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CHAPITRE 6. COUPLES ALÉATOIRES RÉELS

6.2. CARACTÉRISTIQUES D’UN COUPLE ALÉATOIRE

4. Loi de probabilité conditionnelle : La loi de probabilité de la variable X sachant que
Y = y est donnée par :
(a) Cas discret :
P (X = x/Y = y) =

P(X = xi ∩ Y = yj )
;
P(Y = yj )

si P(Y = yj ) 6= 0

(b) Cas continu :
fX/Y =y (x) =

fX;Y (x, y)
;
fY (y)

si fY (y) 6= 0

5. Indépendance : Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si et seulement si :
(a) Cas discret : ∀(xi , yj ) ∈ (X, Y )(Ω) :
P (X = xi ; Y = yj ) = P(X = xi ) × P(Y = yj )
(b) Cas continu : ∀(x, y) ∈ R2 :
fX;Y (x, y) = fX (x) × fY (y)

6.2

Caractéristiques d’un couple aléatoire

1. Fonction de répartition conjointe : La fonction de répartition conjointe de (X, Y ) est définie par :
FX;Y (x, y) = P(X 6 x ; Y 6 y)
(a) Cas discret :
FX;Y (x, y) =

XX

P(X = s ; Y = t)

s≤x t≤y

(b) Cas continu :
Z

x

Z

y

FX;Y (x, y) =

fX;Y (s, t) ds dt
−∞

−∞

2. Fonction de répartition marginale :
(a) Cas discret :
• La fonction de répartition marginale de la v.a. X est donnée par :
FX (x) =

X

P(X = s)

s≤x

• La fonction de répartition marginale de la v.a. Y est donnée par :
FY (y) =

X
t≤y

5

P(Y = t)