quand même le résultat important suivant.

Théorème 49.17 Soient O un ouvert de Rn et f une fonction dé nie sur O à valeurs réelles

(ou dans un espace normé) admettant des dérivées partielles par rapport à toutes les variables
en tout point de O. Si ces dérivées partielles sont continues en un point a de O alors f est
di érentiable en a.

Démonstration. On se place dans le cas d'une fonction de deux variables à valeurs réelles
et on note (x, y) les variables. En supposant que

∂f ∂f
,
existent en tout point de O et qu'elles
∂x ∂y

sont continues en (a, b) , il s'agit de montrer, en notant :
h = x − a, k = y − b, p =

que :

∂f
∂f
(a, b) , q =
(a, b)
∂x
∂y

f (x, y) = f (a, b) + ph + qk + o (|h| + |k|) .

Pour ce faire on écrit que :
f (x, y) − f (a, b) = f (x, y) − f (x, b) + f (x, b) − f (a, b)

et en utilisant le théorème des accroissements nis, on a :

∂f

(x, cx,y ) ,
 f (x, y) − f (x, b) = (y − b)
∂y

 f (x, b) − f (a, b) = (x − a) ∂f (d , b) ,
x
∂x

Égalité et inégalité des accroissements nis

1215

avec cx,y compris entre y et b et dx compris entre a et x, de sorte que :
(

)
∂f
∂f
f (x, y) − f (a, b) − ph − qk = h
(dx , b) −
(a, b)
∂x
∂x
(
)
∂f
∂f
+k
(x, cx,y ) −
(a, b) .
∂y
∂y

Avec la continuité des dérivées partielles en (a, b) , on déduit que pour tout réel ε > 0 il existe
un
∂f

réel η > 0 tel que les conditions |u − a| < η et |v − b| < η entraînent

(u, v) −


∂f
(a, b) < ε,
∂x

∂x


∂f

∂f


∂y (u, v) − ∂y (a, b) < ε. On déduit alors que pour |x − a| < η, |y − b| < η on a :
|f (x, y) − f (a, b) − ph − qk| < (|h| + |k|) ε,

c'est-à-dire le résultat souhaité.
La démonstration du théorème de Schwarz qui suit sur la symétrie des dérivées partielles
d'ordre 2 en cas de continuité utilise également le théorème des accroissements nis.

Théorème 49.18 Soient O un ouvert de R2 et f une fonction dé nie sur O à valeurs réelles
admettant sur O des dérivées partielles
alors :

∂2f
∂2f
et
continues en un point (a, b) de O. On a
∂x∂y
∂y∂x

∂ 2f
∂ 2f
(a, b) =
(a, b) .
∂x∂y
∂y∂x

Démonstration. Pour h, k strictement positifs tels que [a, a + h] × [b, b + k] soit contenu

dans O, on note :

g (h, k) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b) .

En notant φ (x) = f (x, b + k) − f (x, b) , on a g (h, k) = φ (a + h) − φ (a) qui avec le théorème
des accroissements nis s'écrit g (h, k) = hφ′ (a + θh) , soit :
(

g (h, k) = h

)
∂f
∂f
(a + θh, b + k) −
(a + θh, b) ,
∂x
∂x

ce qui peut s'écrire en utilisant à nouveau le théorème des accroissements nis :
∂2f
g (h, k) = hk
(a + θh, b + θ′ k) .
∂y∂x

En procédant de manière analogue avec la fonction ψ dé nie par ψ (y) = f (a + h, y) − f (a, y) ,
on a :
(

g (h, k) = ψ (b + k) − ψ (b) = k
= hk

)
∂f
∂f
(a + h, b + ηk) −
(a, b + ηk)
∂y
∂y

∂ 2f
(a + η ′ h, b + ηk) .
∂x∂y

∂2f
∂ 2f
(a + θh, b + θ′ k) =
(a + η ′ h, b + ηk) où les réels θ, θ′ , η, η ′ sont dans
∂y∂x
∂x∂y
]0, 1[ . En faisant tendre (h, k) vers (0, 0) et en utilisant la continuité des dérivées partielles
∂ 2f
∂ 2f
d'ordre 2, en on déduit que
(a, b) =
(a, b) .
∂x∂y
∂y∂x

Ce qui donne

Égalités et inégalités

1216

49.4 Inégalités de convexité
49.4.1 Quelques inégalités classiques
Avec la stricte convexité de la fonction exponentielle, on déduit que :
∀x ∈ R, ex ≥ x + 1,

l'égalité étant réalisée uniquement pour x = 0. Cette inégalité traduit le fait que le graphe de
la fonction est strictement au dessus de la tangente en 0 d'équation y = 1 + x.
On peut également déduire l'inégalité :
e

a+b
2



ea + eb
2

l'égalité étant réalisée si, et seulement si, a = b.
Avec la stricte concavité de la fonction logarithme on déduit que :
∀x ∈ R+,∗ , ln (x) ≤ x − 1

l'égalité étant uniquement réalisée pour x = 1. Cette inégalité traduit le fait que le graphe de
la fonction est strictement au dessous de la tangente en 1, cette tangente ayant pour équation
y = x − 1.

On en déduit également le résultat suivant qui peut être utilisé pour montrer l'inégalité de
Hölder.

Lemme 49.1 Si p, q sont deux réels strictement positifs tels que
∀u ∈ R+,∗ ,

1
1
1
1
∀v ∈ R+,∗ , u p v q ≤ u + v.
p
q



Cette inégalité généralise l'inégalité classique uv ≤
0.

1 1
+ = 1, alors :
p q


√ 2
1
(u + v) conséquence de ( u − v) ≥
2

Cette inégalité de convexité peut également s'écrire :
1
1
∀b ∈ R+,∗ , ab ≤ ap + bq .
p
q
[ π]
Avec la stricte concavité de la fonction sin sur 0,
on déduit que :
2
] π[
2
∀x ∈ 0,
,
x < sin (x) < x.
2
π
∀a ∈ R+,∗ ,

L'inégalité de gauche (inégalité de Jordan) traduit le fait que le graphe(de la) fonction est
π
, 1 , cette corde
strictement au dessus de la corde dé nie par les points A = (0, 0) et B =
2
2
ayant pour équation y = x et l'inégalité de droite traduit le fait que le graphe de la fonction
π
est strictement sous la tangente en 0, cette tangente ayant pour équation y = x.

Inégalités de convexité

1217

49.4.2 Les inégalités de Jensen
Dé nition 49.1 Soit

(xi )1≤i≤p une suite nie de points d'un espace vectoriel E. On dit que
x ∈ E est combinaison linéaire convexe des xi (1 ≤ i ≤ p) si il existe des réels positifs ou nuls
λ1 , · · · , λp tels que :
p
p


λi = 1, x =
λi xi .
i=1

i=1

Théorème 49.19 Toute partie convexe d'un espace vectoriel
linéaire convexe.

E est stable par combinaison

De la dé nition d'une fonction convexe on déduit par récurrence le résultat suivant.

Théorème 49.20 (Jensen) Si f est une fonction convexe dé nie sur une partie convexe d'un
espace vectoriel (normé) E alors pour toute combinaison linéaire convexe

p


λi xi d'éléments de

i=1

I, on a :
f

( p


)


λi x i

i=1

p


λi f (xi ) .

i=1

On est parfois amené à utiliser cette inégalité de convexité sous la forme suivante.

Corollaire 49.2 Si

f est une fonction convexe dé nie sur une partie convexe d'un espace
vectoriel (normé) E alors pour toute combinaison linéaire à coe cients réels positifs non tous

nuls

p


λi xi d'éléments de I, on a en posant λ =

i=1

p


λi :

i=1

(
f

1∑
λi x i
λ i=1
p

)

1∑

λi f (xi ) .
λ i=1
p

En utilisant les sommes de Riemann on en déduit le résultat suivant qui est la version
continue de l'inégalité précédente.

Théorème 49.21 (Jensen) Si f : R → R est une fonction convexe alors pour toute fonction
u continue sur un intervalle [a, b] (avec a < b), on a :
(
)
∫ b
∫ b
1
1
f
u (t) dt ≤
f ◦ u (t) dt.
b−a a
b−a a

49.4.3 L'inégalité de Hölder
La stricte concavité de la fonction logarithme est à la base de la démonstration de l'inégalité
de Hölder, cette dernière inégalité permettant de montrer que pour tout réel p ≥ 1 l'application
x 7→ ∥x∥p =

( n


) p1
|xi |p

i=1

dé nit une norme sur Rn (ou Cn ).
Dans ce qui suit on désigne par p et q deux réels strictement positifs tels que

1 1
+ = 1.
p q

Égalités et inégalités

1218

Théorème 49.22 (Inégalité de Hölder) Pour tous vecteurs x, y dans Cn on a :

(
) p1 ( n
)1
n
n



∑ q q


p
xi yi ≤
|xi |
|yi |
.



i=1

i=1

i=1

L'inégalité de Hölder s'écrit, en notant ⟨x | y⟩ le produit scalaire hermitien canonique de Cn ,
|⟨x | y⟩| ≤ ∥x∥p ∥y∥q

et cette inégalité est encore valable pour p = 1 et q = +∞.
Pour p = q = 2 on retrouve l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Corollaire 49.3 Pour tout réel p ≥ 1 l'application
x 7→ ∥x∥p =

( n


) p1
|xi |p

i=1

dé nit une norme sur Cn .

49.4.4 Comparaison des moyennes harmonique, géométrique et arithmétique
Pour toute suite nie x = (xi )1≤i≤n de réels strictement positifs, on note :
n
H (x) = ∑
n 1 ,
i=1 xi

G (x) =

( n


n


) n1
xi

,

A (x) =

i=1

xi

i=1

n

les moyennes harmonique,
( ) géométrique et arithmétique de x.
En notant y =

1
xi

on peut remarquer que :
1≤i≤n

H (x) =

1
,
A (y)

G (x) =

1
.
G (y)

Avec la concavité de la fonction logarithme on obtient le résultat suivant.

Lemme 49.2 Avec les notations qui précèdent, on a :
G (x) ≤ A (x) .

Théorème 49.23 Avec les notations qui précèdent, on a :
H (x) ≤ G (x) ≤ A (x) .

Pour n = 2 on retrouve l'inégalité

(√
√ )2
x1 − x2 .



x1 x2 ≤

x1 + x2
conséquence de la positivité de
2

Inégalités de convexité

1219

De manière plus générale, on peut dé nir, pour toute suite nie x = (xi )1≤i≤n de réels
strictement positifs, toute suite λ = (λi )1≤i≤n de réels strictement positifs telle que
et tout réel non nul α, la moyenne pondérée d'ordre α par :
(
M (α, x, λ) =

n


n


λi = 1

i=1

) α1
λi xαi

i=1

(les xi sont pondérés
( par
) les λi ).
En notant x′ =

1
xi

, on a pour α non nul :
1≤i≤n

(
M (−α, x, λ) =

n


)− α1
λi x−α
i

=(

i=1

n


1
1
1 =
)
( )α a
M (α, x′ , λ)

(49.2)

1
xi

λi

i=1

Dans le cas où les xi sont tous égaux à un même réel ξ > 0, on a :
(
M (α, x, λ) =

n


) α1
λi ξ α



( n


n


λi



i=1

i=1

puisque

) α1

λi = 1.

i=1

Dans le cas où les λi sont tous égaux, on a nécessairement λi =


n


1
pour tout i et :
n

 α1
xαi 

 i=1

M (α, x, λ) = 
 n 

Pour α = 1 (et les λi sont tous égaux), on reconnaît la moyenne arithmétique A (x) et pour
α = −1, la moyenne harmonique H (x) .
La moyenne géométrique correspond au cas limite α = 0.

Lemme 49.3 Avec les notations qui précèdent, la fonction α 7→ M (α, x, λ) , pour x et λ xés,

se prolonge en une fonction continue sur R avec :
M (0, x, λ) =

n


xλi i .

i=1

On véri e facilement que la relation (49.2) est encore valable pour α = 0. En e et, dans ce
cas, on a :
M (0, x, λ) =

n


1
1
xλi i = ∏
n ( ) λi =
M (0, x′ , λ)
1
i=1
i=1

xi

Dans le cas où les λi sont tous égaux, on a M (0, x, λ) =

(

n

i=1

) n1
xi

= G (x) .

Égalités et inégalités

1220

Lemme 49.4 Pour x et λ xés, on a :
lim M (α, x, λ) = min xi et

α→−∞

1≤i≤n

lim M (α, x, λ) = max xi

α→+∞

1≤i≤n

En utilisant la stricte concavité sur R+,∗ des fonctions ln et t 7→ tγ pour 0 < γ < 1 (dans ce
cas la dérivée seconde est strictement négative) on obtient le résultat suivant.

Théorème 49.24 En supposant les xi non tous égaux, la fonction α 7→ M (α, x, λ) , pour x et

λ xés, est strictement croissante.

En prenant les λi tous égaux à

1
, on retrouve l'encadrement :
n

M (−1, x, λ) = H (x) ≤ M (0, x, λ) = G (x) ≤ M (1, x, λ) = A (x)

l'une des égalités étant réalisée si, et seulement si, tous les xi sont égaux.

49.5 L'inégalité de Bessel
On désigne par D l'espace des fonctions f : R → R qui sont 2π -périodiques, continues par
morceaux et telles qu'en tout point de discontinuité a de f, on ait :
f (a) =

f (a− ) + f (a+ )
.
2

Et pour toute fonction f ∈ D, on note an (f ) et bn (f ) les coe cients de Fourier.
Du théorème de projection orthogonale, on déduit le résultat suivant.

Théorème 49.25 (Bessel) Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique
a20 (f ) ∑ 2
+ (an (f ) + b2n (f )) est convergente et on a :
2

+∞
) 1
a20 (f ) ∑ ( 2
+
an (f ) + b2n (f ) ≤
2
π
n=1





f 2 (t) dt
0

De l'inégalité de Bessel, on déduit le résultat suivant.

Corollaire 49.4 (Riemann-Lebesgue) Pour toute fonction f ∈ D, on a :
lim an (f ) = lim bn (f ) = 0

n→+∞

n→+∞

et :
lim cn (f ) = 0

|n|→+∞

En fait, on a l'égalité.

Théorème 49.26 (Parseval) Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique
est convergente et on a :

+∞
) 1
a20 (f ) ∑ ( 2
+
an (f ) + b2n (f ) =
2
π
n=1

Corollaire 49.5 Une fonction f



a20 (f ) ∑ 2
+ (an (f ) + b2n (f ))
2



f 2 (t) dt
0

∈ D est telle que an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N si, et
seulement si, elle est identiquement nulle.

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev

1221

49.6 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
En n, on peut donner les exemples suivants dans le cadre des probabilités.

Théorème 49.27 (Markov) Soit X une variable aléatoire réelle positive sur (Ω, B, P) . Pour

tout réel ε > 0, on a :

P (X ≥ ε) ≤

E (X)
ε

Théorème 49.28 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev) Soit X ∈ L2R (Ω, B, P) . Pour tout
réel ε > 0, on a :

P (|X − E (X)| ≥ ε) ≤

V (X)
.
ε2

1222

Égalités et inégalités


Aperçu du document 244_2.pdf - page 1/26
 
244_2.pdf - page 3/26
244_2.pdf - page 4/26
244_2.pdf - page 5/26
244_2.pdf - page 6/26
 




Télécharger le fichier (PDF)


244_2.pdf (PDF, 389 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


lecon 2 espaces de hilbert notions de base
lecon 5 quelques aspects topologiques des espaces de hilbert
analyse reelle cours et exercices corriges premiere annee maths et informatique
demoaconnaitre2
rolle et taf mr el abbassi 04122020
resume derivabilite