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CHAPITRE 6. COUPLES ALÉATOIRES RÉELS

6.2. CARACTÉRISTIQUES D’UN COUPLE ALÉATOIRE

(b) Cas continu :
• La fonction de répartition marginale de la v.a. X est donnée par :
Z x
FX (x) =
fX (s) ds ou FX (x) = lim FX;Y (x, y)
y→+∞

−∞

• La fonction de répartition marginale de la v.a. Y est donnée par :
Z y
FY (y) =
fY (t) dt ou FY (y) = lim FX;Y (x, y)
x→+∞

−∞

3. Esperance mathématique : Soit φ une fonction continue sur (X, Y ) (Ω).
(a) Cas discret :
E (φ(X, Y )) =

X X

φ(x, y) P(X = x ; Y = y)

X(Ω) Y (Ω)

(b) Cas continu :
ZZ
E (φ(X, Y )) =

φ(x, y) fX;Y (x, y) dx dy
R2

4. Moments d’ordres r et s : Soient r et s ∈ N∗ .
• Le moment simple d’ordres r et s est donné par :
µr,s = E (X r Y s )
• Le moment centré d’ordres r et s est donné par :
mr,s = E [(X − E(X))r . (Y − E(Y ))s ]
5. Covariance : La covariance entre X et Y est donnée par :
cov(X, Y ) = m1,1

= E [(X − E(X)) . (Y − E(Y ))]
= E (X . Y ) − E (X) . E (Y )

6. Corrélation : Le coefficient de corrélation entre X et Y est donné par :
ρ(X ; Y ) =

cov(X, Y )
∈ [−1 ; 1]
σ(X) .σ(Y )

Propriétés. Si les variables X et Y sont indépendantes alors :
• E (X . Y ) = E (X) . E (Y ) .
• cov(X, Y ) = 0 .
• ρ(X ; Y ) = 0 .

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