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Probabilités
Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran
2015-2016
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Chapitre V :
Couples aléatoires réels
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
1
Couple aléatoire réel :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
1
Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
1
Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).
(X, Y ) est dit couple aléatoire discret (c.a.d) si les
variables X et Y sont discrètes.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
1
Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).
(X, Y ) est dit couple aléatoire discret (c.a.d) si les
variables X et Y sont discrètes.
(X, Y ) est dit couple aléatoire continu (c.a.c) si les
variables X et Y sont continues.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Loi de probabilité conjointe :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Loi de probabilité conjointe :
1
Cas discret :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Loi de probabilité conjointe :
1
Cas discret :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.d (X, Y ) est donnée
par :
X(Ω) et Y (Ω),
∀xi ∈ X(Ω) et yj ∈ Y (Ω) : Pij = P(X = xi ∩ Y = yj ).
Tels que :
P
xi ∈X(Ω)
P
yj ∈Y (Ω)
KARA-ZAÏTRI L.
Pij = 1 .
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Loi de probabilité conjointe :
1
Cas discret :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.d (X, Y ) est donnée
par :
X(Ω) et Y (Ω),
∀xi ∈ X(Ω) et yj ∈ Y (Ω) : Pij = P(X = xi ∩ Y = yj ).
Tels que :
P
xi ∈X(Ω)
P
yj ∈Y (Ω)
Pij = 1 .
Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {(1; 2), (1; 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} .
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {(1; 2), (1; 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} .
Soient les variables aléatoires :
X qui donne le numéro de la 1ère boule tirée.
Y qui donne le plus grand des deux numéros obtenus.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
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Définitions
Définitions
X(Ω) = {
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Définitions
Définitions
X(Ω) = {1, 2, 3} .
KARA-ZAÏTRI L.
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Définitions
Définitions
X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .
La loi de probabilité conjointe du couple (X, Y ) est donnée par :
Y\ X
2
3
1
KARA-ZAÏTRI L.
2
3
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .
La loi de probabilité conjointe du couple (X, Y ) est donnée par :
Y\ X
2
3
1
1/6
1/6
KARA-ZAÏTRI L.
2
1/6
1/6
3
\
2/6
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Cas continu :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Cas continu :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.c (X, Y ) est donnée
par la fonction fX;Y appelée "densité de probabilité
conjointe" telle que :
∀(x, y) ∈ (X, Y )(Ω) : fX;Y (x, y) ≥ 0 .
RR
f (x, y) dx dy
R2 X;Y
= 1.
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Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
Soit la densité de probabilité conjointe fX;Y définie par
fX ,Y ( x , y ) =
2
2
c x y exp(−x − y )
si x ≥ 0 et y ≥ 0,
sinon.
0
Donner la valeur de c.
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Définitions
Définitions
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Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
3
Loi de probabilité marginale :
KARA-ZAÏTRI L.
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Définitions
Définitions
3
Loi de probabilité marginale :
1
Cas discret :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
3
Loi de probabilité marginale :
1
Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :
Pi. = P(X = xi ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
j
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Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
3
Loi de probabilité marginale :
1
Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :
Pi. = P(X = xi ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
j
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y est
donnée pour tout yj ∈ Y (Ω) par :
P.j = P(Y = yj ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
i
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
3
Loi de probabilité marginale :
1
Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :
Pi. = P(X = xi ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
j
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y est
donnée pour tout yj ∈ Y (Ω) par :
P.j = P(Y = yj ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
i
Elles sont souvent présentées dans le tableau de la loi de
probabilité conjointe.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .
Y\ X
2
3
1
1/6
1/6
2
1/6
1/6
3
P.j
\
2/6
Pi.
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .
Y\ X
2
3
Pi.
1
1/6
1/6
2/6
KARA-ZAÏTRI L.
2
1/6
1/6
2/6
3
P.j
\
2/6
2/6
2/6
4/6
1
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Cas continu :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :
Z
fX (x) =
fX;Y (x, y) dy
R
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Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :
Z
fX (x) =
fX;Y (x, y) dy
R
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y
est donnée par :
Z
fY (y) =
fX;Y (x, y) dx
R
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :
Z
fX (x) =
fX;Y (x, y) dy
R
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y
est donnée par :
Z
fY (y) =
fX;Y (x, y) dx
R
Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de
X et de Y .
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
4
Loi de probabilité conditionnelle :
La loi de probabilité de la variable X sachant que Y = y
est donnée par :
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Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
4
Loi de probabilité conditionnelle :
La loi de probabilité de la variable X sachant que Y = y
est donnée par :
Cas discret :
P (X = x/Y = y) =
P(X = xi ∩ Y = yj )
;
P(Y = yj )
KARA-ZAÏTRI L.
si P(Y = yj ) 6= 0
Probabilités et statistique