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Probabilités

Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran

2015-2016

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Chapitre V :
Couples aléatoires réels

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

1

Couple aléatoire réel :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

1

Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

1

Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).

(X, Y ) est dit couple aléatoire discret (c.a.d) si les
variables X et Y sont discrètes.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

1

Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).

(X, Y ) est dit couple aléatoire discret (c.a.d) si les
variables X et Y sont discrètes.

(X, Y ) est dit couple aléatoire continu (c.a.c) si les
variables X et Y sont continues.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

2

Loi de probabilité conjointe :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

2

Loi de probabilité conjointe :
1

Cas discret :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

2

Loi de probabilité conjointe :
1

Cas discret :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.d (X, Y ) est donnée
par :
X(Ω) et Y (Ω),

∀xi ∈ X(Ω) et yj ∈ Y (Ω) : Pij = P(X = xi ∩ Y = yj ).
Tels que :

P

xi ∈X(Ω)

P

yj ∈Y (Ω)

KARA-ZAÏTRI L.

Pij = 1 .

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

2

Loi de probabilité conjointe :
1

Cas discret :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.d (X, Y ) est donnée
par :
X(Ω) et Y (Ω),

∀xi ∈ X(Ω) et yj ∈ Y (Ω) : Pij = P(X = xi ∩ Y = yj ).
Tels que :

P

xi ∈X(Ω)

P

yj ∈Y (Ω)

Pij = 1 .

Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {(1; 2), (1; 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {(1; 2), (1; 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} .
Soient les variables aléatoires :
X qui donne le numéro de la 1ère boule tirée.
Y qui donne le plus grand des deux numéros obtenus.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

X(Ω) = {

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

X(Ω) = {1, 2, 3} .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .
La loi de probabilité conjointe du couple (X, Y ) est donnée par :
Y\ X
2
3

1

KARA-ZAÏTRI L.

2

3

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .
La loi de probabilité conjointe du couple (X, Y ) est donnée par :
Y\ X
2
3

1
1/6
1/6

KARA-ZAÏTRI L.

2
1/6
1/6

3

\
2/6

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

2

Cas continu :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

2

Cas continu :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.c (X, Y ) est donnée
par la fonction fX;Y appelée "densité de probabilité
conjointe" telle que :

∀(x, y) ∈ (X, Y )(Ω) : fX;Y (x, y) ≥ 0 .
RR

f (x, y) dx dy
R2 X;Y

= 1.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :
Soit la densité de probabilité conjointe fX;Y définie par

fX ,Y ( x , y ) =


2
2

 c x y exp(−x − y )

si x ≥ 0 et y ≥ 0,




sinon.

0

Donner la valeur de c.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
3

Loi de probabilité marginale :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
3

Loi de probabilité marginale :
1

Cas discret :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
3

Loi de probabilité marginale :
1

Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :

Pi. = P(X = xi ) =

X

P(X = xi ∩ Y = yj )

j

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
3

Loi de probabilité marginale :
1

Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :

Pi. = P(X = xi ) =

X

P(X = xi ∩ Y = yj )

j

La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y est
donnée pour tout yj ∈ Y (Ω) par :

P.j = P(Y = yj ) =

X

P(X = xi ∩ Y = yj )

i

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
3

Loi de probabilité marginale :
1

Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :

Pi. = P(X = xi ) =

X

P(X = xi ∩ Y = yj )

j

La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y est
donnée pour tout yj ∈ Y (Ω) par :

P.j = P(Y = yj ) =

X

P(X = xi ∩ Y = yj )

i

Elles sont souvent présentées dans le tableau de la loi de
probabilité conjointe.
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .
Y\ X
2
3

1
1/6
1/6

2
1/6
1/6

3

P.j

\
2/6

Pi.

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .
Y\ X
2
3

Pi.

1
1/6
1/6
2/6

KARA-ZAÏTRI L.

2
1/6
1/6
2/6

3

P.j

\
2/6
2/6

2/6
4/6
1

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
2

Cas continu :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
2

Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :

Z
fX (x) =

fX;Y (x, y) dy
R

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
2

Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :

Z
fX (x) =

fX;Y (x, y) dy
R

La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y
est donnée par :

Z
fY (y) =

fX;Y (x, y) dx
R

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions
2

Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :

Z
fX (x) =

fX;Y (x, y) dy
R

La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y
est donnée par :

Z
fY (y) =

fX;Y (x, y) dx
R

Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de
X et de Y .
KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

4

Loi de probabilité conditionnelle :
La loi de probabilité de la variable X sachant que Y = y
est donnée par :

KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités et statistique

Couples aléatoires réels

Définitions

Définitions

4

Loi de probabilité conditionnelle :
La loi de probabilité de la variable X sachant que Y = y
est donnée par :
Cas discret :

P (X = x/Y = y) =

P(X = xi ∩ Y = yj )
;
P(Y = yj )

KARA-ZAÏTRI L.

si P(Y = yj ) 6= 0

Probabilités et statistique



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