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Utilisation du symbole Σ
Σ (sigma) est la majuscule grecque correspondant au S de notre alphabet latin. Il permet en mathématiques
d’écrire efficacement une somme comportant un nombre de termes importants, et de façon plus générale, d’écrire
rigouseusement toute somme dont le nombre de termes est fixé mais indéfini (une somme de n termes, par
exemple, avec n ∈ N∗ .)

1

Premier exemple

On a relevé 5 jours de suite la hauteur de pluie tombée à l’EABJM.
On obtient les résultats suivants en mm (pour i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, hi désigne la hauteur relevée le i-ème jour ) :
i est appelé indice ; il sert à différencier les 5 mesures effectuées.
h1 = 5 ;

h2 = 3 ;

h3 = 8 ;

h4 = 6 ;

h5 = 4.

La hauteur d’eau totale tombée au cours des 5 jours est h1 + h2 + h3 + h4 + h5 .
Cette somme, certes facile à calculer, est un peu longue à écrire : imaginons qu’on ait relevé cette hauteur de
5
X
hi .
précipitations pendant 100 jours ou plus... Les mathématiciens préfèrent la noter
i=1

i est l’indice de sommation : il varie ici de 1 à 5 et c’est un entier naturel.
5
X
hi se lit “somme pour i variant de 1 à 5 des h (indice) i”. Traditionnellement, l’indice de sommation est noté
i=1

i, j, k ou ℓ.

Exercice 1 :
Calculer les sommes suivantes :
5
5
X
X
(−1)k
2i
(b)
(a)
k
i=0

(c)

5
X

j

j=0

k=3

1
Au lieu d’écrire maintenant une somme avec des points de suspension, par exemple 1 + 12 + 13 + . . . 100
(sommes
des inverses des 100 premiers entiers naturels non nuls) on utilisera le symbole sigma. Ici, on effectue la somme
des nombres k1 , pour k variant de 1 à 100. Ainsi,
100

1+

X1
1
1 1
+ + ...
=
2 3
100
k
k=1

Exercice 2 :
x1 , x2 , . . ., xn désignent n nombre réels, n ∈ N∗ . Ecrire à l’aide du symbole sigma :
(a) 22 + 23 + 24 + . . . 217
(b) x1 + x2 + . . . + xn
(c) x1 + x22 + . . . xnn
(d) 12 + 23 + 34 + . . . + 100101

2

Quelques propriétés de l’addition revues avec le symbole Σ

Propriétés : Soient n ∈ N∗ et x1 , x2 , . . ., xn , y1 , y2 , . . ., yn deux familles de nombres réels. λ désigne un
nombre réel fixé.
n
X

(xi + yi ) =

n
X

xi +

yi et

i=1

i=1

i=1

n
X

n
X

λxi = λ

n
X

xi .

i=1

i=1

Exercice 3 :
Calculer, en utilisant la propriété et l’exercice 2 :

5
X

(i + 2i ) et

i=0

Exercice 4 :
n
X
xi yi =
A-t-on
i=1

Seconde

n
X
i=1

xi

!

n
X
i=1

yi

!

5
X
3(−1)k

k=3

k

.

?

Symbole Σ

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